2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章概率單元素養(yǎng)測評練習(xí)含解析北師大版必修第一冊

PAGE12-第七章單元素養(yǎng)測評限時120分鐘分值150分戰(zhàn)報得分______一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的選項中，只有一個正確選項)1．下列事務(wù)：①任取三條線段，這三條線段恰好組成直角三角形；②從一個三角形的三個頂點各任畫一條射線，這三條射線交于一點；③實數(shù)a，b都不為0，但a2＋b2＝0；④明年12月28日的最高氣溫高于今年12月28日的最高氣溫．其中為隨機事務(wù)的是()A．①②③④ B．①②④C．①③④ D．②③④【解析】選B.由題意，對于①中，任取三條線段，這三條線段可能組成直角三角形，也可能組不成直角三角形，故①為隨機事務(wù)；對于②中，從一個三角形的三個頂點各任畫一條射線，這三條射線可能不相交、交于一點、交于兩點、交于三點，故②為隨機事務(wù)；對于③中，若實數(shù)a，b都不為0，則a2＋b2肯定不等于0，故③為不行能事務(wù)；對于④中，由于明年12月28日還未到來，故明年12月28日的最高氣溫可能高于今年12月28日的最高氣溫，也可能低于今年12月28日的最高氣溫，還可能等于今年12月28日的最高氣溫，故④為隨機事務(wù)．2．某人提出一個問題，甲先答，答對的概率為0.4，假如甲答錯，由乙答，答對的概率為0.5，則問題由乙答對的概率為()A．0.2B．0.8C．0.4D．0.3【解析】選D.由相互獨立事務(wù)同時發(fā)生的概率可知問題由乙答對的概率為P＝0.6×0.5＝0.3.3．抽查8件產(chǎn)品，設(shè)“至少抽到3件次品”為事務(wù)M，則M的對立事務(wù)是()A．至多抽到2件正品 B．至多抽到2件次品C．至多抽到5件正品 D．至多抽到3件正品【解析】選B.依據(jù)對立事務(wù)的定義，事務(wù)和它的對立事務(wù)不會同時發(fā)生，且他們的和事務(wù)為必定事務(wù)，事務(wù)“至多抽到2件正品”“至多抽到5件正品”“至多抽到3件正品”與“至少抽到3件次品”能同時發(fā)生，不是對立事務(wù)；只有事務(wù)“至多抽到2件次品”與“至少抽到3件次品”不能同時發(fā)生且他們的和事務(wù)為必定事務(wù)，所以事務(wù)“至多抽到2件次品”是M的對立事務(wù)．4．甲、乙兩班各有36名同學(xué)，甲班有9名三好學(xué)生，乙班有6名三好學(xué)生，兩班各派1名同學(xué)參與演講活動，派出的恰好都是三好學(xué)生的概率是()A．eq\f(5,24)B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,24)D．eq\f(3,8)【解析】選C.兩班各自派出代表是相互獨立事務(wù)，設(shè)事務(wù)A，B分別為甲班、乙班派出的是三好學(xué)生，則事務(wù)AB為兩班派出的都是三好學(xué)生，則P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(9,36)×eq\f(6,36)＝eq\f(1,24).5．給出命題：(1)對立事務(wù)肯定是互斥事務(wù)．(2)若事務(wù)A，B滿意P(A)＋P(B)＝1，則A，B為對立事務(wù)．(3)把J、Q、K3張紅桃牌隨機分給甲、乙、丙三人，每人1張，事務(wù)A：“甲得紅桃J”與事務(wù)B：“乙得紅桃J”是對立事務(wù)．(4)一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事務(wù)“至少有一次中靶”的對立事務(wù)是兩次都不中靶．其中正確的命題個數(shù)為()A．4B．3C．2D．1【解析】選C.(1)由對立事務(wù)的定義可推斷(1)正確；(2)若事務(wù)A，B不是互斥事務(wù)，即無法由P(A)＋P(B)＝1推斷事務(wù)A，B的關(guān)系，故(2)錯誤；(3)事務(wù)A：“甲得紅桃J”的對立事務(wù)為“甲未得紅桃J”，即“乙或丙得紅桃J”，故(3)錯誤；(4)“至少有一次中靶”包括“一次中靶”“兩次都中靶”，則其對立事務(wù)為“兩次都不中靶”，故(4)正確；故(1)(4)正確．6．甲、乙兩人各寫一張賀年卡，隨意送給丙、丁兩人中的一人，則甲、乙將賀年卡送給同一人的概率是()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,5)【解析】選A.由題意，因為甲或乙的賀年卡送給其中一個人的概率都是eq\f(1,2)，故分兩種狀況，乙將賀年卡送給丙的概率為eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，甲、乙將賀年卡送給丁的概率為eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，則甲、乙將賀年卡送給同一個人的概率為eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2).7．從1，2，3，4這四個數(shù)字中依次取(不放回)兩個數(shù)字a，b，使得lg(3a)≥lg(4b)成立的概率是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,2)D．eq\f(7,12)【解析】選C.因為lg(3a)≥lg(4b)，所以3a≥4b.