第23章旋轉(zhuǎn)(基礎(chǔ)、?？?、易錯(cuò)、壓軸)分類專項(xiàng)訓(xùn)練(原卷版+解析)2

第23章旋轉(zhuǎn)（基礎(chǔ)、?？?、易錯(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練【基礎(chǔ)】一．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共2小題）1．（2022?云巖區(qū)一模）如圖，點(diǎn)A在射線OP上，將線段OA繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°得到線段OB，延長(zhǎng)線段OB到C，使BC＝5cm．若點(diǎn)C到OP的距離為3cm，則OA＝cm．2．（2022春?米脂縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝115°，將它繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°后得到△A'B'C，則∠ACB'的度數(shù)是多少？二．中心對(duì)稱圖形（共5小題）3．（2022春?振興區(qū)校級(jí)期末）下列圖標(biāo)（不包含文字）是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．4．（2022?威縣校級(jí)模擬）連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，得到如圖所示的圖形，下列說(shuō)法不正確的是（）A．四邊形ABCH與四邊形EFGH的周長(zhǎng)相等 B．連接HD，則HD平分∠CHE C．整個(gè)圖形不是中心對(duì)稱圖形 D．△CEH是等邊三角形5．（2022?邯鄲模擬）對(duì)于圖﹣1和圖﹣2，判斷正確的是（）A．圖﹣1是中心對(duì)稱圖形，圖﹣2是軸對(duì)稱圖形 B．均為中心對(duì)稱圖形 C．圖﹣1是軸對(duì)稱圖形，圖﹣2是中心對(duì)稱圖形 D．均為軸對(duì)稱圖形6．（2022春?靖江市期末）將數(shù)字“6”旋轉(zhuǎn)180°，得到數(shù)字“9”，將數(shù)字“9”旋轉(zhuǎn)180°，得到數(shù)字“6”，現(xiàn)將數(shù)字“689”整體旋轉(zhuǎn)180°，得到的數(shù)字是．7．（2022?平邑縣一模）規(guī)定：在平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0°＜α≤180°）后能與自身重合，那么就稱這個(gè)圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，轉(zhuǎn)動(dòng)的這個(gè)角度α稱為這個(gè)圖形的一個(gè)旋轉(zhuǎn)角．例如：正方形繞著兩條對(duì)角線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°或180°后，能與自身重合（如圖），所以正方形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，且有兩個(gè)旋轉(zhuǎn)角．根據(jù)以上規(guī)定，下列圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形的是．①正五邊形，②正六邊形，③矩形，④菱形．三．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（共2小題）8．（2022春?蘭西縣校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣3，﹣5）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．9．（2021秋?莆田期末）若點(diǎn)P（m，﹣1）與點(diǎn)Q（﹣2021，n）關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則m+n的值是．四．坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)（共1小題）10．（2022?長(zhǎng)沙一模）在平面直角坐標(biāo)系中，把點(diǎn)P（﹣3，1）繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P1，則點(diǎn)P1的坐標(biāo)是．五．作圖-旋轉(zhuǎn)變換（共2小題）11．（2022?安徽）如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．（1）將△ABC向上平移6個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位，得到△A1B1C1，請(qǐng)畫出△A1B1C1；（2）以邊AC的中點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°，得到△A2B2C2，請(qǐng)畫出△A2B2C2．12．（2022?洮北區(qū)模擬）如圖，在5×5的方格紙中，線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求畫圖．（1）如圖1，畫出一條線段AC，使AC＝AB，C在格點(diǎn)上；（2）如圖2，畫出一條線段EF，使EF，AB互相平分，E，F(xiàn)均在格點(diǎn)上；（3）如圖3，以A，B為頂點(diǎn)畫出一個(gè)四邊形，使其是中心對(duì)稱圖形，且頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．六．幾何變換的類型（共1小題）13．（2022?鐵嶺模擬）如圖，從放大鏡里看到的三角尺和原來(lái)的三角尺之間的變換是（）A．軸對(duì)稱變換 B．平移變換 C．相似變換 D．旋轉(zhuǎn)變換【?？肌恳唬D(zhuǎn)的性質(zhì)（共10小題）1．（2022?南充）如圖，將直角三角板ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′，點(diǎn)B′恰好落在CA的延長(zhǎng)線上，∠B＝30°，∠C＝90°，則∠BAC′為（）A．90° B．60° C．45° D．30°2．（2022?岳池縣模擬）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)110°，得到△AB'C'，若點(diǎn)B'在線段BC的延長(zhǎng)線上，則∠BB'C'的度數(shù)為（）A．65° B．70° C．75° D．80°3．（2022?澧縣模擬）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于點(diǎn)F，則∠BAC＝．4．（2022?炎陵縣一模）如圖，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△A'OB'，連接AA'．則線段AA'的長(zhǎng)為．5．（2022?南平模擬）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到△ADE，BD，CE交于點(diǎn)F．（1）求證：△AEC≌△ADB；（2）求∠CFB的度數(shù)．6．（2022?洮北區(qū)模擬）如圖①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四邊形EFGH是正方形，EH與BD重合，將圖①中的正方形EFGH繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，使點(diǎn)G落在BC的延長(zhǎng)線上，DE交BC于點(diǎn)L．已知旋轉(zhuǎn)開始時(shí)，即圖①位置∠CDG＝37°，求正方形EFGH從圖①位置旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．（2）旋轉(zhuǎn)至如圖③位置，DE交BC于點(diǎn)L．延長(zhǎng)BC交FG于點(diǎn)M，延長(zhǎng)DC交EF于點(diǎn)N．試判斷DL、EN、GM之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．7．（2022?平邑縣一模）在正方形ABCD中，點(diǎn)E在射線BC上（不與點(diǎn)B、C重合），連接DB，DE，將DE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接BF．（1）如圖1，點(diǎn)E在BC邊上．①依題意補(bǔ)全圖1；②若AB＝6，EC＝2，求BF的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)E在BC邊的延長(zhǎng)線上，用等式表示線段BD，BE，BF之間的數(shù)量關(guān)系．8．（2021秋?雄縣期末）如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接CD，BE．（1）求證：∠AEB＝∠ADC；（2）連接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度數(shù)．9．（2022?黃岡模擬）（1）如圖1，O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，將△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，連接OD．求：①旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；②線段OD的長(zhǎng)；③求∠BDC的度數(shù)．（2）如圖2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）內(nèi)一點(diǎn)，連接OA、OB、OC，將△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，連接OD．當(dāng)OA、OB、OC滿足什么條件時(shí)，∠ODC＝90°？請(qǐng)給出證明．10．（2022?臺(tái)兒莊區(qū)二模）如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD外一點(diǎn)，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞A點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△ADF，DF的延長(zhǎng)線交BE于H點(diǎn)．（1）試判定四邊形AFHE的形狀，并說(shuō)明理由；（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的長(zhǎng)．二．中心對(duì)稱（共1小題）11．（2021秋?鉛山縣期末）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，△OA1B1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對(duì)稱，再作△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點(diǎn)B2成中心對(duì)稱，…，如此作下去，則△B2020A2021B2021的頂點(diǎn)A2021的坐標(biāo)是．三．中心對(duì)稱圖形（共1小題）12．（2022?市中區(qū)校級(jí)模擬）如圖，一個(gè)花園的平面圖呈矩形，被分割成3個(gè)正方形和2個(gè)矩形后仍是中心對(duì)稱圖形，若只知道原來(lái)矩形的周長(zhǎng)，則分割后不用測(cè)量就能知道周長(zhǎng)的圖形的標(biāo)號(hào)為（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③四．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（共1小題）13．（2022?道外區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣2，﹣4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（2，﹣4） B．（2，4） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣4）五．坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)（共2小題）14．（2022?高青縣一模）△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，將其繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C′，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A．（4，5） B．（4，4） C．（3，5） D．（3，4）15．（2022?濱?？h一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△A'B'C′由△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．六．作圖-旋轉(zhuǎn)變換（共3小題）16．（2022春?吉水縣期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．（1）畫出將△ABC向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的△A1B1C1；（2）畫出將△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△A2B2O；（3）在x軸上存在一點(diǎn)P，滿足點(diǎn)P到A1與點(diǎn)A2距離之和最小，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)．17．（2022?武功縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．（1）直接寫出點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)B′的坐標(biāo)：；（2）平移△ABC，使平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（2，1），請(qǐng)畫出平移后的△A1B1C1；（3）畫出△ABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C2．18．（2021秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝．將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤120°）得到△A'BC'，點(diǎn)A，點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A'，點(diǎn)C'．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C'恰好為線段AA'的中點(diǎn)時(shí)，α＝°，AA'＝；（2）當(dāng)線段AA'與線段CC'有交點(diǎn)時(shí)，記交點(diǎn)為點(diǎn)D．①在圖2中補(bǔ)全圖形，猜想線段AD與A'D的數(shù)量關(guān)系并加以證明；②連接BD，請(qǐng)直接寫出BD的長(zhǎng)的取值范圍．【易錯(cuò)】一．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共7小題）1．（2022?呼和浩特）如圖．△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△EDC，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上，AC、ED交于點(diǎn)F．若∠BCD＝α，則∠EFC的度數(shù)是（用含α的代數(shù)式表示）（）A．90°+α B．90°﹣α C．180°﹣α D．α2．（2022?武侯區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，CB＝8，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)．現(xiàn)將線段CD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到C'D'，若點(diǎn)D'恰好落在AB邊上，則點(diǎn)C'到AB的距離為，若點(diǎn)A恰好在C'D'上，則AC'的長(zhǎng)為．3．（2022?惠山區(qū)校級(jí)二模）如圖，已知△ABC為等邊三角形，AB＝6，將邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜120°）得到線段AD，連接CD，CD與AB交于點(diǎn)G，∠BAD的平分線交CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，且DF＝2CF，則∠AEC＝°；連接AF，則AF+2BF的最小值為．4．（2022?梅州模擬）如圖，菱形ABCD中，AB＝12，∠ABC＝60°，點(diǎn)E在AB邊上，且BE＝2AE，動(dòng)點(diǎn)P在BC邊上，連接PE，將線段PE繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至線段PF，連接AF，則線段AF長(zhǎng)的最小值為．5．（2022?高要區(qū)一模）如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至矩形AB′C′D′位置，此時(shí)AC′的中點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，AB′交CD于點(diǎn)E．若AB＝6，則△AEC的面積為．6．（2022?南海區(qū)校級(jí)一模）如圖，△ODC是由△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)31°后得到的圖形，若點(diǎn)D恰好落在AB上，且∠AOC的度數(shù)為100°，則∠DOB的度數(shù)是．7．（2021秋?中寧縣校級(jí)期末）如圖，在等邊△BCD中，DF⊥BC于點(diǎn)F，點(diǎn)A為直線DF上一動(dòng)點(diǎn)，以B為旋轉(zhuǎn)中心，把BA順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°至BE，連接EC．（1）當(dāng)點(diǎn)A在線段DF的延長(zhǎng)線上時(shí)，①求證：DA＝CE；②判斷∠DEC和∠EDC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)∠DEC＝45°時(shí)，連接AC，求∠BAC的度數(shù)．二．坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)（共1小題）8．（2022?諸城市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個(gè)等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角邊AO在x軸上，且AO＝1．將Rt△AOB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰直角三角形A1OB，且A1O＝2AO，再將Rt△A1OB1，繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰直角三角形A2OB2，且A2O＝2A1O……，依此規(guī)律，得到等腰直角三角形A2021OB2021，則點(diǎn)B2022的坐標(biāo)是．【壓軸】一．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共10小題）1．（2022?三明模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，點(diǎn)P是BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PA，將PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，連結(jié)CE．P從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，CE的最小值為（）A．1 B． C． D．22．（2022?武城縣模擬）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是CM的中點(diǎn)，AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接DE，DF．給出結(jié)論：①DE＝EF；②∠CDF＝45°；③若正方形的邊長(zhǎng)為2，則點(diǎn)M在射線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CF有最小值．其中結(jié)論正確的是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③3．（2022?南崗區(qū)校級(jí)一模）如圖，將△ABC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°后得到△A′B′C′．若∠A＝40°．∠B′＝110°，則∠BCA′的度數(shù)是（）A．110° B．80° C．40° D．30°4．（2022?游仙區(qū)模擬）正△ABC的邊長(zhǎng)為4，D是AC的中點(diǎn)，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且BP2+CP2＝AP2，則PD的最小長(zhǎng)度是．5．（2022?常熟市模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，點(diǎn)P是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)．△A'B'C≌△ABC，將△A'B′C繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，點(diǎn)E是邊A'C的中點(diǎn)，則PE長(zhǎng)度的最小值為．6．（2022?邵陽(yáng)模擬）如圖所示，將△ABC繞AC的中點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△CDA，添加一個(gè)條件，使四邊形ABCD為矩形．7．（2022?荔灣區(qū)校級(jí)二模）如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，將矩形ABCD繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到矩形A′BC′D′，邊A′B交線段CD于H，若BH＝DH，則△BCC′的面積是．8．（2022?新會(huì)區(qū)校級(jí)模擬）已知：正方形ABCD．（1）如圖1，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在邊AB和AD上，且AE＝AF．此時(shí)，線段BE、DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是什么？請(qǐng)直接寫出結(jié)論．（2）如圖2，等腰直角三角形FAE繞直角頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α，當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，連接BE、DF，此時(shí)（1）中的結(jié)論是否成立，如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，等腰直角三角形FAE繞直角頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α，當(dāng)a＝90°時(shí)，連接BE、DF，猜想AE與AD滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，直線DF垂直平分BE．請(qǐng)直接寫出結(jié)論．（4）如圖4，等腰直角三角形FAE繞直角頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α，當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，連接BD、DE、EF、FB得到四邊形BDEF，則順次連接四邊形BDEF各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是什么特殊四邊形？