湖南師范大學(xué)考研專(zhuān)業(yè)課高等量子力學(xué)知識(shí)點(diǎn)

量子力學(xué)的根本假設(shè)微觀體系的狀態(tài)被一個(gè)波函數(shù)完全描繪，從這個(gè)波函數(shù)可以得出體系的全部性質(zhì)。波函數(shù)一般應(yīng)滿(mǎn)意連續(xù)性、有限性和單值性。力學(xué)量用厄米算符表示。假設(shè)在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則在量子力學(xué)中表示這個(gè)力學(xué)量的算符，由經(jīng)典表示式中將動(dòng)量P換為。表示力學(xué)量的算符有組成完全系的本征函數(shù)。將體系的狀態(tài)波函數(shù)用算符的本征函數(shù)綻開(kāi)〔〕：，則在態(tài)中測(cè)量力學(xué)量得到結(jié)果為的幾率是，得到結(jié)果在范圍內(nèi)的幾率是。體系的狀態(tài)波函數(shù)滿(mǎn)意薛定諤方程：在全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子互相調(diào)換不變更體系的狀態(tài)。所謂全同性，是指無(wú)法確認(rèn)兩個(gè)物體之間的任何差異。在量子體系中，由于態(tài)的量子化，兩個(gè)量子態(tài)要么全同，要么全不同，沒(méi)有中間連續(xù)的過(guò)渡態(tài)。沒(méi)有態(tài)的量子化，就談不上全同性。反之，全同性又對(duì)自然界中的可能出現(xiàn)的量子態(tài)給及很?chē)?yán)格的限制，即全同粒子系的量子態(tài)，對(duì)于兩個(gè)粒子交換，要么是對(duì)成的，要么是反對(duì)稱(chēng)，二者必居其一。這種對(duì)稱(chēng)性導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)性守恒。矩陣力學(xué)及波動(dòng)力學(xué)的關(guān)系量子力學(xué)本身是在1923-1927一段時(shí)間中建立起來(lái)的，兩個(gè)等價(jià)的理論——矩陣力學(xué)和波動(dòng)力學(xué)幾乎同時(shí)提出。矩陣力學(xué)是在對(duì)波爾的舊量子論的批判中產(chǎn)生的。矩陣力學(xué)的創(chuàng)始人海森伯的觀點(diǎn)是：任何物理理論只應(yīng)討論物理上可以觀測(cè)的物理量，對(duì)于建立微觀現(xiàn)象的正確理論，尤其要留意這點(diǎn)。他認(rèn)為舊量子論中引用了一整套沒(méi)有試驗(yàn)依據(jù)的概念，例如，電子軌道的概念，因?yàn)闆](méi)有任何試驗(yàn)支持我們確定電子有完全確定的軌道。事實(shí)上，也沒(méi)有什么試驗(yàn)證據(jù)阻礙我們拋棄電子由精確的軌道的概念。海森伯、波恩及約當(dāng)?shù)木仃嚵W(xué)，從物理上可觀測(cè)量，例如原子輻射的頻率及強(qiáng)度動(dòng)身，賜予每一個(gè)物理以一個(gè)矩陣，它們的代數(shù)運(yùn)算規(guī)則及經(jīng)典物理量不一樣，遵守乘法不行對(duì)易的代數(shù)。量子體系得各力學(xué)量〔矩陣〕之間的關(guān)系〔矩陣方程〕，形式上及經(jīng)典力學(xué)相像，但運(yùn)算規(guī)則不同。另一個(gè)理論即薛定諤的波動(dòng)力學(xué)，則從完全不同的觀點(diǎn)動(dòng)身，它來(lái)源于德布羅意的物質(zhì)波思想。德布羅意在討論了力學(xué)及光學(xué)的相像性之后，企圖找到實(shí)物粒子及輻射的統(tǒng)一的根底，他提出了以下假定：波動(dòng)-粒子的兩重性是微觀客體的普遍性質(zhì)。他從這概念動(dòng)身，較自然的導(dǎo)出了量子化條件。薛定諤進(jìn)一步推廣了物質(zhì)波的概念，找到了一個(gè)量子體系的物質(zhì)波的運(yùn)動(dòng)方程——薛定諤方程，它是波動(dòng)力學(xué)的核心。及矩陣力學(xué)一樣，薛定諤用他的波動(dòng)方程勝利的解決了氫原子光譜等一系列重大問(wèn)題。接著，薛定諤還證明，矩陣力學(xué)及波動(dòng)力學(xué)是完全等價(jià)的，是同一種力學(xué)規(guī)律的兩種不同的表述。