第04講三角形的外角(6種題型)(原卷版+解析)

第04講三角形的外角（6種題型）【知識梳理】1．定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角．如圖，∠ACD是△ABC的一個外角.要點詮釋：（1）外角的特征：①頂點在三角形的一個頂點上；②一條邊是三角形的一邊；③另一條邊是三角形某條邊的延長線．（2）三角形每個頂點處有兩個外角，它們是對頂角．所以三角形共有六個外角，通常每個頂點處取一個外角，因此，我們常說三角形有三個外角．2．性質：（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．（2）三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內角．要點詮釋：三角形內角和定理和三角形外角的性質是求角度及與角有關的推理、證明經常使用的理論依據．另外，在證明角的不等關系時也常想到外角的性質．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要點詮釋：因為三角形的每個外角與它相鄰的內角是鄰補角，由三角形的內角和是180°，可推出三角形的三個外角和是360°．【考點剖析】題型一、三角形的外角例1.（1）如圖，AB和CD交于點O，求證：∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如圖，求證：∠D=∠A＋∠B+∠C．題型二：三角形的外角和例2：如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少？題型三、三角形的內角、外角綜合例3.如圖所示，已知DE分別交△ABC的邊AB、AC于D、E，交BC的延長線于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度數．【變式】如圖所示，已知△ABC中，P為內角平分線AD、BE、CF的交點，過點P作PG⊥BC于G，試說明∠BPD與∠CPG的大小關系并說明理由．題型四：應用三角形的外角求角的度數例4：如圖，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度數.例5.如圖所示，P為△ABC內一點，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度數．【變式】（一題多解）如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數.題型五：用三角形外角的性質把幾個角的和分別轉化為一個三角形的內角和例6.已知：如圖為一五角星，求證：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.【變式】（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，已知∠A＝50°，∠D＝40°．(1)求∠1度數；(2)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數．題型六：三角形外角的性質和角平分線的綜合應用例7.如圖①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于點E.(1)如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度數；(2)猜想：∠E與∠A有什么數量關系(寫出結論即可)；(3)如圖②，點E是△ABC兩外角平分線BE、CE的交點，探索∠E與∠A之間的數量關系，并說明理由．【變式】（2022·河南鄭州·八年級期末）如圖，是中的平分線，是的外角的平分線，如果，，則__________．【過關檢測】一、單選題1．（2022秋·云南楚雄·八年級?？茧A段練習）如圖，是的外角，若，，則（

）A．40° B．50° C．55° D．60°2．（2023春·山東威海·八年級統(tǒng)考期中）如圖，的大小關系正確的是（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）已知直線，將一塊含30°角的直角三角板按如圖方式放置（），若，則的度數為（

）A． B． C． D．4．（2022秋·湖北荊州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分，點在射線上，于，，，則的度數為（）A． B． C． D．5．（2023秋·八年級課時練習）如圖，將一副三角板拼成如圖所示的圖形（，，，），交于點，則的度數是（

）A． B． C． D．6．（2023秋·八年級單元測試）把兩塊三角板按如圖所示那樣拼在一起，的大小為（

）A． B． C． D．7．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，已知直線，則(

)A． B． C． D．8．（2023秋·八年級單元測試）如圖所示，一副三角板疊放在一起，則圖中的度數為（）A． B． C． D．9．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，把紙片沿折疊，使點A落在圖中的處，若，，則的度數為（

）

A． B． C． D．10．（2023春·陜西西安·八年級西北大學附中?？茧A段練習）如圖，在中，，D為邊上的一點，E點在邊上，，若，則（

）

A． B． C． D．二、填空題11．（2022秋·廣東茂名·八年級校聯考期末）如圖，∠1的大小為______．

12．（2021秋·廣東河源·八年級?？计谥校┤鐖D，若，，是延長線上的一點．則______．13．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，、的角平分線交于點，若，，則____．

14．（2022秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）將一副三角尺如圖擺放，其中，，，，則______．

15．（2023秋·八年級課時練習）如圖，和分別是的內角平分線和外角平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，若，則______．

16．（2023秋·浙江杭州·八年級?？奸_學考試）如圖，在中，分別平分，交于點為外角的平分線，的延長線交于點．以下結論①，②，③，④，其中正確的是_________（填序號）．17．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖所示，在中，，內角和外角的平分線交于點，則________．18．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，平分，，分別交，，，的延長線于E，H，F，G，已知下列三個式子：①；②；③．其中正確的是________．（填序號）

