2024年秋新湘教版七年級上冊數(shù)學(xué)教學(xué)課件 第3章 一次方程（組） 3.4 第2課時 一元一次方程的應(yīng)用

第3章一次方程（組）3.4

一元一次方程的應(yīng)用第2課時

一元一次方程的應(yīng)用（2）學(xué)習(xí)目標1.理解商品銷售中進價、售價、標價、折扣、利潤、利潤率等數(shù)量之間的關(guān)系.（重點）2.能利用行程中的速度、路程、時間之間的關(guān)系列方程解應(yīng)用題.(重點）3.通過列一元一次方程解決分段收費及間隔問題、盈不足問題.（重點）4.會解決銷售問題.（難點）思

考新課導(dǎo)入

為進一步感悟雷鋒胸懷祖國、服務(wù)人民的愛國精神，星期日早晨，小楠和小華分別騎自行車從家里同時出發(fā)去參觀雷鋒紀念館.已知他倆的家到雷鋒紀念館的路程相等，并且小楠每小時騎10km，他在上午10時到達，小華每小時騎15km，他在上午9時30分到達.他倆的家到雷鋒紀念館的路程是多少?

例3例題講解

現(xiàn)有樹苗若干棵，計劃栽在一段公路的一側(cè)，要求路的兩端各栽1棵，并且每2棵樹的間隔相等.方案一：如果每隔5m栽1棵，則樹苗缺21棵；方案二：如果每隔5.5m栽1棵，則樹苗正好完.根據(jù)以上方案，請算出原有樹苗的棵數(shù)和這段路的長度.分析觀察下面植樹示意圖，可得如下等量關(guān)系：路長=相鄰兩樹的間隔×(種植的樹苗數(shù)-1）.設(shè)原有樹苗x棵，由題意可得下表：方案間隔/m種植的樹苗數(shù)路長/m一5x+215(x+21-

1)二5.5x5.5(x

-

1)本題中還有如下等量關(guān)系：

方案一的路長=方案二的路長.例3解

設(shè)原有樹苗

x棵，根據(jù)題意，得

5(x+21-1)=5.5(x-1)

，解得

x=211.

因此，原有樹苗211棵，這段路長

5×(211+21-1)=5×231=1155(m).

答：原有樹苗211棵，這段路的長1155m．例3對應(yīng)練習(xí)某道路一側(cè)原有路燈106盞（兩端都有），相鄰兩盞燈的距離為36m，現(xiàn)計劃全部更換為新型的節(jié)能燈，且相鄰兩盞燈的距離變?yōu)?0m，則需安裝新型節(jié)能燈多少盞？答：需安裝新型節(jié)能燈55盞.解：設(shè)需安裝新型節(jié)能燈x盞，根據(jù)題意，得解得x=55.70（x-1）=（106-1)×36.間隔問題應(yīng)用比較普遍，如路邊種樹，街道裝路燈等．

需要注意：(1)兩個端點都種上樹(裝上燈)，則樹數(shù)－1＝間隔數(shù)；(2)兩個端點都不種樹(裝上燈)，則樹數(shù)＋1＝間隔數(shù)．注意例4例題講解

某校七年級甲班有45人，乙班有39人．現(xiàn)要從甲、乙兩班各抽調(diào)一些同學(xué)去參加“歌唱祖國”歌詠比賽，如果從甲班抽調(diào)的人比乙班多1人,那么甲班剩余人數(shù)恰好是乙班剩余人數(shù)的2倍．請問：從甲、乙兩班各抽調(diào)了多少人參加歌詠比賽?分析本題中有如下等量關(guān)系:(1)甲班抽調(diào)的人數(shù)-乙班抽調(diào)的人數(shù)=1;(2)抽調(diào)后甲班剩余人數(shù)=乙班剩余人數(shù)×2.例4