事實(shí)上，量子理論還可以有更為普遍地表述出來(lái)，這是狄拉克的工作。量子理論的詮釋及內(nèi)部的字恰是在波恩對(duì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋提出之后才得以解決的。到此，量子力學(xué)還是非相對(duì)論量子力學(xué)。狄拉克的電磁場(chǎng)的量子理論對(duì)它作了補(bǔ)充。這樣，涉及到非相對(duì)論的實(shí)物粒子及電磁場(chǎng)作用的問(wèn)題，原則上都可以解決了。對(duì)Bohr互補(bǔ)性原理的理解通常人們所說(shuō)的“量子力學(xué)的哥本哈根詮釋〞的兩大支柱就是海森伯德不確定度原理和Bohr的互補(bǔ)性原理。它們構(gòu)成了正統(tǒng)的量子力學(xué)理論的物理詮釋的根底。哥本哈根學(xué)派的代表人物是Bohr、Heisenberg、Pauli等人，在長(zhǎng)期的量子力學(xué)根本概念和物理詮釋的長(zhǎng)期爭(zhēng)辯中，堅(jiān)持Born的波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)說(shuō)明，即把微觀粒子呈現(xiàn)出的波動(dòng)性理解為“概率波〞，而不同意薛定諤、德布羅意等人的“把物質(zhì)歸結(jié)為純粹的波動(dòng)現(xiàn)象〞的觀點(diǎn)。也不贊同愛(ài)因斯坦等人堅(jiān)持的確定論性描繪的觀點(diǎn)。我們留意到，Bohr及Heisenberg的觀點(diǎn)，在早期是有區(qū)分的。最初，Heisenberg“不情愿成認(rèn)波動(dòng)性概念有什么重要性〞，“波動(dòng)力學(xué)只不過(guò)是一個(gè)有用的數(shù)學(xué)工具〞，而B(niǎo)ohr認(rèn)為“波動(dòng)概念必需及粒子概念一道納入量子理論的根本假設(shè)之中〞。Bohr認(rèn)為：“波動(dòng)及粒子描繪是兩個(gè)志向的經(jīng)典概念，每個(gè)概念都有一個(gè)有限的適用范圍。在特定的物理現(xiàn)象的試驗(yàn)探究中，輻射和實(shí)物均可以呈現(xiàn)其波動(dòng)性和粒子性。但這兩種描繪中的任何單獨(dú)一個(gè)，都不能對(duì)所涉及的現(xiàn)象給出完好的說(shuō)明〞。這兩種描繪中的任何一個(gè)都是不充分的。盡管它們彼此不相容，但為了說(shuō)明全部可能的試驗(yàn)現(xiàn)象，又都是必需的。為了表示這種彼此不相容，而為了完好描繪又都是必要的邏輯關(guān)系，Bohr提出了“互補(bǔ)性〞這個(gè)術(shù)語(yǔ)。從量子力學(xué)的最新進(jìn)展來(lái)看，除了Bohr強(qiáng)調(diào)過(guò)的波動(dòng)-粒子兩相性這一對(duì)互補(bǔ)概念之外，互補(bǔ)性原理的更深化的含義還有待討論。如連續(xù)性和離散性，概率性和確定論性在量子力學(xué)中的并存等。波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)說(shuō)明波函數(shù)可以給出對(duì)體系進(jìn)展各種測(cè)量的結(jié)果出現(xiàn)的概率的預(yù)期值。處理測(cè)量問(wèn)題，對(duì)于一個(gè)自洽的理論體系來(lái)講，應(yīng)當(dāng)把測(cè)量裝置及待測(cè)體系看成一個(gè)復(fù)合體系。但人們通常只對(duì)待測(cè)體系的測(cè)量結(jié)果有愛(ài)好，此時(shí)人們就應(yīng)把待測(cè)體系看成復(fù)合體系的一個(gè)子體系，由約化密度矩陣去描繪結(jié)果。疊加原理及糾纏態(tài)當(dāng)體系處于某力學(xué)量F的假設(shè)干本征態(tài)的疊加態(tài)時(shí)，就導(dǎo)致測(cè)量F的結(jié)果的不確定性，這完全是一種量子力學(xué)效應(yīng)。量子態(tài)的疊加原理是波的疊加性及波函數(shù)完全描繪一個(gè)體系的量子態(tài)兩個(gè)概念的概括。量子態(tài)的疊加性源于微觀粒子“波粒二象性〞的波動(dòng)“相干疊加性〞〔一個(gè)以上的信息狀態(tài)累加在同一個(gè)微觀粒子上的現(xiàn)象〕；量子糾纏態(tài)指的是兩個(gè)或多個(gè)量子系統(tǒng)之間的非定域、非經(jīng)典的關(guān)聯(lián)，是量子系統(tǒng)內(nèi)各子系統(tǒng)或各自由度之間關(guān)聯(lián)的力學(xué)屬性〔一個(gè)以上的微觀粒子因微觀系統(tǒng)內(nèi)特性互相交纏在一起的現(xiàn)象?！