江西小學數(shù)學教師招聘考試專業(yè)知識

數(shù)學老師聘請考試專業(yè)學問復習一、復習要求理解集合及表示法，駕馭子集，全集及補集，子集及并集的定義；駕馭含確定值不等式及一元二次不等式的解法；理解邏輯聯(lián)結詞的含義，會嫻熟地轉(zhuǎn)化四種命題，駕馭反證法；理解充分條件，必要條件及充要條件的意義，會推斷兩個命題的充要關系；5、學會用定義解題，理解數(shù)形結合，分類探討及等價變換等思想方法。二、學習指導1、集合的概念：集合中元素特征，確定性，互異性，無序性；集合的分類：按元素個數(shù)分：有限集，無限集；②按元素特征分；數(shù)集，點集。如數(shù)集{y|y=x2}，表示非負實數(shù)集，點集{(x，y)|y=x2}表示開口向上，以y軸為對稱軸的拋物線；集合的表示法：①列舉法：用來表示有限集或具有顯著規(guī)律的無限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描繪法。2、兩類關系：元素及集合的關系，用或表示；〔2〕集合及集合的關系，用，，=表示，當AB時，稱A是B的子集；當AB時，稱A是B的真子集。3、集合運算〔1〕交，并，補，定義：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且xA｝，集合U表示全集；運算律，如A∩〔B∪C〕=〔A∩B〕∪〔A∩C〕，CU〔A∩B〕=〔CUA〕∪〔CUB〕，CU〔A∪B〕=〔CUA〕∩〔CUB〕等。4、命題：命題分類：真命題及假命題，簡潔命題及復合命題；復合命題的形式：p且q，p或q，非p；〔3〕復合命題的真假：對p且q而言，當q、p為真時，其為真；當p、q中有一個為假時，其為假。對p或q而言，當p、q均為假時，其為假；當p、q中有一個為真時，其為真；當p為真時，非p為假；當p為假時，非p為真。〔3〕四種命題：記“假設q則p〞為原命題，則否命題為“假設非p則非q〞，逆命題為“假設q則p“，逆否命題為〞假設非q則非p“。其中互為逆否的兩個命題同真假，即等價。因此，四種命題為真的個數(shù)只能是偶數(shù)個。充分條件及必要條件〔1〕定義：對命題“假設p則q〞而言，當它是真命題時，p是q的充分條件，q是p的必要條件，當它的逆命題為真時，q是p的充分條件，p是q的必要條件，兩種命題均為真時，稱p是q的充要條件；〔2〕在推斷充分條件及必要條件時，首先要分清哪個命題是條件，哪個命題是結論，其次，結論要分四種狀況說明：充分不必要條件，必要不充分條件，充分且必要條件，既不充分又不必要條件。從集合角度看，假設記滿意條件p的全部對象組成集合A，滿意條件q的全部對象組成集合q，則當AB時，p是q的充分條件。BA時，p是q的充分條件。A=B時，p是q的充要條件；當p和q互為充要時，表達了命題等價轉(zhuǎn)換的思想。反證法是中學數(shù)學的重要方法。會用反證法證明一些代數(shù)命題。7、集合概念及其根本理論是近代數(shù)學最根本的內(nèi)容之一。學會用集合的思想處理數(shù)學問題。三、典型例題例1、集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。解題思路分析：在集合運算之前，首先要識別集合，即認清集合中元素的特征。M、N均為數(shù)集，不能誤認為是點集，從而解方程組。其次要化簡集合，或者說使集合的特征明朗化。M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}∴M∩N=M={y|y≥1}說明：事實上，從函數(shù)角度看，此題中的M，N分別是二次函數(shù)和一次函數(shù)的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}應看成是函數(shù)y=f(x)的值域，通過求函數(shù)值域化簡集合。此集合及集合{〔x，y〕|y=x2+1，x∈R}是有本質(zhì)差異的，后者是點集，表示拋物線y=x2+1上的全部點，屬于圖形范疇。集合中元素特征及代表元素的字母無關，例{y|y≥1}={x|x≥1}。例2、集合A={x|x2-3x+2=0}，B+{x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，務實數(shù)m范圍。解題思路分析：化簡條件得A={1，2}，A∩B=BBA根據(jù)集合中元素個數(shù)集合B分類探討，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2}當B=φ時，△=m2-8<0∴當B={1}或{2}時，，m無解當B={1，2}時，∴m=3綜上所述，m=3或說明：分類探討是中學數(shù)學的重要思想，全面地挖掘題中隱藏條件是解題素養(yǎng)的一個重要方面，如此題當B={1}或{2}時，不能遺漏△=0。例3、用反證法證明：x、y∈R，x+y≥2，求證x、y中至少有一個大于1。解題思路分析：假設x<1且y<1，由不等式同向相加的性質(zhì)x+y<2及x+y≥2沖突∴假設不成立∴x、y中至少有一個大于1說明；反證法的理論根據(jù)是：欲證“假設p則q〞為真，先證“假設p則非q〞為假，因在條件p下，q及非q是對立事務〔不能同時成立，但必有一個成立〕，所以當“假設p則非q〞為假時，“假設p則q〞確定為真。例4、假設A是B的必要而不充分條件，C是B的充要條件，D是C的充分而不必要條件，推斷D是A的什么條件。解題思路分析：利用“〞、“〞符號分析各命題之間的關系DCBA∴DA，D是A的充分不必要條件說明：符號“〞、“〞具有傳遞性，不過前者是單方向的，后者是雙方向的。例5、求直線：ax-y+b=0經(jīng)過兩直線1：2x-2y-3=0和2：3x-5y+1=0交點的充要條件。解題思路分析：從必要性著手，分充分性和必要性兩方面證明。由得1，2交點P〔〕∵過點P∴∴17a+4b=11充分性：設a，b滿意17a+4b=11∴代入方程：整理得：此方程說明，直線恒過兩直線的交點〔〕而此點為1及2的交點∴充分性得證∴綜上所述，命題為真說明：關于充要條件的證明，一般有兩種方式，一種是利用“〞，雙向傳輸，同時證明充分性及必要性；另一種是分別證明必要性及充分性，從必要性著手，再檢驗充分性。四、同步練習選擇題設M={x|x2+x+2=0}，a=lg(lg10)，則{a}及M的關系是A、{a}=MB、M{a}C、{a}MD、M{a}全集U=R，A={x|x-a|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=φ，則a的取值范圍是[0，2]B、〔-2，2〕C、〔0，2]D、〔0，2〕集合M={x|x=a2-3a+2，a∈R}，N、{x|x=b2-b，b∈R}，則M，N的關系是MNB、MNC、M=ND、不確定4、設集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，則A∪B中的元素個數(shù)是A、11B、10C、16D、155、集合M={1，2，3，4，5}的子集是A、15B、16C、31D、326、對于命題“正方形的四個內(nèi)角相等〞，下面推斷正確的選項是A、所給命題為假B、它的逆否命題為真C、它的逆命題為真D、它的否命題為真7、“α≠β〞是cosα≠cosβ〞的A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件8、集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3+1，∈Z}，S={y|y=6m+1，m∈Z}之間的關系是A、SBAB、S=BAC、SB=AD、SB=A9、方程mx2+2x+1=0至少有一個負根的充要條件是A、0<m≤1或m<0B、0<m≤1C、m<1D、m≤110、p：方程x2+ax+b=0有且僅有整數(shù)解，q：a，b是整數(shù)，則p是q的A、充分不必要條件B、必要不充分條件充要條件D、既不充分又不必要條件填空題M={}，N={x|，則M∩N=__________。12、在100個學生中，有乒乓球愛好者60人，排球愛好者65人，則兩者都愛好的人數(shù)最少是________人。關于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要條件是________________。命題“假設ab=0，則a、b中至少有一個為零〞的逆否命題為____________。非空集合p滿意以下兩個條件：〔1〕p{1，2，3，4，5}，〔2〕假設元素a∈p，則6-a∈p，則集合p個數(shù)是__________。解答題設集合A={(x，y)|y=ax+1}，B={(x，y)|y=|x|}，假設A∩B是單元素集合，求a取值范圍。拋物線C：y=-x2+mx-1，點M〔0，3〕，N〔3，0〕，求拋物線C及線段MN有兩個不同交點的充要條件。