2020年江西省(初三學業(yè)水平考試)中考數學真題試卷含詳解

江西省2020年中等學校招生考試數學試卷卷

一、選擇題

L-3的倒數是（、,1

11

A.3B.-3c.一D.——

33

2.下列計算正確的是（)

32525263

A.a+a=?B.ai-a=aC.a-a=aD.a-a

3.教育部近日發(fā)布了2019年全國教育經費執(zhí)行情況統計快報，經初步統計，2019年全國教育經費總投入為50175

億元，比上年增長8.74%,將50175億用科學記數法表示為（）

A.5.0175x10"B.5.0175xl012C.0.50175xl013D.0.50175xl014

4.如圖，N1=N2=65°,N3=35。，則下列結論錯誤的是（）

._____Ep

-D

A.AB//CDB.ZB=30°C,ZC+Z2=ZEFCD.CG>FG

5.如圖所示，正方體的展開圖為（）

解

<_______________

A.=[B.<|O=

C.口。白D.|~|。自

6.在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，拋物線y=-2x-3與V軸交于點4與x軸正半軸交于點B,連接

AB,將H/VQ鉆向右上方平移，得到田△O'A'3',且點O',A'落在拋物線的對稱軸上，點8'落在拋物線上,

則直線的表達式為（）

1

A.y=%B.y=x+lC.y—x~\—D.y=x+2

2

二、填空題

7.計算：(x-1)2=.

8.若關于龍一元二次方程無2—依—2=0的一個根為x=l,則這個一元二次方程的另一個根為.

9.公元前2000年左右，古巴比倫人使用的楔形文字中有兩個符號(如圖所示)，一個釘頭形代表1,一個尖頭形代

表10,在古巴比倫的記數系統中，人們使用的標記方法和我們當今使用的方法相同，最右邊的數字代表個位，然后

是十位，百位，根據符號記數的方法，右下面符號表示一個兩位數，則這個兩位數是.

10.祖沖之是中國數學史上第一個名列正史的數學家，他把圓周率精確到小數點后7位，這是祖沖之最重要的數學貢

獻，胡老師對圓周率的小數點后100位數字進行了如下統計：

數字0123456789

頻數881211108981214

那么，圓周率的小數點后100位數字的眾數為.

11.如圖，AC平分NDCB,CB=CD,ZM的延長線交于點E,若NE4C=49,則NH4后的度數為

12.矩形紙片ABCD,長AO=8cm,寬AB=4cm,折疊紙片，使折痕經過點3,交AD邊于點E,點A落在點

4處，展平后得到折痕班，同時得到線段54"RT,不再添加其它線段，當圖中存在30角時，AE長為

厘米.

三、解答題

13.(1)計算：(1—相)°—I—2]

3%-2>1

解不等式組：

5—九〉2

(2x1X

14.先化簡，再求值：^―-——-其中尤=0

1％-1x-1X+1

15.某校合唱團為了開展線上“百人合唱一首歌”的“云演出”活動，需招收新成員，小賢、小晴、小藝、小志四名

同學報名參加了應聘活動，其中小賢、小藝來自七年級，小志、小晴來自八年級，現對這四名同學采取隨機抽取的

方式進行線上面試.

(1)若隨機抽取一名同學，恰好抽到小藝同學的概率為；

(2)若隨機抽取兩名同學，請用列表法或樹狀圖法求兩名同學均來自八年級的概率.

16.如圖，在正方形網格中，A6c的頂點在格點上，請僅用無刻度直尺完成以下作圖(保留作圖痕跡).

(1)在圖1中，作A6C關于點。對稱的V49C；

(2)在圖2中，作A6c繞點A順時針旋轉一定角度后，頂點仍在格點上VAEC.

17.放學后，小賢和小藝來到學校附近的地攤上購買一種特殊型號的筆芯和卡通筆記本，這種筆芯每盒10支，如果

整盒買比單支買每支可優(yōu)惠0.5元，小賢要買3支筆芯，2本筆記本需花19元，小藝要買7支筆芯，1本筆記本需

花費26元.

(1)求筆記本的單價和單獨購買一支筆芯的價格；

(2)小賢和小藝都還想再買一件單價為3元的小工藝品，但如果他們各自為要買的文具付款后，只有小賢還剩2

元錢，他們要怎樣做才能既買到各自的文具，又都買到小工藝品，請通過運算說明.