沉孔討B(tài)可以疊加的物理特性是實(shí)現(xiàn)量子并行計(jì)算的根底。量子態(tài)可以糾纏是實(shí)現(xiàn)信息高速的不破譯通信的理論根底。它們都是量子信息理論中特有的概念。量子態(tài)的糾纏是量子系統(tǒng)各子系統(tǒng)或各自由度之間關(guān)聯(lián)的屬性。經(jīng)典系統(tǒng)內(nèi)也有此關(guān)聯(lián)，但它表如今概率不相乘上，而量子態(tài)的糾纏卻反映在概率幅不相乘上。概率幅的糾纏將對(duì)量子干預(yù)產(chǎn)生重要的影響。當(dāng)量子比特的疊加態(tài)無(wú)法用各量子比特的張量乘積表示時(shí)，這種疊加態(tài)就稱(chēng)為量子糾纏狀態(tài)。量子糾纏狀態(tài)是量子信息理論中的特有的概念。盡管處于糾纏的兩個(gè)或多個(gè)量子系統(tǒng)之間不存在實(shí)際物質(zhì)的聯(lián)絡(luò)，但不同的量子位卻因?yàn)榧m纏而彼此影響。正是由于“糾纏〞的奇異性，使得一個(gè)量子態(tài)的狀態(tài)將及另一個(gè)量子態(tài)相關(guān)，好像在它們互相之間的關(guān)聯(lián)性上比嚴(yán)密結(jié)合的原子的關(guān)聯(lián)性還強(qiáng)。EPR佯謬愛(ài)因斯坦等于1935發(fā)表了一篇簡(jiǎn)短而重要的文章對(duì)量子力學(xué)描繪的完備性和理論的自洽性提出了銳利的指責(zé)。EPR一文中提出了兩個(gè)論斷：〔1〕量子力學(xué)對(duì)于“物理實(shí)在〞的描繪是不完備的。這主要是針對(duì)于波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)說(shuō)明。認(rèn)為“上帝并不擲子〞。他們信任，應(yīng)當(dāng)存在所謂的“隱變量〞可以對(duì)物理實(shí)在給出更加完備的描繪?！玻病?、量子力學(xué)理論是不自洽的。這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)是涉及多粒子體系〔或多自由度體系〕的糾纏概念的澄清。而在坐標(biāo)表象中就表現(xiàn)為量子力學(xué)中的“非定域性〞。解決EPR佯謬的關(guān)鍵是對(duì)于一個(gè)復(fù)合體系進(jìn)展的測(cè)量，是一個(gè)不完備的測(cè)量，因此對(duì)它的任何一個(gè)子體系的量子態(tài)的描繪，必需用約化密度矩陣來(lái)描繪。因此，EPR佯謬一文對(duì)量子力學(xué)正統(tǒng)理論提出的指責(zé)是不成立的。另外，一個(gè)多粒子〔或多自由度〕體系的量子態(tài)承受一個(gè)表象綻開(kāi)時(shí)，其基矢必需是多粒子體系的一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)〔完備，正交〕，波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)說(shuō)明才能賜予綻開(kāi)系數(shù)〔是一個(gè)數(shù)〕的模方以測(cè)量力學(xué)量完全集的相應(yīng)的某一組本征值出現(xiàn)的概率的物理意義。在EPR佯謬一文的分析中，把一個(gè)復(fù)合體系的量子態(tài)依據(jù)它的一個(gè)子體系的某一組力學(xué)量的完全集來(lái)綻開(kāi)，而把系數(shù)〔是一組體系的某一組力學(xué)量完全集的本征態(tài)失〕及子體系的那組力學(xué)量出現(xiàn)的概率聯(lián)絡(luò)起來(lái)，這一錯(cuò)誤導(dǎo)致了量子力學(xué)多的爭(zhēng)辯。Bohr對(duì)應(yīng)原理在大量子數(shù)極限狀況下，量子體系的行為將漸近于及經(jīng)典力學(xué)體系一樣。Bohr的思想對(duì)于原子物理和量子理論的開(kāi)展有極深的影響。Bohr早期的量子論為經(jīng)典物理學(xué)通往微觀世界的心理學(xué)的國(guó)度鋪設(shè)了一座橋梁。