設A={x|x2+px+q=0}≠φ，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，假設A∩M=φ，A∩N=A，求p、q的值。，b=2-x，c=x2-x+1，用反證法證明：a、b、c中至少有一個不小于1。函數(shù)一、復習要求函數(shù)的定義及通性；2、函數(shù)性質(zhì)的運用。二、學習指導1、函數(shù)的概念：〔1〕映射：設非空數(shù)集A，B，假設對集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b及之對應，則稱從A到B的對應為映射，記為f：A→B，f表示對應法則，b=f(a)。假設A中不同元素的象也不同，則稱映射為單射，假設B中每一個元素都有原象及之對應，則稱映射為滿射。既是單射又是滿射的映射稱為一一映射?！?〕函數(shù)定義：函數(shù)就是定義在非空數(shù)集A，B上的映射，此時稱數(shù)集A為定義域，象集C={f(x)|x∈A}為值域。定義域，對應法則，值域構成了函數(shù)的三要素，從邏輯上講，定義域，對應法則確定了值域，是兩個最根本的因素。逆過來，值域也會限制定義域。求函數(shù)定義域，通過解關于自變量的不等式〔組〕來實現(xiàn)的。要熟記根本初等函數(shù)的定義域，通過四則運算構成的初等函數(shù)，其定義域是每個初等函數(shù)定義域的交集。復合函數(shù)定義域，不僅要考慮內(nèi)函數(shù)的定義域，還要考慮到外函數(shù)對應法則的要求。理解函數(shù)定義域，應嚴密聯(lián)絡對應法則。函數(shù)定義域是探討函數(shù)性質(zhì)的根底和前提。函數(shù)對應法則通常表現(xiàn)為表格，解析式和圖象。其中解析式是最常見的表現(xiàn)形式。求類型函數(shù)解析式的方法是待定系數(shù)法，抽象函數(shù)的解析式常用換元法及湊合法。求函數(shù)值域是函數(shù)中常見問題，在初等數(shù)學范圍內(nèi)，干脆法的途徑有單調(diào)性，根本不等式及幾何意義，間接法的途徑為函數(shù)及方程的思想，表現(xiàn)為△法，反函數(shù)法等，在高等數(shù)學范圍內(nèi)，用導數(shù)法求某些函數(shù)最值〔極值〕更加便利。在中學數(shù)學的各個部分都存在著求取值范圍這一典型問題，它的一種典型處理方法就是建立函數(shù)解析式，借助于求函數(shù)值域的方法。2、函數(shù)的通性〔1〕奇偶性：函數(shù)定義域關于原點對稱是推斷函數(shù)奇偶性的必要條件，在利用定義推斷時，應在化簡解析式后進展，同時敏捷運用定義域的變形，如，〔f(x)≠0〕。奇偶性的幾何意義是兩種特殊的圖象對稱。函數(shù)的奇偶性是定義域上的普遍性質(zhì)，定義式是定義域上的恒等式。利用奇偶性的運算性質(zhì)可以簡化推斷奇偶性的步驟?！?〕單調(diào)性：探討函數(shù)的單調(diào)性應結合函數(shù)單調(diào)區(qū)間，單調(diào)區(qū)間應是定義域的子集。推斷函數(shù)單調(diào)性的方法：①定義法，即比差法；②圖象法；③單調(diào)性的運算性質(zhì)〔本質(zhì)上是不等式性質(zhì)〕；④復合函數(shù)單調(diào)性推斷法則。函數(shù)單調(diào)性是單調(diào)區(qū)間上普遍成立的性質(zhì)，是單調(diào)區(qū)間上恒成立的不等式。函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)性質(zhì)中最活潑的性質(zhì)，它的運用主要表達在不等式方面，如比較大小，解抽象函數(shù)不等式等。〔3〕周期性：周期性主要運用在三角函數(shù)及抽象函數(shù)中，是化歸思想的重要手段。求周期的重要方法：①定義法；②公式法；③圖象法；④利用重要結論：假設函數(shù)f(x)滿意f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠b，則T=2|a-b|?！?〕反函數(shù)：函數(shù)是否是有反函數(shù)是函數(shù)概念的重要運用之一，在求反函數(shù)之前首先要推斷函數(shù)是否具備反函數(shù)，函數(shù)f(x)的反函數(shù)f-1(x)的性質(zhì)及f(x)性質(zhì)嚴密相連，如定義域、值域互換，具有一樣的單調(diào)性等，把反函數(shù)f-1(x)的問題化歸為函數(shù)f(x)的問題是處理反函數(shù)問題的重要思想。設函數(shù)f(x)定義域為A，值域為C，則f-1[f(x)]=x，x∈Af[f-1(x)]=x，x∈C函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象既是函數(shù)性質(zhì)的一個重要方面，又能直觀地反映函數(shù)的性質(zhì)，在解題過程中，充分發(fā)揮圖象的工具作用。圖象作法：①描點法；②圖象變換。應駕馭常見的圖象變換。4、本單常見的初等函數(shù)；一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)。在詳細的對應法則下理解函數(shù)的通性，駕馭這些詳細對應法則的性質(zhì)。分段函數(shù)是重要的函數(shù)模型。對于抽象函數(shù)，通常是抓住函數(shù)特性是定義域上恒等式，利用賦值法〔變量代換法〕解題。聯(lián)絡到詳細的函數(shù)模型可以簡便地找到解題思路，及解題打破口。應用題是函數(shù)性質(zhì)運用的重要題型。審清題意，找準數(shù)量關系，把握好模型是解應用題的關鍵。5、主要思想方法：數(shù)形結合，分類探討，函數(shù)方程，化歸等。三、典型例題例1、，函數(shù)y=g(x)圖象及y=f-1(x+1)的圖象關于直線y=x對稱，求g(11)的值。分析：利用數(shù)形對應的關系，可知y=g(x)是y=f-1(x+1)的反函數(shù)，從而化g(x)問題為f(x)?！遹=f-1(x+1)∴x+1=f(y)∴x=f(y)-1∴y=f-1(x+1)的反函數(shù)為y=f(x)-1即g(x)=f(x)-1∴g(11)=f(11)-1=評注：函數(shù)及反函數(shù)的關系是互為逆運算的關系，當f(x)存在反函數(shù)時，假設b=f(a)，則a=f-1(b)。例2、設f(x)是定義在〔-∞，+∞〕上的函數(shù)，對一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0，當-1<x≤1時，f(x)=2x-1，求當1<x≤3時，函數(shù)f(x)的解析式。解題思路分析：利用化歸思想解題∵f(x)+f(x+2)=0∴f(x)=-f(x+2)∵該式對一切x∈R成立∴以x-2代x得：f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x)當1<x≤3時，-1<x-2≤1∴f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5∴f(x)=-f(x-2)=-2x+5∴f(x)=-2x+5〔1<x≤3〕評注：在化歸過程中，一方面要轉(zhuǎn)化自變量到解析式的定義域，另一方面要保持對應的函數(shù)值有確定關系。在化歸過程中還表達了整體思想。例3、g(x)=-x2-3，f(x)是二次函數(shù)，當x∈[-1，2]時，f(x)的最小值，且f(x)+g(x)為奇函數(shù)，求f(x)解析式。分析：用待定系數(shù)法求f(x)解析式設f(x)=ax2+bx+c〔a≠0〕則f(x)+g(x)=(a-1)x2+bx+c-3由f(x)+g(x)為奇函數(shù)∴∴f(x)=x2+bx+3下面通過確定f(x)在[-1，2]上何時取最小值來確定b，分類探討。，對稱軸當≥2，b≤-4時，f(x)在[-1，2]上為減函數(shù)∴∴2b+7=1∴b=3〔舍〕當〔-1，2〕，-4<b<2時∴∴〔舍負〕當≤-1，b≥2時，f(x)在[-1，2]上為增函數(shù)∴(f(x)min=f(1)=4-b∴4-b=1∴b=3∴，或評注：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值通常對對稱軸及區(qū)間的位置關系進展探討，是求值域的基此題型之一。在最值結果的條件下，仍需探討何時獲得最小值。