-k

18.如圖，HjABC中，NACfi=90,頂點A,3都在反比例函數y=—(x>0)的圖象上，直線AC_Lx軸，垂足

X

為D,連結。4,0C,并延長0C交AB于點E,當AB=20A時，點E恰為AB的中點，若NAOD=45,

OA=2y/2-

(1)求反比例函數解析式；

(2)求NEOD的度數.

19.為積極響應教育部“停課不停學”的號召，某中學組織本校優(yōu)秀教師開展線上教學,經過近三個月的線上授課后,

在五月初復學，該校為了解學生不同階段學習效果，決定隨機抽取八年級部分學生進行兩次跟蹤測評，第一次是復

學初對線上教學質量測評，第二次是復學一個月后教學質量測評，根據第一次測試的數學成績制成頻數分布直方圖

(圖1)

復學一個月后，根據第二次測試的數學成績得到如下統計表：

成績30<x<4040<x<5050<x<6060<x<7070<x<8080<%<9090<x<100

人數133815m6

根據以上圖表信息，完成下列問題：

(1)m=;

(2)請在圖2中作出兩次測試的數學成績折線圖，并對兩次成績作出對比分析(用一句話概述)；

(3)某同學第二次測試數學成績?yōu)?8分，這次測試中，分數高于78分的至少有人，至多有人；

(4)請估計復學一個月后該校800名八年級學生數學成績優(yōu)秀(80分及以上)的人數.

20.如圖1是一種手機平板支架，由托板、支撐板和底座構成，手機放置在托板上，圖2是其側面結構示意圖，量得

托板長AB=120mm,支撐板長CD=80mm,底座長DE=90mm,托板AB固定在支撐板頂端點C處，且

CB=40mm,托板A3可繞點C轉動，支撐板CD可繞點。轉動.（結果保留小數點后一位）

（1）若ZDCB=80°,NCDE=60°,求點A到直線DE的距離；

（2）為了觀看舒適，在（1）的情況下，把A5繞點C逆時針旋轉10后，再將CD繞點。順時針旋轉，使點3落

在直線OE上即可，求CD旋轉的角度.（參考數據：sin40°?0.643,cos40°?0.766,tan40°?0.839，

sin26.6工0.448，cos26.6°?0.894,tan26.6°?0.500,6土1.732）

21.已知NMPN的兩邊分別與圓。相切于點A,B,圓。的半徑為廠.

（1）如圖1,點C在點A,3之間優(yōu)弧上，ZMPN=80，求NACB的度數；

（2）如圖2,點C在圓上運動，當PC最大時，要使四邊形APBC為菱形，NAPB的度數應為多少？請說明理由；

（3）若PC交圓。于點。，求第（2）問中對應的陰影部分的周長（用含廠的式子表示）.

22.已知拋物線丁=。/+法+。（a,b,c是常數，awO）的自變量x與函數值y的部分對應值如下表：

X???-2-1012???

y???m0-3n-3???

（1）根據以上信息，可知拋物線開口向，對稱軸為

（2）求拋物線的表達式及私〃的值；

(3)請在圖1中畫出所求的拋物線，設點P為拋物線上的動點，。尸的中點為P，描出相應的點P，再把相應的

點P'用平滑的曲線連接起來，猜想該曲線是哪種曲線？

(4)設直線丁=根(m>-2)與拋物線及(3)中的點尸所在曲線都有兩個交點，交點從左到右依次為A,4,

A，A4,請根據圖象直接寫出線段A，A,A3,4之間的數量關系

圖1'備用

23.某數學課外活動小組在學習了勾股定理之后，針對圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側作多邊形，它們的面

積邑，邑之間的關系問題”進行了以下探究：

類比探究

⑴如圖2,在中，為斜邊，分別以AB.ACBC為斜邊向外側作RtAABD,RtAACE,RtBCF.

若N1=N2=N3,則面積邑，S3之間的關系式為；

推廣驗證

(2)如圖3,在ABC中，為斜邊，分別以A5,AC,3C為邊向外側作任意"50,AACE,_BCF,

滿足N1=N2=N3,ZD=ZE=ZF,則(1)中所得關系式是否仍然成立？若成立，請證明你的結論；若不成

立，請說明理由；

拓展應用

(3)如圖4,在五邊形MCC史中，NA=N￡=NC=105,ZABC=9G,AB=2』,。史=2,點。在A石上,

ZABP=30,PE=五,求五邊形ABCDE的面積.

江西省2020年中等學校招生考試數學試卷卷

一、選擇題

L-3的倒數是（

11

A.3B.-3C.一D.——

33

【答案】D

【分析】

根據倒數的定義求解.