1925德國(guó)輕物理學(xué)家海森伯正是通過(guò)Bohr的對(duì)應(yīng)原理最終建立了微觀體系的新力學(xué)——矩陣力學(xué)。Bohr的量子論的主要奉獻(xiàn)有兩點(diǎn)：光譜學(xué)中的德拜-李茲組合原則是量子關(guān)系式的表現(xiàn)。頻率，當(dāng)量子數(shù)很大時(shí)〔，將趨近于經(jīng)典頻率的倍。這正是Bohr對(duì)應(yīng)關(guān)系的表達(dá)。Bohr理論的核心思想有兩條：一是原子具有能量不連續(xù)的定態(tài)概念，二是兩個(gè)定態(tài)之間的量子躍遷概念和頻率條件。Poisson括號(hào)及正則量子化從經(jīng)典力學(xué)到矩陣力學(xué)的過(guò)渡，在于把經(jīng)典力學(xué)中的連續(xù)變量換成遵守確定代數(shù)法則的矩陣。量子泊松括號(hào)：按正則量子化程序，經(jīng)典力學(xué)中的正則方程將代之為：一般力學(xué)力氣隨時(shí)間的演化遵守以下方程注：密度算符隨時(shí)間的演化為：經(jīng)典力學(xué)及量子力學(xué)的關(guān)系〔1〕一般討論當(dāng)一個(gè)物理的運(yùn)動(dòng)速度時(shí)，相對(duì)論效應(yīng)便可無(wú)視，相對(duì)論力學(xué)就回到牛頓力學(xué)。形式上，就可以表述為：在的極限狀況下，相對(duì)論力學(xué)牛頓力學(xué)。量子力學(xué)及經(jīng)典力學(xué)的關(guān)系，亦可以形式的表述如下：在普朗克常數(shù)的狀況下，量子效應(yīng)便可以無(wú)視，量子力學(xué)就回到了經(jīng)典力學(xué)。這一點(diǎn)是狄拉克首先提出的，它比波爾的對(duì)應(yīng)原理更能精確地反映量子力學(xué)及經(jīng)典力學(xué)的關(guān)系。事實(shí)上，普朗克常數(shù)。其表現(xiàn)之一是：某些力學(xué)量的本征值是量子化的，相鄰本征值之差是h的高階小量。只有這個(gè)差異可以無(wú)視時(shí)，才能得出經(jīng)典力學(xué)中“全部力學(xué)量的變更都是連續(xù)的〞這一結(jié)論。這正是大量子數(shù)極限的狀況〔Bohr的對(duì)應(yīng)原理〕。但有些現(xiàn)象，例如測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，純屬量子效應(yīng)。并不及某些力學(xué)量的本征值的不連續(xù)性有關(guān)。當(dāng)時(shí)，，粒子的坐標(biāo)及動(dòng)量就可以同時(shí)取確定值。此時(shí)經(jīng)典軌道運(yùn)動(dòng)概念就完全適用了?！?〕泊松括號(hào)及運(yùn)動(dòng)方程在經(jīng)典力學(xué)中，任何兩個(gè)力學(xué)量的乘積是滿(mǎn)意交換律的，即AB-BA=0。而量子力學(xué)中，表達(dá)力學(xué)量的算符則遵守不行對(duì)易代數(shù)運(yùn)算規(guī)則。狄拉克首先指出，在的極限下。因此，量子力學(xué)中的海森伯方程在在的極限下，將回到經(jīng)典力學(xué)的正則方程薛定諤方程及雅可比-哈密頓方程的關(guān)系設(shè)粒子在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，薛定諤方程為：〔1〕試把波函數(shù)的模及相角分開(kāi)，令〔R，S為實(shí)數(shù)〕代入〔1〕式，分別令實(shí)部=實(shí)部，虛部=虛部得〔2A〕(2B)及〔2〕式完全等價(jià)?！?A〕式就是連續(xù)性方程。在的極限下，〔2B〕變成了，它及經(jīng)典的雅可比-哈密頓方程一樣。*量子力學(xué)及經(jīng)典流體力學(xué)的相像性*量子力學(xué)及光學(xué)的相像性WKB近似考慮粒子在勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，薛定諤方程為〔1〕令，為復(fù)函數(shù)，代入〔1〕，得到滿(mǎn)意的方程：〔2〕量子效應(yīng)是用普朗克常數(shù)來(lái)表征的。當(dāng)時(shí)，量子力學(xué)就回到了經(jīng)典力學(xué)。WKB近似處理問(wèn)題的精神在于：把按的冪級(jí)數(shù)作漸近綻開(kāi)，然后按問(wèn)題要求的精確程度，逐級(jí)近似求解。