三、解答題19．（2023秋·八年級課時練習）如圖，分別交的邊，于點，，交的延長線于，，，，求的度數．20．（2023秋·八年級課時練習）如圖，，在上，，在上取一點使，求的度數．21．（2023秋·八年級課時練習）如圖，，分別平分，，它們交于點，求證：．22．（2022秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是邊上的高，平分．若，．求：的度數．

23．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）在中，，，，求的度數．

24．（2023春·浙江·八年級專題練習）探索歸納：(1)如圖1，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則．A．

90°

B．

315°

C．

135°

D.270°(2)如圖2，已知中，，剪去后形成四邊形，則度．(3)如圖2，根據上面的求解過程，猜想與的關系是．(4)如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3的形狀，請猜想與的關系是．25．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）探究：中華人民共和國國旗上的五角星的每個角均相等，小明為了計算每個角的度數，畫出了如圖①的五角星，每個角均相等，并寫出了如下不完整的計算過程，請你將過程補充完整．

(1)解：∵，．∴．∵________，∴________，∴________．(2)拓展：如圖②，小明改變了這個五角星的五個角的度數，使它們均不相等，請你幫助小明求，，，，的和．(3)應用：如圖③．小明將圖②中的點落在上，點落在上，若，則________．第04講三角形的外角（6種題型）【知識梳理】1．定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角．如圖，∠ACD是△ABC的一個外角.要點詮釋：（1）外角的特征：①頂點在三角形的一個頂點上；②一條邊是三角形的一邊；③另一條邊是三角形某條邊的延長線．（2）三角形每個頂點處有兩個外角，它們是對頂角．所以三角形共有六個外角，通常每個頂點處取一個外角，因此，我們常說三角形有三個外角．2．性質：（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．（2）三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內角．要點詮釋：三角形內角和定理和三角形外角的性質是求角度及與角有關的推理、證明經常使用的理論依據．另外，在證明角的不等關系時也常想到外角的性質．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要點詮釋：因為三角形的每個外角與它相鄰的內角是鄰補角，由三角形的內角和是180°，可推出三角形的三個外角和是360°．【考點剖析】題型一、三角形的外角例1.（1）如圖，AB和CD交于點O，求證：∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如圖，求證：∠D=∠A＋∠B+∠C．【答案與解析】解：（1）如圖，在△AOC中，∠COB是一個外角，由外角的性質可得：∠COB＝∠A＋∠C，同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如圖，延長線段BD交線段與點E，在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B①；在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C②，將①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得證．【總結升華】重要結論：（1）“8”字形圖：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形圖”：∠D=∠A＋∠B+∠C．題型二：三角形的外角和例2：如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少？解：解法一：由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.解法二：如圖，∠BAE+∠1=180°①，∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.解法三：如圖，過A作AN平行于BC，則易得∠3＝∠4，∠2＝∠BAM，所以∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠4＋∠BAM=360°.題型三、三角形的內角、外角綜合例3.如圖所示，已知DE分別交△ABC的邊AB、AC于D、E，交BC的延長線于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度數．【思路點撥】要求∠BDF的度數，應從三角形內角和與三角形的外角出發(fā)，若將∠BDF看成△BDF的內角，只需求∠F的度數即可．【答案與解析】解：∵∠CEF＝∠AED＝48°，∠BCA＝∠CEF+∠F，∴∠F＝∠BCA-∠CEF＝74°-48°＝26°，∴∠BDF＝180°-∠B-∠F＝180°-67°-26°＝87°．【總結升華】三角形內角和與外角是進行與角有關的計算或證明的重要工具，本題也可將∠BDF看成△ADE的外角來求解．【變式】如圖所示，已知△ABC中，P為內角平分線AD、BE、CF的交點，過點P作PG⊥BC于G，試說明∠BPD與∠CPG的大小關系并說明理由．【答案】解：∠BPD＝∠CPG；理由如下：∵AD、BE、CF分別是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分線，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BAC，∠3＝∠ACB，∴∠1+∠2+∠3＝(∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°，又∵∠4＝∠1+∠2，∴∠4+∠3＝90°，又∵PG⊥BC，∴∠3+∠5＝90°，∴∠4＝∠5，即∠BPD＝∠CPG．題型四：應用三角形的外角求角的度數例4：如圖，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度數.