專題02第二章有理數(shù)及其運算(中等類型10大類型)(原卷版+解析)

專題02第二章有理數(shù)及其運算【專題過關】類型一、有、無理數(shù)的分類【解惑】把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的大括號：，，，，，，，．整數(shù)集合：______；負分數(shù)集合：______；正實數(shù)集合：______；無理數(shù)集合：______【融會貫通】1.（2022秋·山東泰安·六年級?？计谥校┌严铝懈鲾?shù)分別填入相應的集合里．，，，，，，，；(1)正數(shù)集合：；(2)負數(shù)集合：；(3)整數(shù)集合：；(4)分數(shù)集合：；2．（2022秋·寧夏吳忠·七年級校考期中）把下列各數(shù)填入它所屬的集合內(nèi)：，，，，，，，分數(shù)集合{

…}正有理數(shù)數(shù)集合{

…}正整數(shù)集合{

…}負整數(shù)集合{

…}3．（2023秋·全國·七年級專題練習）把下列各數(shù)填在相應的表示集合的大括號里．，，1，，0，，，；整數(shù)集合{

}分數(shù)集合{

}正有理數(shù)集合{

}負有理數(shù)集合{

}4．（2023秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級?？计谥校⑾铝懈鲾?shù)填在相應的大括號里：，0，2021，，，，，整數(shù)：{

…}；分數(shù)：{

…}；負有理數(shù)：{

…}．5．（2021秋·福建福州·七年級?？茧A段練習）把下列各數(shù)填在相應的大括號里．，4，，，，，，，0，．(1)整數(shù)集合｛

…｝(2)分數(shù)集合｛

…｝(3)非負數(shù)集合｛

…｝(4)正有理數(shù)集合｛

…｝(5)負有理數(shù)集合｛

…｝類型二、數(shù)軸兩點之間的距離【解惑】一條數(shù)軸上有兩點A與B，已知點A到原點O的距離為2，點B至點A的距離為5，則點B所表示的數(shù)可能是（）A．7或 B．或3 C．7或 D．7，，3或【融會貫通】1．（2023·全國·七年級專題練習）已知、均為數(shù)軸上的點，到原點的距離為，點到點的距離為個單位長度，且在的左邊，則點表示的數(shù)為．2．（2023春·河北保定·七年級統(tǒng)考期中）如圖，數(shù)軸上從左到右依次有D，C，A，B四點，點A，B分別表示1和，點C到點D的距離與點B到點A的距離相等，設點C表示的數(shù)為x．（1）當D表示的數(shù)為0時，x的值是﹔（2）當D表示的數(shù)為時﹐①x的值是﹔②若m為的相反數(shù)，n為的絕對值，則的值為；3．（2023春·湖北黃岡·七年級?？奸_學考試）結合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是______；表示和的兩點之間的距離是______；表示和的兩點之間的距離是______；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)和數(shù)的兩點之間的距離等于______．(2)如果表示數(shù)和的兩點之間的距離是，那么______．(3)若數(shù)軸上表示數(shù)的點位于與之間，求的值；(4)當______時，的值最小，最小值是______．4.（2022秋·吉林長春·七年級?？茧A段練習）閱讀下面的材料：在學習絕對值時，根據(jù)絕對值的幾何意義，我們知道表示5、3在數(shù)軸上對應的兩點間的距離；，所以表示5、在數(shù)軸上對應的兩點之間的距離；，所以表示5在數(shù)軸上對應的點到原點的距離．一般地，點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，那么A、B兩點之間的距離可以表示為．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示6與的兩點之間的距離是______；數(shù)軸上表示x與2的兩點之間的距離是______．(2)若，則______．(3)滿足的有理數(shù)x有______個．(4)當______時，代數(shù)式的最小值是2．5．（2022秋·福建寧德·七年級統(tǒng)考期中）數(shù)學課上李老師和同學們玩一個找原點的游戲．(1)如圖1，在數(shù)軸上標有A，B兩點，已知A，B兩點所表示的數(shù)互為相反數(shù)．

①如果點A所表示的數(shù)是，那么點B所表示的數(shù)是______________；②請在圖1中標出原點O的位置；(2)圖2是小敏所畫的數(shù)軸，數(shù)軸上標出的點中任意相鄰兩點間的距離都相等．請你幫她標出隱藏的原點O的位置，并寫出此時點C所表示的數(shù)是____________；

(3)如圖3，數(shù)軸上標出若干個點，其中點A，B，C所表示的數(shù)分別為a，b，c．若數(shù)軸上標出的若干個點中每相鄰兩點相距1個單位（如），且．

①試求a的值；②若點D也在這條數(shù)軸上，且，設D點所表示的數(shù)為d，求d的值．類型三、根據(jù)數(shù)軸判斷符號【解惑】如圖，A、B兩點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a、b，下列式子成立的是（

）．

A． B． C． D．【融會貫通】1．（2022秋·福建廈門·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是，下列說法錯誤的是（

）

A． B． C． D．2．（2023·廣東梅州·?？家荒＃┮阎欣頂?shù)在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列式子成立的是（

）

A． B． C． D．3．（2023·新疆烏魯木齊·校考二模）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列各式中正確的是（

）

A． B． C． D．4．（2023春·黑龍江大慶·九年級?？计谥校┤鐖D，數(shù)軸上A、B兩點分別對應實數(shù)a、b，則下列結論①，②，③，④，其中正確的有（

）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個5．（2022秋·湖南岳陽·七年級?？计谥校┯欣頂?shù)a，b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，給出下列關系式；①，；②；③；④，⑤．其中正確的有（填序號）．

類型四、化簡多重符號【解惑】下列各式中，不正確的是（）A． B． C． D．【融會貫通】1．（2023秋·江蘇·七年級專題練習）化簡：，，．2．（2022秋·安徽宿州·七年級統(tǒng)考期中）．3．（2019秋·廣東潮州·七年級統(tǒng)考期中）化簡：，．4．（2023秋·全國·七年級專題練習）化簡下列各數(shù)：(1)(2)(3)(4)5．（2023秋·全國·七年級專題練習）化簡下列各數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)類型五、絕對值與平方的非負性【解惑】若與互為相反數(shù)，則的值為（