【詳解】-3的倒數為

故選：D.

【點睛】本題考查了倒數，分子分母交換位置是求倒數的關鍵.

2.下列計算正確的是（）

A.a3+—a.5B.o'—cT=aC.a3-a2=a60.a3-a

【答案】D

【分析】

分別利用合并同類項法則以同底數鬲的乘除法運算法則計算得出答案.

3

【詳解】解：A、a+a\不能合并，故此選項錯誤；

B、a3-a2,無法計算，故此選項錯誤；

C、a3-a2=a5,故此選項錯誤；

D、a3^a2=a,故此選項正確；

故選：D.

【點睛】本題考查同底數鬲的乘除法運算以及合并同類項，正確掌握運算法則是解題關鍵.

3.教育部近日發(fā)布了2019年全國教育經費執(zhí)行情況統計快報，經初步統計，2019年全國教育經費總投入為50175

億元，比上年增長8.74%,將50175億用科學記數法表示為（）

A.5.0175X1011B.5.0175xl012C.0.50175xl013D.0.50175xl014

【答案】A

【分析】

科學記數法的表示形式為axlO"的形式，其中144<10,〃為整數，確定力的值時，要看把原數變成。時，小數

點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同；當原數的絕對值>1時，〃是正數；當原數的絕對值<1時，

”是負數.

【詳解】解：將數字50175億用科學記數法表示為

5017500000000=5.0175xlO12

故本題選A.

【點睛】本題主要考查了科學記數法的表示方法，科學記數法的表示形式為axlO"的形式，其中14時<10,〃為

整數，表示時關鍵要正確確定。與〃的值.

4.如圖，N1=N2=65°,N3=35。，則下列結論錯誤的是（）

A.ABHCDB.ZB=30°C.ZC+Z2=ZEFCD.CG>FG

【答案】C

【分析】

由N1=N2可對A進行判斷；根據三角形外角的性質可對B進行判斷；求出NC,根據大角對大邊，小角對小邊可

對D進行判斷；求出ZGZEFC可對C進行判斷.

【詳解】N1=N2=65。，

：.AB//CD,故選項A正確；

Z3=35°,

:.ZEFB=35°,

又4=/EFB+/B,

:.ZB=Z1-ZEFB=65°-35°=3O°,故選項B正確；

AB//CD,

:.ZC=ZB=30°,

35°>30°,

,-.Z3>ZC

:.CG>FG,故選項D正確；

Z3=35°,ZEFC+Z3=180°

ZE7^C=180°-35°=145°,

而NC+N2=300+65。=95°w145。

NC+N2wNEFC,故選項C錯誤.

故選C.

【點睛】此題主要考查了平行線的判定與性質，三角形外角的性質等知識，熟練掌握性質與判定是解答此題的關鍵.

5.如圖所示，正方體的展開圖為（）

【答案】A

【分析】

根據正方體的展開圖的性質判斷即可；

【詳解】A中展開圖正確；

B中對號面和等號面是對面，與題意不符；

C中對號的方向不正確，故不正確；

D中三個符號的方位不相符，故不正確；

故答案選A.

【點睛】本題主要考查了正方體的展開圖考查，準確判斷符號方向是解題的關鍵.

6.在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，拋物線y=2x-3與＞軸交于點A,與％軸正半軸交于點3,連接

AB,將RVOAB向右上方平移，得到及△O'A'5',且點O',A'落在拋物線的對稱軸上，點8,落在拋物線上，

則直線A2'的表達式為（）

1

A.y=xB.y=x+1C.y=x+—D.y=x+2

.2

【答案】B

【分析】

先求出A、B兩點的坐標和對稱軸，先確定三角形向右平移了1個單位長度，求得B，的坐標，再確定三角形向上平

移5個單位，求得點A，的坐標，用待定系數法即可求解.

【詳解】解：當y=0時，x2-2x-3=0,解得xi=-l,X2=3,

當x=0時，y=-3,

/.A(0,-3),B(3,0),

b

對稱軸為直線x=----=1,

2a

經過平移，A落在拋物線的對稱軸上，點8'落在拋物線上，

.??三角形向右平移1個單位，即B，橫坐標為3+1=4,

2

當x=4時,y=4-2x4-3=5,

AB-(4,5),三角形HfVOAB向上平移5個單位，

此時A，(0+1,-3+5),?.A,(1,2),

設直線A2'的表達式為y=kx+b,

代入A，(1,2),B-(4,5),

2=k+b

可得4

5=4k+b

k=1

解得：、…

故直線A'B'的表達式為y=X+1,

故選：B.

