天津市南開(kāi)區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

PAGE16-天津市南開(kāi)區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）一?選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由補(bǔ)集和交集定義干脆計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】，，.故選：C.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】依據(jù)特稱命題的否定原則，可干脆得到結(jié)果.【詳解】命題“，””的否定是“，”，故選：D3.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，求得復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由即復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于其次象限.故選：B4.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)一元二次不等式的解法，求得不等式的解集，結(jié)合充分條件、必要條件的判定，即可求解.【詳解】由不等式，解得，令，，則是的真子集，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.函數(shù)在的圖像大致為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由的近似值即可得出結(jié)果．【詳解】設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，解除選項(xiàng)C．又解除選項(xiàng)D；，解除選項(xiàng)A，故選B．【點(diǎn)睛】本題通過(guò)推斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過(guò)計(jì)算特別函數(shù)值，最終做出選擇．本題較易，留意了基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)、基本計(jì)算實(shí)力的考查．6.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，再由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，所以，所以故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查了對(duì)數(shù)式、指數(shù)式大小比較，比較大小的常用方法為同底的對(duì)數(shù)式和指數(shù)式利用其單調(diào)性進(jìn)行比較，也可以借助于中間值0和1進(jìn)行比較，考查了運(yùn)算求解實(shí)力與邏輯推理實(shí)力，屬于?？碱}.7.將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再將圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到解析式，然后將四個(gè)選項(xiàng)代入逐一推斷即可.【詳解】解：圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,得到再將圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，故選：D【點(diǎn)睛】考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關(guān)性質(zhì)，基礎(chǔ)題.8.某食品的保鮮時(shí)間y(單位:小時(shí))與貯存溫度x(單位:℃)滿意函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)).若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33℃A.16小時(shí) B.20小時(shí)C.24小時(shí) D.28小時(shí)【答案】C【解析】【分析】首先依據(jù)題意得到，，從而得到，再將代入即可得到答案.【詳解】由題意得①，②.將①代入②得，則，當(dāng)時(shí)，.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)潔題.9.在中，，，點(diǎn)滿意，點(diǎn)為的外心，則的值為（）A.17 B.10 C. D.【答案】D【解析】【分析】將用向量和表示出來(lái)，再代入得，，求出代入即可得出答案.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈耐庑?，，，，，同理可得，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積的運(yùn)算，關(guān)鍵是要找到一對(duì)合適的基底表示未知向量，是中檔題.二?填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分.10.設(shè)(i是虛數(shù)單位)，則________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，得到，再結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，可得，則.故答案為：.11.已知函數(shù)，則在處的導(dǎo)數(shù)________.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)后代入即可得到結(jié)果.【詳解】，，.故答案為：.12.若，則________；________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及二倍角公式即可求解.【詳解】由，則，所以，.故答案為：；13.已知平面對(duì)量，滿意，，且，則________.【答案】【解析】【分析】由可得，再結(jié)合已知條件計(jì)算可得，進(jìn)而求出向量，進(jìn)而求出模長(zhǎng)即可.【詳解】，即，又，，，，，，所以，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查已知平面對(duì)量垂直求參數(shù)，考查平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算，解題關(guān)鍵是由得到，進(jìn)而通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算求出，從而得到向量，最終求出模長(zhǎng)，考查邏輯思維實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于常考題.14.已知實(shí)數(shù)滿意，則的最大值為_(kāi)___________【答案】【解析】【分析】先對(duì)化簡(jiǎn)得，然后利用基本不等式可求得其最大值【詳解】解：因?yàn)椋运?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)所以的最大值為，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查基本不等式的應(yīng)用，利用基本不等式求最值時(shí)，要留意“一正二定三相等”的條件，屬于基礎(chǔ)題15.已知函數(shù)，其中.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則m的取值范圍是________；若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性可求出m的取值范圍，再利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】依據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)若要在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得.存在實(shí)數(shù)b，關(guān)于x方程有三個(gè)不同的根，，解得.故答案為：；.三?解答題：本大題共5題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.（1）求角A；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理的邊角互化可得，再利用余弦定理即可求解.（2）利用余弦定理可得，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，由二倍角公式以及兩角差的余弦公式即可求解.詳解】解：（1）依題意，由正弦定理得，可設(shè)，，，由余弦定理得，因?yàn)?，所?（2）由余弦定理得，所以，所以，，所以.17.已知函數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若有最小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的解析式.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)，分類探討，列出方程，即可求解；（2）依據(jù)函數(shù)有最小值，得到，即可求解；（3）依據(jù)函數(shù)的奇偶性，即可求解函數(shù)的解析式.【詳解】（1）依題意，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，令，解得；當(dāng)時(shí)，令，解得.綜上可得，實(shí)數(shù)的值為.（2）要使函數(shù)有最小值，則有，解得，即當(dāng)時(shí)，有最小值.（3）因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以.設(shè)，則，所以，所以函數(shù).18.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）求在區(qū)間上的取值范圍.【答案】（1）最小正周期為；（2）單調(diào)遞減區(qū)間為，；（3）.【解析】【分析】（1）逆用二倍角公式化簡(jiǎn)整理可得，再利用即可求得的最小正周期；（2）令，利用函數(shù)的圖像與性質(zhì)，列出不等式，即可求得的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）由，可得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，即可求得的取值范圍.【詳解】（1）由已知可得.所以的最小正周期為.（2）令，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，.所以，得，.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，.（3）因?yàn)?，所以，所以，所以，即在區(qū)間上的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式的逆用，協(xié)助角公式的應(yīng)用，正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、周期和值域問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，考查計(jì)算化簡(jiǎn)，數(shù)形結(jié)合的實(shí)力，考查整體性的思想，屬基礎(chǔ)題.19.設(shè)函數(shù)，其中.（1）若曲線在的切線方程為，求a，b的值；（2）若在處取得極值，求a的值；（3）若在上為增函數(shù)，求a的取值范圍.【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得，，計(jì)算整理，即可求得a，b的值；（2）令，即可求得a的值，檢驗(yàn)可得為極值點(diǎn)，即可得答案；（3）令，解得，，分別求得和時(shí)，的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合題意，分析推理，即可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由題設(shè)可得，，解得，.（2）因?yàn)樵谌〉脴O值，所以，解得.當(dāng)時(shí)，，令，解得x=1或3，所以為的極值點(diǎn)，故滿意題意.（3）令，得，.當(dāng)時(shí)，若，則，所以在和上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)恒成立.當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，若，則，所以在和上為增函數(shù)，從而在上也為增函數(shù)，滿意題意.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)問(wèn)題，考查計(jì)算求值，分類探討的實(shí)力，屬中檔題.20.設(shè)函數(shù)，.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若直線與曲線和曲線分別交于點(diǎn)和，求的最小值；（3）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明：存在微小值點(diǎn)，且.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和；（2）最小值為；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，依據(jù)的正負(fù)可得單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得即為所求結(jié)果；（3）求導(dǎo)后可知與同號(hào)，令，利用導(dǎo)數(shù)可證得在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，利用零點(diǎn)存在定理可確定，等量代換即可證得結(jié)論.【詳解】（1），，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在和上為減函數(shù).的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和.（2）設(shè)函數(shù)，，則，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；在上有最小值.即當(dāng)時(shí)，的最