令：〔3〕代入〔2〕得：〔4〕比較同冪次項(xiàng)，得：〔5a〕(5b)(5c)從〔5a〕可以求出零級(jí)近似解：〔6〕利用〔5a〕,由〔5b〕式得：，兩邊積分得：〔7〕因此，在精確到的近似下，薛定諤方程的解為；〔a〕的狀況〔經(jīng)典允許區(qū)〕〔8〕式中，及〔或及〕由詳細(xì)問(wèn)題的邊界條件及歸一化條件確定。〔b〕的狀況〔經(jīng)典禁區(qū)〕令則〔9〕式中，及由詳細(xì)問(wèn)題的邊界條件及歸一化條件確定。由〔4〕式可以看出〔8〕、〔9〕成立的條件為：〔10a〕(10b)〔10a〕可以表示為：及，式中，為德布羅意波長(zhǎng)，故〔10a〕也可以表示為：〔11〕由此可以看出一級(jí)近似解成立的條件為：勢(shì)場(chǎng)的變更較緩慢，即在粒子的德布羅意波長(zhǎng)范圍內(nèi)，的變更比粒子的“動(dòng)能〞〔要小得多。在轉(zhuǎn)折點(diǎn)的旁邊近似條件不成立。相干態(tài)〔壓縮相干態(tài)〕相干態(tài)本身是無(wú)窮多個(gè)光子數(shù)本征態(tài)的一種特別的相干疊加，易于呈現(xiàn)光子之間的合作行為。相干態(tài)的討論起于薛定諤1926的工作，他覺(jué)察諧振子存在這樣一種狀態(tài)，它呈現(xiàn)出的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)及經(jīng)典振子很相像。在此狀態(tài)下，諧振子的能量平均值〔零點(diǎn)能除外〕及經(jīng)典振子能量一樣，而坐標(biāo)和動(dòng)量的平均值〔即波包中心的位置和動(dòng)量〕隨時(shí)間的演化也及經(jīng)典振子完全一樣，并且波包不擴(kuò)散，〔取微小值〕，這就是諧振子的相干態(tài)。諧振子的相干態(tài)可以表示為：〔，〕，，可以證明是諧振子漂移算符的本征值。證明：得證?？紤]并不是厄米算符，它的本征值不確定是實(shí)數(shù)，故相干態(tài)可以取為：相干態(tài)中復(fù)參數(shù)的變更區(qū)域是的全平面?？梢宰C明，及全部值相對(duì)應(yīng)的相干態(tài)全體是完備的，即完備性條件為：。這說(shuō)明，任何物理態(tài)均可以用相干態(tài)的全體來(lái)綻開(kāi)。這使得相干態(tài)的全體構(gòu)成了一個(gè)新的表象——相干態(tài)表象。應(yīng)當(dāng)指出的是，作為相干態(tài)表象的基矢——相干態(tài)，雖然各自都?xì)w一，但彼此并不正交。這種彼此不正交但總體卻完備的態(tài)矢集合常稱(chēng)為超完備的。意即集合的完備性“過(guò)了頭〞，仿佛是在三維空間中取了四個(gè)不在同一平面上的彼此不相交的單位矢量作為基矢。相干態(tài)的思想自20世紀(jì)60頭以來(lái)有明顯的進(jìn)展。目前，相干態(tài)的概念已遠(yuǎn)超過(guò)原先的及經(jīng)典類(lèi)比的思索范圍，出現(xiàn)了眾多的種類(lèi)。如今關(guān)于相干態(tài)表象的兩條根本要求是：I、它是這樣一些態(tài)矢的集合，這些態(tài)矢關(guān)于標(biāo)號(hào)是強(qiáng)連續(xù)函數(shù)；II、存在正測(cè)度使得下面完備性關(guān)系成立，。利用幺正變換，定義算符，，為實(shí)參數(shù)，，不難證明滿(mǎn)意的對(duì)易式及一樣，。漂移算符的本征態(tài)記為，滿(mǎn)意，它具有不同于相干態(tài)的一些性質(zhì)?？梢宰C明，在本征態(tài)下，盡管最小不確定度關(guān)系還成立。但，，依靠于參數(shù)的取值，這及相干態(tài)下取固定值不同。因此可以調(diào)整參數(shù)的值，可以使變得很小。這在量子光學(xué)和量子通訊中有重要的應(yīng)用。的本征態(tài)稱(chēng)為壓縮相干態(tài)。途徑積分根本思想假設(shè)從A點(diǎn)放射出的粒子的動(dòng)量有一個(gè)分布，則粒子有確定的概率經(jīng)過(guò)CK而在B點(diǎn)被觀測(cè)到。在B點(diǎn)被測(cè)得的總概率，其中表示粒子從A點(diǎn)動(dòng)身，經(jīng)過(guò)孔二在B點(diǎn)被測(cè)得的概率。