【點睛】本題考查二次函數的圖象和與坐標軸的交點坐標、圖形的平移和待定系數法求一次函數表達式等知識點，

解題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖形和性質.

二、填空題

7.計算：(%-1)2=.

【答案】x2-2x+l

【分析】

運用完全平方公式展開，即可完成解答.

【詳解】解：(X-1)2=X2-2X+1

【點睛】本題考查了平方差公式，即(a土b)2=a2±2a》+b2;靈活運用該公式是解答本題的關鍵.

8.若關于x一元二次方程f—辰一2=0的一個根為x=l,則這個一元二次方程的另一個根為.

【答案】-2

【分析】

由題目已知x=l是方程的根，代入方程后求出左的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答題.

【詳解】解：將X=1代入一元二次方程尤2—日—2=0有：1—%—2=0,k=-\,

方程f+x—2=0

(x+2)(xT)=0

即方程的另一個根為x=-2

故本題的答案為-2.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系數以及利用因式分解法解一元二次方程，其中利用已

知根代入方程求出未知系數是解題的關鍵.

9.公元前2000年左右，古巴比倫人使用的楔形文字中有兩個符號(如圖所示)，一個釘頭形代表1,一個尖頭形代

表10,在古巴比倫的記數系統中，人們使用的標記方法和我們當今使用的方法相同，最右邊的數字代表個位，然后

是十位，百位，根據符號記數的方法，右下面符號表示一個兩位數，則這個兩位數是.

【答案】25

【分析】

根據所給圖形可以看出左邊是2個尖頭，表示2個10,右邊5個釘頭表示5個1,由兩位數表示法可得結論.

【詳解】根據圖形可得：兩位數十位上數字是2,個位上的數字是5,

因此這個兩位數是2x10+5x1=25,

故答案為：25.

【點睛】此題考查了有理數的混合運算，弄清題中的數字的表示法是解本題的關鍵.

10.祖沖之是中國數學史上第一個名列正史的數學家，他把圓周率精確到小數點后7位，這是祖沖之最重要的數學貢

獻，胡老師對圓周率的小數點后100位數字進行了如下統計：

數字0123456789

頻數881211108981214

那么，圓周率的小數點后100位數字的眾數為.

【答案】9

【分析】

眾數：眾數數樣本觀測值在頻數分布表中頻數最多的那一組的組中值，即在一組數據中，出現次數最多的數據，是

一組數據中的原數據，而不是相應的次數.

【詳解】解：由題目的頻數分布表可觀察到數字9的頻數為14,出現次數最多；

故本題答案為9.

【點睛】本題主要考查眾數的定義，即一組數據中，出現次數最多的數據，是一組數據中的原數據，而不是相應的

次數.

11.如圖，AC平分CB=CD,ZM的延長線交于點E,若NE4C=49，則NH4石的度數為

【答案】82°.

【分析】

如圖，連接6。，延長C4與6D交于點R利用等腰三角形的三線合一證明Cb是瓦）的垂直平分線，從而得到

AB=AD,再次利用等腰三角形的性質得到：/加尸=/癡尸,從而可得答案.

【詳解】解：如圖，連接5。，延長C4與交于點￡

AC平分NDC3,CB=CD,

:.CF±BD,DF=BF,

??.CE是瓦）的垂直平分線,

AB=AD,

ZDAF=ZBAF,

ZEAC=49°,

ZDAF=ZBAF=ZEAC=49°,

ZBAE=180°-49°-49°=82°,

故答案為：82°.

【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關鍵.

12.矩形紙片ABCZ),長AD=8cm,寬AB=4cm,折疊紙片，使折痕經過點3,交AD邊于點E,點A落在點

處，展平后得到折痕3E,同時得到線段34,ET,不再添加其它線段，當圖中存在30角時，AE的長為

__________厘米.

【分析】

分NABE=30°和NAEB=30°兩種情況求解即可.

【詳解】當NABE=30。時，

：AB=4cni,ZA=90°,

/.AE=AB-tan30°=W1厘米；

3

當NAEB=30°時，貝1J/ABE=60°

VAB=4cm,ZA=90°

；.AE=AB?tan60°=4A將厘米；

故答案為：述或.

3

【點睛】本題考查了折疊的性質，解直角三角形，以及分類討論的數學思想，分類討論是解答本題的關鍵.

