2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專(zhuān)題三十二：拋物線(xiàn)上的菱形存在性問(wèn)題探究(原卷版+解析)

2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專(zhuān)題三十二：拋物線(xiàn)上的菱形存在性問(wèn)題探究方法點(diǎn)睛方法點(diǎn)睛解答存在性問(wèn)題的一般思路是先假設(shè)問(wèn)題存在，然后推理得出結(jié)論，進(jìn)而判斷結(jié)論是否成立．遇到有兩個(gè)定點(diǎn)確定菱形的問(wèn)題時(shí)，常常要運(yùn)用分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合思想，分別畫(huà)出符合要求的圖形，找到所有的答案，分類(lèi)時(shí)要注意不重不漏．注意結(jié)合矩形、菱形正方形的特殊性質(zhì)，往往涉及到等腰，全等，勾股定理或相似三角形等知識(shí)的運(yùn)用.常用解題思路：利用菱形四條邊相等，對(duì)角線(xiàn)互相垂直，借助勾股定理等求解.典例精講典例精講例1：（2022煙臺(tái)中考）（14分）如圖，已知直線(xiàn)y＝x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣1．（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）D是第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在點(diǎn)P，Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對(duì)角線(xiàn)的菱形？若存在，請(qǐng)求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．專(zhuān)題過(guò)關(guān)1.（2021鄂爾多斯中考）如圖，拋物線(xiàn)y＝x2+2x﹣8與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接AC，直線(xiàn)x＝m（﹣4＜m＜0）與該拋物線(xiàn)交于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)D，連接OD．當(dāng)OD⊥AC時(shí)，求線(xiàn)段DE的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)M在y軸上，點(diǎn)N在直線(xiàn)AC上，點(diǎn)P為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使得以C、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2021通遼中考）（12分）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）當(dāng)以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的周長(zhǎng)；（3）若點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使得以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3.（2021婁底中考）如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求的值；（2）點(diǎn)為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)Q．①當(dāng)時(shí)，求當(dāng)P點(diǎn)到直線(xiàn)距離最大時(shí)m的值；②是否存在m，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)求出m的值．4.（2021湘潭中考）如圖，一次函數(shù)y＝x﹣圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B，二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象過(guò)A、B兩點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)B關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C，點(diǎn)P是對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使得以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（2021恩施中考）（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)A，B在x軸上，拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，D（﹣4，5）兩點(diǎn)，且與直線(xiàn)DC交于另一點(diǎn)E．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）F為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，Q為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)Q，F(xiàn)，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是以BE為邊的菱形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）P為y軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的垂線(xiàn)，垂足為M，連接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6.（2022河南鎮(zhèn)平一模）如圖，拋物線(xiàn)交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P、Q，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，四邊形DPEQ為菱形．①當(dāng)時(shí)，求菱形DPEQ的面積；②當(dāng)點(diǎn)E落在內(nèi)部（不含邊上）時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專(zhuān)題三十二：拋物線(xiàn)上的菱形存在性問(wèn)題探究方法點(diǎn)睛方法點(diǎn)睛解答存在性問(wèn)題的一般思路是先假設(shè)問(wèn)題存在，然后推理得出結(jié)論，進(jìn)而判斷結(jié)論是否成立．遇到有兩個(gè)定點(diǎn)確定菱形的問(wèn)題時(shí)，常常要運(yùn)用分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合思想，分別畫(huà)出符合要求的圖形，找到所有的答案，分類(lèi)時(shí)要注意不重不漏．注意結(jié)合矩形、菱形正方形的特殊性質(zhì)，往往涉及到等腰，全等，勾股定理或相似三角形等知識(shí)的運(yùn)用.常用解題思路：利用菱形四條邊相等，對(duì)角線(xiàn)互相垂直，借助勾股定理等求解.典例精講典例精講例1：（2022煙臺(tái)中考）（14分）如圖，已知直線(xiàn)y＝x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣1．（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）D是第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在點(diǎn)P，Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對(duì)角線(xiàn)的菱形？