解：∵∠BEC是△AEC的一個外角，∴∠BEC=∠A+∠ACE.∵∠A=42°，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.∵∠BFC是△BEF的一個外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF.∵∠ABD=28°，∠BEC=60°，∴∠BFC=88°.例5.如圖所示，P為△ABC內一點，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度數．解析：延長BP交AC于E或連接AP并延長，構造三角形的外角，再利用外角的性質即可求出∠A的度數．解：延長BP交AC于點E，則∠BPC，∠PEC分別為△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.方法總結：利用三角形的外角的性質將已知與未知的角聯系起來是計算角的度數的方法．【變式】（一題多解）如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數.思路點撥：添加適當的輔助線將四邊形問題轉化為三角形問題.解法一：連接AD并延長于點E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.因為∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=51°+20°+30°=101°.解法二：延長BD交AC于點E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=51°+20°+30°=101°.解法三：連接延長CD交AB于點F（解題過程同解法二）.題型五：用三角形外角的性質把幾個角的和分別轉化為一個三角形的內角和例6.已知：如圖為一五角星，求證：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.解析：根據三角形外角性質得出∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C，根據三角形內角和定理得出∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，代入即可得證．證明：∵∠EFG、∠EGF分別是△BDF、△ACG的外角，∴∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C.又∵在△EFG中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.方法總結：解決此類問題的關鍵是根據圖形的特點，利用三角形外角的性質將分散的角集中到某個三角形中，利用三角形內角和進行解決．【變式】（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，已知∠A＝50°，∠D＝40°．(1)求∠1度數；(2)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據三角形的外角的性質即可得到結論；（2）設∠1的同旁內角為∠2，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，然后利用三角形的內角和定理列式計算即可得解．(1)∠1＝∠A+∠D＝90°；,(2)設∠1的同旁內角為∠2，如圖，∵∠1＝∠A+∠D，∠2＝∠B+∠E，∠1+∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【點睛】本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，三角形的內角和定理，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．題型六：三角形外角的性質和角平分線的綜合應用例7.如圖①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于點E.(1)如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度數；(2)猜想：∠E與∠A有什么數量關系(寫出結論即可)；(3)如圖②，點E是△ABC兩外角平分線BE、CE的交點，探索∠E與∠A之間的數量關系，并說明理由．解析：先計算特殊角的情況，再綜合運用三角形的內角和定理及其推論結合三角形的角平分線概念解決．解：(1)根據外角的性質得∠ACD＝∠A＋∠ABC＝60°＋50°＝110°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠1＝eq\f(1,2)∠ACD＝55°，∠2＝eq\f(1,2)∠ABC＝25°.∵∠E＋∠2＝∠1，∴∠E＝∠1－∠2＝30°；(2)猜想：∠E＝eq\f(1,2)∠A；(3)∵BE、CE是兩外角的平分線，∴∠2＝eq\f(1,2)∠CBD，∠4＝eq\f(1,2)∠BCF，而∠CBD＝∠A＋∠ACB，∠BCF＝∠A＋∠ABC，∴∠2＝eq\f(1,2)(∠A＋∠ACB)，∠4＝eq\f(1,2)(∠A＋∠ABC)．∵∠E＋∠2＋∠4＝180°，∴∠E＋eq\f(1,2)(∠A＋∠ACB)＋eq\f(1,2)(∠A＋∠ABC)＝180°，即∠E＋eq\f(1,2)∠A＋eq\f(1,2)(∠A＋∠ACB＋∠ABC)＝180°.∵∠A＋∠ACB＋∠ABC＝180°，∴∠E＋eq\f(1,2)∠A＝90°.方法總結：對于本題發(fā)現的結論要予以重視：圖①中，∠E＝eq\f(1,2)∠A；圖②中，∠E＝90°－eq\f(1,2)∠A.【變式】（2022·河南鄭州·八年級期末）如圖，是中的平分線，是的外角的平分線，如果，，則__________．【答案】【分析】根據角平分線的定義以及一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和，可求出∠P的度數．【詳解】∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P=∠PCM-∠CBP=50°-20°=30°，故答案為：．【點睛】本題考查三角形外角性質以及角平分線的定義，解題的關鍵是掌握一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．【過關檢測】一、單選題1．（2022秋·云南楚雄·八年級校考階段練習）如圖，是的外角，若，，則（