例4、定義在R上的函數(shù)y=f(x)，f(0)≠0，當x>0時，f(x)>1，且對隨意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，求證：f(0)=1；求證：對隨意的x∈R，恒有f(x)>0；證明：f(x)是R上的增函數(shù)；假設f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范圍。分析：令a=b=0，則f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0∴f(0)=1令a=x，b=-x則f(0)=f(x)f(-x)∴由x>0時，f(x)>1>0當x<0時，-x>0，f(-x)>0∴又x=0時，f(0)=1>0∴對隨意x∈R，f(x)>0任取x2>x1，則f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0∴∴f(x2)>f(x1)∴f(x)在R上是增函數(shù)f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上遞增∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0∴0<x<3評注：根據(jù)f(a+b)=f(a)·f(b)是恒等式的特點，對a、b適當賦值。利用單調(diào)性的性質(zhì)去掉符號“f〞得到關于x的代數(shù)不等式，是處理抽象函數(shù)不等式的典型方法。例5、lgx+lgy=2lg(x-2y)，求的值。分析：在化對數(shù)式為代數(shù)式過程中，全面挖掘x、y滿意的條件由得∴x=4y，∴例6、某工廠今1月，2月，3月消費某產(chǎn)品分別為1萬件，1.2萬件，1.3萬件，為了估測以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為根據(jù)，用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y及月份數(shù)x的關系，模擬函數(shù)可選用y=abx+c〔其中a，b，c為常數(shù)〕或二次函數(shù)，4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為萬件，請問用哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？并說明理由。分析：設f(x)=px2+qx+r〔p≠0〕則∴∴×42×設g(x)=abx+c則∴∴×4∵|1.35-1.37|<|1.3-1.37|∴選用×(0.5)x作為模擬函數(shù)較好。四、穩(wěn)固練習選擇題1、定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿意f(x+1)=-f(x)，且在[-1，0]上單調(diào)遞增，設a=f(3)，b=f()，c=f(2)，則a，b，c大小關系是A、a>b>cB、a>c>bC、b>c>aD、c>b>a2、方程〔a>0且a≠1〕的實數(shù)解的個數(shù)是A、0B、1C、2D、33、的單調(diào)減區(qū)間是A、〔-∞，1〕B、〔1，+∞〕C、〔-∞，-1〕∪〔1，+∞〕D、〔-∞，+∞〕函數(shù)的值域為〔-∞，3]B、〔-∞，-3]C、〔-3，+∞〕D、〔3，+∞〕函數(shù)y=log2|ax-1|〔a≠b〕的圖象的對稱軸是直線x=2，則a等于B、C、2D、-26、有長度為24的材料用一矩形場地，中間加兩隔墻，要使矩形的面積最大，則隔壁的長度為3B、4C、6D、12填空題7、定義在R的奇函數(shù)f(x)滿意f(x+2)=-f(x)，且當0≤x≤1時，f(x)=x，則=__________。y=loga(2-x)是x的增函數(shù)，則a的取值范圍是__________。函數(shù)f(x)定義域為[1，3]，則f(x2+1)的定義域是__________。10、函數(shù)f(x)=x2-bx+c滿意f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3，則f(bx)及f(cx)的大小關系是__________。11、f(x)=log3x+3，x∈[1，9]，則y=[f(x)]2+f(x2)的最大值是__________。12、A={y|y=x2-4x+6，y∈N}，B={y|y=-x2-2x+18，y∈N}，則A∩B中全部元素的和是__________。13、假設φ(x)，g(x)都是奇函數(shù)，f(x)=mφ(x)+ng(x)+2在〔0，+∞〕上有最大值，則f(x)在〔-∞，0〕上最小值為__________。14、函數(shù)y=log2(x2+1)〔x>0〕的反函數(shù)是__________。15、求值：=__________。解答題16、假設函數(shù)的值域為[-1，5]，求a，c。17、設定義在[-2，2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，假設f(1-m)<f(m)，務實數(shù)m的取值范圍。18、0<a<1，在函數(shù)y=logax〔x≥1〕的圖象上有A，B，C三點，它們的橫坐標分別是t，t+2，t+4假設△ABC面積為S，求S=f(t)；推斷S=f(t)的單調(diào)性；求S=f(t)最大值。設f(x)=，x∈R證明：對隨意實數(shù)a，f(x)在〔-∞，+∞〕上是增函數(shù)；當f(x)為奇函數(shù)時，求a；當f(x)為奇函數(shù)時，對于給定的正實數(shù)k，解不等式。設0<a<1，函數(shù)f(x)=的定義域為[m，n]，值[logaa(n-1)，logaa(m-1)]，求證：m>3；求a的取值范圍。數(shù)列一、復習要求等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義，通項公式，前n項和公式及性質(zhì)；2、一般數(shù)列的通項及前n項和計算。二、學習指導1、數(shù)列，是根據(jù)確定依次排列而成的一列數(shù)，從函數(shù)角度看，這種依次法則就是函數(shù)的對應法則，因此數(shù)列可以看作是一個特殊的函數(shù)，其特殊性在于：第一，定義域是正整數(shù)集或其子集；第二，值域是有依次的，不能用集合符號表示。探討數(shù)列，首先探討對應法則——通項公式：an=f(n)，n∈N+，要能合理地由數(shù)列前n項寫出通項公式，其次探討前n項和公式Sn：Sn=a1+a2+…an，由Sn定義，得到數(shù)列中的重要公式：。一般數(shù)列的an及Sn,，除化歸為等差數(shù)列及等比數(shù)列外，求Sn還有以下基此題型：列項相消法，錯位相消法。2、等差數(shù)列〔1〕定義，{an}為等差數(shù)列an+1-an=d〔常數(shù)〕，n∈N+2an=an-1+an+1〔n≥2，n∈N+〕；〔2〕通項公式：an=an+(n-1)d，an=am+(n-m)d；前n項和公式：；〔3〕性質(zhì)：an=an+b，即an是n的一次型函數(shù)，系數(shù)a為等差數(shù)列的公差；Sn=an2+bn，即Sn是n的不含常數(shù)項的二次函數(shù)；假設{an}，{bn}均為等差數(shù)列，則{an±nn},{},{kan+c}〔k，c為常數(shù)〕均為等差數(shù)列；當m+n=p+q時，am+an=ap+aq，特例：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…；當2n=p+q時，2an=ap+aq；當n為奇數(shù)時，S2n-1=(2n-1)an；S奇=a中，S偶=a中。3、等比數(shù)列定義：=q〔q為常數(shù)，an≠0〕；an2=an-1an+1〔n≥2，n∈N+〕；通項公式：an=a1qn-1，an=amqn-m;前n項和公式：；性質(zhì)當m+n=p+q時，aman=apaq，特例：a1an=a2an-1=a3an-2=…，當2n=p+q時，an2=apaq，數(shù)列{kan}，{}成等比數(shù)列。4、等差、等比數(shù)列的應用〔1〕根本量的思想：常設首項、公差及首項、公比為根本量，借助于消元思想及解方程組思想等；〔2〕敏捷運用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，簡化計算；〔3〕假設{an}為等差數(shù)列，則{}為等比數(shù)列〔a>0且a≠1〕；假設{an}為正數(shù)等比數(shù)列，則{logaan}為等差數(shù)列〔a>0且a≠1〕。三、典型例題例1、數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差d≠0，其中，，…，恰為等比數(shù)列，假設k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+…+kn。