若存在，請(qǐng)求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）先求得A，C，B三點(diǎn)的坐標(biāo)，將拋物線(xiàn)設(shè)為交點(diǎn)式，進(jìn)一步求得結(jié)果；（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根據(jù)點(diǎn)D和點(diǎn)E坐標(biāo)可表示出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而表示出三角形ADC的面積，進(jìn)而表示出S的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)一步求得結(jié)果；（3）根據(jù)菱形性質(zhì)可得PA＝PC，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)菱形性質(zhì)，進(jìn)一步求得點(diǎn)Q坐標(biāo)．【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，∴C（0，4），當(dāng)y＝0時(shí)，x+4＝0，∴x＝﹣3，∴A（﹣3，0），∵對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣1，∴B（1，0），∴設(shè)拋物線(xiàn)的表達(dá)式：y＝a（x﹣1）?（x+3），∴4＝﹣3a，∴a＝﹣，∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣1）?（x+3）＝﹣x2﹣x+4；（2）如圖1，作DF⊥AB于F，交AC于E，∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，﹣m+4），∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，∴S△ADC＝OA＝?（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，∵S△ABC＝＝＝6，∴S＝﹣2m2﹣6m+6＝﹣2（m+）2+，∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，S最大＝，當(dāng)m＝﹣時(shí)，y＝﹣＝5，∴D（﹣，5）；（3）設(shè)P（﹣1，n），∵以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對(duì)角線(xiàn)的菱形，∴PA＝PC，即：PA2＝PC2，∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，∴n＝，∴P（﹣1，），∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝y(tǒng)A+yC∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，∴Q（﹣2，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，勾股定理，菱形性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)二次函數(shù)和菱形性質(zhì)．專(zhuān)題過(guò)關(guān)1.（2021鄂爾多斯中考）如圖，拋物線(xiàn)y＝x2+2x﹣8與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接AC，直線(xiàn)x＝m（﹣4＜m＜0）與該拋物線(xiàn)交于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)D，連接OD．當(dāng)OD⊥AC時(shí)，求線(xiàn)段DE的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)M在y軸上，點(diǎn)N在直線(xiàn)AC上，點(diǎn)P為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使得以C、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專(zhuān)題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣8）；（2）；（3）M1（0，﹣8+），M2（0，﹣8﹣），M3（0，﹣），M4（0，﹣12）．【分析】（1）令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，可得A（﹣4，0），B（2，0），令x＝0，得y＝﹣8，可得C（0，﹣8）；（2）利用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)AC的解析式為y＝﹣2x﹣8，根據(jù)題意得E（m，m2+2m﹣8），D（m，﹣2m﹣8），即可得出DE＝﹣m2﹣4m，利用△ACO∽△DOF，建立方程求解即可；（3）分三種情況：CM對(duì)角線(xiàn)或CN為對(duì)角線(xiàn)或CP為對(duì)角線(xiàn)，①當(dāng)CP為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，CM∥PN，CM＝PN＝CN，可得出N（﹣1，﹣6），根據(jù)CM＝PN＝CN＝，即可求出答案；②當(dāng)CN為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，CM∥PN，CM＝PN＝CP，設(shè)CM＝a，則M（0，﹣8+a），P（﹣1，﹣6﹣a），建立方程求解即可；③當(dāng)CM對(duì)角線(xiàn)時(shí)，PN與CM互相垂直平分，設(shè)P（﹣1，b），則N（1，b），M（0，2b+8），根據(jù)N（1，b）在直線(xiàn)y＝﹣2x﹣8上，即可求得答案．【解答】解：（1）在y＝x2+2x﹣8中，令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），令x＝0，得y＝﹣8，∴C（0，﹣8）；（2）設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y＝kx+b，∵A（﹣4，0），C（0，﹣8），∴，解得：，∴直線(xiàn)AC的解析式為y＝﹣2x﹣8，∵直線(xiàn)x＝m（﹣4＜m＜0）與該拋物線(xiàn)交于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)D，∴E（m，m2+2m﹣8），D（m，﹣2m﹣8），∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m，設(shè)DE交x軸于點(diǎn)F，則F（m，0），∴OF＝﹣m，∴AF＝m﹣（﹣4）＝m+4，DF＝2m+8，∵OD⊥AC，EF⊥OA，∴∠ODA＝∠OFD＝∠DFA＝∠AOC＝90°，∴∠DOF+∠COD＝∠OCD+∠COD＝90°，∴∠DOF＝∠OCD，∴△ACO∽△DOF，∴＝，∴OC?DF＝OA?OF，∴8（2m+8）＝4（﹣m），解得：m＝﹣，∴DE＝﹣m2﹣4m＝﹣（﹣）2﹣4×（﹣）＝；（3）存在，如圖2，∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣1，∵以C、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，∴分三種情況：CM對(duì)角線(xiàn)或CN為對(duì)角線(xiàn)或CP為對(duì)角線(xiàn)，①當(dāng)CP為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，CM∥PN，CM＝PN＝CN，∴N點(diǎn)為直線(xiàn)AC與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，即N（﹣1，﹣6），CN＝＝，∴CM＝PN＝，∴M1（0，﹣8+），M2（0，﹣8﹣）；②當(dāng)CN為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，CM∥PN，CM＝PN＝CP，設(shè)CM＝a，則M（0，﹣8+a），P（﹣1，﹣6﹣a），∴（﹣1﹣0）2+（﹣6﹣a+8）2＝a2，解得：a＝，∴M3（0，﹣），③當(dāng)CM對(duì)角線(xiàn)時(shí)，PN與CM互相垂直平分，設(shè)P（﹣1，b），則N（1，b），M（0，2b+8），∵N（1，b）在直線(xiàn)y＝﹣2x﹣8上，∴b＝﹣2×1﹣8＝﹣10，∴M4（0，﹣12），綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M1（0，﹣8+），M2（0，﹣8﹣），M3（0，﹣），M4（0，﹣12）．