）A．40° B．50° C．55° D．60°【答案】D【分析】根據三角形外角的性質解答．【詳解】是的外角，，，故選：D．【點睛】此題考查三角形外角性質：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，熟記定理是解題的關鍵．2．（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）如圖，的大小關系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據三角形的外角的性質進行解題．【詳解】由三角形的外角大于與它不相鄰的每一個內角，可得的大小關系為：．故選D．【點睛】本題考查三角形外角的性質，掌握三角形的外角的性質是解題的關鍵．3．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）已知直線，將一塊含30°角的直角三角板按如圖方式放置（），若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據對頂角相等，三角形的外角性質得到，再根據平行線的性質即可求解.【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，故選：B.【點睛】本題考查了三角形的外角性質，平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．4．（2022秋·湖北荊州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分，點在射線上，于，，，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據三角形的外角的性質得出，根據角平分線的性質得出，根據垂直的定義得出，進而根據互余關系即可求解．【詳解】，，平分，，，于，，．故選：A．【點睛】本題考查了三角形外角的性質，角平分線的定義，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．5．（2023秋·八年級課時練習）如圖，將一副三角板拼成如圖所示的圖形（，，，），交于點，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據三角板的特點及三角形外角的性質求解即可．【詳解】解：∵將一副三角板拼成如圖所示的圖形，，，，，∴，，∴，故選：B．【點睛】題目主要考查三角形外角的性質，熟練掌握三角形外角的性質是解題關鍵．6．（2023秋·八年級單元測試）把兩塊三角板按如圖所示那樣拼在一起，的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據，，理由三角形的外角求出結果即可．【詳解】解：∵，，∴，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質，三角板中的角度計算，解題的關鍵是熟練掌握三角形外角性質，三角形一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．7．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，已知直線，則(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】由可以推出，又因為，所以，就可以求出．【詳解】，，，．故選：C．【點睛】考查了平行線的性質以及三角形外角的性質，掌握兩直線平行同位角相等是解題的關鍵．8．（2023秋·八年級單元測試）如圖所示，一副三角板疊放在一起，則圖中的度數為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意得，，，根據角的和差關系，得，再根據三角形的外角的性質，得，從而解決此題．【詳解】解：如圖：由題意得，，，，∴，∴，∴，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查三角形的外角，熟練掌握三角形的外角的性質，三角形一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，是解決本題的關鍵．9．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，把紙片沿折疊，使點A落在圖中的處，若，，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用折疊性質得，，再根據三角形外角性質得，利用鄰補角得到，則，然后利用，進行計算即可．【詳解】解：，，紙片沿折疊，使點A落在圖中的處，°，，，，，，故選：A．【點睛】本題考查了折疊的性質，三角形外角的性質，求一個角的鄰補角，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．10．（2023春·陜西西安·八年級西北大學附中?？茧A段練習）如圖，在中，，D為邊上的一點，E點在邊上，，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形的外角性質可得，結合，可得出∠，利用三角形的外角性質可得，進而可得出，再結合及即可解答．【詳解】解：∵是的外角，∴，∵，∴．∵是的外角，∴，∴，又∵，∴，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了三角形的外角性質，牢記“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和”是解題的關鍵．二、填空題11．（2022秋·廣東茂名·八年級校聯考期末）如圖，∠1的大小為______．

【答案】/105度【分析】直接利用三角形的外角的性質求解即可．【詳解】解：由三角形的外角定理得：，故答案為：．【點睛】本題考查三角形的外角的性質，掌握三角形外角的定義，熟練運用外角的性質是解題關鍵．12．（2021秋·廣東河源·八年級?？计谥校┤鐖D，若，，是延長線上的一點．則______．【答案】【分析】根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和可得．【詳解】解：，，，，故答案為：．【點睛】此題主要考查了三角形的外角性質，關鍵是掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．13．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，、的角平分線交于點，若，，則____．