）A． B．1 C．2 D．3【融會貫通】1．（2023秋·全國·七年級專題練習）如果，那么a，b的值為（）A． B．C． D．2．（2023春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考期中）已知a，b，c為的三邊長，b，c滿足，且a為2，則的周長為．3．（2022秋·四川成都·七年級?？计谥校┤魸M足，則的值為．4．（2023秋·七年級課前預習）若與互為相反數(shù)，則的值為5．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）若，則．類型六、化簡絕對值【解惑】如圖所示，已知數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應點的位置∶化簡得．

【融會貫通】1．（2022秋·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習）實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則代數(shù)式的值等于．

2．（2023春·福建福州·七年級統(tǒng)考開學考試）有理數(shù)x在數(shù)軸上的位置如圖聽示，化簡：．

3．（2020秋·廣東廣州·七年級?？计谥校┯欣頂?shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖，則．

4．（2022秋·浙江麗水·七年級校考期中）若用點A，B，C分別表示有理數(shù)a，b，c，它們在數(shù)軸上的位置如圖所示．

(1)請在橫線上填上，或：_____0，______0；(2)化簡：．5．（2022秋·內(nèi)蒙古赤峰·七年級統(tǒng)考期中）在如圖所示的數(shù)軸上，

(1)表示出符合下列條件的三個點A，B，C，其中點A代表負有理數(shù)a；B代表負有理數(shù)b，C代表正有理數(shù)c，且；(2)在（1）的條件下化簡：．類型七、有理數(shù)加減法中的簡便運算【解惑】計算值為．【融會貫通】1．（2023秋·全國·七年級專題練習）用簡便方法運算：．2．（2023秋·全國·七年級專題練習）閱讀下面的解題過程，并解決問題計算：解：原式……第一步…………第二步…………第三步(1)計算過程中，第一步把原式化成_______的形式，體現(xiàn)了數(shù)學中的_______思想，為了計算簡便，第二步運用了___________(2)根據(jù)以上的解題技巧計算下列式子：3．（2023秋·江蘇·七年級專題練習）閱讀下面文字：對于，可以按如下方法計算：原式．上面這種方法叫拆項法．仿照上面的方法，請你計算：(1)；(2)．4．（2023秋·江蘇·七年級專題練習）閱讀材料：對于，可以進行如下計算：原式．上面這種方法叫拆數(shù)法，仿照上面的方法，請你計算：．5．（2023秋·江蘇·七年級專題練習）閱讀：因為一個非負數(shù)的絕對值等于它本身，負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，所以當時，例如：；當時，例如：，根據(jù)以上閱讀完成：(1)______．(2)計算：．類型八、有理數(shù)乘法運算律【解惑】用簡便方法計算：．【融會貫通】1．（2022秋·江蘇鹽城·七年級?？茧A段練習）解答下列問題：請你參考黑板中老師的講解，用運算律簡便計算（請寫出具體的解題過程）：(1)；(2)．2.（2023秋·安徽淮北·七年級淮北市第二中學?？奸_學考試）3．（2023秋·全國·七年級專題練習）用適當?shù)姆椒ㄟM行簡便的計算：(1)(2)4．（2021秋·廣東江門·七年級統(tǒng)考階段練習）學習了有理數(shù)的乘法后，老師給同學們出了這樣一道題目：“計算：，看誰算的又快又對．”有兩位同學的解法如下：小文：原式；小麗：原式．(1)對于以上兩種解法，__________的解法較好（填“小文”或“小麗”）；(2)受上面解法對你的啟發(fā)，你認為還有更好的方法嗎？如果有，請把它寫出來；(3)用你認為最合適的方法計算：．5．（2020秋·廣東佛山·七年級?？计谥校┨骄恳?guī)律，完成相關題目沸羊羊說：“我定義了一種新的運算，叫※（加乘）運算．”然后他寫出了一些按照※（加乘）運算的運算法則進行運算的算式：；；；：；智羊羊看了這些算式后說：“我知道你定義的※（加乘）運算的運算法則了，”聰明的你也明白了嗎？(1)歸納※（加乘）運算的運算法則：兩數(shù)進行※（加乘）運算時，___________得正，___________得負，再將它們的___________．特別地，0和任何數(shù)進行※（加乘）運算，或任何數(shù)和0進行※（加乘）運算，結果為這個數(shù)的___________．(2)計算：（括號的作用與它在有理數(shù)運算中的作用一致）(3)我們知道乘法有交換律和結合律，這兩種運算律在有理數(shù)的※（加乘）運算中還適用嗎？請分別作出判斷并舉例驗證．（若成立則舉一例即可，若不成立則舉一個不成立的例子即可）·類型九、有理數(shù)乘方規(guī)律【解惑】一根1m長的小木棒，第一次截去它的，第二次截去剩余部分的，第三次再截去剩余部分的，如此截下去，第六次后剩余的小木棒的長度是（

）A． B． C． D．【融會貫通】1．（2023秋·山東泰安·六年級統(tǒng)考期末）一根繩子對折四次后的長度是對折前繩長的．2．（2023秋·河北邢臺·七年級統(tǒng)考期末）科學家發(fā)現(xiàn)某種細菌的分裂能力極強，這種細菌每分鐘可由1個分裂成2個，（1）將一個細菌放在培養(yǎng)瓶中，4分鐘后細菌的個數(shù)是；（2）將一個細菌放在培養(yǎng)瓶中經(jīng)過分鐘就能分裂滿一瓶．如果將8個這種細菌放入同樣的一個培養(yǎng)瓶中，那么經(jīng)過分鐘就能分裂滿一瓶．3．（2022秋·寧夏吳忠·七年級?？计谥校┤鐖D是某種細胞分裂示意圖，這種細胞每過30分鐘便由1個分裂成2個．根據(jù)此規(guī)律可得：

