2024-2025學(xué)年四川省自貢一中高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年四川省自貢一中高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=10i?3在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的坐標(biāo)為(

)A.(?3,1) B.(?3,?1) C.(3,1) D.(3,?1)2.體育老師記錄了班上10名同學(xué)1分鐘內(nèi)的跳繩次數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是(

)A.98 B.99 C.99.5 D.1003.若直線l的一個方向向量為a=(1,?2,?1)，平面α的一個法向量為b=(?2,4,2)，則(

)A.l?α B.l//α C.l⊥α D.l//α或l?α4.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為AC和BD的交點，若AB=a，A.12a?12b+c

5.已知兩個平面α，β，兩條直線l，m，則下列命題正確的是(

)A.若α⊥β，l?α，則l⊥β

B.若l?α，m?β，m⊥l，則α⊥β

C.若l?α，m?α，m//β，l//β，則α//β

D.若l，m是異面直線，l?α，l//β，m?β，m//α，則α//β6.在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a=2，b=6，A=30°，則邊A.2 B.22或6 C.27.在空間直角坐標(biāo)系中，點A(0,2,1)，B(?1,1,3)，C(1,1,0)，則(

)A.AB=(1,1,?2) B.AC=(?1,1,1)

C.|BC8.已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為78，SA與圓錐底面所成角為45°，若△SAB的面積為515，則該圓錐的側(cè)面積為(A.402π B.802 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下面四個結(jié)論正確的是(

)A.向量a,b(a≠0,b≠0)，若a⊥b，則a?b=0

B.若空間四個點P，A，B，C，PC=14PA+34PB，則A，B，10.設(shè)A，B為兩個隨機(jī)事件，若P(A)=12，P(B)=34A.若A?B，則P(A∪B)=12

B.若P(A∩B)=38，則A，B相互獨立

C.若A與B相互獨立，則P(A∪B)=58

D.11.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，A.A1D⊥D1P

B.平面PAD1⊥平面BCC1B1

C.存在唯一的點P，使得三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.O為空間任意一點，若OP=34OA+18OB13.在平面四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，DA=DC=6，若∠B=60°，則△ACD的面積為

．14.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知空間三點A(?2,0,2)，B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，設(shè)a=AB，b=AC．

(1)若ka+b與ka?2b互相垂直，求實數(shù)k的值；

16.(本小題15分)

某公司為了解員工對食堂的滿意程度，對全體100名員工做了一次問卷調(diào)查，要求員工對食堂打分，將最終得分按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6段，并得到如圖所示頻率分布直方圖．

(1)估計這100名員工打分的眾數(shù)和中位數(shù)(保留一位小數(shù))；

(2)現(xiàn)從[70,80)，[80,90)，[90,100]這三組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取11個人，求[70,80)這組抽取的人數(shù)．17.(本小題15分)

在中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年之際，某校舉辦了“強(qiáng)國有我，挑戰(zhàn)答題”的知識競賽活動，已知甲、乙兩隊參加，每隊3人，每人回答且僅回答一個問題，答對者為本隊贏得1分，答錯得0分．假設(shè)甲隊中3人答對的概率分別為34，23，12，乙隊中每人答對的概率均為23，且各人回答問題正確與否互不影響．

(1)分別求甲隊總得分為1分和2分的概率；

(2)求活動結(jié)束后，甲、乙兩隊共得18.(本小題17分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2，D，E分別為CC1，A1B的中點．

(1)證明：19.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足(b?a)(sinB+sinA)=c(sinC?sinA)．

(1)求B；

(2)若a=2，b=23，求△ABC的面積；

(3)求ac?bc?abb參考答案1.B

2.C

3.C

4.A

5.D

6.C

7.D

8.A

9.ABC

10.BD

11.AB

12.1813.314.5315.解：(1)a=AB=(1,1,0)，b=AC=(?1,0,2)，

ka+b=(k?1,k,2)，ka?2b=(k+2,k,?4)，

ka+b與ka?2b互相垂直，

則(ka+b)?(ka?2b)=(k?1)(k+2)+k16.解：(1)由題意可得，眾數(shù)為75，

[40,70)的頻率為(0.005+0.015+0.025)×10=0.45，

[40,80)的頻率為(0.005+0.015+0.025+0.035)×10=0.8，

設(shè)中位數(shù)為a，

(a?70)×0.035=0.05，

∴a≈71.4(分)．

(2)[70,80)的人數(shù)0.035×10×100=35，[80,90)的人數(shù)0.01×10×100=10，[90,100)的人數(shù)0.01×10×100=10，抽樣比1155=15，

故從[70,80)17.解：(1)設(shè)甲隊總得分為1分為事件A，甲隊總得分為2分為事件B，

則P(A)=34×(1?23)×(1?12)+23×(1?34)×(1?12)+12×(1?23)×(1?34)=14．

P(B)=34×23×(1?12)+12×34×(1?23)+12×23×(1?34)=1124．

所以甲隊總得分為1分的概率為18.(1)證明：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則D(0,0,1)，B(0,2,0)，A1(2,0,2)，E(1,1,1)，C1(0,0,2)，

所以DE=(1,1,0)，

因為ABC?A1B1C1是直棱柱，

所以AA1⊥平面ABC，

因此平面ABC的一個法向量為n=(0,0,1)，

計算DE?n=0，所以DE⊥n，

又ED?平面ABC，所以ED/?/平面ABC；

(2)解：因為CC1=(0,0,2)，BD=(0,?2,1)，BA1=(2,?2,2)，

設(shè)平面A1BD19.解：(1)因為(b?a)(sinB+sinA)=c(sinC?sinA)，

由正弦定理可得：(b?a)(b+a)=c(c?a)，

整理可得：a2+c2?b2=ac，

由余弦定理可得cosB=a2+c2?b22ac=12，

而B∈(0,π)，

可得B=π3；

(2)因為