某校七年級甲班有45人，乙班有39人．現(xiàn)要從甲、乙兩班各抽調(diào)一些同學(xué)去參加“歌唱祖國”歌詠比賽，如果從甲班抽調(diào)的人比乙班多1人,那么甲班剩余人數(shù)恰好是乙班剩余人數(shù)的2倍．請問：從甲、乙兩班各抽調(diào)了多少人參加歌詠比賽?解

設(shè)從甲班抽調(diào)了x人，那么從乙班抽調(diào)了(x-1)人．根據(jù)題意，得

45-x=2[39-(x-1)].解得

x=35.于是，x-l=35-l=34.答:從甲班抽調(diào)了35人，從乙班抽調(diào)了34人參加歌詠比賽.拓

展

為鼓勵居民節(jié)約用水，某市出臺了新的家庭用水收費標準，規(guī)定：所交水費分為標準內(nèi)水費與超標部分水費兩部分，其中標準內(nèi)水費為1.96元/t，超標部分水費為2.94元/t.某家庭6月份用水12t，需交水費27.44元.求該市規(guī)定的家庭月標準用水量.

本問題首先要判斷所交水費

27.44元中是否含有超標部分，由于1.96×12=23.52(元)，小于27.44元，因此所交水費中含有超標部分的水費，即

月標準內(nèi)水費+超標部分的水費=該月所交水費設(shè)家庭月標準用水量為

xt，根據(jù)等量關(guān)系，得

1.96x+(12-

x)×2.94=27.44.解得

x=8.因此，該市家庭月標準用水量為8t．對應(yīng)練習(xí)為鼓勵節(jié)約用電，某地用電收費標準規(guī)定：如果每戶每月用電不超過150kW·h，那么1kW·h電按0.5元繳納；超過部分則按1kW·h電0.8元繳納.如果小張家某月繳納的電費為147.8元，那么小張家該月用電多少？0.8（x-150）+150×0.5=147.8.解得x=241.答：小張家該月用電約241kw·h.解：設(shè)小張家該月用電x

kw·h，根據(jù)題意，得

解分段計費問題首先要考慮收費是在哪一段，所用水(電)是否超過標準．如果在標準內(nèi)，那么所交費用＝標準內(nèi)費率×所用水(電)量；如果超過標準，那么所交費用＝標準內(nèi)費用＋超過標準的費用，即：所交費用＝標準內(nèi)費率×標準量＋標準外費率×超過標準的量．注意1.行程問題中的常見類型（1）相遇問題：甲走的路程+乙走的路程=兩地距離.（2）追及問題

①同時不同地：快者走的路程=慢者走的路程+兩地距離；

②同地不同時：快者走的路程=慢者走的路程（兩者時間不同）.歸納

4.銷售問題中的關(guān)系式利潤＝售價－進價，利潤＝進價×利潤率；利潤率＝×100%＝×100%；售價＝標價×折扣率＝進價＋利潤＝進價×(1＋利潤率)．5.銷售中的盈虧總售價＞總成本總售價＜總成本總售價＝總成本盈利虧損不盈不虧補充練習(xí)（分段收費）1.小明所在城市的“階梯水價”收費辦法是：每戶用水不超過5t，每噸水費x元；超過5t，超過部分每噸加收2元，小明家今年5月份用水9t，共交水費為44元，根據(jù)題意列出關(guān)于x的方程正確的是（）A．5x+4（x+2）=44B．5x+4（x-2）=44C．9（x+2）=44D．9（x+2）-4×2=44A2.某市生活撥號上網(wǎng)有兩種收費方式，用戶可以任選其一.A計時制：0.05元/分鐘；B包月制：60元/月(限一部個人住宅電話上網(wǎng)).此外，兩種上網(wǎng)方式都得加收通信費0.02元/分鐘．(1)某用戶某月上網(wǎng)時間為x小時，請分別寫出兩種收費方式下該用戶應(yīng)該支付的費用.解：(1)采用計時制：(0.05＋0.02)×60x＝4.2x，