(1)這樣的一個細胞經(jīng)過2小時后可分裂成_______個細胞；(2)這樣的一個細胞經(jīng)過n（n為正整數(shù)）小時后可分裂成_______個細胞．4．（2022秋·福建寧德·七年級?？茧A段練習）本學期我們學習了“有理數(shù)乘方”運算，知道乘方的結果叫做“冪”，下面介紹一種有關“冪”的新運算．定義：與（，m，n都是正整數(shù)）叫做同底數(shù)冪，同底數(shù)冪除法記作．運算法則如下：(1)填空：______，______；(2)如果，且，求出x的值；(3)如果，請直接寫出x的值______．5．（2023秋·全國·七年級專題練習）你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅，用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復幾次，就把這根很粗的面條拉成了許多細的面條．如圖所示：這樣捏合到第次后可拉出幾根面條？

類型十、算法程序圖與有理數(shù)計算【解惑】在某一段時間里，計算機按如圖所示程序工作，如果輸入的數(shù)是2，那么輸出的數(shù)是（

）

A． B．54 C． D．558【融會貫通】1．（2023春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）如圖是一個簡單的數(shù)值運算程序，當輸入的值為5時，輸出的結果為（

）

A．10 B．12 C．132 D．3802.（2023秋·四川眉山·七年級統(tǒng)考期末）下圖是一個數(shù)值轉換機的示意圖，若輸入x的值為3，y的值為時，則輸出的結果為（

）

A．1 B．5 C．2 D．63．（2022秋·河南周口·七年級校考期中）如圖是一個運算程序的示意圖，若開始輸入的值為3125，則第2020次輸出的結果為．4．（2022秋·江蘇揚州·七年級校考階段練習）如圖是一個數(shù)值運算程序，當輸入的數(shù)是時，輸出的數(shù)是．

5．（2022秋·江蘇連云港·七年級?？计谥校┤鐖D所示是計算機某計算程序，若開始輸入，則最后輸出的結果是．

專題02第二章有理數(shù)及其運算【專題過關】類型一、有、無理數(shù)的分類【解惑】把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的大括號：，，，，，，，．整數(shù)集合：______；負分數(shù)集合：______；正實數(shù)集合：______；無理數(shù)集合：______【答案】，；，，；，；

，；【分析】實數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)；整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，據(jù)此進行分類即可．【詳解】解：整數(shù)集合：，；負分數(shù)集合：，，；正實數(shù)集合：，；無理數(shù)集合：，；故答案為：，；，，；，；，．【點睛】本題考查實數(shù)的分類，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．【融會貫通】1.（2022秋·山東泰安·六年級?？计谥校┌严铝懈鲾?shù)分別填入相應的集合里．，，，，，，，；(1)正數(shù)集合：；(2)負數(shù)集合：；(3)整數(shù)集合：；(4)分數(shù)集合：；【答案】(1)、、、(2)、、(3)、、(4)、、、【分析】（1）根據(jù)正數(shù)的概念和有理數(shù)的分類進行分析即可；（2）根據(jù)負數(shù)的概念和有理數(shù)的分類進行分析即可；（3）根據(jù)整數(shù)的概念和有理數(shù)的分類進行分析即可；（4）根據(jù)分數(shù)的概念和有理數(shù)的分類進行分析即可．【詳解】（1）解：∵、、、，根據(jù)正數(shù)就是大于的實數(shù)，可得、、、都是正數(shù)；故答案為：、、、．（2）解：∵、、，根據(jù)負數(shù)就是小于的實數(shù)，可得、、都是負數(shù)；故答案為：、、．（3）解：根據(jù)整數(shù)包括正整數(shù)，，負整數(shù)，∵，∴是負整數(shù)；∵，∴是正整數(shù)；可得、、都是整數(shù)；故答案為：、、．（4）解：根據(jù)分數(shù)的概念可得：∵，∴是負分數(shù)；∵，∴是正分數(shù)；∵，是有限小數(shù)，且，，∴和也是分數(shù)，可得、、、都是分數(shù)；故答案為：、、、．【點睛】本題考查了正負數(shù)的概念，整數(shù)和分數(shù)概念，有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關鍵．2．（2022秋·寧夏吳忠·七年級?？计谥校┌严铝懈鲾?shù)填入它所屬的集合內(nèi)：，，，，，，，分數(shù)集合{

…}正有理數(shù)數(shù)集合{

…}正整數(shù)集合{

…}負整數(shù)集合{

…}【答案】、、；、；；、【分析】根據(jù)分式、正有理數(shù)、正整數(shù)、負整數(shù)的定義，逐個進行分類即可．【詳解】解：分數(shù)集合{、、…}正有理數(shù)數(shù)集合{、…}正整數(shù)集合{…}負整數(shù)集合{、…}，故答案為：、、；、；；、．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的分類，解題的關鍵是掌握有理數(shù)的分類方法．3．（2023秋·全國·七年級專題練習）把下列各數(shù)填在相應的表示集合的大括號里．，，1，，0，，，；整數(shù)集合{

}分數(shù)集合{

}正有理數(shù)集合{

}負有理數(shù)集合{

}【答案】見解析【分析】根據(jù)有理數(shù)分類直接分類即可得到答案．【詳解】解：整數(shù)集合{，1，0}；分數(shù)集合{，，，}；正有理數(shù)集合{，1，，}；負有理數(shù)集合{，}；【點睛】本題考查有理數(shù)的分類，解題的關鍵是熟練掌握分類中的各個定義．4．（2023秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級?？计谥校⑾铝懈鲾?shù)填在相應的大括號里：，0，2021，，，，，整數(shù)：{

…}；分數(shù)：{

…}；負有理數(shù)：{

…}．【答案】0，2021，；，，，，；，，【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類進行填寫即可得．【詳解】解：整數(shù)：{0，2021，，}；分數(shù)：{，，，，，}；負有理數(shù)：{，，，}．【點睛】本題考查了有理數(shù)的分類，解題的關鍵是掌握有理數(shù)的分類．5．（2021秋·福建福州·七年級?？茧A段練習）把下列各數(shù)填在相應的大括號里．，4，，，，，，，0，．(1)整數(shù)集合｛