請(qǐng)直接寫出結(jié)論．9．（2022?西城區(qū)校級(jí)模擬）已知：如圖所示△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到△ADE（其中點(diǎn)B與點(diǎn)D對(duì)應(yīng)）．（1）如圖1，點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為B'，求線段B'E與CD的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)α＝32°時(shí)，射線CB與射線ED交于點(diǎn)F，補(bǔ)全圖2并求∠AFD．10．（2022?肅州區(qū)模擬）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)（如圖1），易證BM+DN＝MN．（1）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)（如圖2），線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想．二．坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)（共2小題）11．（2021秋?南陽(yáng)期末）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C（0，﹣1）旋轉(zhuǎn)180°得到△A'B'C，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（）A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a．﹣b﹣1） C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b﹣2）12．（2022?高新區(qū)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．如圖，若“心形”圖形的頂點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G均為整點(diǎn)．已知點(diǎn)P（3，4），線段PQ的長(zhǎng)為，PQ關(guān)于過(guò)點(diǎn)M（0，5）的直線l對(duì)稱得到P′Q′，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′，當(dāng)點(diǎn)P′恰好落在“心形”圖形邊的整點(diǎn)上時(shí)，點(diǎn)Q′也落在“心形”圖形邊的整點(diǎn)上，則這樣的點(diǎn)Q′共有個(gè)．三．作圖-旋轉(zhuǎn)變換（共1小題）13．（2022?黑龍江）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC與△DEF關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，△ABC與△DEF的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求完成下列各題．（1）在圖中畫出點(diǎn)O的位置．（2）將△ABC先向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到△A1B1C1，請(qǐng)畫出△A1B1C1；（3）在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)M，使A1M平分∠B1A1C1．四．利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案（共1小題）14．（2022?市中區(qū)二模）如圖所示，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)你認(rèn)真觀察圖（1）中的三個(gè)網(wǎng)格中陰影部分構(gòu)成的圖案，解答下列問(wèn)題：（1）這三個(gè)圖案都具有以下共同特征：都是對(duì)稱圖形，都不是對(duì)稱圖形．（2）請(qǐng)?jiān)趫D（2）中設(shè)計(jì)出一個(gè)面積為4，且具備上述特征的圖案，要求所畫圖案不能與圖（1）中所給出的圖案相同．第23章旋轉(zhuǎn)（基礎(chǔ)、?？?、易錯(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練【基礎(chǔ)】一．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共2小題）1．（2022?云巖區(qū)一模）如圖，點(diǎn)A在射線OP上，將線段OA繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°得到線段OB，延長(zhǎng)線段OB到C，使BC＝5cm．若點(diǎn)C到OP的距離為3cm，則OA＝1cm．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OP于D，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)得OC的長(zhǎng)度，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知OA＝OB，從而得出答案．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OP于D，∵將線段OA繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°得到線段OB，∴∠O＝30°，OA＝OB，∵∠O＝30°，∴OC＝2CD＝6（cm），又∵BC＝5cm，∴OA＝OB＝OC﹣BC＝6﹣5＝1（cm），故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)，熟練掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022春?米脂縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝115°，將它繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°后得到△A'B'C，則∠ACB'的度數(shù)是多少？【分析】由題意可得∠BCB'＝50°，即可求∠ACB'的度數(shù)．【解答】解：∵將△ABC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°后得到△A'B'C，∴∠BCB'＝50°，∵∠ACB＝115°，∴∠ACB'＝∠ACB+∠BCB'＝115°+50°＝165°，答：∠ACB'的度數(shù)是165°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中的旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．二．中心對(duì)稱圖形（共5小題）3．（2022春?振興區(qū)校級(jí)期末）下列圖標(biāo)（不包含文字）是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形重合，則這個(gè)圖形為中心對(duì)稱圖形判斷即可．【解答】解：∵在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形重合，則這個(gè)圖形為中心對(duì)稱圖形，∴B選項(xiàng)中的圖形為中心對(duì)稱圖形，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握中心對(duì)稱圖形的定義．4．（2022?威縣校級(jí)模擬）連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，得到如圖所示的圖形，下列說(shuō)法不正確的是（）A．四邊形ABCH與四邊形EFGH的周長(zhǎng)相等 B．連接HD，則HD平分∠CHE C．整個(gè)圖形不是中心對(duì)稱圖形 D．△CEH是等邊三角形【分析】根據(jù)圖形分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．【解答】解：∵四邊形AFGH與四邊形CFED是全等圖形，故A選項(xiàng)不符合題意；∵△HCE等腰三角形，△CDE是等腰三角形，∴連接HD，則HD平分∠CHE，故B選項(xiàng)不符合題意；∵正八邊形連接三個(gè)頂點(diǎn)后不是中心對(duì)圖形，但是軸對(duì)稱圖形，故C選項(xiàng)不符合題意；∵圖中CH≠CE，∴△CEH不是等邊三角形，故D選項(xiàng)符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正八邊形的知識(shí)，熟練掌握中心對(duì)稱的概念是解題的關(guān)鍵．5．（2022?邯鄲模擬）對(duì)于圖﹣1和圖﹣2，判斷正確的是（）A．圖﹣1是中心對(duì)稱圖形，圖﹣2是軸對(duì)稱圖形 B．均為中心對(duì)稱圖形 C．圖﹣1是軸對(duì)稱圖形，圖﹣2是中心對(duì)稱圖形 D．均為軸對(duì)稱圖形【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由題意可知，圖﹣1是中心對(duì)稱圖形，圖﹣2是軸對(duì)稱圖形．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．6．（2022春?靖江市期末）將數(shù)字“6”旋轉(zhuǎn)180°，得到數(shù)字“9”，將數(shù)字“9”旋轉(zhuǎn)180°，得到數(shù)字“6”，現(xiàn)將數(shù)字“689”整體旋轉(zhuǎn)180°，得到的數(shù)字是689．【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念判斷．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形．【解答】解：將數(shù)字“689”整體旋轉(zhuǎn)180°，得到的數(shù)字是689．故答案為：689．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是中心對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．7．（2022?平邑縣一模）規(guī)定：在平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0°＜α≤180°）后能與自身重合，那么就稱這個(gè)圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，轉(zhuǎn)動(dòng)的這個(gè)角度α稱為這個(gè)圖形的一個(gè)旋轉(zhuǎn)角．例如：正方形繞著兩條對(duì)角線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°或180°后，能與自身重合（如圖），所以正方形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，且有兩個(gè)旋轉(zhuǎn)角．根據(jù)以上規(guī)定，下列圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形的是②、③、④．①正五邊形，②正六邊形，③矩形，④菱形．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義即可解答．【解答】解：正五邊形不是中心對(duì)稱圖形；正六邊形、矩形、菱形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故答案為：②、③、④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)角度的定義，求出旋轉(zhuǎn)角．三．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（共2小題）8．（2022春?蘭西縣校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣3，﹣5）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，5）．