解題思路分析：從找尋新、舊數(shù)列的關系著手設{an}首項為a1，公差為d∵a1，a5，a17成等比數(shù)列∴a52=a1a17∴〔a1+4d〕2=a1(a1+16d)∴a1=2d設等比數(shù)列公比為q，則對項來說，在等差數(shù)列中：在等比數(shù)列中：∴∴注：此題把k1+k2+…+kn看成是數(shù)列{kn}的求和問題，著重分析{kn}的通項公式。這是解決數(shù)列問題的一般方法，稱為“通項分析法〞。例2、設數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，S7=7，S15=75,Tn為數(shù)列{}的前n項和，求Tn。解題思路分析：法一：利用根本元素分析法設{an}首項為a1，公差為d，則∴∴∴此式為n的一次函數(shù)∴{}為等差數(shù)列∴法二：{an}為等差數(shù)列，設Sn=An2+Bn∴解之得：∴，下略注：法二利用了等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)例3、正數(shù)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且，求：數(shù)列{an}的通項公式；設，數(shù)列{bn}的前n項的和為Bn，求證：Bn.解題思路分析：涉及到an及Sn的遞推關系，一般都用an=Sn-Sn-1〔n≥2〕消元化歸。∵∴4Sn=(an+1)2∴4Sn-1=(an-1+1)2〔n≥2〕∴4(Sn-Sn-1)=(an+1)2-(an-1+1)2∴4an=an2-an-12+2an-2an-1整理得：(an-1+an)(an-an-1-2)=0∵an>0∴an-an-1=2∴{an}為公差為2的等差數(shù)列在中，令n=1，a1=1∴an=2n-1〔II〕∴注：遞推是學好數(shù)列的重要思想，例此題由4Sn=(an+1)2推出4Sn-1=(an-1+1)2，它其實就是函數(shù)中的變量代換法。在數(shù)列中一般用n-1，n+1等去代替n，事實上也就是說條件中的遞推關系是關于n的恒等式，代換就是對n賦值。例4、等差數(shù)列{an}中，前m項的和為77〔m為奇數(shù)〕，其中偶數(shù)項的和為33，且a1-am=18，求這個數(shù)列的通項公式。分析：利用前奇數(shù)項和和及中項的關系令m=2n-1，n∈N+則∴∴n=4∴m=7∴an=11∴a1+am=2an=22又a1-am=18∴a1=20，am=2∴d=-3∴an=-3n+23例5、設{an}是等差數(shù)列，，b1+b2+b3=，b1b2b3=，求等差數(shù)列的通項an。解題思路分析：∵{an}為等差數(shù)列∴{bn}為等比數(shù)列從求解{bn}著手∵b1b3=b22∴b23=∴b2=∴∴或∴或∵∴∴an=2n-3或an=-2n+5注：此題化歸為{bn}求解，比較簡潔。假設用{an}求解，則運算量較大。例6、{an}是首項為2，公比為的等比數(shù)列，Sn為它的前n項和，用Sn表示Sn+1；是否存在自然數(shù)c和k，使得成立。解題思路分析：〔1〕∵∴〔2〕〔*〕∵∴∴式〔*〕①∵Sk+1>Sk∴又Sk<4∴由①得：c=2或c=3當c=2時∵S1=2∴k=1時，c<Sk不成立，從而式①不成立∵∴由Sk<Sk+1得：∴當k≥2時，，從而式①不成立當c=3時，S12，S2=3∴當k=1，2時，C<Sk不成立∴式①不成立∵∴當k≥3時，，從而式①不成立綜上所述，不存在自然數(shù)c，k，使成立例7、某公司全的利潤為b元，其中一部分作為資金發(fā)給n位職工，資金安排方案如下：首先將職工按工作業(yè)績〔工作業(yè)績均不相等〕從大到小，由1到n排序，第1位職工得資金元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將資金逐一發(fā)給每位職工，并將最終剩余部分作為公司開展基金?！?〕設ak〔1≤k≤n〕為第k位職工所得資金額，試求a2，a3，并用k，n和b表示ak〔不必證明〕；〔2〕證明：ak<ak+1〔k=1，2，…，n-1〕，并說明此不等式關于安排原則的實際意義。解題思路分析：談懂題意，理清關系，建立模型第1位職工的獎金第2位職工的獎金第3位職工的獎金……第k位職工的獎金〔2〕此獎金安排方案表達了“按勞安排〞或“不吃大鍋飯〞等原則。例8、試問數(shù)列{}的前多少項的和最大，并求這個最大值〔〕解題思路分析：法一：∴{an}為首項為2，公差為的等差數(shù)列∴∵n∈N+∴n=14時，(Sn)max=14.35法二：∵a1=2>0，d=∴{an}是遞減數(shù)列，且Sn必為最大值設∴∴∴k=14∴(Sn)max=S14四、同步練習選擇題1、a，b，a+b成等差數(shù)列，a，b，ab成等比數(shù)列，且0<logmab<1，則m取值范圍是A、m>1B、1<m<8C、m>8D、0<m<1或2、設a>0，b>0，a，x1，x2，b成等差數(shù)列，a，y1，y2，b成等比數(shù)列，則x1+x2及y1+y2的大小關系是A、x1+x2≤y1+y2B、x1+x2≥y1+y2C、x1+x2<y1+y2D、x1+x2>y1+y2Sn是{an}的前n項和，Sn=Pn〔P∈R，n∈N+〕，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列B、當P≠0時是等比數(shù)列當P≠0，P≠1時是等比數(shù)列D、不是等比數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，則a3A、5B、10C、15D、20a，b，c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y=ax2+2bx+c的圖象及x軸交點個數(shù)是0B、1C、2D、1或2設m∈N+，log2m的整數(shù)部分用F(m)表示，則F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是8204B、8192C、9218D、80217、假設x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0〔a≠b〕的四個根可組成首項為的等差數(shù)列，則a+b的值為B、C、D、在100以內(nèi)全部能被3整除但不能被7整除的正整數(shù)和是A、1557B、1473C、1470D、13689、從材料工地運送電線桿到500m以外的馬路，沿馬路一側(cè)每隔5011700mB、14700mC、14500mD、10、等差數(shù)列{an}中，|a3|=|a9|，公差d<0，則使前n項和Sn取最大值的正整數(shù)n是A、4或5B、5或6C、6或7D、8或9填空題11、數(shù)列{an}滿意a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)，則它的前n項和Sn=______。12、設等差數(shù)列{an}共有3n項，它的前2n項之和為100，后2n項之和為200，則該等差數(shù)列的中間n項的和等于________。13、設數(shù)列{an}，{bn}〔bn>0〕，n∈N+滿意〔n∈N+〕，則{an}為等差數(shù)列是{bn}為等比數(shù)列的________條件。14、長方體的三條棱成等比數(shù)列，假設體積為216cm3，則全面積的最小值是______cm215、假設不等于1的三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，則(2-logba)(1+logca)=________。解答題16、一個等比數(shù)列首項為1，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為85，偶數(shù)項之和為170，求這個數(shù)列的公比和項數(shù)。17、等比數(shù)列{an}的首項為a1>0，公比q>-1〔q≠1〕，設數(shù)列{bn}的通項bn=an+1+an+2〔n∈N+〕，數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別記為An，Bn，試比較An及Bn大小。18、數(shù)列{an}中，a1=8，a4=2且滿意an+2=2an+1-an〔n∈N+〕求數(shù)列{an}通項公式；設Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Sn；設〔n∈N+〕Tn=b1+b2+…+bn，是否存在最大的整數(shù)m，使得對于隨意的n∈N+，均有成立？