2024-2025學(xué)年安徽省皖江名校聯(lián)盟高三（上）第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年安徽省皖江名校聯(lián)盟高三（上）第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若集合A={x|x<2}，B={x|(x?1)2<4}，則A∪B=A.{x|x<2} B.{x|?1<x<2} C.{x|x<3} D.{x|?1<x<3}2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(2?i)=(1+i)2，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知平面向量a、b滿足a=(1,3)，|a?A.[2,6] B.[2,23] C.[24.立德學(xué)校于三月份開展學(xué)雷鋒主題活動(dòng)，某班級(jí)5名女生和2名男生，分成兩個(gè)小組去兩地參加志愿者活動(dòng)，每小組均要求既要有女生又要有男生，則不同的分配方案有(????)種．A.20 B.4 C.60 D.805.有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率為5%，加工出來的零件混放在一起．已知1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，則任取一個(gè)零件，它是次品的概率為(

)A.0.0525 B.0.0532 C.0.0175 D.0.01556.已知直線x?y?k=0(k>0)與圓x2+y2=4交于不同的兩點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|OAA.[6,+∞) B.[6,27.已知函數(shù)f(x)=x+4x,x>0log2|x|,x<0，g(x)=A.?28 B.28 C.?14 D.148.“三角換元思想”是三角函數(shù)中的基本思想.運(yùn)用三角換元法可以處理曲線中的最值問題.譬如：已知x2+y2=r2(r>0)，求x+y的最大值.我們令x=rcosθ，y=rsinθ，則x+y=r(cosθ+sinθ).這樣我們就把原問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題.已知A(x,y)A.12 B.14 C.16 D.18二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.如圖，正方體ABCD?A1B1C1A.直線BC與平面ABC1D1所成的角等于π4

B.四棱錐C?ABC1D1的體積為13

C.兩條異面直線D110.已知數(shù)列{an}滿足a1A.an=n+1 B.{an}的前n項(xiàng)和為n(n+2)2

C.{(?1)nan}11.中國(guó)結(jié)是一種手工編制工藝品，它有著復(fù)雜奇妙的曲線，卻可以還原成單純的二維線條，其中的數(shù)字“8”對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.在xOy平面上，把與定點(diǎn)M(?a,0)，N(a,0)距離之積等于a2(a>0)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線.曲線C是當(dāng)a=2時(shí)的雙紐線，P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(

)A.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是[?2,2] B.|OP|的最大值是22

C.△PMN面積的最大值為2 D.|PM|+|PN|的取值范圍是[4,42三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知cosα+cosβ=1010，sinα+sinβ=31013.橢圓x24+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)14.“算24”游戲是以除去大小王的52張撲克牌為載體，任意抽取4張，把撲克牌對(duì)應(yīng)的4個(gè)整數(shù)(A=1,J=11,Q=12,K=13)通過加減乘除(沒有乘方開方)以及括號(hào)運(yùn)算，使最后的運(yùn)算結(jié)果是24的一個(gè)數(shù)學(xué)游戲.因?yàn)楹蛽淇伺频幕ㄉ珶o(wú)關(guān)，所以游戲可以看作在集合M={n|n≤13,n∈N?}={1,2,3,?,13}中每次任選1個(gè)數(shù)，選4次得到4個(gè)整數(shù)，記為數(shù)組(a,b,c,d)，因?yàn)樗?4和選取4個(gè)數(shù)的順序無(wú)關(guān)，可以假設(shè)a≤b≤c≤d.比如(3,4,6,11).顯然游戲不同的牌組就對(duì)應(yīng)不同的數(shù)組，那么所有不同的數(shù)組一共有______個(gè).如果數(shù)組為(1,6,6,8)，寫出一個(gè)結(jié)果為24四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，面積為S，且4S=3(b2?a2?c2)．

(1)求B；

(2)若16.(本小題15分)

如圖，四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是矩形，SA=AD=2，AB=22，SC=4，M是SB的中點(diǎn)，MC⊥BD．

(1)證明：SA⊥平面ABCD；

(2)若點(diǎn)P是棱SC上的動(dòng)點(diǎn)，直線AP與平面AMC所成角的正弦值為3010，求17.(本小題15分)

高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷的多項(xiàng)選擇題每小題滿分6分，每小題有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有2個(gè)或者3個(gè)選項(xiàng)是正確的.若正確選項(xiàng)有2個(gè)，則選對(duì)其中1個(gè)得3分；若正確選項(xiàng)有3個(gè)，則選對(duì)其中1個(gè)得2分，選對(duì)其中2個(gè)得4分，答案中有錯(cuò)誤選項(xiàng)的得0分.設(shè)一套數(shù)學(xué)試卷的多項(xiàng)選擇題中有2個(gè)選項(xiàng)正確的概率為p(0<p<1)，有3個(gè)選項(xiàng)正確的概率為1?p.在一次模擬考試中：