【分析】根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反可得答案．【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣3，﹣5）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，5）．故答案為：（3，5）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律．9．（2021秋?莆田期末）若點(diǎn)P（m，﹣1）與點(diǎn)Q（﹣2021，n）關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則m+n的值是2022．【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得答案．【解答】解：∵點(diǎn)P（m，﹣1）與點(diǎn)Q（﹣2021，n）關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，∴m＝2021，n＝1，則m+n＝2021+1＝2022．故答案為：2022．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．四．坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)（共1小題）10．（2022?長(zhǎng)沙一模）在平面直角坐標(biāo)系中，把點(diǎn)P（﹣3，1）繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P1，則點(diǎn)P1的坐標(biāo)是（1，3）．【分析】畫出圖形解決問(wèn)題即可．【解答】解：如圖，觀察圖象可知點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（1，3）．故答案為：（1，3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．五．作圖-旋轉(zhuǎn)變換（共2小題）11．（2022?安徽）如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．（1）將△ABC向上平移6個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位，得到△A1B1C1，請(qǐng)畫出△A1B1C1；（2）以邊AC的中點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°，得到△A2B2C2，請(qǐng)畫出△A2B2C2．【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)可得△A1B1C1；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△A2B2C2．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）如圖，△A2B2C2即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了作圖﹣平移變換，旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022?洮北區(qū)模擬）如圖，在5×5的方格紙中，線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求畫圖．（1）如圖1，畫出一條線段AC，使AC＝AB，C在格點(diǎn)上；（2）如圖2，畫出一條線段EF，使EF，AB互相平分，E，F(xiàn)均在格點(diǎn)上；（3）如圖3，以A，B為頂點(diǎn)畫出一個(gè)四邊形，使其是中心對(duì)稱圖形，且頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．【分析】（1）AB為長(zhǎng)方形對(duì)角線，作出相等線段即可；（2）只要保證四邊形AFBE是平行四邊形即可；（3）同（2）．【解答】解：如圖：（1）線段AC即為所作，（2）線段EF即為所作，（3）四邊形ABHG即為所作．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)，平行四邊形的判定，等腰三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．六．幾何變換的類型（共1小題）13．（2022?鐵嶺模擬）如圖，從放大鏡里看到的三角尺和原來(lái)的三角尺之間的變換是（）A．軸對(duì)稱變換 B．平移變換 C．相似變換 D．旋轉(zhuǎn)變換【分析】根據(jù)軸對(duì)稱變換，平移變換，相似變換，旋轉(zhuǎn)變換的相關(guān)概念結(jié)合題目，采用排除法即可選出正確選項(xiàng)．【解答】解：根據(jù)相似圖形的定義可知，用放大鏡將圖形放大．屬于圖形的形狀相同，大小不相同，所以屬于相似變換，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似圖形的識(shí)別，關(guān)鍵在于要圖形結(jié)合，熟記相似圖形的定義．【?？肌恳唬D(zhuǎn)的性質(zhì)（共10小題）1．（2022?南充）如圖，將直角三角板ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′，點(diǎn)B′恰好落在CA的延長(zhǎng)線上，∠B＝30°，∠C＝90°，則∠BAC′為（）A．90° B．60° C．45° D．30°【分析】利用旋轉(zhuǎn)不變性，三角形內(nèi)角和定理和平角的意義解答即可．【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，∵將直角三角板ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′，∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°．∵點(diǎn)B′恰好落在CA的延長(zhǎng)線上，∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，平角的意義，利用旋轉(zhuǎn)不變性解答是解題的關(guān)鍵．2．（2022?岳池縣模擬）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)110°，得到△AB'C'，若點(diǎn)B'在線段BC的延長(zhǎng)線上，則∠BB'C'的度數(shù)為（）A．65° B．70° C．75° D．80°【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出∠BB'A和∠AB'C'的度數(shù)即可解決問(wèn)題．【解答】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BAB'＝110°，且AB＝AB'，∠B＝∠AB'C'．∵點(diǎn)B'在線段BC的延長(zhǎng)線上，∴∠BB'A＝∠B＝35°．∴∠AB'C'＝35°．∴∠BB'C'＝∠BB'A+∠AB'C'＝35°+35°＝70°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022?澧縣模擬）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于點(diǎn)F，則∠BAC＝75°．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAD＝55°，∠E＝∠ACB＝70°，由直角三角形的性質(zhì)可得∠DAC＝20°，即可求解．【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)55°得△ADE，∴∠BAD＝55°，∠E＝∠ACB＝70°，∵AD⊥BC，∴∠DAC＝20°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝75°．故答案為：75°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．4．（2022?炎陵縣一模）如圖，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△A'OB'，連接AA'．則線段AA'的長(zhǎng)為．【分析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可判定△AOA'為等腰直角三角形，再由勾股定理可求得AA'的長(zhǎng)．【解答】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，OA＝OA'＝1，∠AOA'＝90°，則△AOA'為等腰直角三角形，∴AA'＝＝＝．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟悉以上性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2022?南平模擬）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到△ADE，BD，CE交于點(diǎn)F．（1）求證：△AEC≌△ADB；（2）求∠CFB的度數(shù)．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABC≌△ADE，以及AB＝AC，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等得到兩對(duì)邊相等，一對(duì)角相等，利用SAS得到三角形AEC與三角形ADB全等即可；（2）由△AEC≌△ADB得到∠ABD＝∠ACE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠CFB＝∠BAC，即可求出∠CFB＝36°的度數(shù)．【解答】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS）；（2）解：設(shè)AB與CE交于G，∵△AEC≌△ADB，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠CFB＝180°﹣∠ABD﹣∠BGF，∠BAC＝180°﹣∠ACE﹣∠AGC，∵∠BGF＝∠AGC，∴∠CFB＝∠BAC，∵∠BAC＝36°，∴∠CFB＝36°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022?洮北區(qū)模擬）如圖①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四邊形EFGH是正方形，EH與BD重合，將圖①中的正方形EFGH繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，使點(diǎn)G落在BC的延長(zhǎng)線上，DE交BC于點(diǎn)L．已知旋轉(zhuǎn)開始時(shí)，即圖①位置∠CDG＝37°，求正方形EFGH從圖①位置旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．（2）旋轉(zhuǎn)至如圖③位置，DE交BC于點(diǎn)L．延長(zhǎng)BC交FG于點(diǎn)M，延長(zhǎng)DC交EF于點(diǎn)N．試判斷DL、EN、GM之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【分析】（1）連接BD，則BD＝DG，得∠DGB＝∠DBG＝37°，從而得出∠CDG＝90°﹣∠DGC＝90°﹣37°＝53°，即可求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)G作GK∥BM，交DE于K，利用ASA證明△DKG≌△END，得EN＝DK，再證四邊形KLMG是平行四邊形，得GM＝KL，從而證明結(jié)論．【解答】解：（1）由圖①知，∠ADB＝∠DBC＝37°，如圖②，連接BD，則BD＝DG，∴∠DGB＝∠DBG＝37°，∴∠CDG＝90°﹣∠DGC＝90°﹣37°＝53°，∴旋轉(zhuǎn)角為：53°﹣37°＝16°；（2）DL＝EN+GM，理由如下：過(guò)點(diǎn)G作GK∥BM，交DE于K，∵四邊形EFGD是正方形，∴∠DEF＝∠GDE，DE＝DG，∴∠EDN＝∠DGK，∴△DKG≌△END（ASA），∴EN＝DK，∵GK∥ML，KL∥GM，∴四邊形KLMG是平行四邊形，∴GM＝KL，∴DL＝EN+GM．