…｝(2)分數(shù)集合｛

…｝(3)非負數(shù)集合｛

…｝(4)正有理數(shù)集合｛

…｝(5)負有理數(shù)集合｛

…｝【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析(5)見解析【分析】按照有理數(shù)的分類解答即可．【詳解】（1）解：整數(shù)集合{，4，，，0，…}（2）分數(shù)集合{，，，，…}（3）非負數(shù)集合{4，，，，，0，，…}（4）正有理數(shù)集合{4，，，，，…}（5）負有理數(shù)集合{，，，…}【點睛】本題考查了有理數(shù)，認真掌握正數(shù)、負數(shù)、整數(shù)、分數(shù)、正有理數(shù)、負有理數(shù)、非負數(shù)的定義與特點．注意整數(shù)和正數(shù)的區(qū)別，注意0是整數(shù)，但不是正數(shù)．類型二、數(shù)軸兩點之間的距離【解惑】一條數(shù)軸上有兩點A與B，已知點A到原點O的距離為2，點B至點A的距離為5，則點B所表示的數(shù)可能是（）A．7或 B．或3 C．7或 D．7，，3或【答案】D【分析】首先根據(jù)點A和原點的距離為2，則點A對應的數(shù)可能是2，也可能是．再進一步根據(jù)A和B兩點之間的距離為5求得點B對應的所有數(shù)．【詳解】解：∵點A和原點O的距離為2，∴點A對應的數(shù)是．當點A對應的數(shù)是2時，則點B對應的數(shù)是或；當點A對應的數(shù)是時，則點B對應的數(shù)是或．∴點B所表示的數(shù)可能是3或或7或，故選：D．【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點的特征，數(shù)軸上兩點間距離的求法是解題的關鍵．【融會貫通】1．（2023·全國·七年級專題練習）已知、均為數(shù)軸上的點，到原點的距離為，點到點的距離為個單位長度，且在的左邊，則點表示的數(shù)為．【答案】或【分析】根據(jù)題意得到點所表示的數(shù)是，根據(jù)兩點間的距離，求得點所表示的數(shù)．【詳解】∵點到原點的距離等于，∴點所表示的數(shù)是，∵點到點的距離是，且在的左邊，∴點表示的數(shù)是：或，綜上所述，點表示的數(shù)是或，故答案為：或．【點睛】此題考查數(shù)軸，解題的關鍵是數(shù)形結合思想，進行分類討論．2．（2023春·河北保定·七年級統(tǒng)考期中）如圖，數(shù)軸上從左到右依次有D，C，A，B四點，點A，B分別表示1和，點C到點D的距離與點B到點A的距離相等，設點C表示的數(shù)為x．（1）當D表示的數(shù)為0時，x的值是﹔（2）當D表示的數(shù)為時﹐①x的值是﹔②若m為的相反數(shù)，n為的絕對值，則的值為；【答案】4【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間距離等于兩坐標差的絕對值，直接列式求解即可得到答案；（2）①根據(jù)數(shù)軸上兩點間距離等于兩坐標差的絕對值，直接列式求解即可得到答案；②根據(jù)數(shù)軸上兩點間距離等于兩坐標差的絕對值，直接列式求解即可得到答案；【詳解】（1）解：由題意可得，，解得：，故答案為：；（2）解：①由題意可得，，解得：，故答案為：；②解：∵，m為的相反數(shù)，n為的絕對值，∴，，∴，故答案為4．【點睛】本題考查數(shù)軸上兩點間距離等于兩坐標之差的絕對值，解題的關鍵是熟練掌握去絕對值及有理數(shù)的運算．3．（2023春·湖北黃岡·七年級校考開學考試）結合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是______；表示和的兩點之間的距離是______；表示和的兩點之間的距離是______；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)和數(shù)的兩點之間的距離等于______．(2)如果表示數(shù)和的兩點之間的距離是，那么______．(3)若數(shù)軸上表示數(shù)的點位于與之間，求的值；(4)當______時，的值最小，最小值是______．【答案】(1)；；；(2)和(3)6(4)；【分析】（1）數(shù)軸上兩點之間的距離等于這兩個點所表示的數(shù)的差的絕對值；（2）由即可求解；（3）根據(jù)的范圍，結合絕對值的化簡規(guī)則即可求解；（4）表示數(shù)的點到數(shù)的點的距離之和。據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是：；表示和的兩點之間的距離是：；表示和的兩點之間的距離是：；數(shù)軸上表示數(shù)和數(shù)的兩點之間的距離等于：故答案為：；；；；（2）解：由題意得：即故或1故答案為：或；（3）解：因為表示數(shù)的點位于與之間，∴∴，，∴；（4）解：表示數(shù)的點到表示數(shù)的點的距離之和故：當表示數(shù)的點與表示數(shù)的點重合時，距離之和最小即：當時，有最小值最小值為：故答案為：1；9．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點之間的距離．熟記距離公式是解題關鍵．4.（2022秋·吉林長春·七年級?？茧A段練習）閱讀下面的材料：在學習絕對值時，根據(jù)絕對值的幾何意義，我們知道表示5、3在數(shù)軸上對應的兩點間的距離；，所以表示5、在數(shù)軸上對應的兩點之間的距離；，所以表示5在數(shù)軸上對應的點到原點的距離．一般地，點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，那么A、B兩點之間的距離可以表示為．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示6與的兩點之間的距離是______；數(shù)軸上表示x與2的兩點之間的距離是______．(2)若，則______．(3)滿足的有理數(shù)x有______個．(4)當______時，代數(shù)式的最小值是2．【答案】(1)15；(2)0或6(3)無數(shù)(4)當a為或時，最小值是2【分析】（1）根據(jù)兩點間距離公式計算；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點間距離公式的定義，結合數(shù)軸求解；（3）由數(shù)軸上兩點間距離公式，可判斷，這樣的有理數(shù)x有無數(shù)個；（4）由數(shù)軸上兩點間距離公式，由題意得表示x的點在表示的點與表示的點之間（含兩點），若，則，若，則．【詳解】（1）數(shù)軸上表示6與的兩點之間的距離是；數(shù)軸上表示x與2的兩點之間的距離是．（2）表示x與3的距離為3，則x=0或6．（3）表示x與的距離與它與3的距離之和為5，則，這樣的有理數(shù)x有無數(shù)個．（4）的值為“表示x的點與表示的點的距離”與“表示x的點與表示的點的距離”之和．當表示x的點在表示的點與表示的點之間（含兩點）時，取最小值.∴表示的點與表示的點的距離為2．若，則，∴．若，則，∴．綜上，當或時，原式的最小值是2．【點睛】本題考查數(shù)軸上兩點間距離計算；理解數(shù)軸上兩點間距離計算公式是解題的關鍵．5．（2022秋·福建寧德·七年級統(tǒng)考期中）數(shù)學課上李老師和同學們玩一個找原點的游戲．(1)如圖1，在數(shù)軸上標有A，B兩點，已知A，B兩點所表示的數(shù)互為相反數(shù)．