假設存在，求出m的值；假設不存在，說明理由。三角函數(shù)一、復習要求三角函數(shù)的概念及象限角、弧度制等概念；2、三角公式，包括誘導公式，同角三角函數(shù)關系式和差倍半公式等；3、三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)。二、學習指導1、角的概念的推廣。從運動的角度，在旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)圈數(shù)上引進負角及大于3600的角。這樣一來，在直角坐標系中，當角的終邊確定時，其大小不確定〔通常把角的始邊放在x軸正半軸上，角的頂點及原點重合，下同〕。為了把握這些角之間的聯(lián)絡，引進終邊一樣的角的概念，但凡及終邊α一樣的角，都可以表示成k·3600+α的形式，特例，終邊在x軸上的角集合{α|α=k·1800，k∈Z}，終邊在y軸上的角集合{α|α=k·1800+900，k∈Z}，終邊在坐標軸上的角的集合{α|α=k·900，k∈Z}。在三角函數(shù)值的大小求角的大小時，通常先確定角的終邊位置，然后再確定大小?；《戎剖墙堑亩攘康闹匾硎痉?，能正確地進展弧度及角度的換算，熟記特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧長公式=|α|R，扇形面積公式，其中α為弧所對圓心角的弧度數(shù)。2、利用直角坐標系，可以把直角三角形中的三角函數(shù)推廣到隨意角的三角數(shù)。三角函數(shù)定義是本章重點，從它可以推出一些三角公式。重視用數(shù)學定義解題。設P(x，y)是角α終邊上任一點〔及原點不重合〕，記，則，，，。利用三角函數(shù)定義，可以得到〔1〕誘導公式：即及α之間函數(shù)值關系〔k∈Z〕，其規(guī)律是“奇變偶不變，符號看象限〞；〔2〕同角三角函數(shù)關系式：平方關系，倒數(shù)關系，商數(shù)關系。3、三角變換公式包括和、差、倍、半公式，誘導公式是和差公式的特例，對公式要嫻熟地正用、逆用、變用。如倍角公式：cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α，變形后得，可以作為降冪公式運用。三角變換公式除用來化簡三角函數(shù)式外，還為探討三角函數(shù)圖象及性質(zhì)做打算。4、三角函數(shù)的性質(zhì)除了一般函數(shù)通性外，還出現(xiàn)了前面幾種函數(shù)所沒有的周期性。周期性的定義：設T為非零常數(shù)，假設對f(x)定義域中的每一個x，均有f(x+T)=f(x)，則稱T為f(x)的周期。當T為f(x)周期時，kT〔k∈Z，k≠0〕也為f(x)周期。三角函數(shù)圖象是性質(zhì)的重要組成部分。利用單位圓中的三角函數(shù)線作函數(shù)圖象稱為幾何作圖法，嫻熟駕馭平移、伸縮、振幅等變換法則。5、本章思想方法等價變換。嫻熟運用公式對問題進展轉(zhuǎn)化，化歸為熟識的根本問題；數(shù)形結合。充分利用單位圓中的三角函數(shù)線及三角函數(shù)圖象扶植解題；分類探討。三、典型例題函數(shù)f(x)=求它的定義域和值域；求它的單調(diào)區(qū)間；推斷它的奇偶性；推斷它的周期性。分析：〔1〕x必需滿意sinx-cosx>0，利用單位圓中的三角函數(shù)線及，k∈Z∴函數(shù)定義域為，k∈Z∵∴當x∈時，∴∴∴函數(shù)值域為[〕〔3〕∵f(x)定義域在數(shù)軸上對應的點關于原點不對稱∴f(x)不具備奇偶性〔4〕∵f(x+2π)=f(x)∴函數(shù)f(x)最小正周期為2π注；利用單位圓中的三角函數(shù)線可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分線為標準，可區(qū)分sinx-cosx的符號；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分線為標準，可區(qū)分sinx+cosx的符號，如圖?；?，α∈〔π，2π〕分析：湊根號下為完全平方式，化無理式為有理式∵∴原式=∵α∈〔π，2π〕∴∴當時，∴原式=當時，∴原式=∴原式=注：1、此題利用了“1”的逆代技巧，即化1為，是欲擒故縱原則。一般地有，，。2、三角函數(shù)式asinx+bcosx是根本三角函數(shù)式之一，引進協(xié)助角，將它化為〔取〕是常用變形手段。特殊是及特殊角有關的sin±cosx，±sinx±cosx，要嫻熟駕馭變形結論。求。分析：原式=注：在化簡三角函數(shù)式過程中，除利用三角變換公式，還需用到代數(shù)變形公式，如此題平方差公式。例4、00<α<β<900，且sinα，sinβ是方程=0的兩個實數(shù)根，求sin(β-5α)的值。分析：由韋達定理得sinα+sinβ=cos400，sinαsinβ=cos2400-∴sinβ-sinα=又sinα+sinβ=cos400∴∵00<α<β<900∴∴sin(β-5α)=sin600=注：利用韋達定理變形找尋及sinα，sinβ相關的方程組，在求出sinα，sinβ后再利用單調(diào)性求α，β的值。例5、〔1〕cos(2α+β)+5cosβ=0，求tan(α+β)·tanα的值；〔2〕，求的值。分析：從變換角的差異著手?！?α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α∴8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0綻開得：13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0同除以cos(α+β)cosα得：tan(α+β)tanα=以三角函數(shù)構造特點動身∵∴∴tanθ=2∴注；齊次式是三角函數(shù)式中的根本式，其處理方法是化切或降冪。例6、函數(shù)〔a∈(0，1)〕，求f(x)的最值，并探討周期性，奇偶性，單調(diào)性。分析：對三角函數(shù)式降冪∴f(x)=令則y=au∴0<a<1∴y=au是減函數(shù)∴由得，此為f(x)的減區(qū)間由得，此為f(x)增區(qū)間∵u(-x)=u(x)∴f(x)=f(-x)∴f(x)為偶函數(shù)∵u(x+π)=f(x)∴f(x+π)=f(x)∴f(x)為周期函數(shù)，最小正周期為π當x=kπ〔k∈Z〕時，ymin=1當x=kπ+〔k∈Z〕時，ynax=注：探討三角函數(shù)性質(zhì)，一般降冪化為y=Asin(ωx+φ)等一名一次一項的形式。四、同步練習選擇題1、以下函數(shù)中，既是〔0，〕上的增函數(shù)，又是以π為周期的偶函數(shù)是A、y=lgx2B、y=|sinx|C、y=cosxD、y=假如函數(shù)y=sin2x+acos2x圖象關于直線x=-對稱，則a值為-B、-1C、1D、3、函數(shù)y=Asin(ωx+φ)〔A>0，φ>0〕，在一個周期內(nèi)，當x=時，ymax=2；當x=時，ymin=-2，則此函數(shù)解析式為A、B、C、D、4、=1998，則的值為A、1997B、1998C、1999D、20005、tanα，tanβ是方程兩根，且α，β，則α+β等于A、B、或C、或D、6、假設，則sinx·siny的最小值為A、-1B、-C、D、7、函數(shù)f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700)的最大值是A、5.5B、C、7D、88、假設θ∈〔0，2π]，則使sinθ<cosθ<cotθ<tanθ成立的θ取值范圍是A、〔〕B、〔〕C、〔〕D、〔〕9、以下命題正確的選項是假設α，β是第一象限角，α>β，則sinα>sinβ函數(shù)y=sinx·cotx的單調(diào)區(qū)間是，k∈Z函數(shù)的最小正周期是2π函數(shù)y=sinxcos2φ-cosxsin2x的圖象關于y軸對稱，則，k∈Z函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是B、D、k∈Z填空題函數(shù)f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的圖象關于y軸對稱，則θ=________。α+β=，且(tanαtanβ+c)+tanα=0〔c為常數(shù)〕，則tanβ=______。函數(shù)y=2sinxcosx-(cos2x-sin2x)的最大值及最小值的積為________。(x-1)2+(y-1)2=1，則x+y的最大值為________。函數(shù)f(x)=sin3x圖象的對稱中心是________。