2024-2025學(xué)年江蘇省南京九中、十三中高三（上）學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（8月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年江蘇省南京九中、十三中高三（上）學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（8月份）一、單選題：本題共7小題，每小題5分，共35分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)復(fù)數(shù)z1=1+i，z2=2+bi，若z1A.?2 B.2 C.?1 D.12.血壓差是指血壓的收縮壓減去舒張壓的值.已知某校學(xué)生的血壓差服從正態(tài)分布X～N(30,σ2)，若P(26≤X≤30)=0.40，則隨機(jī)變量X的第90百分位數(shù)的估計(jì)值為A.42 B.38 C.36 D.343.已知cos(α+β)=13,tanαtanβ=1A.1 B.13 C.23 4.已知函數(shù)f(x)=3sin2x+cos2x，把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移π6個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，關(guān)于函數(shù)g(x)A.在[π4,π2]上是增函數(shù) B.其圖象關(guān)于直線x=?π4對(duì)稱

C.函數(shù)5.已知數(shù)列{an}滿足，a1=a2=1，an+2=aA.624 B.625 C.626 D.6506.已知點(diǎn)P引圓x2+y2?6x?8y+24=0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△PAB為等邊三角形，則A.[4,6] B.[3,7] C.[3,6] D.[2,8]7.已知不等式x+alnx+1ex≥xa對(duì)x∈(1,+∞)A.?e B.?e2 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。8.加斯帕爾?蒙日是18?19世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”(如圖所示).當(dāng)橢圓方程為x2a2+y2b2切，則下列說法正確的是(

)A.橢圓M的離心率為12B.若G為正方形，則G的邊長為25

C.橢圓M的蒙日?qǐng)A方程為D.長方形G的面積的最大值為149.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒裝有6個(gè)白球3個(gè)紅球，乙盒裝有5個(gè)白球5個(gè)紅球，則下列說法正確的是(

)A.甲盒中一次取出3個(gè)球，至少取到一個(gè)紅球的概率是521

B.乙盒有放回地取3次球，每次取一個(gè)，取到2個(gè)白球和1個(gè)紅球的概率是38

C.甲盒不放回地取2次球，每次取一個(gè)，第二次取到紅球的概率是13

10.如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，NA.B1C//MN

B.B1C⊥平面MNC1

C.A到直線MN的距離為32三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。11.已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x+2)為偶函數(shù)，且f(1)=1，則f(4)+f(5)=______．12.在邊長為2的菱形ABCD中，M，N分別為BC，CD的中點(diǎn)，AM?AB=5，則AM?AN=13.如圖，一點(diǎn)從正方形的頂點(diǎn)A處出發(fā)在各頂點(diǎn)間移動(dòng)，每次移動(dòng)要么以13的概率沿平行于BC方向(正、反方向均可)移動(dòng)一步；要么以23的概率沿平行于AB方向(正、反方向均可)移動(dòng)一步.設(shè)移動(dòng)2n(n∈N?)步后回到點(diǎn)A的概率為An，到達(dá)點(diǎn)C的概率為Cn，則A1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14.(本小題13分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且c=7，sinC=265．

(1)若cosB=57，求b的值；

(2)15.(本小題15分)

記遞增的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S5=85，且a6=7a1．

(Ⅰ)求an和Sn；

(Ⅱ16.(本小題15分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中點(diǎn)．

(1)證明：直線CE//平面PAB；

(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M?AB?D17.(本小題17分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為62，右頂點(diǎn)為E(2,0).A，B為雙曲線C右支上兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在第一象限，以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)E．

(1)求C的方程；

(2)證明：直線AB恒過定點(diǎn)；

(3)若直線AB與x，18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=x(aex?x?2)(a∈R)．

