浙江專用2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題七平面向量7.2平面向量的數(shù)量積及向量的綜合應(yīng)用試題含解析

PAGEPAGE1§7.2平面對(duì)量的數(shù)量積及向量的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)篇固本夯基【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一平面對(duì)量的數(shù)量積1.已知向量AB=(1,2),AC=(-3,1),則AB·BC=()A.6B.-6C.-1D.1答案B2.已知向量m=(1,2),n=(2,3),則m在n方向上的投影為()A.13B.8C.855答案D考點(diǎn)二平面對(duì)量數(shù)量積的應(yīng)用3.已知單位向量e1,e2的夾角為θ,且tanθ=22,若向量m=2e1-3e2,則|m|=()A.9B.10C.3D.10答案C4.△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,向量a,b滿意AB=2a,AC=2a+b,則向量a,b的夾角為()A.30°B.60°C.120°D.150°答案C5.已知|a|=10,a·b=-530A.2π3B.3π4答案C6.已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,則|2A.-53B.1C.2D.答案B7.已知點(diǎn)P(-1,3),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)Q是圓O:x2+y2=1上一點(diǎn),且OQ·PQ=0,則|OP+OQ|=()A.3B.5C.7D.7答案C8.已知平面對(duì)量a,b,c滿意|a|=|b|=1,a⊥(a-2b),(c-2a)·(c-b)=0,則|c|的最大值與最小值的和為()A.0B.3C.2D.7答案D綜合篇知能轉(zhuǎn)換【綜合集訓(xùn)】考法一求向量模的方法1.(2024甘安靜寧一中第三次模擬)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=52,則|b|=()A.2B.5C.2D.5答案D2.(2024重慶4月調(diào)研測(cè)試(二診))已知向量a,b滿意|a-b|=3且b=(0,-1),若向量a在向量b方向上的投影為-2,則|a|=()A.2B.23C.4D.12答案A3.(2024豫北名校期末聯(lián)考,7)已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c滿意c與b的夾角為120°,c·(4a+b)=5,則|c|=()A.25B.5C.2D.1答案A考法二求平面對(duì)量夾角的方法4.(2024云南玉溪模擬,4)已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),則向量a,b夾角的余弦值為()A.31010B.-31010答案C5.(2024吉林長(zhǎng)春質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一),6)已知平面對(duì)量a、b滿意|a|=|b|=1,若(2a-b)·b=0,則向量a、b的夾角為()A.30°B.45°C.60°D.120°答案C6.(2024山東,12,5分)已知e1,e2是相互垂直的單位向量.若3e1-e2與e1+λe2的夾角為60°,則實(shí)數(shù)λ的值是.

答案37.(2024河南安陽(yáng)二模,15)已知在△OAB中,OA=OB=2,AB=23,動(dòng)點(diǎn)P位于線段AB上,則當(dāng)PA·PO取最小值時(shí),向量PA與PO的夾角的余弦值為.

答案-21應(yīng)用篇知行合一【應(yīng)用集訓(xùn)】1.(2024福建,9,5分)已知AB⊥AC,|AB|=1t,|AC|=t.若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且AP=AB|AB|+4ACA.13B.15C.19D.21答案A2.(2024廣東廣州華南師大附中月考,10)如圖,半徑為1的扇形AOB中,∠AOB=2π3,P是弧AB上的一點(diǎn),且滿意OP⊥OB,M,N分別是線段OA,OB上的動(dòng)點(diǎn),則PM·PNA.22B.32答案C3.(2024河南十所名校尖子生其次次調(diào)研,15)已知A,B,C均位于同一單位圓O上,且BA·BC=|AB|2,若PB·PC=3,則|PA+PB+PC|的取值范圍為.

答案[5,7]【五年高考】考點(diǎn)一平面對(duì)量的數(shù)量積1.(2024課標(biāo)Ⅱ,3,5分)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,則AB·BC=()A.-3B.-2C.2D.3答案C2.(2024課標(biāo)Ⅱ,4,5分)已知向量a,b滿意|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0答案B3.(2024天津,14,5分)在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=23,AD=5,∠A=30°,點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上,且AE=BE,則BD·AE=.

答案-1考點(diǎn)二平面對(duì)量數(shù)量積的應(yīng)用4.(2024課標(biāo)Ⅰ,7,5分)已知非零向量a,b滿意|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,則a與b的夾角為()A.π6B.π3C.2π答案B5.(2024課標(biāo)Ⅲ,3,5分)已知向量BA=12,32,A.30°B.45°C.60°D.120°答案A6.(2024北京,4,5分)設(shè)a,b是向量.則“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案D7.(2024課標(biāo)Ⅱ,12,5分)已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則PA·(PB+PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-4答案B8.(2024天津,8,5分)如圖,在平面四邊形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn),則AE·BE的最小值為()A.2116B.32C.答案A9.(2024山東,8,5分)已知非零向量m,n滿意4|m|=3|n|,cos<m,n>=13A.4B.-4C.94D.-答案B10.(2024安徽,8,5分)△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,已知向量a,b滿意AB=2a,AC=2a+b,則下列結(jié)論正確的是()A.|b|=1B.a⊥bC.a·b=1D.(4a+b)⊥BC答案D11.(2024課標(biāo)Ⅲ,13,5分)已知a,b為單位向量,且a·b=0,若c=2a-5b,則cos<a,c>=.