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2022?平邑縣一模）在正方形ABCD中，點(diǎn)E在射線BC上（不與點(diǎn)B、C重合），連接DB，DE，將DE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接BF．（1）如圖1，點(diǎn)E在BC邊上．①依題意補(bǔ)全圖1；②若AB＝6，EC＝2，求BF的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)E在BC邊的延長(zhǎng)線上，用等式表示線段BD，BE，BF之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）①根據(jù)要求畫出圖形即可；②過(guò)點(diǎn)F作FH⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于H．證明△DCE≌△EHF（AAS），推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用勾股定理解決問(wèn)題即可；（2）由②可得△DCE≌△EHF，推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可【解答】解（1）圖形如圖所示．過(guò)點(diǎn)F作FH⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于H，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝AB＝6，∠C＝90°，∵∠DEF＝∠C＝90°，∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，∴∠FEH＝∠EDC，在△DEC和△EFH中，，∴△DEC≌△EFH（AAS），∴EC＝FH＝2，CD＝BC＝EH＝6，∴HB＝EC＝2，∴Rt△FHB中，BF＝＝＝2．（2）結(jié)論：BF+BD＝BE．理由：過(guò)點(diǎn)F作FH⊥CB，交CB于H，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，∵∠DEF＝∠DCE＝90°，∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，∴∠FEH＝∠EDC，在△DEC和△EFH中，，∴△DEC≌△EFH（AAS），∴EC＝FH，CD＝BC＝EH，∴HB＝EC＝HF，∴△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，∴BD＝BC＝HE，BF＝BH，∵HE+BH＝BE，∴BF+BD＝BE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．8．（2021秋?雄縣期末）如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接CD，BE．（1）求證：∠AEB＝∠ADC；（2）連接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度數(shù)．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)知∠BAC＝60°，AB＝AC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知∠DAE＝60°，AE＝AD，從而得∠EAB＝∠DAC，再證△EAB≌△DAC可得答案；（2）由∠DAE＝60°，AE＝AD知△EAD為等邊三角形，即∠AED＝60°，繼而由∠AEB＝∠ADC＝105°可得．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC．∵線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，∴∠DAE＝60°，AE＝AD．∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．∴∠EAB＝∠DAC．在△EAB和△DAC中，∵，∴△EAB≌△DAC．∴∠AEB＝∠ADC．（2）如圖，∵∠DAE＝60°，AE＝AD，∴△EAD為等邊三角形．∴∠AED＝60°，又∵∠AEB＝∠ADC＝105°．∴∠BED＝45°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證得三角形的全等是解題的關(guān)鍵．9．（2022?黃岡模擬）（1）如圖1，O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，將△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，連接OD．求：①旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)60°；②線段OD的長(zhǎng)4；③求∠BDC的度數(shù)．（2）如圖2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）內(nèi)一點(diǎn)，連接OA、OB、OC，將△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，連接OD．當(dāng)OA、OB、OC滿足什么條件時(shí)，∠ODC＝90°？請(qǐng)給出證明．【分析】（1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BA＝BC，∠ABC＝60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠OBD＝∠ABC＝60°，于是可確定旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°；②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO＝BD，加上∠OBD＝60°，則可判斷△OBD為等邊三角形，所以O(shè)D＝OB＝4；③由△BOD為等邊三角形得到∠BDO＝60°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD＝AO＝3，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可證明△OCD為直角三角形，∠ODC＝90°，所以∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝150°；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，則可判斷△OBD為等腰直角三角形，則OD＝OB，然后根據(jù)勾股定理的逆定理，當(dāng)CD2+OD2＝OC2時(shí)，△OCD為直角三角形，∠ODC＝90°．【解答】解：（1）①∵△ABC為等邊三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°；②∵△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，∴BO＝BD，而∠OBD＝60°，∴△OBD為等邊三角形；∴OD＝OB＝4；③∵△BOD為等邊三角形，∴∠BDO＝60°，∵△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，∴CD＝AO＝3，在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，∵32+42＝52，∴CD2+OD2＝OC2，∴△OCD為直角三角形，∠ODC＝90°，∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；（2）OA2+2OB2＝OC2時(shí)，∠ODC＝90°．理由如下：∵△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，∴△OBD為等腰直角三角形，∴OD＝OB，∵當(dāng)CD2+OD2＝OC2時(shí)，△OCD為直角三角形，∠ODC＝90°，∴OA2+2OB2＝OC2，∴當(dāng)OA、OB、OC滿足OA2+2OB2＝OC2時(shí)，∠ODC＝90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判斷與性質(zhì)和勾股定理的逆定理．10．（2022?臺(tái)兒莊區(qū)二模）如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD外一點(diǎn)，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞A點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△ADF，DF的延長(zhǎng)線交BE于H點(diǎn)．（1）試判定四邊形AFHE的形狀，并說(shuō)明理由；（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的長(zhǎng)．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)即可得到Rt△ABE≌Rt△ADF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求證四邊形AFHE的形狀；（2）設(shè)AE＝x，則BE＝7+x，AB＝13，利用勾股定理即可求出x，進(jìn)而可求出DH的長(zhǎng)．【解答】解：（1）四邊形AFHE是正方形，理由如下：∵Rt△ABE繞A點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△ADF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∴∠AFH＝90°，在四邊形AFHE中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°，∴四邊形AFHE是矩形，又∵AE＝AF，∴矩形AFHE是正方形；（2）設(shè)AE＝x．則由（1）以及題意可知：AE＝EH＝FH＝AF＝x，BH＝7，BC＝AB＝13，在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，即132＝x2+（x+7）2，解得：x＝5（負(fù)值舍去），∴BE＝BH+EH＝5+7＝12，∴DF＝BE＝12，又∵DH＝DF+FH，∴DH＝12+5＝17．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握正方形基本性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．中心對(duì)稱（共1小題）11．（2021秋?鉛山縣期末）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，△OA1B1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對(duì)稱，再作△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點(diǎn)B2成中心對(duì)稱，…，如此作下去，則△B2020A2021B2021的頂點(diǎn)A2021的坐標(biāo)是（4041，）．【分析】首先根據(jù)△OA1B1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，可得A1的坐標(biāo)為（1，），B1的坐標(biāo)為（2，0）；然后根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，分別求出點(diǎn)A2、A3、A4的坐標(biāo)各是多少；最后總結(jié)出An的坐標(biāo)的規(guī)律，求出A2n+1的坐標(biāo)是多少即可．