(1)若a=2，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程；

(2)若f(x)的極大值為f(?1)，求a的取值范圍；

(3)若a≥1，證明：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)?(a?2)x+參考答案1.A

2.D

3.A

4.D

5.C

6.B

7.C

8.ACD

9.BC

10.ACD

11.?1

12.13213.59

(14.解：(1)因?yàn)锽∈(0,π)，cosB=57，所以sinB=1?2549=267，

由正弦定理bsinB=csinC可得b=csinBsinC=7×267265=5；15.解：(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d>0)，

因?yàn)镾5=5a3=85，所以a3=17，

由a6=7a1得，a3+3d=7(a3?2d)，

所以17+3d=7(17?2d)，解得d=6，

所以a1=a316.解：(1)證明：取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，

因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，

所以EF/?/AD，EF=12AD，

又AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°，

∴BC/?/AD，

∴EF/?/BC,EF=BC，

∴四邊形BCEF是平行四邊形，

可得CE/?/BF，

又BF?平面PAB，CE?平面PAB，

∴直線CE/?/平面PAB；

(2)如圖所示，取AD中點(diǎn)O，連接PO，CO，

由于△PAD為正三角形，則PO⊥AD，

因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?側(cè)面PAD，

所以PO⊥平面ABCD，

又CO?平面ABCD，

所以PO⊥CO．

因?yàn)锳O=AB=BC=12AD，且∠BAD=∠ABC=90°，

所以四邊形ABCO是矩形，

所以CO⊥AD，

以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，

不妨設(shè)AB=BC=12AD=1，則OA=OD=CO=1，OP=3．

又因?yàn)椤鱌OC為直角三角形，OP=3OC，

所以∠PCO=60°．

作MN⊥CO，垂足為N，連接BN，

因?yàn)镻O⊥CO，所以MN/?/PO，

又PO⊥平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD，

所以∠MBN即為直線BM與平面ABCD所成的角，即∠MBN=450．

設(shè)CN=t，因?yàn)椤螾CO=60°，

所以MN=3t，BN=BC2+CN2=t2+1．

因?yàn)椤螹BN=45°，所以MN=BN，

即3t=t2+1，解得t=22，

所以O(shè)N=1?22，MN=6217.解：(1)由題右頂點(diǎn)E(2,0)，則a=2，

又e=ca=62，解得c=3，則b=c2?a2=1，

所以雙曲線C的方程為：x22?y2=1；

(2)證明：由題，直線AB的斜率不為0，

則可設(shè)直線AB：x=my+t，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立方程

x=my+tx22?y2=1，消去x得(m2?2)y2+2mty+t2?2=0，

則m2?2≠0Δ=?8(m2+t2?2)>0，即m2≠2m2+t2<2，則y1+y2=?2mtm2?2，y1y2=t2?2m2?2，

因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)E，

所以kAE18.解：(1)當(dāng)a=2時(shí)，f′(x)=2ex?x?2+x(2ex?1)=2(x+1)ex?2x?2=(x+1)(2ex?2)．

則f′(0)=(0+1)(2e0?2)=0，即曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線斜率為0，

所以切線方程是y=0；

(2)若a>2e，則對(duì)x∈(?∞,ln2a)∪(?1,+∞)有f′(x)=(x+1)(aex?2)>0，對(duì)x∈(ln2a,?1)有f′(x)=(x+1)(aex?2)<0．

從而f(x)在(?∞,ln2a)和(?1,+∞)上遞增，在(ln2a,?1)上遞減，故f(x)的極大值為f(ln2a)>f(?1)，不滿足條件；

若0<a<2e，則對(duì)x∈(?∞,?1)∪(ln2a,+∞)有f′(x)=(x+1)(aex?2)>0，對(duì)x∈(?1,ln2a)有f′(x)=(x+1)(aex?2)<0．

從而f(x)在(?∞,?1)和(ln2a,+∞)上遞增，在(?1,ln2a)上遞減，故f(x)的極大值為f(?1)，滿足條件；

若a=2e，則對(duì)x∈(?∞