從量子力學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)分析，考慮到粒子-波動(dòng)兩重性，依據(jù)疊加原理，粒子從A點(diǎn)動(dòng)身到B點(diǎn)的概率波幅為，其中表示只有孔翻開(kāi)時(shí)的狀況下粒子在B點(diǎn)出現(xiàn)的概率波幅。按波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋?zhuān)Ｗ釉贐點(diǎn)被測(cè)到的概率為。如今設(shè)想屏上開(kāi)的小孔越來(lái)越多，最終就等于沒(méi)有設(shè)置這個(gè)屏。此時(shí)，粒子經(jīng)過(guò)屏上全部各點(diǎn)而到達(dá)B點(diǎn)的概率波幅都應(yīng)考慮進(jìn)去。設(shè)代表從A點(diǎn)到B點(diǎn)的一條可能的道路，則粒子從A動(dòng)身而在B點(diǎn)出現(xiàn)的概率波幅為，其中代表粒子經(jīng)過(guò)道路而到達(dá)B點(diǎn)的概率波幅，表示不同道路奉獻(xiàn)的波幅以一樣權(quán)重相加起來(lái)，但相位可以不同，從而出現(xiàn)干預(yù)現(xiàn)象。Feynman途徑積分理論的根本假定是如下構(gòu)造傳播子：，其中，代表粒子沿道路從A到B的作用量，L是粒子的拉格朗日量，C是適當(dāng)?shù)臍w一化常數(shù)。這里的道路并不限于要求作用量S取極值的經(jīng)典軌道，而是包括從A到B的一切可能的通道。于是，粒子在B點(diǎn)被測(cè)到的概率為，事實(shí)上，由于各種可能的道路是連續(xù)變更的，是不行數(shù)的，所以求和應(yīng)化為對(duì)全部連續(xù)變更的道路進(jìn)展積分，這就是途徑積分的由來(lái)。量子力學(xué)中的相位AB效應(yīng)量子力學(xué)中，無(wú)論實(shí)行哪種形式，描繪荷電粒子在電磁場(chǎng)中的動(dòng)力學(xué)方程中都會(huì)出現(xiàn)粒子所在區(qū)域的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)。Aharonov和Bohm首先相識(shí)到電磁矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)的深化物理意義。他們指出，在電磁場(chǎng)強(qiáng)度為0的區(qū)域中〔但矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)并不為零〕運(yùn)動(dòng)的兩束相干的荷電粒子，波函數(shù)會(huì)發(fā)生不同的相位變更。因此，當(dāng)兩束粒子重新會(huì)聚后，就會(huì)出現(xiàn)干預(yù)現(xiàn)象。不久，在試驗(yàn)中看到了這種干預(yù)現(xiàn)象，后來(lái)稱(chēng)之為AB效應(yīng)。弱等價(jià)原理在經(jīng)典力學(xué)中，慣性質(zhì)量為的粒子的動(dòng)力學(xué)方程為，設(shè)萬(wàn)有引力，為萬(wàn)有引力勢(shì)。則有：，說(shuō)明在萬(wàn)有引力場(chǎng)中，不管其質(zhì)量如何，都具有一樣的加速度。因此，只要初位置和初速度一樣，不因?yàn)榱Ｗ拥馁|(zhì)量不同而異。這就是經(jīng)典力學(xué)的弱等價(jià)原理。在量子力學(xué)中，弱等價(jià)原理不適用。量子力學(xué)中的相位不定性常數(shù)相位不定性在量子力學(xué)中對(duì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋?zhuān)鄬?duì)概率是本質(zhì)，因此，波函數(shù)有一個(gè)常數(shù)因子的不定性和常數(shù)相位因子的不定性。即表示同一個(gè)態(tài)。量子力學(xué)中，任何力學(xué)量的本征態(tài)都有常數(shù)相位因子的不定性。本征態(tài)的含時(shí)相位不變性含時(shí)不變量：。設(shè)包含在內(nèi)的一組守恒量完全集的共同本征態(tài)記為，，含時(shí)不變量具有以下特點(diǎn)：含時(shí)不變量的本征值不隨時(shí)間變更〔2〕、一般不滿(mǎn)意含時(shí)薛定諤方程〔3〕、作為的本征態(tài)，視為參數(shù)，則有含時(shí)相位不定性。