三、解答題

13.（1）計算：（1—后）?！獆—2

3%-2>1

（2）解不等式組：<

5-x>2

【答案】（1）3；（2）lWx<3.

【分析】

（1）先根據零次鬲、絕對值和負整數次鬲化簡，然后計算即可；

（2）先分別求出各不等式的解集，然后再求不等式組的解集.

【詳解】解：⑴（1—6）°T—2|+g]

=1-2+4

=3；

,、f3x-2>l?

2[5-x>2?

由①得：x>l

由②得：x<3

所以該不等式組的解集為：l〈x<3.

【點睛】本題考查了實數的運算和不等式組的解法，掌握實數的運算法則和解不等式的方法是解答本題的關鍵.

14.先化簡，再求值：\—^7，其中尤=6.

g—lx-1）x+1

咯案1pf

【分析】

先進行分式減法的計算，在進行除法計算，化簡之后帶值計算即可；

,、一q-卜2xx+1x

【詳解】原式=7—n7n-7—nr—齊十—7，

2x-x-lx

+x+1,

x-1x+1

二7■x

X，

把尤=及代入上式得，

1

原式二=也

忑一3

【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值，準確進行分式化簡是解題的關鍵.

15.某校合唱團為了開展線上“百人合唱一首歌”的“云演出”活動，需招收新成員，小賢、小晴、小藝、小志四名

同學報名參加了應聘活動，其中小賢、小藝來自七年級，小志、小晴來自八年級，現對這四名同學采取隨機抽取的

方式進行線上面試.

(1)若隨機抽取一名同學，恰好抽到小藝同學的概率為；

(2)若隨機抽取兩名同學，請用列表法或樹狀圖法求兩名同學均來自八年級的概率.

【答案】(1)《；(2)《

46

【分析】

(1)直接利用概率公式可得答案；

(2)分別記小賢、小藝、小志、小晴為A3,C,。，畫好樹狀圖，利用概率公式計算即可.

【詳解】解：(1)由概率公式得：隨機抽取一名同學，恰好抽到小藝同學的概率為工，

4

故答案為：

4

⑵分別記小賢、小藝、小志、小晴為A5C。

畫樹狀圖如下:

ACDABDABC

一共有12種等可能的結果，其中兩名同學均來自八年級的有2種可能,

21

所以：兩名同學均來自八年級的概率。=一=—

126

【點睛】本題考查的是簡單隨機事件的概率，以及利用畫樹狀圖求解復雜的隨機事件的概率，掌握求概率的基本方

法是解題的關鍵.

16.如圖，在正方形網格中，A6c的頂點在格點上，請僅用無刻度直尺完成以下作圖(保留作圖痕跡).

(1)在圖1中，作ABC關于點。對稱的V49C；

(2)在圖2中，作A6c繞點A順時針旋轉一定角度后，頂點仍在格點上的V49C.

【答案】(1)見解析；(2)見解析.

【分析】

(1)分別作出A,B,C三點關于。點對稱的點4,B',C,然后順次連接即可得VA'3'C'；

⑵計算得出AB=26\AC=5,再根據旋轉作圖即可.

【詳解】(1)如圖1所示;

圖1

⑵根據勾股定理可計算出AB=2百，AC=5,再作圖，如圖2所示.

圖2

【點睛】本題考查復雜-應用與設計，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題.

17.放學后，小賢和小藝來到學校附近的地攤上購買一種特殊型號的筆芯和卡通筆記本，這種筆芯每盒10支，如果

整盒買比單支買每支可優(yōu)惠0.5元，小賢要買3支筆芯，2本筆記本需花19元，小藝要買7支筆芯，1本筆記本需

花費26元.

(1)求筆記本的單價和單獨購買一支筆芯的價格；

(2)小賢和小藝都還想再買一件單價為3元的小工藝品，但如果他們各自為要買的文具付款后，只有小賢還剩2

元錢，他們要怎樣做才能既買到各自的文具，又都買到小工藝品，請通過運算說明.

【答案】(1)5元，3元;

(2)當兩人共同購買筆芯，享受整盒購買的優(yōu)惠時，能讓兩人既買到各自的文具又都買到小工藝品.

【分析】

(1)根據小賢買3支筆芯，2本筆記本花費19元，可知等量關系：筆芯的單價X3+筆記本單價、2=小賢花費金額，

同樣可得小藝的等量關系，這兩個等量關系可列方程組解答；

(2)小賢買3支筆芯，小藝4支筆芯，湊起來即為一盒，由題目已知整盒買比單支買每支可優(yōu)惠0.5元，可知優(yōu)惠

5元，再加上小賢剩余兩元即可讓兩人既買到各自的文具，又都買到小工藝品.

