2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第8章立體幾何第3節(jié)空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系跟蹤檢測(cè)文含解析

PAGE第八章立體幾何第三節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系A(chǔ)級(jí)·基礎(chǔ)過(guò)關(guān)|固根基|1.已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)，且α∩β＝c，那么直線c肯定()A．與a，b都相交B．只能與a，b中的一條相交C．至少與a，b中的一條相交D．與a，b都平行解析：選C若c與a，b都不相交，則c與a，b都平行，依據(jù)公理4，知a∥b，與a，b異面沖突．2．已知空間四邊形的兩條對(duì)角線相互垂直，順次連接四邊中點(diǎn)的四邊形肯定是()A．空間四邊形 B．矩形C．菱形 D．正方形解析：選B如圖所示，易證四邊形EFGH為平行四邊形．因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC.又FG∥BD，所以∠EFG或其補(bǔ)角為AC與BD所成的角．而AC與BD所成的角為90°，所以∠EFG＝90°，故四邊形EFGH為矩形．3．已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A若直線a，b相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則P∈a，P∈b，又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，則a，b可能相交，也可能異面或平行．故“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．4．如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線AC B．直線ABC．直線CD D．直線BC解析：選C由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β.又因?yàn)镈∈AB，所以D∈平面ABC，所以點(diǎn)D在平面ABC與平面β的交線上．又因?yàn)镃∈平面ABC，C∈β，所以點(diǎn)C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.5.如圖，ABCD－A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)A．A，M，O三點(diǎn)共線B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：選A連接A1C1，AC，則A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四點(diǎn)共面，所以A1C?平面ACC1A1.因?yàn)镸∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，所以6．給出下列四個(gè)命題：①平面外的一條直線與這個(gè)平面最多有一個(gè)公共點(diǎn)；②若平面α內(nèi)的一條直線a與平面β內(nèi)的一條直線b相交，則α與β相交；③若一條直線和兩條平行線都相交，則這三條直線共面；④若三條直線兩兩相交，則這三條直線共面．其中真命題的序號(hào)是________．解析：①正確，因?yàn)橹本€在平面外即直線與平面相交或直線平行于平面，所以最多有一個(gè)公共點(diǎn)；②正確，a，b有交點(diǎn)，則兩平面有公共點(diǎn)，則兩平面相交；③正確，兩平行直線可確定一個(gè)平面，又直線與兩平行直線的兩交點(diǎn)在這兩平行直線上，所以過(guò)這兩交點(diǎn)的直線也在平面內(nèi)，即三線共面；④錯(cuò)誤，這三條直線可以交于同一點(diǎn)，但不在同一平面內(nèi)．答案：①②③7．(2025屆廣安期末)給出以下四個(gè)結(jié)論：①平行于同始終線的兩條直線相互平行；②垂直于同一平面的兩個(gè)平面相互平行；③若α，β是兩個(gè)平面，m，n是異面直線，且m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥β；④若在三棱錐A－BCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，則點(diǎn)B在平面ACD內(nèi)的射影是△ACD的垂心．其中錯(cuò)誤結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_______(要求填上全部錯(cuò)誤結(jié)論的序號(hào))．解析：由平行公理4可得平行于同始終線的兩條直線相互平行，①正確；垂直于同一平面的兩個(gè)平面相互平行或相交，②錯(cuò)誤；若α，β是兩個(gè)平面，m，n是異面直線，且m?α，n?β，m∥β，n∥α，由線面平行的性質(zhì)定理可得過(guò)n的平面與平面α交于n′，可得n∥n′，且n′∥β，由面面平行的判定定理可得α∥β，③正確；若在三棱錐A－BCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，設(shè)點(diǎn)B在平面ACD內(nèi)的射影為H，連接AH，CH，DH，由BH⊥平面ACD，可得BH⊥CD，CD⊥AB，BH∩AB＝B，可得CD⊥平面ABH，則CD⊥AH，同理可得AC⊥DH，可得H是△ACD的垂心，④正確．