①如果點A所表示的數(shù)是，那么點B所表示的數(shù)是______________；②請在圖1中標出原點O的位置；(2)圖2是小敏所畫的數(shù)軸，數(shù)軸上標出的點中任意相鄰兩點間的距離都相等．請你幫她標出隱藏的原點O的位置，并寫出此時點C所表示的數(shù)是____________；

(3)如圖3，數(shù)軸上標出若干個點，其中點A，B，C所表示的數(shù)分別為a，b，c．若數(shù)軸上標出的若干個點中每相鄰兩點相距1個單位（如），且．

①試求a的值；②若點D也在這條數(shù)軸上，且，設D點所表示的數(shù)為d，求d的值．【答案】(1)①5；②見解析(2)畫圖見解析，4(3)①；②1或7【分析】（1）①根據(jù)相反數(shù)的定義可得點表示的數(shù)，②根據(jù)、的位置可得原點的位置；（2）根據(jù)、所表示的數(shù)可得單位長度表示3，進而可得原點的位置和點表示的數(shù)；（3）①由數(shù)軸可得，再結合可得的值；②根據(jù)的值可得，根據(jù)可得或，即可求出答案．【詳解】（1）解：①點所表示的數(shù)是，點、點所表示的數(shù)互為相反數(shù)，所以點所表示的數(shù)是5，故答案為：5；②在圖1中表示原點的位置如圖所示：

（2）原點的位置如圖所示，

點所表示的數(shù)是4．故答案為：4；（3）①由題意得：，∴，又∵，∴；②設表示的數(shù)為，∵，，∴，∵，∴或，∴或．【點睛】本題考查數(shù)軸與有理數(shù)，熟練掌握數(shù)軸的特點和兩點間的距離公式是解題關鍵．類型三、根據(jù)數(shù)軸判斷符號【解惑】如圖，A、B兩點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a、b，下列式子成立的是（

）．

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)、兩點在數(shù)軸上的位置判斷出其取值范圍，再對各選項進行逐一分析即可．【詳解】解：、兩點在數(shù)軸上的位置可知：，，，，故A、B不成立；，，，，，∴，，故C不成立，D成立．故選：D．【點睛】本題考查的是數(shù)軸的特點，根據(jù)、兩點在數(shù)軸上的位置判斷出其取值范圍是解答此題的關鍵．【融會貫通】1．（2022秋·福建廈門·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是，下列說法錯誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)軸可知，，，再逐個進行判斷即可．【詳解】解：A、∵，∴，∴，故A正確，不符合題意；B、∵，∴，故B正確，不符合題意；C、∵，∴，故C正確，不符合題意；D、∵，∴，故D不正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)軸判斷式子的正負，解題的關鍵是掌握用數(shù)軸上的點表示的數(shù)，左邊的點表示的數(shù)小于右邊的點表示的數(shù)；絕對值表示數(shù)軸上的點到原點的距離．2．（2023·廣東梅州·?？家荒＃┮阎欣頂?shù)在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列式子成立的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)軸的特征得到有理數(shù)的大小關系，逐項判斷即可得到答案．【詳解】解：由有理數(shù)在數(shù)軸上的對應點的位置可知，且，則A、由可知錯誤，不符合題意；B、由、得到且，可知錯誤，不符合題意；C、由題意可知，可知錯誤，不符合題意；D、由得到，從而，即正確，符合題意，故選：D．【點睛】本題考查數(shù)軸的特征及數(shù)大小的比較，熟練掌握數(shù)軸的特征是解決問題的關鍵．3．（2023·新疆烏魯木齊·?？级＃┯欣頂?shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列各式中正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置可得，根據(jù)有理數(shù)的相關運算法則即可作出判斷．【詳解】解：∵，∴，，，故正確的選項是C；故選：C．【點睛】本題考查了根據(jù)數(shù)軸判斷式子的正負，熟悉有理數(shù)在數(shù)軸上的大小關系，有理數(shù)的相關運算法則是解題的關鍵．4．（2023春·黑龍江大慶·九年級?？计谥校┤鐖D，數(shù)軸上A、B兩點分別對應實數(shù)a、b，則下列結論①，②，③，④，其中正確的有（

）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)，可以得到兩個點表示數(shù)的大小關系和符號，根據(jù)有理數(shù)計算法則可得出結論．【詳解】解：由數(shù)軸可知：，，∴①，正確；②，正確；③，正確；④，正確．故選：A．【點睛】該題考查了數(shù)軸及有理數(shù)計算，屬于?？碱}，解題的關鍵在于從數(shù)軸上得到a、b的取值范圍．5．（2022秋·湖南岳陽·七年級校考期中）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，給出下列關系式；①，；②；③；④，⑤．其中正確的有（填序號）．