2．（2021通遼中考）（12分）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）當(dāng)以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的周長(zhǎng)；（3）若點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使得以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）因?yàn)锽C為定值，所以當(dāng)PB+PC最小時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，如圖1，連接AC交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，由軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可知，此點(diǎn)P即為所求，再利用勾股定理求出AC、BC，即可得出答案；（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①以AC為邊時(shí)，由四邊形ACPQ是菱形，可得CP＝CA，建立方程求解即可，②以AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)．由四邊形ACPQ是菱形，可得CP＝PA，建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴該拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），∵△PBC的周長(zhǎng)為：PB+PC+BC，BC是定值，∴當(dāng)PB+PC最小時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最?。鐖D1，點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸l對(duì)稱(chēng)，連接AC交l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求的點(diǎn)．∵AP＝BP，∴△PBC周長(zhǎng)的最小值是：PB+PC+BC＝AC+BC．∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），∴AC＝3，BC＝．∴△PBC周長(zhǎng)的最小值是：3+．拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣＝1，設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y＝kx+c，將A（3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，∴直線(xiàn)AC的解析式為y＝﹣x+3，∴P（1，2）；（3）存在．設(shè)P（1，t），①以AC為邊時(shí)，如圖2，∵四邊形ACPQ是菱形，∴CP＝CA，∴12+（3﹣t）2＝32+32，解得：t＝3±，∴P1（1，3﹣），P2（1，3+），∴Q1（4，﹣），Q2（4，），②以AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，如圖3，∵四邊形ACPQ是菱形，∴CP＝PA，∴12+（3﹣t）2＝（1﹣3）2+t2，解得：t＝1，∴P3（1，1），Q3（2，2），綜上所述，符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q1（4，﹣），Q2（4，），Q3（2，2）．3.（2021婁底中考）如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求的值；（2）點(diǎn)為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)Q．①當(dāng)時(shí)，求當(dāng)P點(diǎn)到直線(xiàn)距離最大時(shí)m的值；②是否存在m，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)求出m的值．【答案】（1）b=，c=；（2）①；②不存在，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）將A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；（2）①設(shè)點(diǎn)P（m，m2-2m-3），則點(diǎn)Q（m，m），再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；②分情況討論，利用菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵拋物線(xiàn)y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），∴，解得：，∴b=，c=；（2）①由（1）得，拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為：y=x2，設(shè)點(diǎn)P（m，m2-2m-3），則點(diǎn)Q（m，m），∵0<m<3，∴PQ=m-(m2-2m-3)=-m2+3m+3=-+，∵-1<0，∴當(dāng)時(shí)，PQ有最大值，最大值為；②∵拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為：y=x2-2x-3，∴C（0，-3），∴OB=OC=3，由題意，點(diǎn)P（m，m2-2m-3），則點(diǎn)Q（m，m），∵PQ∥OC，當(dāng)OC為菱形的邊，則PQ=OC=3，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P上方時(shí)，∴PQ=，即，∴，解得或，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，菱形不存在，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，此時(shí)BC=，菱形也不存在；當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P下方時(shí)，若點(diǎn)Q在第三象限，如圖，∵∠COQ=45°，根據(jù)菱形的性質(zhì)∠COQ=∠POQ=45°，則點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，此時(shí)OA=1OC=3，菱形不存在，若點(diǎn)Q在第一象限，如圖，同理，菱形不存在，綜上，不存在以點(diǎn)O、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，其中，熟練掌握方程的思想方法和分類(lèi)討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．