(1)小明可以確認(rèn)一道多項(xiàng)選擇題的選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的，從其余的三個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇2個(gè)作為答案，若小明該題得分X的數(shù)學(xué)期望為3，求p；

(2)小明可以確認(rèn)另一道多項(xiàng)選擇題的選項(xiàng)A是正確的，其余的選項(xiàng)只能隨機(jī)選擇.小明有三種方案：①只選A不再選擇其他答案；②從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇1個(gè)，共選2個(gè)；③從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇2個(gè)，共選3個(gè).若p=13，以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇哪個(gè)方案？18.(本小題17分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2.且經(jīng)過點(diǎn)(2,3)．

(1)求C的方程；

(2)若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且OA19.(本小題17分)

給出以下三個(gè)材料：

①若函數(shù)f(x)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)f′(x)的導(dǎo)數(shù)叫做f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作f″(x).類似的，函數(shù)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)f(x)的三階導(dǎo)數(shù)，記作f?(x)，函數(shù)f(x)的三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)f(x)的四階導(dǎo)數(shù)……，一般地，函數(shù)f(x)的n?1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)f(x)的n階導(dǎo)數(shù)，記作f(n)(x)=[fn?1(x)]′，n≥4；

②若n∈N?，定義n!=n×(n?1)×(n?2)×?×3×2×1；

③若函數(shù)f(x)在包含x0的某個(gè)開區(qū)間(a,b)上具有任意階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任意x∈(a,b)有g(shù)(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x?x0)+f″(x0)2!(x?x0)2+?+f(n)(x0)n!(x?x0)n+?，我們將g(x)稱為函數(shù)參考答案1.C

2.C

3.A

4.C

5.A

6.B

7.A

8.D

9.ABC

10.AD

11.BCD

12.?113.(?214.1820

6÷(1?6÷8)

15.解：(1)由三角形面積公式及條件可知：4S=3(b2?a2?c2)=2acsinB，

由余弦定理知：b2?a2?c2=?2accosB，

所以?3cosB=sinB?tanB=?3，

因?yàn)锽∈(0,π)，所以B=2π3；16.解：(1)證明：如圖，取AB的中點(diǎn)N，連接MN，CN，設(shè)BD與CN交于Q點(diǎn)，

在底面矩形ABCD中，易知tan∠DBC=DCBC=2=tan∠BNC=BCBN，

所以∠BNC=∠DBC，所以可得BD⊥CN，

因?yàn)镸C⊥BD，MC∩NC=C，MC、NC?平面CMN，

所以BD⊥平面CMN，又MN?平面CMN，

所以BD⊥MN，易知MN//SA，所以BD⊥SA，

又底面ABCD是矩形，SA=AD=2，AB=22，SC=4，

所以AC=4+8=23，所以SA2+AC2=SC2，

所以SA⊥AC，又AC與BD相交，且AC，BD?平面ABCD，

所以SA⊥平面ABCD；

(2)由上可知SA⊥AD，SA⊥AB，AB⊥AD，

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

則A(0,0,0)、S(0,0,2)、C(2,22,0)、B(0,22,0)、M(0,2,1)，

設(shè)平面AMC的法向量為m=(x,y,z)，

則AC=(2,22,0)，AM17.解：(1)根據(jù)題意可知，X=0，4，6，

若該題有2個(gè)選項(xiàng)正確，則P(X=0)=23P，P(X=6)=13P，

若該題有3X

0

4

6

P

2

1?p1所以E(X)=0×23p+4×(1?P)+6×13p=4?2p=3，

解之得p=12；

(2)不妨記一道多選題“有2個(gè)選項(xiàng)正確”為事件A1，“有3個(gè)選項(xiàng)正確”為事件A2，

若小明選擇方案①，記小明該題得分為X，則X的可能取值為2，3，對(duì)應(yīng)概率為：

P(X=2)=P(A2)=23，P(X=3)=P(A1)=13，

故E(X)=2×23+3×13=73；

若小明選擇方案②，記小明試題得分為Y，則Y的可能取值為0、4、6，對(duì)應(yīng)概率為：

P(Y=0)=P(A1)×C51C31+P(A18.解：(1)因?yàn)殡p曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2.且經(jīng)過點(diǎn)(2,3)，

所以4a2?9b2=1a2+b2a2=2，解得a2=1，b2=3，

故雙曲線方程為C：x2?y23=1．

(2)當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+m，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立y=kx+mx2?y23=1?(3?k2)x2?2kmx?m2?3=0，

故3?k2≠0x1+x2=2km3?k2x1x2=?m