解答題tan(α-β)=，tanβ=，α，β∈〔-π，0〕，求2α-β的值。是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)y=sin2x+acosx+在閉區(qū)間[0，]上的最大值是1？假設存在，求出對應的a值。18、f(x)=5sinxcosx-cos2x+〔x∈R〕求f(x)的最小正周期；求f(x)單調(diào)區(qū)間；求f(x)圖象的對稱軸，對稱中心。平面對量一、復習要求向量的概念；2、向量的線性運算：即向量的加減法，實數(shù)及向量的乘積，兩個向量的數(shù)量積等的定義，運算律；3、向量運算的運用二、學習指導1、向量是數(shù)形結合的典范。向量的幾何表示法——有向線段表示法是運用幾何性質(zhì)解決向量問題的根底。在向量的運算過程中，借助于圖形性質(zhì)不僅可以給抽象運算以直觀說明，有時甚至更簡捷。向量運算中的根本圖形：①向量加減法則：三角形或平行四邊形；②實數(shù)及向量乘積的幾何意義——共線；③定比分點根本圖形——起點一樣的三個向量終點共線等。向量的三種線性運算及運算的三種形式。向量的加減法，實數(shù)及向量的乘積，兩個向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運算，前兩者的結果是向量，兩個向量數(shù)量積的結果是數(shù)量。每一種運算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號、坐標語言。主要內(nèi)容列表如下：運算圖形語言符號語言坐標語言加法及減法+=-=記=(x1,y1)，=(x1,y2)則+=(x1+x2,y1+y2)-=〔x2-x1,y2-y1〕+=實數(shù)及向量的乘積=λλ∈R記=(x,y)則λ=(λx,λy)兩個向量的數(shù)量積·=||||cos<,>記=(x1,y1),=(x2,y2)則·=x1x2+y1y2運算律加法：+=+，(+)+=+(+)實數(shù)及向量的乘積：λ(+)=λ+λ；(λ+μ)=λ+μ，λ(μ)=(λμ)兩個向量的數(shù)量積：·=·；(λ)·=·(λ)=λ(·)，(+)·=·+·說明：根據(jù)向量運算律可知，兩個向量之間的線性運算滿意實數(shù)多項式乘積的運算法則，正確遷移實數(shù)的運算性質(zhì)可以簡化向量的運算，例如(±)2=重要定理、公式〔1〕平面對量根本定理；假如+是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于該平面內(nèi)任一向量，有且只有一對數(shù)數(shù)λ1，λ2，滿意=λ1+λ2，稱λ1λ+λ2為，的線性組合。根據(jù)平面對量根本定理，任一向量及有序數(shù)對(λ1,λ2)一一對應，稱(λ1,λ2)為在基底{，}下的坐標，當取{，}為單位正交基底{，}時定義(λ1，λ2)為向量的平面直角坐標。向量坐標及點坐標的關系：當向量起點在原點時，定義向量坐標為終點坐標，即假設A(x，y)，則=〔x,y〕；當向量起點不在原點時，向量坐標為終點坐標減去起點坐標，即假設A〔x1,y1〕，B〔x2,y2〕，則=(x2-x1,y2-y1)〔2〕兩個向量平行的充要條件符號語言：假設∥，≠，則=λ坐標語言為：設=〔x1,y1〕，=(x2,y2)，則∥(x1,y1)=λ(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0在這里，實數(shù)λ是唯一存在的，當及同向時，λ>0；當及異向時，λ<0。|λ|=，λ的大小由及的大小確定。因此，當，確定時，λ的符號及大小就確定了。這就是實數(shù)乘向量中λ的幾何意義。〔3〕兩個向量垂直的充要條件符號語言：⊥·=0坐標語言：設=(x1,y1),=(x2,y2)，則⊥x1x2+y1y2=0〔4〕線段定比分點公式如圖，設則定比分點向量式：定比分點坐標式：設P〔x,y〕，P1〔x1,y1〕，P2〔x2,y2〕則特例：當λ=1時，就得到中點公式：，事實上，對于起點一樣，終點共線三個向量，，〔O及P1P2不共線〕，總有=u+v，u+v=1，即總可以用其中兩個向量的線性組合表示第三個向量，且系數(shù)和為1?！?〕平移公式：點平移公式，假如點P〔x，y〕按=〔h，k〕平移至P’〔x’，y’〕，則分別稱〔x，y〕，〔x’，y’〕為舊、新坐標，為平移法則在點P新、舊坐標及平移法則三組坐標中，兩組坐標，確定可以求第三組坐標②圖形平移：設曲線C：y=f(x)按=〔h，k〕平移，則平移后曲線C’對應的解析式為y-k=f(x-h)當h，k中有一個為零時，就是前面已經(jīng)探討過的左右及上下移利用平移變換可以化簡函數(shù)解析式，從而便于探討曲線的幾何性質(zhì)〔6〕正弦定理，余弦定理正弦定理：余弦定理：a2=b2+c2-2cbcosAb2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosc定理變形：cosA=，cosB=，cosC=正弦定理及余弦定理是解決三角形的重要而又根本的工具。通過閱讀課本，理解用向量法推導正、余弦定理的重要思想方法。5、向量既是重要的數(shù)學概念，也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直，線線平行，求夾角等，特殊是直角坐標系的引入，表達了向量解決問題的“程序性〞特點。三、典型例題例1、如圖，，為單位向量，及夾角為1200，及的夾角為450，||=5，用，表示。分析：以，為鄰邊，為對角線構造平行四邊形把向量在，方向上進展分解，如圖，設=λ，=μ，λ>0，μ>0則=λ+μ∵||=||=1∴λ=||，μ=||OEC中，∠E=600，∠OCE=750，由得：∴∴說明：用假設干個向量的線性組合表示一個向量，是向量中的根本而又重要的問題，通常通過構造平行四邊形來處理例2、△ABC中，A〔2，-1〕，B〔3，2〕，C〔-3，-1〕，BC邊上的高為AD，求點D和向量坐標。分析：用解方程組思想設D〔x，y〕，則=〔x-2，y+1〕∵=〔-6，-3〕，·=0∴-6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0①∵=(x-3，y-2)，∥∴-6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0②由①②得：∴D〔1，1〕，=〔-1，2〕例3、求及向量=，-1〕和=〔1，〕夾角相等，且模為的向量的坐標。分析：用解方程組思想法一：設=〔x，y〕，則·=x-y，·=x+y∵<，>=<，>∴∴即①又||=∴x2+y2=2②由①②得或〔舍〕∴=法二：從分析形的特征著手∵||=||=2·=0∴△AOB為等腰直角三角形，如圖∵||=，∠AOC=∠BOC∴C為AB中點∴C〔〕說明：數(shù)形結合是學好向量的重要思想方法，分析圖中的幾何性質(zhì)可以簡化計算。例4、在△OAB的邊OA、OB上分別取點M、N，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，設線段AN及BM交于點P，記=，=，用，表示向量。分析：∵B、P、M共線∴記=s∴①同理，記∴=②∵,不共線∴由①②得解之得：∴說明：從點共線轉(zhuǎn)化為向量共線，進而引入?yún)?shù)〔如s，t〕是常用技巧之一。平面對量根本定理是向量重要定理之一，利用該定理唯一性的性質(zhì)得到關于s，t的方程。例5、長方形ABCD，AB=3，BC=2，E為BC中點，P為AB上一點利用向量學問斷定點P在什么位置時，∠PED=450；假設∠PED=450，求證：P、D、C、E四點共圓。分析：利用坐標系可以確定點P位置如圖，建立平面直角坐標系則C〔2，0〕，D〔2，3〕，E〔1，0〕設P〔0，y〕∴=〔1，3〕，=〔-1，y〕∴·=3y-1代入cos450=解之得〔舍〕，或y=2∴點P為靠近點A的AB三等分處當∠PED=450時，由〔1〕知P〔0，2〕∴=〔2，1〕，=〔-1，2〕∴·=0∴∠DPE=900又∠DCE=900∴D、P、E、C四點共圓說明：利用向量處理幾何問題一步要驟為：①建立平面直角坐標系；②設點的坐標；③求出有關向量的坐標；④利用向量的運算計算結果；⑤得到結論。