答案：②8．如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，那么異面直線AC1與BC解析：取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D，連接C1D，AD，因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，所以AD∥BC，所以∠C1AD(或其補(bǔ)角)為異面直線AC1與BC所成角．因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，所以C1D⊥圓柱下底面，所以C1D⊥AD，因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1所以C1D＝eq\r(2)AD，則tan∠C1AD＝eq\f(C1D,AD)＝eq\r(2)，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為eq\r(2).答案：eq\r(2)9．在正方體ABCD－A1B1C1D1(1)求AC與A1D所成角的大小；(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF解：(1)如圖，連接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方體，易知A1D∥B1C，從而∠B1CA(或其補(bǔ)角)就是AC與A因?yàn)锳B1＝AC＝B1C所以∠B1CA＝60°，即A1D與AC所成的角為60°.(2)連接BD，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD，所以EF⊥AC，所以EF⊥A1C1，即A1C1與EF所成的角為9010.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點(diǎn)．求證：D1，H，O證明：如圖，連接BD，B1D1，則BD∩AC＝O，∵BB1DD1，∴四邊形BB1D1D為平行四邊形．又H∈B1D，B1D?平面BB1D1D，則H∈平面BB1D1D，∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.故D1，H，O三點(diǎn)共線.B級(jí)·素養(yǎng)提升|練實(shí)力|11．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P為邊AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將△DAP繞直線DP翻轉(zhuǎn)至△DA′P處，若M為線段A′C的中點(diǎn)，則異面直線BM與PA′所成角的正切值為()A.eq\f(1,2) B．2C.eq\f(1,4) D．4解析：選A取A′D的中點(diǎn)N，連接PN，MN，∵M(jìn)是A′C的中點(diǎn)，∴MN∥CD，且MN＝eq\f(1,2)CD.∵四邊形ABCD是矩形，P是AB的中點(diǎn)，∴PB∥CD，且PB＝eq\f(1,2)CD，∴MN∥PB，且MN＝PB，∴四邊形PBMN為平行四邊形，∴MB∥PN，∴∠A′PN(或其補(bǔ)角)是異面直線BM與PA′所成的角．在Rt△A′PN中，tan∠A′PN＝eq\f(A′N,A′P)＝eq\f(1,2)，∴異面直線BM與PA′所成角的正切值為eq\f(1,2).故選A.12．(2025屆長(zhǎng)沙模擬)如圖，在三棱柱ABC－A′B′C′中，點(diǎn)E，F(xiàn)，H，K分別為AC′，CB′，A′B′，B′C′的中點(diǎn)，G為△ABC的重心．從K，H，G，B′四點(diǎn)中取一點(diǎn)作為P，使得該棱柱恰有2條棱與平面PEF平行，則P為_(kāi)_______．解析：取A′C′的中點(diǎn)M，連接EM，MK，KF，EF，則EMeq\f(1,2)CC′KF，得四邊形EFKM為平行四邊形，若取點(diǎn)K為P，則AA′∥BB′∥CC′∥PF，故與平面PEF平行的棱超過(guò)2條，不符合題意；因?yàn)镠B′∥MK，MK∥EF，所以HB′∥EF，若取點(diǎn)H或B′為P，則平面PEF與平面EFB′A′為同一平面，與平面EFB′A′平行的棱只有AB，不符合題意；連接BC′，則EF∥A′B′∥AB，若取點(diǎn)G為P，則AB，A′B′與平面PEF平行．答案：G13．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為線段B1D1①AC⊥BE；②B1E∥平面ABCD；③三棱錐E－ABC的體積為定值；④B1E⊥BC1.解析：因?yàn)锳C⊥平面BDD1B1，所以AC⊥BE，故①正確；因?yàn)锽1D1∥平面ABCD，所以B1E∥平面ABCD，故②正確；記正方體的體積為V，則VE－ABC＝eq\f(1,6)V，為定值，故③正確；B1E與BC1不垂直，故④錯(cuò)誤．答案：①②③14.如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點(diǎn)．(1)求四棱錐O－ABCD的體積；(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值．解：(1)由已知可求得正方形ABCD的面積S＝4，所以四棱錐O－ABCD的體積V＝eq\f(1,3)×4×2＝eq\f(8,3).(2)如圖，連接AC，設(shè)線段AC的中點(diǎn)為E，連接ME，DE，又M為OA中點(diǎn)，∴ME∥OC，則∠EMD(或其補(bǔ)角)為異面直線OC與MD所成的角