【答案】①④⑤【分析】根據(jù)數(shù)軸可得，，再根據(jù)有理數(shù)的運算法則進行判斷即可．【詳解】解：①根據(jù)數(shù)軸可得：，；故①正確；②∵，∴；故②不正確；③∵，，∴；故③不正確；④∵，∴，故④正確；⑤∵，，∴，∴，故⑤正確；綜上：正確的有①④⑤；故答案為：①④⑤【點睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)軸判斷式子的正負，解題的關鍵是掌握用數(shù)軸上的點表示的數(shù)左邊<右邊；正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；以及有理數(shù)的運算法則．類型四、化簡多重符號【解惑】下列各式中，不正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出，，，再根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則比較即可．【詳解】解：A．，故本選項不符合題意；B．，故本選項不符合題意；C．，故本選項不符合題意；D．，，，，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較，相反數(shù)和絕對值等知識點，能熟記有理數(shù)的大小比較法則是解此題的關鍵，正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較大小，其絕對值大的反而?。救跁炌ā?．（2023秋·江蘇·七年級專題練習）化簡：，，．【答案】7【分析】根據(jù)相反數(shù)的意義化簡即可解答．【詳解】解：，，．故答案為：7，，．【點睛】本題主要考查了相反數(shù)的意義，只有符號不同的兩個數(shù)叫做相反數(shù)．2．（2022秋·安徽宿州·七年級統(tǒng)考期中）．【答案】3【分析】根據(jù)相反數(shù)、絕對值的定義進行計算即可．【詳解】解：．故答案為：3．【點睛】本題考查相反數(shù)、絕對值，理解相反數(shù)、絕對值的定義是正確解答的前提．3．（2019秋·廣東潮州·七年級統(tǒng)考期中）化簡：，．【答案】【分析】用絕對值的性質(zhì)進行計算，化簡多重符號去括號即可．【詳解】解：，，故答案為：，．【點睛】本題考查了絕對值的意義，多重符號的化簡，正確理相關概念是解決本題的關鍵．4．（2023秋·全國·七年級專題練習）化簡下列各數(shù)：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)3.5(3)(4)【分析】根據(jù)符號化簡法則：多得符號化簡，看“-”號個數(shù)，靈偶數(shù)個時，結果為“+”，符號個數(shù)為奇數(shù)個數(shù)時，結果符號為“-”，求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點睛】本題考查多重符號化簡，熟練掌握多得符號化簡法則是解題的關鍵．5．（2023秋·全國·七年級專題練習）化簡下列各數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)【答案】(1)(2)(3)(4)2(5)2(6)【分析】（1）依據(jù)相反數(shù)的定義進行化簡即可；（2）依據(jù)相反數(shù)的定義進行化簡即可；（3）依據(jù)相反數(shù)的定義進行化簡即可；（4）依據(jù)相反數(shù)的定義進行化簡即可；（5）依據(jù)相反數(shù)的定義進行化簡即可；（6）依據(jù)相反數(shù)的定義進行化簡即可．【詳解】（1）解：；（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：【點睛】本題主要考查的是相反數(shù)的定義，掌握相反數(shù)的定義是解題的關鍵．類型五、絕對值與平方的非負性【解惑】若與互為相反數(shù)，則的值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用相反數(shù)的性質(zhì)列出關系式，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出方程組，求出方程組的解得到與的值，代入即可求出答案．【詳解】解：與互為相反數(shù)，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查了相反數(shù)的性質(zhì)，非負數(shù)的運用，熟練掌握相反數(shù)的性質(zhì)，非負數(shù)的運用，是解題的關鍵．【融會貫通】1．（2023秋·全國·七年級專題練習）如果，那么a，b的值為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列方程求出a、b的值即可．【詳解】解：∵，∴，解得，，故選：C．【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)．解題的關鍵是掌握非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0．2．（2023春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考期中）已知a，b，c為的三邊長，b，c滿足，且a為2，則的周長為．【答案】7【分析】根據(jù)絕對值和平方的非負性即可求解．【詳解】解：∵，∴∴的周長為：故答案為：7【點睛】本題考查絕對值和平方的非負性．熟記相關結論即可．3．（2022秋·四川成都·七年級?？计谥校┤魸M足，則的值為．【答案】6【分析】根據(jù)，，可求出的值，從而即可求出的值，得到答案．【詳解】解：，，，，，解得：，，，故答案為：6．【點睛】本題主要考查了絕對值非負性的應用，解題的關鍵是掌握非負數(shù)的性質(zhì)：有限個非負數(shù)的和為零，那么每一個加數(shù)必也為零．4．（2023秋·七年級課前預習）若與互為相反數(shù)，則的值為【答案】3【分析】根據(jù)相反數(shù)的概念列出算式，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出x、y的值，代入代數(shù)式計算即可．【詳解】解：由題意，得，所以，．所以，．所以，．所以．故答案為：3．【點睛】本題考查的是絕對值非負的性質(zhì)，當幾個數(shù)或式的絕對值相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0．5．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）若，則．【答案】4【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出方程求出，的值，代入代數(shù)式計算即可．【詳解】根據(jù)題意得：解得：則故答案為：4．【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0，這幾個非負數(shù)都為0．類型六、化簡絕對值【解惑】如圖所示，已知數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應點的位置∶化簡得．

【答案】【分析】根據(jù)數(shù)軸判斷a，b，c大小，運用絕對值的性質(zhì)解答即可；【詳解】根據(jù)圖上的數(shù)軸可知：，，故答案為：【點睛】該題主要考查了絕對值的化簡，解題的關鍵是掌握絕對值的性質(zhì)【融會貫通】1．（2022秋·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習）實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則代數(shù)式的值等于．

【答案】【分析】根據(jù)數(shù)軸得到，即可得到，，再去絕對值即可得到答案；【詳解】解：由圖像可得，，∴，，∴，故答案為：；【點睛】本題考查數(shù)軸及去絕對值，解題的關鍵是根據(jù)數(shù)軸判斷出式子與0的關系．2．（2023春·福建福州·七年級統(tǒng)考開學考試）有理數(shù)x在數(shù)軸上的位置如圖聽示，化簡：．

【答案】/【分析】由數(shù)軸上表示x的點的位置，得到，利用絕對值的代數(shù)意義：負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，去括號合并即可得到結果．【詳解】解：根據(jù)題意得，∴，∴．故答案為：．【點睛】此題考查了整式的加減運算，涉及的知識有：絕對值的代數(shù)意義，數(shù)軸，去括號法則，以及合并同類項法則，熟練掌握法則是解本題的關鍵．3．（2020秋·廣東廣州·七年級?？计谥校┯欣頂?shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖，則．