四、同步練習選擇題平面內(nèi)三點A〔0，-3〕，B〔3，3〕，C〔x，-1〕，假設∥，則x的值為：-5B、-1C、1D、52、平面上A〔-2，1〕，B〔1，4〕，D〔4，-3〕，C點滿意，連DC并延長至E，使||=||，則點E坐標為：A、〔-8，〕B、〔〕C、〔0，1〕D、〔0，1〕或〔2，〕點〔2，-1〕沿向量平移到〔-2，1〕，則點〔-2，1〕沿平移到：A、〔2，-1〕B、〔-2，1〕C、〔6，-3〕D、〔-6，3〕△ABC中，2cosB·sinC=sinA，則此三角形是：直角三角形B、等腰三角形C、等邊三角形D、以上均有可能設，，是隨意的非零平面對量，且互相不共線，則：①(·)-(·)=0②||-||<|-|③(·)-(·)不及垂直④(3+2)·(3-2)=9||2-4|2中，真命題是：A、①②B、②③C、③④D、②④6、△ABC中，假設a4+b4+c4=2c2(a2+b2)，則∠C度數(shù)是：A、600B、450或1350C、12007、△OAB中，=，=，=，假設=，t∈R，則點P在A、∠AOB平分線所在直線上B、線段AB中垂線上C、AB邊所在直線上D、AB邊的中線上8、正方形PQRS對角線交點為M，坐標原點O不在正方形內(nèi)部，且=〔0，3〕，=〔4，0〕，則=A、〔〕B、〔〕C、〔7，4〕D、〔〕填空題9、{，|是平面上一個基底，假設=+λ，=-2λ-，假設，共線，則λ=__________。10、||=，||=1，·=-9，則及的夾角是________。11、設，是兩個單位向量，它們夾角為600，則(2-)·(-3+2)=____________。12、把函數(shù)y=cosx圖象沿平移，得到函數(shù)___________的圖象。解答題13、設=〔3，1〕，=〔-1，2〕，⊥，∥，試求滿意+=的的坐標，其中O為坐標原點。14、假設+=〔2，-8〕，-=〔-8，16〕，求、及及夾角θ的余弦值。15、||=，||=3，和夾角為450，求當向量+λ及λ+夾角為銳角時，λ的取值范圍。不等式一、復習要求不等式的概念及性質(zhì)；2、不等式的證明；3、不等式的解法；4、不等式的應用。二、學習指導不等式的性質(zhì)是證明不等式和解不等式的根底。不等式的根本性質(zhì)有：對稱性或反身性：a>bb<a；傳遞性：假設a>b，b>c，則a>c；可加性：a>ba+c>b+c，此法則又稱為移項法則；可乘性：a>b，當c>0時，ac>bc；當c<0時，ac<bc。不等式運算性質(zhì)：同向相加：假設a>b，c>d，則a+c>b+d；正數(shù)同向相乘：假設a>b>0，c>d>0，則ac>bd。特例：〔3〕乘方法則：假設a>b>0，n∈N+，則；〔4〕開方法則：假設a>b>0，n∈N+，則；倒數(shù)法則：假設ab>0，a>b，則。駕馭不等式的性質(zhì)，應留意：條件及結論間的對應關系，如是“〞符號還是“〞符號；不等式性質(zhì)的重點是不等號方向，條件及不等號方向是嚴密相連的。2、均值不等式；利用完全平方式的性質(zhì)，可得a2+b2≥2ab〔a，b∈R〕，該不等式可推廣為a2+b2≥2|ab|；或變形為|ab|≤；當a，b≥0時，a+b≥或ab≤.在詳細條件下選擇適當?shù)男问健?、不等式的證明：不等式證明的常用方法：比較法，公式法，分析法，反證法，換元法，放縮法；在不等式證明過程中，應留意及不等式的運算性質(zhì)結合運用；證明不等式的過程中，放大或縮小應適度。不等式的解法：解不等式是找尋使不等式成立的充要條件，因此在解不等式過程中應使每一步的變形都要恒等。一元二次不等式〔組〕是解不等式的根底，一元二次不等式是解不等式的基此題型。利用序軸標根法可以解分式及高次不等式。含參數(shù)的不等式應適當分類探討。5、不等式的應用相當廣泛，如求函數(shù)的定義域，值域，探討函數(shù)單調(diào)性等。在解決問題過程中，應當擅長發(fā)覺詳細問題背景下的不等式模型。用根本不等式求分式函數(shù)及多元函數(shù)最值是求函數(shù)最值的初等數(shù)學方法之一。探討不等式結合函數(shù)思想，數(shù)形結合思想，等價變換思想等。三、典型例題f(x)=ax2-c，-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，試求f(3)的取值范圍。分析：從條件和結論互相化歸的角度看，用f(1)，f(2)的線性組合來表示f(3)，再利用不等式的性質(zhì)求解。設f(3)=mf(1)+nf(2)∴9a-c=m(a-c)+n(4a-c)∴9a-c=(m+4n)a-(m+n)c∴∴∴f(3)=∵-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5∴≤≤,≤≤∴-1≤f(3)≤20說明：1、此題也可以先用f(1)，f(2)表示a，c，即a=[f(2)-f(1)]，c=[f(2)-4f(1)]，然后代入f(3)，到達用f(1)，f(2)表示f(3)的目的。2、此題典型錯誤是從-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5中解出a，c的范圍，然后再用不等式的運算性質(zhì)求f(3)=9a-c的范圍。錯誤的緣由此題還可用線性規(guī)劃學問求解。設a>0，b>0，求證：≥。分析：法一：比差法，當不等式是代數(shù)不等式時，常用比差法，比差法的三步驟即為函數(shù)單調(diào)性證明的步驟。左-右=≥0∴左≥右法二：根本不等式根據(jù)不等號的方向應自左向右進展縮小，為了出現(xiàn)右邊的整式形式，用配方的技巧?！摺荨荨鄡墒较嗉拥茫骸菰O實數(shù)x，y滿意y+x2=0，0<a<1，求證：≤。分析：∵≥，≤，0<a<1∴≥∴≥∴≤說明：此題在放縮過程中，利用了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)學問及不等式是嚴密相連的。例4、a，b為正常數(shù)，x，y為正實數(shù)，且，求x+y的最小值。分析：法一：干脆利用根本不等式：≥當且僅當，即時等號成立說明：為了使得等號成立，此題利用了“1〞的逆代換。法二：消元為一元函數(shù)途徑一：由得∴∵x>0，y>0，a>0∴由>0得y-b>0∴x+y≥當且僅當，即時，等號成立途徑二：令，，∈〔0，〕∴，∴x+y=≥當且僅當時，等號成立說明：此題從代數(shù)消元或三角換元兩種途徑起到了消元作用。例5、f(x)=-3x2+a(6-a)x+b解關于a的不等式f(1)>0；當不等式f(x)>0的解集為〔-1，3〕時，務實數(shù)a，b的值。分析：f(1)=-3+a(6-a)+b=-a2+6a+b-3∵f(1)>0∴a2-6a+3-b<0=24+4b當b≤-6時，△≤0∴f(1)>0的解集為φ；當b>-6時，∴f(1)>0的解集為〔2〕∵不等式-3x2+a(6-a)x+b>0的解集為〔-1，3〕∴f(x)>0及不等式(x+1)(x-3)<0同解∵3x2-a(6-a)x-b<0解集為〔-1，3〕∴解之得例6、設a，b∈R，關于x方程x2+ax+b=0的實根為α，β，假設|a|+|b|<1，求證：|α|<1，|β|<1。解題思路分析：在不等式、方程、函數(shù)的綜合題中，通常以函數(shù)為中心。法一：令f(x)=x2+ax+b則f(1)=1+a+b>1-(|a|+|b|)>1-1=0f(-1)=1-a+b>1-(|a|+|b|)>0又∵0<|a|≤|a|+|b|<1∴-1<a<1∴∴f(x)=0的兩根在〔-1，1〕內(nèi)，即|α|<1，|β|<1法二：∵α+β=-a，αβ=b∴|α+β|+|αβ|=|α|+|β|<1∴|α|-|β|+|α||β|<|α+β|+|αβ|<1∴〔|α|-1〕〔|β|+1〕<0∵|β|+1>0∴|α|<1同理：|β|<1說明：對確定值不等式的處理技巧是適度放縮，如|a|-|b|≤|a+b|及|b|-|a|≤|a±b|的選擇等。例7、某人乘坐出租車從A地到乙地，有兩種方案：第一種方案，乘起步價為10元，每km價元的出租車；第二種方案，乘起步價為8元，每km價1.4元的出租車，按出租車管理條例，在起步價內(nèi)，不同型號的出租車行駛的里路是相等的，則此人從A地到B地選擇哪一種方案比較合適？分析：設A地到B地間隔為mkm，起步價內(nèi)行駛的路為akm明顯，當m≤a時，選起步價為8元的出租車比較相宜當m>a時，設m=a+x〔x>0〕，乘坐起步價為10元的出租車費用為P(x)元，乘坐起步價為8元的出租車費用為Q(x)元，則P，Q∵P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x)∴當x>0時，P(x)<Q(x)，此時起步價為10元的出租車比較相宜當x<10時，P(x)>Q(x)，此時選起步價為8元的出租車比較相宜當x=10時，此時兩種出租車任選四、同步練習選擇題1、“a>0且b>0”是“≥〞的A、充分而非必要條件B、必要而非充要條件C、充要條件D、既非充分又非必要條件2、設a<0，則關于x的不等式42x2+ax-a2<0的解集為A、〔〕B、〔〕C、〔〕D、φ假設0<a<b且a+b=1，則四個數(shù)，b，2ab，a2+b2中最大的是B、bC、2abD、a2+b2x>0，f(x)=，則A、f(x)≤2B、f(x)≥10C、f(x)≥6D、f(x)≤3，〔a>2〕，則p>qB、p<qC、p≥qD、p≤q假設|a-c|<h，|b-c|<h，則以下不等式確定成立的是|a-b|<2hB、|a-b|>2hC、|a-b|<hD、|a-b|>h關于x的方程9x+(a+4)·3x+4=0有解，則實數(shù)a的取值范圍是〔-∞，-8]∪[0，+∞〕B、〔-∞，-4〕[-8，4〕D、〔-∞，-8]假設a>0，b>0，且2a+b=1，則S=2-4a2-b2的最大值是B、C、D、填空題設a>0，b>0，a，b是常數(shù)，則當x>0時，函數(shù)f(x)=的最小值是______。