4.（2021湘潭中考）如圖，一次函數(shù)y＝x﹣圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B，二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象過(guò)A、B兩點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)B關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C，點(diǎn)P是對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使得以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專(zhuān)題】方程思想；函數(shù)的綜合應(yīng)用；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí)．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣；（2）（1，﹣）或（﹣1，0）或（3，0）．【分析】（1）由y＝x﹣可求出A（3，0），B（0，﹣），代入二次函數(shù)y＝x2+bx+c即得二次函數(shù)解析式為y＝x2﹣x﹣；（2）由二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣可得其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝＝1，設(shè)P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而C與B關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，可得C（2，﹣），①當(dāng)BC、PQ為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，，可得，此時(shí)四邊形BQCP是平行四邊形，根據(jù)P（1，﹣），B（0，﹣），C（2，﹣）可得PB＝PC，即得此時(shí)Q（1，﹣）；②BP、CQ為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，同理可得Q（﹣1，0）；③以BQ、CP為對(duì)角線(xiàn)，同理可得Q（3，0）．【解答】解：（1）在y＝x﹣中，令x＝0得y＝﹣，令y＝0得x＝3，∴A（3，0），B（0，﹣），∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象過(guò)A、B兩點(diǎn)，∴，解得，∴二次函數(shù)解析式為y＝x2﹣x﹣；（2）存在，理由如下：由二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣可得其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝＝1，設(shè)P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而B(niǎo)（0，﹣），∵C與B關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，∴C（2，﹣），①當(dāng)BC、PQ為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，如圖：此時(shí)BC的中點(diǎn)即是PQ的中點(diǎn)，即，解得，∴當(dāng)P（1，﹣），Q（1，﹣）時(shí)，四邊形BQCP是平行四邊形，由P（1，﹣），B（0，﹣），C（2，﹣）可得PB2＝＝PC2，∴PB＝PC，∴四邊形BQCP是菱形，∴此時(shí)Q（1，﹣）；②BP、CQ為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，如圖：同理BP、CQ中點(diǎn)重合，可得，解得，∴當(dāng)P（1，0），Q（﹣1，0）時(shí)，四邊形BCPQ是平行四邊形，由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，∴四邊形BCPQ是菱形，∴此時(shí)Q（﹣1，0）；③以BQ、CP為對(duì)角線(xiàn)，如圖：BQ、CP中點(diǎn)重合，可得，解得，∴P（1，0），Q（3，0）時(shí)，四邊形BCQP是平行四邊形，由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，∴四邊形BCQP是菱形，∴此時(shí)Q（3，0）；綜上所述，Q的坐標(biāo)為：（1，﹣）或（﹣1，0）或（3，0）．5．（2021恩施中考）（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)A，B在x軸上，拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，D（﹣4，5）兩點(diǎn)，且與直線(xiàn)DC交于另一點(diǎn)E．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）F為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，Q為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)Q，F(xiàn)，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是以BE為邊的菱形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）P為y軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的垂線(xiàn)，垂足為M，連接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），再用待定系數(shù)法即可求解；（2）以點(diǎn)Q，F(xiàn)，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是以BE為邊的菱形，故點(diǎn)B向右平移1個(gè)單位向上平移5個(gè)單位得到點(diǎn)E，則Q（F）向右平移1個(gè)單位向上平移5個(gè)單位得到點(diǎn)F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），即可求解；（3）設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)B′（﹣1，0），將點(diǎn)B′向左平移1個(gè)單位得到點(diǎn)B″（﹣2，0），連接B″E，交函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥y軸，則點(diǎn)P、M為所求點(diǎn)，此時(shí)EM+MP+PB為最小，進(jìn)而求解．【解答】解：（1）由點(diǎn)D的縱坐標(biāo)知，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，則OB＝AB﹣AO＝5﹣4＝1，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），則，解得，故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y＝x2+2x﹣3；（2）存在，理由：∵點(diǎn)D、E關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，5），由拋物線(xiàn)的表達(dá)式知，其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣1，故設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為