【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置確定a與b之間，b與c之間的大小關系，再去絕對值符號即可．【詳解】解：根據(jù)有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置可以確定，．∴原式．故答案為：．【點睛】本題考查數(shù)軸，絕對值的性質(zhì)，熟練掌握這些知識點是解題關鍵．4．（2022秋·浙江麗水·七年級?？计谥校┤粲命cA，B，C分別表示有理數(shù)a，b，c，它們在數(shù)軸上的位置如圖所示．

(1)請在橫線上填上，或：_____0，______0；(2)化簡：．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)點在數(shù)軸上的位置得出，，即可得出答案；（2）根據(jù)點在數(shù)軸上的位置得出，，從而得出，，，再化簡絕對值即可．【詳解】（1）解：根據(jù)點A，B，C在數(shù)軸上的位置可知，，，∴；．故答案為：；．（2）解：∵，，∴，，，∴．【點睛】本題主要考查了用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，根據(jù)點在數(shù)軸上的位置化簡絕對值，解題的關鍵是根據(jù)點在數(shù)軸上的位置得出，．5．（2022秋·內(nèi)蒙古赤峰·七年級統(tǒng)考期中）在如圖所示的數(shù)軸上，

(1)表示出符合下列條件的三個點A，B，C，其中點A代表負有理數(shù)a；B代表負有理數(shù)b，C代表正有理數(shù)c，且；(2)在（1）的條件下化簡：．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）點A代表負有理數(shù)a；B代表負有理數(shù)b，C代表正有理數(shù)c，且，在數(shù)軸上標出各個點即可；（2）根據(jù)絕對值的意義，結合數(shù)軸，化簡絕對值即可．【詳解】（1）解：∵點A代表負有理數(shù)a；B代表負有理數(shù)b，C代表正有理數(shù)c，且，∴符合下列條件的三個點A，B，C，如圖所示：