從1，2，3，4這四個數(shù)字中依次取兩個數(shù)字的樣本空間Ω＝{(1，2)，(2，1)，(1，3)，(3，1)，(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，(2，4)，(4，2)，(3，4)，(4，3)}，共12個樣本點，符合條件3a≥4b的樣本點有(2，1)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)，(4，3)共6個，所以所求概率為eq\f(1,2).8．A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，則A∩B＝B的概率是()A．eq\f(2,9)B．eq\f(1,3)C．eq\f(8,9)D．1【解析】選C.有序?qū)崝?shù)對(a，b)的取值情形共有9種，滿意A∩B＝B的情形有：(1)(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(2，3)，(3，3)此時B＝?；(2)(2，1)此時B＝{1}；(3)(3，2)此時B＝{1，2}．所以A∩B＝B的概率為P＝eq\f(8,9).二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分)9．從甲袋中摸出一個紅球的概率是eq\f(1,3)，從乙袋中摸出一個紅球的概率是eq\f(1,2)，從兩袋各摸出一個球，下列結(jié)論正確的是()A．2個球都是紅球的概率為eq\f(1,6)B．2個球不都是紅球的概率為eq\f(1,3)C．至少有1個紅球的概率為eq\f(2,3)D．2個球中恰有1個紅球的概率為eq\f(1,2)【解析】選ACD.設(shè)“從甲袋中摸出一個紅球”為事務(wù)A1，“從乙袋中摸出一個紅球”為事務(wù)A2，則P(A1)＝eq\f(1,3)，P(A2)＝eq\f(1,2)，且A1，A2相互獨立；在A中，2個球都是紅球為A1A2，其概率為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，A正確；在B中，“2個球不都是紅球”是“2個球都是紅球”的對立事務(wù)，其概率為eq\f(5,6)，B錯誤；在C中，2個球中至少有1個紅球的概率為1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)，C正確；2個球中恰有1個紅球的概率為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，D正確．10．下列說法錯誤的有()A．將A，B，C，D四個人平均分成兩組，則“A，B兩人恰好在同一組”的概率為eq\f(1,3)B．拋擲一枚骰子一次，“向上的點數(shù)是3的倍數(shù)”與“向上的點數(shù)是2的倍數(shù)”是互斥事務(wù)C．口袋中有5個大小形態(tài)相同的小球，2白3黑，一次取2個小球，兩球都是白球的概率為eq\f(1,10)D．口袋中有5個大小形態(tài)相同的小球，2白3黑，一次取2個小球，則“至少有1個白球”與“恰好取到1個白球”是互斥事務(wù)【解析】選BD.(1)對于A，將A，B，C，D四個人平均分成兩組，共有{AB，CD}，{AC，BD}，{AD，BC}3種狀況，“A，B兩人恰好在同一組”的有一種，故“A，B兩人恰好在同一組”的概率為eq\f(1,3)，故A正確；(2)對于B，因為6既是3的倍數(shù)，也是2的倍數(shù)，所以向上的點數(shù)是6的時候兩個事務(wù)同時發(fā)生，故不是互斥事務(wù)，故B錯誤；(3)對于C，設(shè)2個白球為a，b，3個黑球為1，2，3，則一次取2個球的全部狀況為ab，a1，a2，a3，b1，b2，b3，12，13，23，共10種，兩球都是白球的有一種，故兩球都是白球的概率為eq\f(1,10)，故C正確；(4)對于D，當(dāng)取到的兩個球是一白一黑時，事務(wù)“至少有1個白球”與“恰好取到1個白球”同時發(fā)生，故不是互斥事務(wù)，故D錯誤．11．甲罐中有3個紅球、2個白球，乙罐中有4個紅球、1個白球，先從甲罐中隨機取出1個球放入乙罐，分別以A1，A2表示由甲罐中取出的球是紅球、白球的事務(wù)，再從乙罐中隨機取出1個球，以B表示從乙罐中取出的球是紅球的事務(wù)，下列命題正確的是()A．P(B)＝eq\f(23,30)B．事務(wù)B與事務(wù)A1相互獨立C．事務(wù)B與事務(wù)A2相互獨立D．A1，A2互斥【解析】選AD.依據(jù)題意畫出樹狀圖，得到有關(guān)事務(wù)的樣本點數(shù)：因此P(A1)＝eq\f(18,30)＝eq\f(3,5)，P(A2)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(15＋8,30)＝eq\f(23,30)，A正確；又P(A1B)＝eq\f(1,2)，因此P(A1B)≠P(A1)P(B)，B錯誤；同理，C錯誤；A1，A2不行能同時發(fā)生，故彼此互斥，故D正確．12．如圖所示的電路中，5只盒子表示保險匣，設(shè)5只盒子保險絲分別被斷開為事務(wù)A，B，C，D，E.盒中所示數(shù)值表示通電時保險絲被切斷的概率，下列結(jié)論正確的是()A．A，B兩個盒子串聯(lián)后暢通的概率為eq\f(1,3)B．D，E兩個盒子并聯(lián)后暢通的概率為eq\f(1,30)C．A，B，C三個盒子混聯(lián)后暢通的概率為eq\f(5,6)D．當(dāng)開關(guān)合上時，整個電路暢通的概率為eq\f(29,36)【解析】選ACD.