設(shè)不含對(duì)的微商算符，則可作一個(gè)含時(shí)相位變換，〔1〕〔為實(shí)數(shù)〕。則有，。此時(shí)，不妨要求滿(mǎn)意含時(shí)薛定諤方程，〔2〕代入〔2〕得〔3〕左乘，得〔4〕當(dāng)時(shí)，〔4〕左邊為零，即要求在給定的的子空間中可以把對(duì)角化。當(dāng)，〔4〕式化為，兩邊積分得〔5〕結(jié)論是后就滿(mǎn)意含時(shí)薛定諤方程。由〔4〕給出，就叫Lewis相。三、量子絕熱近似設(shè)的瞬時(shí)本征方程為**，是包含在內(nèi)的一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)，是一組完備的量子數(shù)，為瞬時(shí)能量本征值，一般要隨時(shí)間變更。作為本征態(tài)，具有相位不定性。設(shè)體系初態(tài)處于的某一瞬間時(shí)本征態(tài)，在時(shí)刻應(yīng)當(dāng)表示成全部的相干疊加………〔1〕上式中表示在時(shí)刻測(cè)得體系處于態(tài)的概率。一般狀況下很難求解，須要用近似方法來(lái)求，假設(shè)隨時(shí)間變更足夠緩慢，則可以用量子絕熱定理來(lái)處理。量子絕熱定理：設(shè)體系哈密頓量隨時(shí)間變更足夠緩慢，初態(tài)為，則時(shí)刻體系將保持在的瞬時(shí)本征態(tài)上。這就要求〔1〕中全部項(xiàng)的特別小，，即從態(tài)到全部態(tài)的躍遷可以無(wú)視，因此體系才可能保持在態(tài)。絕熱近似條件成立的條件是體系的哈密頓量緩慢變更的頻率遠(yuǎn)小于體系的特征頻率。兩邊左乘絕熱定理要求全部的項(xiàng)可以略去?？赏瞥鰲l件為：，物理意義是：體系的瞬時(shí)本征態(tài)隨時(shí)間變更的頻率，比體系的內(nèi)稟特征頻率要小得多。**對(duì)微分，得用左乘上式得，〔對(duì)全部〕Berry相設(shè)體系隨時(shí)間變更足夠緩慢，能保證絕熱近似條件，則有積分得設(shè)——絕熱相，動(dòng)力學(xué)相隨時(shí)間的變更，往往是由于中所含參量隨時(shí)間變更而來(lái)。隨的變更，參數(shù)隨之變更。假設(shè)閱歷一周期后，，在參數(shù)空間中畫(huà)出一條閉合曲線(xiàn)C?？梢员硎緸閰?shù)空間中的積分Berry的重要覺(jué)察是，依靠于參數(shù)空間中的的變更過(guò)程。對(duì)于給定，不同過(guò)程相應(yīng)于不同，由此，他指出是不行積的。是沿參數(shù)空間中的閉合曲線(xiàn)C走一圈后的變更，Berry稱(chēng)之為幾何相位變更。后來(lái)也稱(chēng)之為幾何相位。AA相Aharonov及Anandan放棄了Berry的量子絕熱近似假定，他們假定體系的量子態(tài)按薛定諤方程周期性演化，周期為，。對(duì)量子態(tài)作含時(shí)變換，則有，令，則，即在閱歷一周期后沒(méi)有相位變更。假設(shè)滿(mǎn)意薛定諤方程，則有，左乘，得對(duì)積分一周期，得，稱(chēng)為動(dòng)力學(xué)相，稱(chēng)為幾何相。從對(duì)稱(chēng)性分析全同性原理在量子力學(xué)中，假設(shè)體系的哈密頓算符在某個(gè)變換下保持不變，則說(shuō)明該體系具有某種對(duì)稱(chēng)性，空間的勻整性，空間的各向同性和時(shí)間的勻整性使得孤立體系具有空間平移的不變性，空間旋轉(zhuǎn)的不變性，時(shí)間平移不變性。除了空間幾何對(duì)稱(chēng)性外，量子力學(xué)還有一些重要的新的對(duì)陣性。其中最重要的是全同粒子的置換對(duì)稱(chēng)性，以及相位對(duì)稱(chēng)性。這些對(duì)稱(chēng)性都是由于量子態(tài)的描繪及經(jīng)典力學(xué)態(tài)的描繪有根本性差異而來(lái)的，在物理上則反映微觀粒子的波動(dòng)性。所謂“全同性〞，是指無(wú)法確定兩個(gè)物體之間的任何差異。在量子力學(xué)中，由于態(tài)的量子化，兩個(gè)量子態(tài)，或全同，或全不同，中間無(wú)連續(xù)的過(guò)渡。全同粒子系的量子態(tài)，對(duì)于交換兩個(gè)粒子，或者是對(duì)稱(chēng)的，或者是反對(duì)稱(chēng)的，二者必居其一，這種對(duì)稱(chēng)性，導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)性守恒。