采用包月制：60＋0.02×60x＝60＋1.2x；解：(2)由4.2x＝60＋1.2x，得

x＝20.又由題意可知，上網(wǎng)

時間越長，采用包月制越合算．所以，

當(dāng)0<x<20時，采用計時制合算；當(dāng)x＝20時，采用兩種方式費用相同；當(dāng)x>20時，采用包月制合算．2.某市生活撥號上網(wǎng)有兩種收費方式，用戶可以任選其一.A計時制：0.05元/分鐘；B包月制：60元/月(限一部個人住宅電話上網(wǎng)).此外，兩種上網(wǎng)方式都得加收通信費0.02元/分鐘．(2)你認為采用哪種方式比較合算？3.用A4紙在某復(fù)印社復(fù)印文件，復(fù)印頁數(shù)不超過20時每頁收費0.12元；復(fù)印頁數(shù)超過20時，超過部分每頁收費0.09元.在某圖書館復(fù)印同樣的文件，不論復(fù)印多少頁，每頁收費0.1元.問：如何根據(jù)復(fù)印的頁數(shù)選擇復(fù)印的地點使總價格比較便宜？(復(fù)印的頁數(shù)不為零)復(fù)印頁數(shù)x復(fù)印社復(fù)印費用/元圖書館復(fù)印費用/元x小于200.12x0.1xx等于200.12×20＝2.40.1×20＝2x大于202.4＋0.09(x－20)0.1x解：設(shè)復(fù)印頁數(shù)為x，依題意，列表得：(3)當(dāng)

x大于20時，依題意得2.4+0.09(x－20)＝0.1x.解得x

＝60

所以，當(dāng)x大于20且小于60時，圖書館價格便宜；當(dāng)x等于60時，兩者價格相同；當(dāng)x大于60時，復(fù)印社價格便宜.綜上所述：當(dāng)

x

小于60頁時，圖書館價格便宜；當(dāng)

x

等于60時，兩者價格相同；當(dāng)

x

大于60時，復(fù)印社價格便宜.(1)當(dāng)

x＜20時，0.12x大于

0.1x

恒成立，圖書館價格便宜；(2)當(dāng)x=20時，圖書館價格便宜；補充練習(xí)（路程問題）2.A、B兩地相距27千米，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行.已知甲的速度為4千米/時，乙的速度為5千米/時，則甲、乙兩人______小時后相遇.31.汽車以72km/h的速度在公路上行駛，開向寂靜的山谷，駕駛員摁一下喇叭，4s后聽到回聲，這時汽車離山谷多遠？已知空氣中聲音的傳播速度約為340m/s，設(shè)聽到回聲時，汽車離山谷xm，根據(jù)題意，列出方程為(

)A．2x＋4×20＝4×340B．2x－4×72＝4×340C．2x＋4×72＝4×340D．2x－4×20＝4×340A3.甲、乙兩人相約晨跑，乙出發(fā)時，甲跑在乙前方50米處，已知甲跑步速度為每分鐘200米，乙跑步速度為每分鐘220米，問當(dāng)兩人相距10米時，乙跑了_____________米.解析：設(shè)乙跑了x分鐘后，兩人相距10米.①當(dāng)乙未追上甲時，220x-200x=50-10，解得x=2，此時乙跑了220×2=440米；②當(dāng)乙超過甲時，220x-200x=50+10，解得x=3，此時乙跑了220×3=660米.易錯點:問題中的“相距”問題需要考慮多解的情況，本題容易忽略乙趕上并超過甲10米時的情況.440或6604.小明早晨要在7：50以前趕到距家1000米的學(xué)校上學(xué)．一天，小明以80米/分鐘的速度出發(fā)，5分鐘后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶歷史作業(yè)，于是，爸爸立即以180米/分鐘的速度去追小明，并且在途中追上了他．(1)爸爸追上小明用了多長時間？分析：當(dāng)爸爸追上小明時，兩人所走路程相等.解：(1)設(shè)爸爸追上小明用了