由題意知，P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,4)，P(D)＝eq\f(1,5)，P(E)＝eq\f(1,6)，所以A，B兩個盒子串聯(lián)后暢通的概率為eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，因此A正確；D，E兩個盒子并聯(lián)后暢通的概率為1－eq\f(1,5)×eq\f(1,6)＝1－eq\f(1,30)＝eq\f(29,30)，因此B錯誤；A，B，C三個盒子混聯(lián)后暢通的概率為1－eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6)，C正確；依據(jù)上述分析可知，當(dāng)開關(guān)合上時，電路暢通的概率為eq\f(29,30)×eq\f(5,6)＝eq\f(29,36)，D正確．三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13．甲、乙兩隊進行籃球決賽，實行七場四勝制(當(dāng)一隊贏得四場成功時，該隊獲勝，決賽結(jié)束).依據(jù)前期競賽成果，甲隊的主客場支配依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場競賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是__________．【解析】前四場中有一場客場輸，第五場贏時，甲隊以4∶1獲勝的概率是0.63×0.5×0.5×2＝0.108，前四場中有一場主場輸，第五場贏時，甲隊以4∶1獲勝的概率是0.4×0.62×0.52×2＝0.072，綜上所述，甲隊以4∶1獲勝的概率是0.108＋0.072＝0.18.答案：0.1814．三個人玩?zhèn)髑蜴覒颍總€人都等可能地傳給另兩人(不自傳)，從A發(fā)球算起，經(jīng)4次傳球又回到A手中的概率是________．【解析】記三個人分別為A，B，C，則4次傳球的全部可能狀況可用樹狀圖列出，如圖．每一個分支為一種傳球方案，則基本領(lǐng)件的總數(shù)為16，而又回到A手中的事務(wù)個數(shù)為6，所以P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)15．拋擲一枚骰子，記A為事務(wù)“出現(xiàn)點數(shù)是奇數(shù)”，B為事務(wù)“出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)”，則P(A∪B)＝________，P(A∩B)＝________.【解析】拋擲一枚骰子，基本領(lǐng)件為1，2，3，4，5，6，事務(wù)A∪B包括出現(xiàn)的點數(shù)是1，3，5，6這4個基本領(lǐng)件，故P(A∪B)＝eq\f(2,3)；事務(wù)A∩B包括出現(xiàn)的點數(shù)是3這1個基本領(lǐng)件，故P(A∩B)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(2,3)eq\f(1,6)16．甲、乙二人做射擊嬉戲，甲、乙射擊擊中與否是相互獨立事務(wù)．規(guī)則如下：若射擊一次擊中，則原射擊人接著射擊；若射擊一次不中，就由對方接替射擊．已知甲、乙二人射擊一次擊中的概率均為eq\f(1,3)，且第一次由甲起先射擊．①求前3次射擊中甲恰好擊中2次的概率________；②求第4次由甲射擊的概率________.【解析】①由題意，前3次射擊中甲恰好擊中2次，即前2次甲都擊中目標(biāo)，但第三次沒有擊中目標(biāo)，故它的概率為eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,27).②第4次由甲射擊包括甲連續(xù)射擊3次且都擊中；第一次甲射擊擊中，但其次次沒有擊中，第三次由乙射擊沒有擊中；第一次甲射擊沒有擊中，且乙射擊其次次擊中，但第三次沒有擊中；第一次甲射擊沒有擊中，且乙射擊其次次沒有擊中，第三次甲射擊擊中；故這件事的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(13,27).答案：eq\f(2,27)eq\f(13,27)四、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(10分)甲、乙、丙三名學(xué)生一起參與考試，考試分筆試和面試兩部分，筆試和面試均合格者則考試通過，兩次考試過程相互獨立，依據(jù)甲、乙、丙三名學(xué)生的平均成果分析，甲、乙、丙3名學(xué)生能通過筆試的概率分別是0.6，0.5，0.4，能通過面試的概率分別是0.6，0.6，0.75.(1)求甲、乙、丙三名學(xué)生中恰有一人通過筆試的概率；(2)求經(jīng)過兩次考試后，至少有一人被該高校預(yù)錄用的概率．【解析】(1)分別記“甲、乙、丙三名學(xué)生筆試合格”為事務(wù)A1，A2，A3，則A1，A2，A3為相互獨立事務(wù)，E表示事務(wù)“恰有一人通過筆試”，則P(E)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝0.6×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.4＝0.38，即恰有一人通過筆試的概率是0.38.(2)分別記“甲、乙、丙三名學(xué)生經(jīng)過兩次考試后合格”為事務(wù)A，B，C，則P(A)＝0.6×0.6＝0.36，P(B)＝0.5×0.6＝0.3，P(C)＝0.4×0.75＝0.3.事務(wù)F表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被該高校預(yù)錄用”，則eq\x\to(F)表示甲、乙、丙三人均沒有被該高校預(yù)錄用，eq\x\to(F)＝eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C)，于是P(F)＝1－P(eq\x\to(F))＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝1－0.64×0.7×0.7＝0.6864.