【詳解】(1)設單獨購買一支筆芯的價格為X元，一本筆記本的價格為y元,

J3x+2y=19x=3

解得「

\Jx+y=26[y=5

故筆記本的單價為5元，單獨購買一支筆芯的價格為3元.

(2)兩人共有金額19+26+2=47元，

若兩人共購買10支筆芯(一盒)，3本筆記本，由題目已知整盒買比單支買每支可優(yōu)惠0.5元，

故兩人買到各自的文具需要花費10x2.5+3x5=40(元)，剩余47-40=7(元)，可購買兩件單價為3元的小工藝品；

故只有當兩人一同購買筆芯，享受整盒購買優(yōu)惠，即可能讓他們既買到各自的文具，又都買到小工藝品.

【點睛】(1)本題主要考查了二元一次方程組的求解，其中根據題目信息找到等量關系，；列出方程組是解題的關

鍵；

(2)本題主要是對題目中關鍵信息的理解以及應用，其中觀察到整盒購買享受優(yōu)惠是成功讓兩人既買到各自的文

具，又都買到小工藝品的關鍵.

k

18.如圖，W.ABC中，NACB=90,頂點A,3都在反比例函數y=—(x>0)的圖象上，直線軸，垂足

為D,連結。4,OC,并延長0c交AB于點E,當AB=2OA時，點E恰為AB的中點，若NAOD=45

OA=20-

(1)求反比例函數的解析式；

(2)求NEOD的度數.

【分析】

(1)根據勾股定理求得AD=OD=2,A(2,2),代入函數關系式求解即可；

(2)先根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得CE=BE,ZAEC=2ZECB,又由OA=AE可得

ZAOE=ZAEO=2ZECB,由平行線的性質可知NECB=NEOD,所以NEOD=』/AOD,代入求解即可.

3

【詳解】(1)VADXxtt,ZAOD=45°,OA=2&,

.?.AD=OD=2,

??.A(2,2),

1?點A在反比例函數圖象上,

/.k=2x2=4,

4

即反比例函數的解析式為y=—.

x

(2)：ZkABC為直角三角形，點E為AB的中點，

；.AE=CE=EB,ZAEC=2ZECB,

VAB=2OA,

.\AO=AE,

，ZAOE=ZAEO=2ZECB,

-.,ZACB=90°,AD_Lx軸，

；.BC〃x軸，

.?.ZECB=ZEOD,

ZAOE=2ZEOD,

:ZAOD=45°,

ZEOD=-ZAOD=-x45°=15°.

33

【點睛】本題考查了反比例函數的解析式、含30度角的直角三角形的性質、平行線的性質和等腰三角形的性質等

知識點，根據題意找出角之間的關系是解題的關鍵.

19.為積極響應教育部“停課不停學”的號召，某中學組織本校優(yōu)秀教師開展線上教學,經過近三個月的線上授課后,

在五月初復學，該校為了解學生不同階段學習效果，決定隨機抽取八年級部分學生進行兩次跟蹤測評，第一次是復

學初對線上教學質量測評，第二次是復學一個月后教學質量測評，根據第一次測試的數學成績制成頻數分布直方圖

(圖1)

W攻

復學一個月后，根據第二次測試的數學成績得到如下統計表：

成績30<x<4040<%<5050<<6060<x<7070<x<8080<x<9090<x<100

人數133815m6

根據以上圖表信息，完成下列問題：

（1）m=;

（2）請在圖2中作出兩次測試的數學成績折線圖，并對兩次成績作出對比分析（用一句話概述）；

（3）某同學第二次測試數學成績?yōu)?8分，這次測試中，分數高于78分的至少有人，至多有人；

（4）請估計復學一個月后該校800名八年級學生數學成績優(yōu)秀（80分及以上）的人數.

【答案】（1）14；（2）折線圖見詳解，通過第一次和第二次測試情況發(fā)現，復學初線上學習的成績大部分在70以

下，復學后線下學習的成績大部分在70以上，說明線下上課的情況比線上好；（3）20,34；（4）320人

【分析】

（1）根據圖1求出本次測評的總人數，用總人數減去第二次測評各成績段的人數可得出m的值；

（2）根據第一次和第二次測試的各分數段人數，可在圖2中畫出折線圖，根據折線圖可得出線上教學與線下教學

的效果對比；

（3）由第二次測試的成績統計表可判斷出分數高于78分的至少有多少人，至多有多少人；

2?