（2）解：∵，，，∴．【點睛】本題主要考查了用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，化簡絕對值，解題的關鍵是熟練掌握絕對值的意義和數(shù)軸上點的特點．類型七、有理數(shù)加減法中的簡便運算【解惑】計算值為．【答案】【分析】通過觀察發(fā)現(xiàn)，從第2項開始每四個數(shù)的和均為0，分別分組計算即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題主要考查規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運算，掌握規(guī)律是解題的關鍵．【融會貫通】1．（2023秋·全國·七年級專題練習）用簡便方法運算：．【答案】8【分析】可先把相加得到整數(shù)的數(shù)相加，進而求解．【詳解】解：，，，．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算的簡便運算，合理地運用有理數(shù)的加法運算律使計算簡化是解題的關鍵．2．（2023秋·全國·七年級專題練習）閱讀下面的解題過程，并解決問題計算：解：原式……第一步…………第二步…………第三步(1)計算過程中，第一步把原式化成_______的形式，體現(xiàn)了數(shù)學中的_______思想，為了計算簡便，第二步運用了___________(2)根據(jù)以上的解題技巧計算下列式子：【答案】(1)省略加號和括號；轉化；加法交換律和結合律(2)【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算步驟及運算定律可得出答案；（2）仿照題意運用有理數(shù)加減法交換律及結合律，使用簡便方法計算即可．【詳解】（1）解：計算過程中，第一步把原式化成省略加號和括號的形式，體現(xiàn)了數(shù)學中的轉化思想，為了計算簡便，第二步運用了加法交換律和結合律；（2）．【點睛】本題主要考查有理數(shù)的加減混合運算，掌握混合運算的步驟及運算法則是解題關鍵．3．（2023秋·江蘇·七年級專題練習）閱讀下面文字：對于，可以按如下方法計算：原式．上面這種方法叫拆項法．仿照上面的方法，請你計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)示例，利用有理數(shù)中的加減簡便運算即可求解．（2）根據(jù)示例，利用有理數(shù)中的加減簡便運算即可求解．【詳解】（1）解：原式．（2）原式．【點睛】本題考查了有理數(shù)中的加減簡便運算，根據(jù)示例結合有理數(shù)中的加減簡便運算法則進行計算是解題的關鍵．4．（2023秋·江蘇·七年級專題練習）閱讀材料：對于，可以進行如下計算：原式．上面這種方法叫拆數(shù)法，仿照上面的方法，請你計算：．【答案】【分析】先將每一個帶分數(shù)拆為整數(shù)和真分數(shù)兩部分，再分別相加，最后求出結果，即可求解．【詳解】解：．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的加法運算，理解閱讀材料中拆數(shù)法是解題的關鍵．5．（2023秋·江蘇·七年級專題練習）閱讀：因為一個非負數(shù)的絕對值等于它本身，負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，所以當時，例如：；當時，例如：，根據(jù)以上閱讀完成：(1)______．(2)計算：．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)：一個非負數(shù)的絕對值等于它本身，負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)即可解答；（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)可知即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，故答案為；（2）解：．【點睛】本題考查了絕對值的性質(zhì)：一個非負數(shù)的絕對值等于它本身，負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，掌握絕對值的性質(zhì)是解題的關鍵．類型八、有理數(shù)乘法運算律【解惑】用簡便方法計算：．【答案】【分析】根據(jù)乘法分配律，可得答案．【詳解】解：原式故答案為：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘法，把式子轉化成乘法分配律的形式是解題關鍵．【融會貫通】1．（2022秋·江蘇鹽城·七年級?？茧A段練習）解答下列問題：請你參考黑板中老師的講解，用運算律簡便計算（請寫出具體的解題過程）：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）把原式變形為后利用乘法分配律進行運算即可；（2）把原式變形為，再逆用乘法分配律進行運算即可．【詳解】（1）解：（2）【點睛】此題考查了有理數(shù)乘法分配律的應用，熟練掌握乘法分配律的內(nèi)容是解題的關鍵．2.（2023秋·安徽淮北·七年級淮北市第二中學?？奸_學考試）【答案】52【分析】先把算式重新組合，再利用分配律進行簡便計算即可．【詳解】解：原式【點睛】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，正確掌握運算法則和運算律是解題關鍵．3．（2023秋·全國·七年級專題練習）用適當?shù)姆椒ㄟM行簡便的計算：(1)(2)【答案】(1)(2)54【分析】（1）先把原式寫成省略加號的和的形式，再先計算括號內(nèi)的加減運算，最后計算減法運算即可；（2）把原式化為，再逆用分配律進行簡便運算即可．【詳解】（1）解：；（2）．【點睛】本題考查的是有理數(shù)的加減混合運算，掌握加減混合運算的運算順序與靈活運用加法的運算律進行簡便運算是解本題的關鍵．4．（2021秋·廣東江門·七年級統(tǒng)考階段練習）學習了有理數(shù)的乘法后，老師給同學們出了這樣一道題目：“計算：，看誰算的又快又對．”有兩位同學的解法如下：小文：原式；小麗：原式．(1)對于以上兩種解法，__________的解法較好（填“小文”或“小麗”）；(2)受上面解法對你的啟發(fā)，你認為還有更好的方法嗎？如果有，請把它寫出來；(3)用你認為最合適的方法計算：．【答案】(1)小麗(2)有，見解析(3)【分析】（1）小麗用的乘法分配律，要好于小文的解法；（2）把寫成的形式，再利用乘法分配律求解；（3）根據(jù)（2）的解法利用乘法分配律解答即可．【詳解】（1）小麗用的乘法分配律，要好于小文的解法；故答案為：小麗；（2）還有更好的解法：．（3）．【點睛】本題考查了有理數(shù)的運算，熟練掌握乘法分配律是解答的關鍵．5．（2020秋·廣東佛山·七年級?？计谥校┨骄恳?guī)律，完成相關題目沸羊羊說：“我定義了一種新的運算，叫※（加乘）運算．”然后他寫出了一些按照※（加乘）運算的運算法則進行運算的算式：；；；：；智羊羊看了這些算式后說：“我知道你定義的※（加乘）運算的運算法則了，”聰明的你也明白了嗎？(1)歸納※（加乘）運算的運算法則：兩數(shù)進行※（加乘）運算時，___________得正，___________得負，再將它們的___________．特別地，0和任何數(shù)進行※（加乘）運算，或任何數(shù)和0進行※（加乘）運算，結果為這個數(shù)的___________．(2)計算：（括號的作用與它在有理數(shù)運算中的作用一致）(3)我們知道乘法有交換律和結合律，這兩種運算律在有理數(shù)的※（加乘）運算中還適用嗎？請分別作出判斷并舉例驗證．（若成立則舉一例即可，若不成立則舉一個不成立的例子即可）·【答案】(1)同號，異號，絕對值相加，絕對值(2)(3)交換律適合，結合律不適合，舉例見解析【分析】（1）根據(jù)已知的式子進行歸納即可；（2）根據(jù)※（加乘）運算的運算法則解答即可；（3）根據(jù)交換律和結合律的特點和※（加乘）運算的運算法則解答即可．【詳解】（1）歸納※（加乘）運算的運算法則：兩數(shù)進行※（加乘）運算時，同號得正，異號得負，再將它們的絕對值相加．特別地，0和任何數(shù)進行※（加乘）運算，或任何數(shù)和0進行※（加乘）運算，結果為這個數(shù)的絕對值；故答案為：同號，異號，絕對值相加，絕對值；（2）；（3）交換律適合有理數(shù)的※（加乘）運算，如；事實上，當同號時，，所以，當異號時，，所以，當0和數(shù)a進行※（加乘）運算時，，所以結合律不適合有理數(shù)的※（加乘）運算，如，所以．【點睛】本題考查了有理數(shù)的運算，正確理解※（加乘）運算的運算法則是解題的關鍵．類型九、有理數(shù)乘方規(guī)律【解惑】一根1m長的小木棒，第一次截去它的，第二次截去剩余部分的，第三次再截去剩余部分的，如此截下去，第六次后剩余的小木棒的長度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)乘方的意義和題意可知：第1次截去后剩下的木棒長，第2次截去后剩下的木棒長，第3次截去后剩下的木棒長，以此類推第次截去后剩下的木棒長米，即可求解．【詳解】解：第1次截去后剩下的木棒長，第2次截去后剩下的木棒長，第3次截去后剩下的木棒長，……以此類推第次截去后剩下的木棒長米，∴第六次后剩余的小木棒的長度是，故選：A．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，是基礎題，熟記概念并求出截去后剩下部分的份數(shù)是解題的關鍵．【融會貫通】1．（2023秋·山東泰安·六年級統(tǒng)考期末）一根繩子對折四次后的長度是對折前繩長的．【答案】【分析】根據(jù)條件列式求解．【詳解】解：，故答案為．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，理解題意是解題的關鍵．2．（2023秋·河北邢臺·七年級統(tǒng)考期末）科學家發(fā)現(xiàn)某種細菌的分裂能力極強，這種細菌每分鐘可由1個分裂成2個，（1）將一個細菌放在培養(yǎng)瓶中，4分鐘后細菌的個數(shù)是；（2）將一個細菌放在培養(yǎng)瓶中經(jīng)過分鐘就能分裂滿一瓶．如果將8個這種細菌放入同樣的一個培養(yǎng)瓶中，那么經(jīng)過分鐘就能分裂滿一瓶．【答案】16【分析】（1）4分鐘就是分裂4次，據(jù)此計算即可；（2）通過列舉得到將8個這種細菌放入同樣的一個培養(yǎng)瓶中，可以少用3分鐘，從而得到答案．【詳解】解：（1）∵每分鐘可由1個分裂成2個，∴4分鐘后細菌的個數(shù)是；（2）將1個細菌放在培養(yǎng)瓶中分裂1次，變成2個；分裂2次，變成4個；分裂3次，變成8個；將8個這種細菌放入同樣的一個培養(yǎng)瓶中，可以少用3分鐘，即分鐘能分裂滿一瓶，故答案為：16，．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，得到將8個這種細菌放入同樣的一個培養(yǎng)瓶中，可以少用3分鐘是解題的關鍵．3．（2022秋·寧夏吳忠·七年