【解答】解：∵△OA1B1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴A1的坐標(biāo)為：（1，），B1的坐標(biāo)為：（2，0），∵△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對(duì)稱，∴點(diǎn)A2與點(diǎn)A1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對(duì)稱，∵2×2﹣1＝3，2×0﹣＝﹣，∴點(diǎn)A2的坐標(biāo)是：（3，﹣），∵△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點(diǎn)B2成中心對(duì)稱，∴點(diǎn)A3與點(diǎn)A2關(guān)于點(diǎn)B2成中心對(duì)稱，∵2×4﹣3＝5，2×0﹣（﹣）＝，∴點(diǎn)A3的坐標(biāo)是：（5，），∵△B3A4B4與△B3A3B2關(guān)于點(diǎn)B3成中心對(duì)稱，∴點(diǎn)A4與點(diǎn)A3關(guān)于點(diǎn)B3成中心對(duì)稱，∵2×6﹣5＝7，2×0﹣＝﹣，∴點(diǎn)A4的坐標(biāo)是：（7，﹣），…，∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，∴An的橫坐標(biāo)是：2n﹣1，A2n+1的橫坐標(biāo)是：2（2n+1）﹣1＝4n+1，∵當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，An的縱坐標(biāo)是：，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，An的縱坐標(biāo)是：﹣，∴頂點(diǎn)A2n+1的縱坐標(biāo)是：，∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整數(shù)）的頂點(diǎn)A2n+1的坐標(biāo)是：（4n+1，），∴△B2020A2021B2021的頂點(diǎn)A2021的橫坐標(biāo)是：4×1010+1＝4041，縱坐標(biāo)是：，故答案為：（4041，）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和中心對(duì)稱的性質(zhì)，分別判斷出An的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．三．中心對(duì)稱圖形（共1小題）12．（2022?市中區(qū)校級(jí)模擬）如圖，一個(gè)花園的平面圖呈矩形，被分割成3個(gè)正方形和2個(gè)矩形后仍是中心對(duì)稱圖形，若只知道原來(lái)矩形的周長(zhǎng)，則分割后不用測(cè)量就能知道周長(zhǎng)的圖形的標(biāo)號(hào)為（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【分析】首先設(shè)圖形①的長(zhǎng)和寬分別是a、c，圖形②的邊長(zhǎng)是b，圖形③的邊長(zhǎng)是d，原來(lái)大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是l，判斷出l＝2（a+2b+c），a＝b+d，b＝c+d；然后分別判斷出圖形①、圖形②的周長(zhǎng)都等于原來(lái)大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)的，所以它們的周長(zhǎng)不用測(cè)量就能知道，而圖形③的周長(zhǎng)不用測(cè)量無(wú)法知道，據(jù)此解答即可．【解答】解：如圖1：設(shè)圖形①的長(zhǎng)和寬分別是a、c，圖形②的邊長(zhǎng)是b，圖形③的邊長(zhǎng)是d，原來(lái)大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是l，則l＝2（a+2b+c），根據(jù)圖示，可得，①﹣②，可得：a﹣b＝b﹣c，∴2b＝a+c，∴l(xiāng)＝2（a+2b+c）＝2×2（a+c）＝4（a+c），或l＝2（a+2b+c）＝2×4b＝8b，∴2（a+c）＝，4b＝，∵圖形①的周長(zhǎng)是2（a+c），圖形②的周長(zhǎng)是4b，值為一定，∴圖形①②的周長(zhǎng)是定值，不用測(cè)量就能知道，圖形③的周長(zhǎng)不用測(cè)量無(wú)法知道．∴分割后不用測(cè)量就能知道周長(zhǎng)的圖形的標(biāo)號(hào)為①②．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的加減，中心對(duì)稱的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確中心對(duì)稱的性質(zhì)：①關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形能夠完全重合；②關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分．四．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（共1小題）13．（2022?道外區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣2，﹣4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（2，﹣4） B．（2，4） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣4）【分析】根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反可得答案．【解答】解：點(diǎn)P（﹣2，﹣4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律．五．坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)（共2小題）14．（2022?高青縣一模）△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，將其繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C′，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A．（4，5） B．（4，4） C．（3，5） D．（3，4）【分析】對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)即為所求．【解答】解：如圖，點(diǎn)P即為所求．P（4，4）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．15．（2022?濱?？h一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△A'B'C′由△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣1）．【分析】對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．【解答】解：如圖，點(diǎn)P即為所求，P（1，﹣1）．故答案為：（1，﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．六．作圖-旋轉(zhuǎn)變換（共3小題）16．（2022春?吉水縣期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．（1）畫出將△ABC向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的△A1B1C1；（2）畫出將△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△A2B2O；（3）在x軸上存在一點(diǎn)P，滿足點(diǎn)P到A1與點(diǎn)A2距離之和最小，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可；（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2，B2即可；（3）作點(diǎn)A2關(guān)于x軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，連接A′A1交x軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）如圖，△A2B2O即為所求；（3）如圖，點(diǎn)P即為所求，P點(diǎn)的坐標(biāo)（，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣平移變換，旋轉(zhuǎn)變換，軸對(duì)稱最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱變換的性質(zhì)．17．（2022?武功縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．（1）直接寫出點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)B′的坐標(biāo)：（4，﹣1）；（2）平移△ABC，使平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（2，1），請(qǐng)畫出平移后的△A1B1C1；（3）畫出△ABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C2．【分析】（1）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均與原來(lái)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此可得答案；（2）將三個(gè)點(diǎn)分別向右平移3個(gè)單位、再向上平移1個(gè)單位，繼而首尾順次連接即可；（3）將三個(gè)點(diǎn)分別繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再首尾順次連接即可．【解答】解：（1）點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（4，﹣1），故答案為：（4，﹣1）；（2）如圖所示，△A1B1C1即為所求．（3）如圖所示，△A2B2C2即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖—平移變換、旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換和旋轉(zhuǎn)變換的定義與性質(zhì)，并據(jù)此得出變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．18．（2021秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝．將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤120°）得到△A'BC'，點(diǎn)A，點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A'，點(diǎn)C'．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C'恰好為線段AA'的中點(diǎn)時(shí)，α＝60°，AA'＝2；（2）當(dāng)線段AA'與線段CC'有交點(diǎn)時(shí)，記交點(diǎn)為點(diǎn)D．①在圖2中補(bǔ)全圖形，猜想線段AD與A'D的數(shù)量關(guān)系并加以證明；②連接BD，請(qǐng)直接寫出BD的長(zhǎng)的取值范圍．【分析】（1）證明△ABA′是等邊三角形即可解決問(wèn)題．（2）①根據(jù)要求畫出圖形．結(jié)論：AD＝A'D．如圖2，過(guò)點(diǎn)A作A'C'的平行線，交CC'于點(diǎn)E，記∠1＝β．證明△ADE≌△A'DC'（AAS），可得結(jié)論．②如圖1中，當(dāng)α＝60°時(shí)，BD的值最大，當(dāng)α＝120°時(shí)，BD的值最小，分別求出最大值，最小值即可．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝，∠ABC＝30°，∴AC＝BC?tan30°＝1，∴AB＝2AC＝2，∵BA＝BA′，AC′＝A′C′，∴∠ABC′＝∠A′BC′＝30°，∴△ABA′是等邊三角形，∴α＝60°，AA′＝AB＝2．故答案為：60，2．（2）①補(bǔ)全圖形如圖所示：結(jié)論：AD＝A'D．理由：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作A'C'的平行線，交CC'于點(diǎn)E，記∠1＝β．