（4）樣本估計總體，樣本中數學成績優(yōu)秀的人數占測試人數的不,因此估計總體800名的不是成績優(yōu)秀的人數.

【詳解】解：⑴由圖1可知總人數為:2+8+解+15+10+4+1=50人,

所以m=50-1-3-3-8-15-6=14人；

（2）

通過第一次和第二次測試情況發(fā)現，復學初線上學習的成績大部分在70分以下，復學后線下學習的成績大部分在

70分以上，說明線下上課的情況比線上好；

（3）由統計表可知，至少14+6=20人，至多15+14+6-1=34人；

14+6

（4）800x=320（人）

2+8+10+15+10+4+1

答：復學一個月后該校800名八年級學生數學成績優(yōu)秀(80分及以上)的人數為320人.

【點睛】本題考察了條形統計圖，折線統計圖與統計表，讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要的信息是解決問

題的關鍵.

20.如圖1是一種手機平板支架，由托板、支撐板和底座構成，手機放置在托板上，圖2是其側面結構示意圖，量得

托板長AB=120mm,支撐板長CD=80mm,底座長DE=90mm,托板AB固定在支撐板頂端點C處，且

CB=40mm,托板AB可繞點C轉動，支撐板CD可繞點。轉動.(結果保留小數點后一位)

(1)若NDCB=80°,NCDE=60°,求點A到直線DE的距離；

(2)為了觀看舒適，在(1)的情況下，把A5繞點C逆時針旋轉10后，再將CD繞點。順時針旋轉，使點3落

在直線OE上即可，求CD旋轉的角度.(參考數據：sin40°?0.643,cos40°?0.766,tan40°?0.839，

sin26.6?0.448，cos26.6°a0.894,tan26.6°?0.500,73?1.732)

圖1圖2

【答案】⑴120.7777m；(2)33.4°

【分析】

(1)過點A作AMLDE,CN±DE,，根據已知條件分別求出AP和PM,再相加即可；

(2)根據已知條件可得N5⑦=90。，根據三角函數的定義進行判斷求解即可得到結論；

【詳解】(1)如圖所示，過點A作CN±DE,CP±AM,

則ACPM=ACMD="ND=90°,

A

VAB=120mm,CB=40mm,

AC=80mm,

又?/ZDCB=80°,NCDE=60°,

AZACD=100°,ZCDM=120°,

/.乙PCD=360°-90°-90°-120°=60°,

AACP=100°-60°=40°,

AP=47?sin40°=80x0.643=51.44mm,

又.：CDN=60°,CD=80mm,

CN=0?sin600=80x—=40囪~69.28mm,

2

AAM=69.28+51.44=120.72?120.7zwn.

??.點4到直線OE的距離是120.7""7z.

(2)如圖所示，

A

DE

根據題意可得NDC￡=90°,CB=40mm,CD=80mm,

401

tanACDB=—

DC802

???ACDB=26.6°,

根據(1)可得NCDE=60°,

CD旋轉的角度=60。一26.6。=33.4。.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，準確的構造直角三角形，利用三角函數的定義求解是解題的關鍵.

21.已知NMPN的兩邊分別與圓。相切于點4,B,圓。的半徑為廠.

(1)如圖1,點。在點A,8之間的優(yōu)弧上，ZMPN=80,求NACB的度數；

(2)如圖2,點C在圓上運動，當PC最大時，要使四邊形APBC為菱形，的度數應為多少？請說明理由；

(3)若PC交圓。于點。，求第(2)問中對應的陰影部分的周長(用含廠的式子表示).

【答案】⑴50°；(2)當/APB=60°時，四邊形APBC為菱形，理由見解析；⑶

【分析】

(1)連接OA、OB,根據切線的性質和多邊形內角和定理可得/AOB+NAPB=180。，然后結合已知求得NAOB,

最后根據圓周角定理即可解答；

(2)連接OA、OB,先觀察發(fā)現當/APB=60。時，四邊形APBC可能為菱形；然后利用/APB=60。結合(1)的

解答過程可得/ACB=/APB=60°,再根據點C運動到PC距離最大，即PC經過圓心；再說明四邊形APBC為軸

對稱圖形結合已知條件得到PA=PB=CA=CB,即可得到四邊形APBC為菱形；

(3)由于。O的半徑為r,則OA=r、OP=2r,再根據勾股定理可得AP=J^r、PD=r,然后根據弧長公式求得心的

弧長，最后根據周長公式計算即可.