在粒子不發(fā)生轉(zhuǎn)化或湮沒(méi)狀況下，粒子的統(tǒng)計(jì)性是守恒的。全同性是一個(gè)可以觀測(cè)量。特別是全同性將導(dǎo)致粒子之間有一種新型作用力——交換力，這是純粹的量子效應(yīng)。假設(shè)沒(méi)有這種交換力，世界上原子和分子不行能穩(wěn)定存在。守恒量及對(duì)稱(chēng)性一個(gè)體系的量子態(tài)隨時(shí)間演化遵守薛定諤方程，，設(shè)體系在某種線(xiàn)性變換下〔或〕體系在變換下的不變性表現(xiàn)為：滿(mǎn)意一樣的動(dòng)力學(xué)規(guī)律，即，可得，用運(yùn)算〔為線(xiàn)性算符，不顯含〕，得，依據(jù)不變性要求，，兩邊同左乘，得，該式稱(chēng)為體系的對(duì)稱(chēng)變換，這式成立及否，取決于體系的對(duì)稱(chēng)性。物理學(xué)中的對(duì)稱(chēng)變換，總是構(gòu)成一個(gè)群，稱(chēng)為體系的對(duì)稱(chēng)性群。Winger曾經(jīng)指出：滿(mǎn)意量子力學(xué)統(tǒng)計(jì)詮釋要求的連續(xù)對(duì)稱(chēng)性變換，必為幺正變換。它們的無(wú)窮小變量可以表示成，為描繪連續(xù)變換的無(wú)窮小量，為一個(gè)線(xiàn)性算符。依據(jù)幺正性要求可得，即為線(xiàn)性厄米算符，可用以定義一個(gè)可觀測(cè)量。這樣，Hamilton量的不變性條件就化為，F(xiàn)成為體系的一個(gè)守恒量。對(duì)于一個(gè)體系，設(shè)一個(gè)變換不變更它的各物理量之間的互相關(guān)系，則稱(chēng)為體系的一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換。Winger依據(jù)這一根本原理得出重要結(jié)論：對(duì)稱(chēng)變換只能是幺正變換或反幺正變換。當(dāng)一個(gè)體系具有一個(gè)守恒量，則體系確定具有相應(yīng)的某種對(duì)稱(chēng)性。反之，不確定。守恒量的物理含義：量子力學(xué)中的守恒量并不確定具有確定的值。它在任何態(tài)〔不確定是定態(tài)〕下的平均值和測(cè)量值的概率分布都保持不隨時(shí)間變更〔及初態(tài)一樣〕量子力學(xué)中并非全部守恒量都可以同時(shí)取確定值。量子力學(xué)中的守恒量并不全有經(jīng)典對(duì)應(yīng)。薛定諤方程剛好間反演得不變性時(shí)間反演：時(shí)間反演態(tài)并不意味著真正時(shí)間倒流，而只不過(guò)是運(yùn)動(dòng)方向的倒轉(zhuǎn)，時(shí)間都是正向的，因果關(guān)系也一樣。時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性并不意味著新的守恒量。無(wú)自旋粒子在實(shí)勢(shì)場(chǎng)中取復(fù)共軛：用t代替-t，可見(jiàn)時(shí)間反演態(tài)也是薛定諤方程的解，這就是薛定諤方程的時(shí)間反演不變性。對(duì)于一般狀況取復(fù)共軛，用t代替-t，假設(shè)，則，用U對(duì)上式運(yùn)算，可以看出時(shí)間反演態(tài)滿(mǎn)意薛定諤方程。這就是薛定諤方程的時(shí)間反演不變性。時(shí)間反演算符的本征值及統(tǒng)計(jì)性的關(guān)系依據(jù)時(shí)間反演算符T的物理意義，及是同一個(gè)量子態(tài)，因此它們最多可以差一個(gè)常數(shù)因子。令，，可以得。對(duì)相對(duì)論量子力學(xué)的理解薛定諤方程是量子力學(xué)的根本方程，是非性對(duì)論性的。在此方程中，時(shí)間及空間坐標(biāo)明顯處于不同等的地位，，方程描繪的粒子，概率是守恒的。在這里沒(méi)有粒子的產(chǎn)生和漂出現(xiàn)象，事實(shí)說(shuō)明，方程對(duì)于描繪原子、分子的絕大多數(shù)現(xiàn)象，甚至包括低能核物理的很多現(xiàn)象是很勝利的。但在高能領(lǐng)域里，粒子的產(chǎn)生和漂移就是一個(gè)普遍的現(xiàn)象。高能現(xiàn)象中不僅涉及到粒子數(shù)一樣的量