10、周長為的直角三角形面積的最大值為__________。11、記S=，則S及1的大小關系是__________。12、不等式|x2-2x+3|<|3x-1|的解集為__________。解答題13、要使不等式≤對全部正數(shù)x，y都成立，試問k的最小值是多少？14、解關于x的不等式15、a≠0，求證：≥16、不等式對n∈N+都成立，試務實數(shù)a的取值范圍。17、假設a是正實數(shù)，2a2+3b2=10，求的最值。18、商店經(jīng)銷某商品，銷售量為D件，每件商品庫存費用為I元，每批進貨量為Q件，每次進貨所需費用為S元，現(xiàn)假定商店在賣完該貨物時馬上進貨，使庫存量平均為件，問每批進貨量Q為多大時，整個費用最??？直線和圓的方程一、復習要求直線方程的五種表現(xiàn)形式，如何求直線方程；二元一次不等式的幾何意義及運用。2、圓的方程三種形式，如何求圓的方程。3、直線和圓位置關系的探討。二、學習指導曲線和方程是中學數(shù)學的兩種常見探討對象。借助于平面直角坐標系，形和數(shù)可以得到高度的統(tǒng)一，它們最根本的對應關系是點和有序數(shù)對的一一對應。當點運動形成軌跡時，對應坐標便會滿意一個方程。當曲線C和方程F(x，y)=0滿意如下關系時：①曲線C上點的坐標都是方程F(x，y)=0的解；②以方程F(x，y)=0的解為坐標的點都在曲線C上，則稱曲線C為方程F(x，y)=0表示的曲線；方程F(x，y)=0是曲線C表示的方程。從集合角度看，點集〔曲線〕及方程解集相等。解析幾何探討的內(nèi)容就是給定曲線C，如何求出它所對應的方程，并根據(jù)方程的理論探討曲線的幾何性質(zhì)。其特征是以數(shù)解形。坐標法是幾何問題代數(shù)化的重要方法。2、直線的傾斜角α和斜率k是描繪直線位置的重要參數(shù)，它們之間關系是正切函數(shù)關系：k=tanα，α∈[0，，當α=時，直線斜率不存在，否則由α求出唯一的k及之對應。當k，求傾斜角α時：k≥0時，α=arctank；k<0時，α=π+arctank?；颍簁=0時，α=0；k≠0時，cotα=,α=arccot。由正切函數(shù)可知，當α∈〔0，〕，α遞增時，斜率k→+∞。當α∈〔，π〕，α遞減時，斜率k→-∞。當涉及到斜率參數(shù)時，通常對k是否存在分類探討。3、直線是平面幾何的根本圖形，它及方程中的二元一次方程Ax+By+C=0〔A2+B2≠0〕一一對應。從幾何條件看，直線上一點及直線方向及直線上兩點均可確定直線；從對應方程看，直線方程兩種典型形式：點斜式〔斜截式〕，兩點式〔截距式〕，因此求直線方程，常用待定系數(shù)法。即根據(jù)題意，選擇方程的適當形式；由條件，列關于參數(shù)的方程〔組〕。當點P(x0，y0)在直線Ax+By+C=0上時，其坐標滿意方程Ax0+By0+C=0；當P不在直線Ax+By+C=0上時，Ax0+By0+C≠0，即Ax0+By0+C>0或Ax0+By0+C<0。這就是二元一次不等式的幾何意義：二元一次不等式Ax+By+C>0〔或<0〕表示直線Ax+By+C=0上方或下方區(qū)域，其詳細位置的確定常用原點〔0，0〕代入檢驗。利用此幾何意義，可以解決一類二元函數(shù)的最值問題。這就是線性規(guī)劃的內(nèi)容。因直線及二元一次方程Ax+By+C=0〔A2+B2≠0〕一一對應，即由有序數(shù)組〔A，B，C〕確定，因此探討直線及直線之間的位置關系就是考察直線對應的數(shù)組間關系。設直線1：A1x+B1y+C1=0〔A12+B12≠0〕，直線2：A2x+B2y+C2=0〔A22+B22≠0〕則：1∥21及2相交A1B2≠A2B1其夾角公式為，其中k1，k2分別表示1及2斜率，當1或2斜率不存在時，畫圖通過三角形求解，1及2夾角為θ∈〔0，]特例：1⊥2A1A2+B1B2=0〔此時不能用夾角公式求解〕利用點P(x0，y0)到直線：Ax+By+C=0的間隔公式d=可以求出兩平行直線：Ax+By+C1=0，Ax+By+C2=0〔C1≠C2〕間的間隔d=。4、當直線位置不確定時，直線對應的方程中含有參數(shù)。含參數(shù)方程中有兩種特殊情形，它們的對應的直線是有規(guī)律的，即旋轉(zhuǎn)直線系和平行直線系。在點斜式方程y-y0=k(x-x0)中，當〔x0，y0〕確定，k變更時，該方程表示過定點〔x0，y0〕的旋轉(zhuǎn)直線系，當k確定，(x0，y0)變更時，該方程表示平行直線系。這些直線系還有其它表示形式：直線：Ax+By+C=0，則方程Ax+By+m=0〔m為參數(shù)〕表示及平行的直線系；方程-Bx+Ay+n=0〔n為參數(shù)〕表示及垂直的直線系?！?〕直線1：A1x+B1y+C=1=0，直線2：A2x+B2y+C2=0，則方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示過1及2交點的直線系〔不含2〕駕馭含參數(shù)方程的幾何意義是某種直線系，不僅可以加深數(shù)形結合的思想，還可以優(yōu)化解題思想。5、圓及二元二次方程一一對應，這些二元二次方程方程特征為：〔1〕二次項中無xy穿插項；〔2〕x2，y2項前面系數(shù)相等；〔3〕x，y的一次項系數(shù)D，E及常數(shù)項F滿意D2+E2-4F>0。圓方程常見形式：〔1〕標準式：(x-a)2+(y-b)2=R2〔R>0〕，其中〔a，b〕為圓心，R為半徑；〔2〕一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0；〔3〕參數(shù)式：(x-a)2+(y-b)2=R2〔R>0〕的參數(shù)式為：x=a+Rcosθ，y=b+Rsinθ，其中θ為參數(shù)，表示旋轉(zhuǎn)角，參數(shù)式常用來表示圓周上的點。求圓方程的原理及求直線方程完全類似。直線和圓位置關系及圓和圓位置關系常借助于平面幾何學問，而不采納方程組理論〔△法〕。6、對稱是平面幾何的根本變換。在駕馭點關于點及直線對稱的根底上，理解曲線及曲線之間的中心對稱及軸對稱。擅長利用對稱的學問解題。7、本章主要思想方法：數(shù)形結合，分類探討，函數(shù)及方程，等價變換等。三、典型例題例1、定點P〔6，4〕及定直線1：y=4x，過P點的直線及1交于第一象限Q點，及x軸正半軸交于點M，求使△OQM面積最小的直線方程。分析：直線是過點P的旋轉(zhuǎn)直線，因此是選其斜率k作為參數(shù)，還是選擇點Q〔還是M〕作為參數(shù)是此題關鍵。通過比較可以發(fā)覺，選k作為參數(shù)，運算量稍大，因此選用點參數(shù)。設Q〔x0，4x0〕，M〔m，0〕∵Q，P，M共線∴kPQ=kPM∴解之得：∵x0>0，m>0∴x0-1>0∴令x0-1=t，則t>0≥40當且僅當t=1，x0=11時，等號成立此時Q〔11，44〕，直線：x+y-10=0評注：此題通過引入?yún)?shù)，建立了關于目的函數(shù)S△OQM的函數(shù)關系式，再由根本不等式再此目的函數(shù)的最值。要學會選擇適當參數(shù)，在解析幾何中，斜率k，截距b，角度θ，點的坐標都是常用參數(shù)，特殊是點參數(shù)。例2、△ABC中，A〔2，-1〕，B〔4，3〕，C〔3，-2〕，求：〔1〕BC邊上的高所在直線方程；〔2〕AB邊中垂線方程；〔3〕∠A平分線所在直線方程。分析：〔1〕∵kBC=5∴BC邊上的高AD所在直線斜率k=∴AD所在直線方程y+1=(x-2)即x+5y+3=0〔2〕∵AB中點為〔3，1〕，kAB=2∴AB中垂線方程為x+2y-5=0〔3〕設∠A平分線為AE，斜率為k，則直線AC到AE的角等于AE到AB的角。∵kAC=-1，kAB=2∴∴k2+6k-1=0∴k=-3-〔舍〕，k=-3+∴AE所在直線方程為(-3)x-y-2+5=0評注：在求角A平分線時，必需結合圖形對斜率k進展取舍。一般地涉及到角平分線這類問題時，都要對兩解進展取舍。也可用軌跡思想求AE所在直線方程，設P(x，y)為直線AE上任一點，則P到AB、AC間隔相等，得，化簡即可。還可留意到，AB及AC關于AE對稱。例3、〔1〕求經(jīng)過點A〔5，2〕，B〔3，2〕，圓心在直線2x-y-3=0上圓方程；〔2〕設圓上的點A〔2，3〕關于直線x+2y=0的對稱點仍在這個圓上，且及直線x-y+1=0相交的弦長為，求圓方程。分析：探討圓的問題，既