【詳解】解：(1)如圖1,連接OA、OB

VPA,PB為。O的切線

ZPAO=ZPBO=90°

，ZAOB+ZMPN=180°

ZMPN=80°

ZAOB=180°-ZMPN=100°

AZAOB=100°=—ZACB=50°；

2

圖1

（2）當/APB=60°時，四邊形APBC為菱形，理由如下：

如圖2：連接OA、0B

由⑴可知NAOB+NAPB=180°

ZAPB=60°

/.ZAOB=120°

ZACB=60°=ZAPB

:點c運動到PC距離最大

，PC經過圓心

VPAsPB為。O的切線

/.四邊形APBC為軸對稱圖形

VPA=PB,CA=CB,PC平分NAPB和/ACB

ZAPB=ZACB=60°

ZAPO=ZBPO=ZACP=ZBCP=30°

；.PA=PB=CA=CB

四邊形APBC為菱形；

圖2

（3）的半徑為r

/.OA=r,OP=2r

.?.AP=73r,PD=r

ZAOP=60°

60nrre

AD~180

C陰影=PA+PD+laD

【點睛】本題考查了圓的切線的性質、圓周角定理、菱形的判定、弧長公式以及有關圓的最值問題，考查知識點較

多，靈活應用所學知識是解答本題的關鍵.

22.已知拋物線>=以2+法+。（a,b,c是常數，awO）的自變量x與函數值丁的部分對應值如下表：

X???-2-1012???

y???m0-3n-3???

（1）根據以上信息，可知拋物線開口向,對稱軸為；

（2）求拋物線的表達式及私，的值；

（3）請在圖1中畫出所求的拋物線，設點尸為拋物線上的動點，0尸的中點為P,描出相應的點P,再把相應的

點P'用平滑的曲線連接起來，猜想該曲線是哪種曲線？

（4）設直線丁=加（川〉—2）與拋物線及（3）中的點尸所在曲線都有兩個交點，交點從左到右依次為A，4.

4，4,請根據圖象直接寫出線段A,A,A3,4之間的數量關系

圖1備用

【答案】（1）上，x=l；（2）y=x2-2x-3,m=5m=-4;（3）圖象見解析，中點P的軌跡為拋物線；（4）

A4=AA+4A+AA

【分析】

(1)由表中數據分析即可得到開口方向，及對稱軸；

⑵代入(—1,0),(0,—3),(2,—3),解方程組，即可求得表達式；代入尤=-2,%=1即可得到北九的值；

(3)根據要求畫出函數圖象，并觀察猜想即可；

(4)根據題目要求，畫出圖象，觀察得結論即可.

【詳解】(1)由表可知：％=l,y=0；x=0,y=-3,x=2,y=-3可知拋物線開后方向向上；

0+2

由表可知：x=0,y=—3;x=2,y=—3,可知拋物線的對稱軸為：x=—=1

2

故答案為：上，%=1

⑵由表可知：代入點(—1,0),(0,—3),(2,—3)得

a-b+c=0a=1

<c=-3,解得<b=-2

4。+26+c=-3c=-3

拋物線的表達式為：丁二丁—2X—3

當x=—2時，根=(—2)2—2x(—2)—3=5

當x=l時，”=12—2x1—3=T

OP中點尸'連接后的圖象如圖所示：為拋物線

(4)如圖所不：可得44=44+44+44

【點睛】本題考查了二次函數的探究題，能根據表格求出拋物線的解析式，是解題的關鍵.

23.某數學課外活動小組在學習了勾股定理之后，針對圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側作多邊形，它們的面

積S],邑，邑之間的關系問題”進行了以下探究：

圖3

類比探究

⑴如圖2,在劉ABC中，為斜邊，分別以45,47,5。為斜邊向外側作RtAAB。，RtAACE,RtBCF,

若N1=N2=N3,則面積S2,S3之間的關系式為；

推廣驗證

(2)如圖3,在HrABC中，為斜邊，分別以AB.ACBC為邊向外側作任意人旬。，AACE,BCF,

滿足N1=N2=N3,ZD=ZE=ZF,則(1)中所得關系式是否仍然成立？若成立，請證明你的結論；若不成

立，請說明理由；

拓展應用

（3）如圖4,在五邊形ABCDE中，NA=NE=NC=105,NAB