∵將Rt△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到Rt△A'BC'，∴∠A'C'B＝∠ACB＝90°，A'C'＝AC，BC'＝BC．∴∠2＝∠1＝β．∴∠3＝∠ACB﹣∠1＝90°﹣β，∠A'C'D＝∠A'C'B+∠2＝90°+β．∵AE∥A'C'∴∠AED＝∠A'C'D＝90°+β．∴∠4＝180°﹣∠AED＝180°﹣（90°+β）＝90°﹣β．∴∠3＝∠4．∴AE＝AC．∴AE＝A'C'．在△ADE和△A'DC'中，，∴△ADE≌△A'DC'（AAS），∴AD＝A'D．②如圖1中，當(dāng)α＝60°時(shí)，BD的值最大，最大值為．當(dāng)α＝120°時(shí)，BD的值最小，最小值BD＝AB?sin30°＝2×＝1，∴1≤BD≤．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．【易錯(cuò)】一．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共7小題）1．（2022?呼和浩特）如圖．△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△EDC，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上，AC、ED交于點(diǎn)F．若∠BCD＝α，則∠EFC的度數(shù)是（用含α的代數(shù)式表示）（）A．90°+α B．90°﹣α C．180°﹣α D．α【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，因?yàn)椤螧CD＝α，所以∠B＝∠BDC＝＝90°﹣，∠ACE＝α，由三角形內(nèi)角和可得，∠A＝90°﹣∠B＝．所以∠E＝．再由三角形內(nèi)角和定理可知，∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣α．【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，∵∠BCD＝α，∴∠B＝∠BDC＝＝90°﹣，∠ACE＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠B＝．∴∠E＝．∴∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣α．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和等相關(guān)內(nèi)容，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠E和∠ECF的角度是解題關(guān)鍵．2．（2022?武侯區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，CB＝8，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)．現(xiàn)將線段CD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到C'D'，若點(diǎn)D'恰好落在AB邊上，則點(diǎn)C'到AB的距離為，若點(diǎn)A恰好在C'D'上，則AC'的長(zhǎng)為．【分析】連接BD，BC，由勾股定理可得AC＝10，因?yàn)辄c(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，所以BD＝AD＝CD＝5．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，△BD′C′≌△BDC，所以BD′＝BD＝5，C′D′＝CD＝5，BC＝BC′＝8，所以BD′＝C′D′．當(dāng)點(diǎn)D'恰好落在AB邊上，過(guò)點(diǎn)D′作D′N⊥BC′于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)C′作C′M⊥BD′交BA的延長(zhǎng)于點(diǎn)M，所以BN＝NC′＝4，由勾股定理可D′N＝3，以tan∠BC′D′＝＝．由等積法可得×5?C′M＝×8×3，由此可得出C′M的長(zhǎng)．當(dāng)點(diǎn)A恰好在C'D'上，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BC′于點(diǎn)P，則tan∠C′＝＝．設(shè)AP＝3m，則PC′＝4m，所以AC′＝5m，BP＝8﹣4m，在Rt△ABP中，由勾股定理可得，62＝（3m）2+（6﹣4m）2，解出m的值即可得出AC′的長(zhǎng)．【解答】解：如圖，連接BD，BC′.在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，CB＝8，∴AC＝10，∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴BD＝AD＝CD＝5．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，△BD′C′≌△BDC，∴BD′＝BD＝5，C′D′＝CD＝5，BC＝BC′＝8，∴BD′＝C′D′，當(dāng)點(diǎn)D'恰好落在AB邊上，如圖所示，過(guò)點(diǎn)D′作D′N⊥BC′于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)C′作C′M⊥BD′交BA的延長(zhǎng)于點(diǎn)M，∴BN＝NC′＝4，∴D′N＝3，∴tan∠BC′D′＝＝．∵S△BD′C′＝BD′?C′M＝BC′?D′N，∴×5?C′M＝×8×3，∴C′M＝．當(dāng)點(diǎn)A恰好在C'D'上，如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BC′于點(diǎn)P，則tan∠C′＝＝．設(shè)AP＝3m，則PC′＝4m，∴AC′＝5m，BP＝8﹣4m，在Rt△ABP中，由勾股定理可得，62＝（3m）2+（6﹣4m）2，解得m＝2或m＝．∴AC′＝10（舍去）或．故答案為：；．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，三角函數(shù)值的定義等，解題的關(guān)鍵是畫出對(duì)應(yīng)時(shí)刻的圖形，找到旋轉(zhuǎn)前后圖形之間的關(guān)系，建立方程．3．（2022?惠山區(qū)校級(jí)二模）如圖，已知△ABC為等邊三角形，AB＝6，將邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜120°）得到線段AD，連接CD，CD與AB交于點(diǎn)G，∠BAD的平分線交CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，且DF＝2CF，則∠AEC＝60°；連接AF，則AF+2BF的最小值為6．【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形得：AD＝AC＝AB，∠BAC＝60°，最后由角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)可得∠AEC的度數(shù)；接下來(lái)作輔助線，構(gòu)建等腰三角形和相似三角形，先證明FH＝CH＝2，再證明△FHM∽△AHF，得FM＝AF，確定當(dāng)B、F、M三點(diǎn)共線時(shí)，BF+FM＝BF+AF的長(zhǎng)最小，根據(jù)勾股定理可得結(jié)論．【解答】解：∵將邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜120°）得到線段AD，如圖1，∴∠BAD＝α，AB＝AD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝60°，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠ACD+∠BAE＝∠CDA+∠DAE＝∠AEC，又∵∠AEC+∠ACD+∠BAE+∠BAC＝180°，∴∠AEC＝60°；如圖2，過(guò)F作FH∥AD，交AC于H，取AC的中點(diǎn)M，連接FM，則AM＝CM＝3，∴△CFH∽△CDA，∴＝＝，∵DF＝2FC，∴＝＝，∴CH＝FH＝2，∴MH＝3﹣2＝1，∵＝＝，＝，∴＝，∵∠FHM＝∠AHF，∴△FHM∽△AHF，∴＝＝，∴FM＝AF，∴當(dāng)B、F、M三點(diǎn)共線時(shí)，BF+FM＝BF+AF的長(zhǎng)最小，如圖3，此時(shí)BM⊥AC，∴BM＝＝3，∵AF+2BF＝2（AF+BF）＝2BM，∴AF+2BF的最小值是6．故答案為：60，6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形相似的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建相似三角形，確定FM＝AF是解本題的關(guān)鍵，有難度，屬于中考填空的壓軸題．4．（2022?梅州模擬）如圖，菱形ABCD中，AB＝12，∠ABC＝60°，點(diǎn)E在AB邊上，且BE＝2AE，動(dòng)點(diǎn)P在BC邊上，連接PE，將線段PE繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至線段PF，連接AF，則線段AF長(zhǎng)的最小值為4．【分析】在BC上取一點(diǎn)G，使得BG＝BE，連接EG，EF，作直線FG交AD于T，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥GF于H．證明∠BGF＝120°，推出點(diǎn)F在射線GF上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)F與H重合時(shí)，AF的值最小，求出AH即可．【解答】解：在BC上取一點(diǎn)G，使得BG＝BE，連接EG，EF，作直線FG交AD于T，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥GF于H．∵∠B＝60°，BE＝BG，∴△BEG是等邊三角形，∴EB＝EG，∠BEG＝∠BGE＝60°，∵PE＝PF，∠EPF＝60°，∴△EPF是等邊三角形，∴∠PEF＝60°，EF＝EP，∵∠BEG＝∠PEF，∴∠BEP＝∠GEF，在△BEP和△GEF中，，∴△BEP≌△GEF（SAS），∴∠EGF＝∠B＝60°，∴∠BGF＝120°，∴點(diǎn)F在射線GF上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)F與H重合時(shí)，AF的值最小，∵AB＝12，BE＝2AE，∴BE＝8，AE＝4，∵∠BEG＝∠EGF＝60°，∴GT∥AB，∵BG∥AT，∴四邊形ABGT是平行四邊形，∴AT＝BG＝BE＝8，∠ATH＝∠B＝60°，∴AH＝AT?sin60°＝4，∴AF的最小值為4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．5．（2022?高要區(qū)一模）如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至矩形AB′C′D′位置，此時(shí)AC′的中點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，AB′交CD于點(diǎn)E．若AB＝6，則△AEC的面積為4．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)后AC的中點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到直角三角形ACD中，∠ACD＝30°，再由旋轉(zhuǎn)后矩形與已知矩形全等及矩形的性質(zhì)得到∠DAE為30°，進(jìn)而得到∠EAC＝∠ECA，利用等角對(duì)等邊得到AE＝CE，設(shè)AE＝CE＝x，表示出AD與DE，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出EC的長(zhǎng)，即可求出三角形AEC面積．【解答】解：∵旋轉(zhuǎn)后AC的中點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，即AD＝AC′＝AC，∴在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，即∠DAC＝60°，∴∠DAD′＝60°，∴∠DAE＝30°，∴∠EAC＝∠ACD＝30°，∴AE＝CE，在Rt△ADE中，設(shè)AE＝EC＝x，則有DE＝DC﹣EC＝AB﹣EC＝6﹣x，AD＝×6＝2，根據(jù)勾股定理得：x2＝（6﹣x）2+（2）2，解得：x＝4，∴EC＝4，則S△AEC＝EC?AD＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．