【答案】/度【分析】延長交于點，根據角平分線的定義，得，，根據三角形的外角和，得，，根據等量代換，；根據，，根據等量代換，得，聯立，即可求出．【詳解】延長交于點，∵、的角平分線交于點，∴，，∵，，∴，∵，，∴，由得，，解得：，故答案為：．

【點睛】本題考查角平分線的定義，三角形的外角和，解題的關鍵是掌握角平分線的定義，三角形的外角和．14．（2022秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）將一副三角尺如圖擺放，其中，，，，則______．

【答案】/165度【分析】利用三角形的外角性質求得的度數，再利用三角形的外角性質即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的外角性質．掌握“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和”是解題的關鍵．15．（2023秋·八年級課時練習）如圖，和分別是的內角平分線和外角平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，若，則______．

【答案】【分析】根據角平分線的定義可得，，再根據三角形外角的性質可得，化簡可得，進一步找出其中的規(guī)律，即可求出的度數．【詳解】解：和分別是的內角平分線和外角平分線，，，又，，，，同理可得：，，則，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，三角形外角的性質，角平分線的定義等，找出，，與的規(guī)律是解題的關鍵．16．（2023秋·浙江杭州·八年級?？奸_學考試）如圖，在中，分別平分，交于點為外角的平分線，的延長線交于點．以下結論①，②，③，④，其中正確的是_________（填序號）．【答案】①②③【分析】先根據角平分線的定義可得，，再根據即可判斷①正確；先根據角平分線的定義可得，再根據三角形的內角和定理即可判斷③正確；先根據三角形的外角性質可得，再結合結論③即可判斷②正確；假設④正確，從而可得，再根據結論②可得，由此即可判斷④錯誤．【詳解】解：平分，為外角的平分線，，，，，結論①正確；平分，，，結論③正確；又，，，結論②正確；假設，，解得，，由已知條件不能得出這個結論，則假設不成立，結論④錯誤；綜上，結論正確的是①②③，故答案為：①②③．【點睛】本題考查了與角平分線有關的三角形內角和問題、三角形的外角性質，熟練掌握三角形的內角和定理是解題關鍵．17．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖所示，在中，，內角和外角的平分線交于點，則________．【答案】【分析】利用角平分線定義可知，．再利用外角性質，可得，根據角等量關系代換得到．【詳解】解：和分別是和的角平分線，，，又是的一外角，，，是的一外角，，故答案為：．【點睛】本題考查三角形外角的性質，角平分線性質，及三角形的內角和定理，解題的關鍵是熟記掌握三角形的內角和與外角性質．18．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，平分，，分別交，，，的延長線于E，H，F，G，已知下列三個式子：①；②；③．其中正確的是________．（填序號）

【答案】【分析】由平分，，根據三角形的內角和定理得，而，即可求得；再根據三角形外角性質得，得到，由此得到正確答案．【詳解】解：如圖：

平分，，，，，，；又，；故正確，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形內角和定理，角平分線的定義，垂線的性質以及三角形外角的性質，熟練掌握和運用基本圖形的性質是解決本題的關鍵．三、解答題19．（2023秋·八年級課時練習）如圖，分別交的邊，于點，，交的延長線于，，，，求的度數．【答案】【分析】在中可求得，再結合條件和外角的性質可求得大?。驹斀狻拷猓骸撸?，∴，又，∴，∴的度數為．【點睛】本題考查三角形內角和定理和外角的性質，掌握三角形內角和為及三角形的一個外角等于不相鄰兩個內角的和是解題的關鍵．20．（2023秋·八年級課時練習）如圖，，在上，，在上取一點使，求的度數．【答案】【分析】先根據三角形外角的性質得到，再根據等邊對等角得到，進而推出，進一步推出即可得到答案．【詳解】解：由三角形的外角性質得，，，，，，，，，即．【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質，熟知三角形一個外角的度數等于與其不相鄰的兩個內角的度數之和是解題的關鍵．21．（2023秋·八年級課時練習）如圖，，分別平分，，它們交于點，求證：．【答案】見解析【分析】延長交于點，設，，利用三角形外角的性質求出，可得，同理求出，進而可得結論．【詳解】證明：如圖，延長交于點，設，，∴，，同理可得，，．【點睛】本題考查了三角形外角的性質，角的和差計算，熟知三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和是解題的關鍵．22．（2022秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是邊上的