即經(jīng)過兩次考試后，至少有一人被該高校預(yù)錄用的概率是0.6864.18．(12分)某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事務(wù)分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．【解析】(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設(shè)“1張獎券中獎”這個事務(wù)為M，則M＝A∪B∪C.因為A，B，C兩兩互斥，所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000).故1張獎券的中獎概率為eq\f(61,1000).(3)設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事務(wù)N，則事務(wù)N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事務(wù)，所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為eq\f(989,1000).19．(12分)在一場消遣晚會上，有5位民間歌手(1到5號)登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎的歌手．各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中選3名歌手．(1)求觀眾甲選中3號歌手的概率；(2)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率．【解析】(1)設(shè)A表示事務(wù)“觀眾甲選中3號歌手”，觀眾甲選出3名歌手的樣本空間為Ω＝{(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)}，事務(wù)A包含2個樣本點，則P(A)＝eq\f(2,3).(2)設(shè)B表示事務(wù)“觀眾乙選中3號歌手”，觀眾乙選出3名歌手的樣本空間為Ω＝{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}，事務(wù)B包含6個樣本點，則P(B)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).因為事務(wù)A與B相互獨立，A與eq\x\to(B)相互獨立，則A·eq\x\to(B)表示事務(wù)“甲選中3號歌手，且乙沒選中3號歌手”．所以P(Aeq\x\to(B))＝P(A)P(eq\x\to(B))＝P(A)[1－P(B)]＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15).即觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率是eq\f(4,15).20．(12分)某地乒乓球隊備戰(zhàn)全運會的熱身賽暨選拔賽中，種子選手M與B1，B2，B3三位非種子選手分別進行一場對抗賽，按以往多次競賽的統(tǒng)計，M獲勝的概率分別為eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，且各場競賽互不影響．(1)求M三場對抗賽全部獲勝的概率；(2)若M至少獲勝兩場的概率大于eq\f(7,10)時，則M入選征戰(zhàn)全運會的最終大名單，否則不予入選，M是否會入選最終的大名單？【解析】(1)記M與B1，B2，B3進行對抗賽獲勝的事務(wù)分別為A，B，C，M全部獲勝的事務(wù)為D，則P(A)＝eq\f(3,4)，P(B)＝eq\f(2,3)，P(C)＝eq\f(1,2)，由于事務(wù)A，B，C相互獨立，所以P(D)＝P(ABC)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).即M三場競賽全部獲勝的概率為eq\f(1,4).(2)設(shè)M至少獲勝兩場的事務(wù)為E，則P(E)＝P(ABC)＋P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)BC)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(17,24)，由于eq\f(17,24)>eq\f(7,10)，所以M會入選最終的大名單．21．(12分)銀行柜臺有從左到右編號依次為1，2，3，4，5，6的六個服務(wù)窗口，其中1，2，3，4，5號服務(wù)窗口辦理A類業(yè)務(wù)，6號服務(wù)窗口辦理B類業(yè)務(wù)．(1)每天12：00至14：00，由于須要辦理A類業(yè)務(wù)的顧客較少，現(xiàn)從1，2，3，4，5號服務(wù)窗口中隨機選擇2個窗口暫停服務(wù)，求“1號窗口或2號窗口暫停服務(wù)”的概率；(2)經(jīng)統(tǒng)計，在6號窗口辦理B類業(yè)務(wù)的等候人數(shù)及相應(yīng)概率如表：排隊人數(shù)012344人以上概率0.10.160.30.30.10.04求至少2人排隊等候的概率．【解析】(1)由題意可知，隨機選擇2個窗口暫停服務(wù)有如下基本領(lǐng)件((i，j)表示第i，j號窗口暫停服務(wù))：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，