6．（2022?南海區(qū)校級(jí)一模）如圖，△ODC是由△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)31°后得到的圖形，若點(diǎn)D恰好落在AB上，且∠AOC的度數(shù)為100°，則∠DOB的度數(shù)是38°．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到∠AOD＝31°，∠BOC＝31°，結(jié)合圖形，計(jì)算即可．【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠AOD＝31°，∠BOC＝31°，∴∠DOB＝∠AOC﹣∠AOD﹣∠BOC＝38°，故答案為：38°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋?中寧縣校級(jí)期末）如圖，在等邊△BCD中，DF⊥BC于點(diǎn)F，點(diǎn)A為直線DF上一動(dòng)點(diǎn)，以B為旋轉(zhuǎn)中心，把BA順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°至BE，連接EC．（1）當(dāng)點(diǎn)A在線段DF的延長(zhǎng)線上時(shí)，①求證：DA＝CE；②判斷∠DEC和∠EDC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)∠DEC＝45°時(shí)，連接AC，求∠BAC的度數(shù)．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)證明△BAD≌△BEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）分點(diǎn)A在線段DF的延長(zhǎng)線上、點(diǎn)A在線段DF上、點(diǎn)A在線段FD的延長(zhǎng)線上三種情況，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【解答】（1）①證明：∵把BA順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°至BE，∴BA＝BE，∠ABE＝60°，在等邊△BCD中，DB＝BC，∠DBC＝60°，∴∠DBA＝∠DBC+∠FBA＝60°+∠FBA，∵∠CBE＝60°+∠FBA，∴∠DBA＝∠CBE，∴△BAD≌△BEC，∴DA＝CE；②∠DEC+∠EDC＝90°，∵DB＝DC，DA⊥BC，∴，∵△BAD≌△BEC，∴∠BCE＝∠BDA＝30°，在等邊△BCD中，∠BCD＝60°，∴∠DCE＝∠BCE+∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠EDC＝90°；（2）分三種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)A在線段DF的延長(zhǎng)線上時(shí)，由（1）可得，△DCE為直角三角形，∴∠DCE＝90°，當(dāng)∠DEC＝45°時(shí)，∠EDC＝90°﹣∠DEC＝45°，∴∠EDC＝∠DEC，∴CD＝CE，由（1）得DA＝CE，∴CD＝DA，在等邊△DBC中，BD＝CD，∴BD＝DA＝CD，∴∠BDC＝60°，∵DA⊥BC，∴，在△BDA中，DB＝DA，∴，在△DAC中，DA＝DC，∴，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝75°+75°＝150°．；②當(dāng)點(diǎn)A在線段DF上時(shí)，∵以B為旋轉(zhuǎn)中心，把BA順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°至BE，∴BA＝BE，∠ABE＝60°，在等邊△BDC中，BD＝BC，∠DBC＝60°，∴∠DBC＝∠ABE，∠DBC﹣∠ABC＝∠ABE﹣∠ABC，即∠DBA＝∠EBC，∴△DBA≌△CBE，∴DA＝CE，在Rt△DFC中，∠DFC＝90°，∴DF＜DC，∵DA＜DF，DA＝CE，∴CE＜DC，由②可知△DCE為直角三角形，∴∠DEC≠45°．③如右圖，當(dāng)點(diǎn)A在線段FD的延長(zhǎng)線上時(shí)，同第②種情況可得△DBA≌△CBE，∴DA＝CE，∠ADB＝∠ECB，在等邊△BDC中，∠BDC＝∠BCD＝60°，∵DA⊥BC，∴，∴∠ADB＝180°﹣∠BDF＝150°，∴∠ECB＝∠ADB＝150°，∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝90°，當(dāng)∠DEC＝45°時(shí)，∠EDC＝90°﹣∠DEC＝45°，∴∠EDC＝∠DEC，∴CD＝CE，∴AD＝CD＝BD，∵∠ADB＝∠ADC＝150°，∴，，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝30°，綜上所述，∠BAC的度數(shù)為150°或30°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)（共1小題）8．（2022?諸城市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個(gè)等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角邊AO在x軸上，且AO＝1．將Rt△AOB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰直角三角形A1OB，且A1O＝2AO，再將Rt△A1OB1，繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰直角三角形A2OB2，且A2O＝2A1O……，依此規(guī)律，得到等腰直角三角形A2021OB2021，則點(diǎn)B2022的坐標(biāo)是（﹣22022，﹣22022）．【分析】根據(jù)題意得出B點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律，進(jìn)而得出點(diǎn)B2020的坐標(biāo)位置，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵△AOB是等腰直角三角形，OA＝1，∴AB＝OA＝1，∴B（1，1），將Rt△AOB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再將Rt△A1OB1繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O＝2A1O…，依此規(guī)律，∴每4次循環(huán)一周，B1（2，﹣2），B2（﹣4，﹣4），B3（﹣8，8），B4（16，16），∵2022÷4＝505???2，∴點(diǎn)B2022與B2同在一個(gè)象限內(nèi)，∵﹣4＝﹣22，8＝23，16＝24，∴點(diǎn)B2022（﹣22022，﹣22022）．故答案為（﹣22022，﹣22022）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，得出B點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．【壓軸】一．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共10小題）1．（2022?三明模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，點(diǎn)P是BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PA，將PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，連結(jié)CE．P從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，CE的最小值為（）A．1 B． C． D．2【分析】過(guò)E作EM⊥BC于M，根據(jù)四邊形ABCD是矩形和PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，證明△ABP≌△PME（AAS），可得PM＝AB＝2，BP＝EM，設(shè)BP＝EM＝x，則CM＝2﹣x，有CE2＝EM2+CM2＝x2+（2﹣x）2＝2x2﹣4x+4＝2（x﹣1）2+2，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．【解答】解：過(guò)E作EM⊥BC于M，如圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°＝∠PME，∵PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，∴AP＝PE，∠APE＝90°，∴∠EPM＝90°﹣∠APB＝∠BAP，∴△ABP≌△PME（AAS），∴PM＝AB＝2，BP＝EM，∵BC＝4，∴BP+CM＝BC﹣PM＝2，設(shè)BP＝EM＝x，則CM＝2﹣x，在Rt△CEM中，CE2＝EM2+CM2＝x2+（2﹣x）2＝2x2﹣4x+4＝2（x﹣1）2+2，∴當(dāng)x＝1時(shí)，CE2取最小值，最小值為2，∴CE最小值是，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形中的翻折問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形，利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題．2．（2022?武城縣模擬）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是CM的中點(diǎn)，AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接DE，DF．給出結(jié)論：①DE＝EF；②∠CDF＝45°；③若正方形的邊長(zhǎng)為2，則點(diǎn)M在射線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CF有最小值．其中結(jié)論正確的是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【分析】延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，由“AAS”可證△AME≌△HCE，可得AE＝EH，由直角三角形的性質(zhì)可得AE＝EF＝EH，可判斷①；由四邊形內(nèi)角和定理可求2∠ADE+2∠EDF＝270°，可得∠ADF＝135°，可判斷②；連接FC，過(guò)點(diǎn)C作CF'⊥DF于F'，由∠CDF＝45°，知點(diǎn)F在DF上運(yùn)動(dòng)，即得當(dāng)CF⊥DF時(shí)，CF有最小值為CF'的長(zhǎng)度，而CF'＝，即CF有最小值為，可判斷③正確．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵點(diǎn)E是CM的中點(diǎn)，∴ME＝EC，∵AB∥CD，∴∠MAE＝∠H，∠AME＝∠HCE，∴△AME≌△HCE（AAS），∴AE＝EH，又∵∠ADH＝90°，∴DE＝AE＝EH，∵AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴AE＝DE＝EF，故①正確；∵AE＝DE＝EF，∴∠DAE＝∠ADE，∠EDF＝∠EFD，∵∠AEF+∠DAE+∠ADE+∠EDF+∠EFD＝360°，∴2∠ADE+2∠EDF＝270°，∴∠ADF＝135°，∴∠CDF＝∠ADF﹣∠ADC＝135°﹣90°＝45°，故②正確；如圖，連接FC，過(guò)點(diǎn)C作CF'⊥DF于F'，∵∠CDF＝45°，∴點(diǎn)F在DF上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)CF⊥DF時(shí)，CF有最小值為CF'的長(zhǎng)度，∵CD＝2，∠CDF＝45°，∴CF'＝＝，即CF有最小值為，故③正確，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】