x分鐘.據(jù)題意，得

80×5＋80x=180x.解得x=4.答：爸爸追上小明用了4分鐘．80×580x180x答：追上小明時，距離學(xué)校還有280米．4.小明早晨要在7：50以前趕到距家1000米的學(xué)校上學(xué)．一天，小明以80米/分鐘的速度出發(fā)，5分鐘后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶歷史作業(yè)，于是，爸爸立即以180米/分鐘的速度去追小明，并且在途中追上了他．(2)追上小明時，距離學(xué)校還有多遠？解：(2)180×4=720(米)，

1000－720=280(米).5.一架戰(zhàn)斗機的貯油量最多夠它在空中飛行4.6h，飛機出航時順風(fēng)飛行，在無風(fēng)時的速度是575km/h，風(fēng)速為25km/h，這架飛機最遠能飛出多少千米就應(yīng)返回？解：設(shè)飛機順風(fēng)飛行的時間為th.依題意，有(575＋25)t＝(575－25)(4.6－t)．解得t＝2.2.則(575＋25)t＝600×2.2＝1320.答：這架飛機最遠能飛出1320km就應(yīng)返回．補充練習(xí)（銷售問題）1.某服裝進貨價為80元/件，標價為200元/件，商店將此服裝打

x

折銷售后仍獲利50%，則

x

為()A.5

B.6

C.7

D.8

B2.兩件商品都賣120元，其中一件贏利25%，另一件虧本20%，則兩件商品賣出后（）A．贏利16元B．虧本16元C．贏利6元D．虧本6元

D3．“五一”期間，某電器按成本價提高30%后標價，再打8折(標價的80%)銷售，售價為2080元．設(shè)該電器的成本價為x元，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是(

)A．x(1＋30%)×80%＝2080B．x·30%·80%＝2080C．2080×30%×80%＝xD．x·30%＝2080×80%A4.隨著電子信息技術(shù)的發(fā)展,電視機的價格不斷降低.某品牌電視機按原價降低m元后,仍然無人問津，又降低20%,此時售價為n元,則該品牌電視機的原價為

元.

5.我國政府為解決老百姓看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價格，某種藥品在2020年漲價30%后，2022年降價70%至

a元，則這種藥品在2020年漲價前價格為

元.6.文具店銷售某種筆袋,每個18元,小華去購買這種筆袋，結(jié)賬時店員說:“如果你再多買一個就可以打九折,價錢比現(xiàn)在便宜36元.”小華說:“那就多買一個吧,謝謝.”根據(jù)兩人的對話可知，小華結(jié)賬時實際付款

元.解析：設(shè)小華購買了x個筆袋，根據(jù)題意，得18(x-1)-18×0.9x=36，解得x=30，所以18×0.9x=18×0.9×30=486.故小華結(jié)賬時實際付款486元.4867.某商場經(jīng)銷一種商品，由于進貨時價格比原進價降低了6.4%，使得利潤率增加了8%，那么這種商品原來的利潤率是多少？

1.某人存入銀行

2

000

元，定期一年，到期后得到利息和本金共

2

070

元，若設(shè)該種儲蓄的年利率為

x，請列出方程，并求出

x

的值．解：根據(jù)題意，列方程為

2

000(1＋x)＝2

070，解得

x＝3.5%.補充練習(xí)（儲蓄問題）2.小明以兩種方式儲蓄了500元，一種方式儲蓄的年利率為5%，另一種是4%，一年后得利息23元5角，問兩種儲蓄各存了多少元錢？解：設(shè)年利率為5%的儲蓄了

x

元，

則另一種年利率為4%的儲蓄了(500-

x)元.

根據(jù)題意，得x·5%×1+(500-

x)·4%×1=23.5.

解得