答案212.(2024課標(biāo)Ⅰ,13,5分)設(shè)向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=.

答案-213.(2024江蘇,12,5分)如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點(diǎn)O.若AB·AC=6AO·EC,則ABAC的值是答案314.(2024天津,13,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,則λ的值為.

答案3老師專用題組考點(diǎn)一平面對(duì)量的數(shù)量積1.(2024課標(biāo)Ⅱ,3,5分)設(shè)向量a,b滿意|a+b|=10,|a-b|=6,則a·b=()A.1B.2C.3D.5答案A2.(2024天津,7,5分)已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F,使得DE=2EF,則AF·BC的值為()A.-58B.18C.1答案B3.(2024四川,7,5分)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形,|AB|=6,|AD|=4.若點(diǎn)M,N滿意BM=3MC,DN=2NC,則AM·NM=()A.20B.15C.9D.6答案C4.(2013課標(biāo)Ⅱ,13,5分)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為CD的中點(diǎn),則AE·BD=.

答案25.(2024上海,8,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-1,0)、B(2,0),E、F是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且|EF|=2,則AE·BF的最小值為.

答案-36.(2024湖北,11,5分)已知向量OA⊥AB,|OA|=3,則OA·OB=.

答案97.(2024天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上,且BE=λBC,DF=19λDC,則AE·AF答案29考點(diǎn)二平面對(duì)量數(shù)量積的應(yīng)用8.(2024浙江,9,4分)已知a,b,e是平面對(duì)量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為π3,向量b滿意b2A.3-1B.3+1C.2D.2-3答案A9.(2024四川,10,5分)在平面內(nèi),定點(diǎn)A,B,C,D滿意|DA|=|DB|=|DC|,DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2,動(dòng)點(diǎn)P,M滿意|AP|=1,PM=MC,則|BM|2的最大值是()A.434B.494C.37+6答案B10.(2024浙江,10,4分)如圖,已知平面四邊形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點(diǎn)O.記I1=OA·OB,I2=OB·OC,I3=OC·OD,則()A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I3答案C11.(2012課標(biāo),13,5分)已知向量a,b夾角為45°,且|a|=1,|2a-b|=10,則|b|=.

答案3212.(2024浙江,15,6分)已知向量a,b滿意|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.

答案4;2513.(2024廣東,16,12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量m=22,-2(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m與n的夾角為π3解析(1)因?yàn)閙⊥n,所以m·n=22sinx-2即sinx=cosx,又x∈0,π2(2)易求得|m|=1,|n|=sin因?yàn)閙與n的夾角為π3所以cosπ3=m·n則22sinx-22cosx=sinx-又因?yàn)閤∈0,π2,所以x-π所以x-π4=π6,解得x=【三年模擬】一、單項(xiàng)選擇題(每題5分,共45分)1.(2025屆山東夏季高考模擬,3)設(shè)向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1),且(a-λb)⊥c,則λ=()A.3B.2C.-2D.-3答案A2.(2025屆山東青島期初調(diào)研,2)已知向量AB=(1,1),BC=(-2,1),則|AC|=()A.5B.5C.3D.3答案B3.(2025屆廣東廣雅中學(xué)、執(zhí)信中等學(xué)四校聯(lián)考,9)在△ABC中,|CA|=1,|CB|=2,∠ACB=23π,點(diǎn)M滿意CM=CB+2CA,則MA·MBA.0B.2C.23D.4答案A4.(2025屆山東德州一中開(kāi)學(xué)考,4)若向量a=(1,2),b=(1,m),且a-b與b的夾角為鈍角,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(0,2)B.(-∞,2)C.(-2,2)D.(-∞,0)∪(2,+∞)答案D5.(2025屆四川雙流中學(xué)9月月考,10)若向量a,b是非零向量,則“|a+b|=|a-b|”是“a,b的夾角為90°”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件答案C6.(2024陜西榆林一中模擬,4)已知向量a,b滿意|a|=1,|b|=2,|a+b|=6,則|a-b|=()A.2B.2C.3D.5答案A7.(2024江西金太陽(yáng)全國(guó)大聯(lián)考,3)已知單位向量a,b滿意|a+b|-2a·b=0,則|a+2b|=()A.3B.2C.9D.4答案A8.(2024江西南昌NCS項(xiàng)目一模,10)已知平面對(duì)量a,b,a=(2cosα,2sinα),b=(cosβ,sinβ),且a·b>0,若對(duì)隨意的實(shí)數(shù)λ,|a-λb|的最小值為3,則此時(shí)|a-b|=()A.1B.2C.2D.3答案D9.(2025屆浙江杭州二中開(kāi)學(xué)考,8)如圖,已知等腰梯形ABCD中,AB=2DC=4,AD=BC=5,E是DC的中點(diǎn),F是線段BC上的動(dòng)點(diǎn),則EF·BF的最小值是()A.0B.-95C.-4答案B二、多項(xiàng)選擇題(每題5分,共15分)10.(2025屆山東德州一中開(kāi)學(xué)考,12)已知e1,e2是兩個(gè)單位向量,λ∈R時(shí),|e1+λe2|的最小值為32A.e1,e2的夾角是π3B.e1,e2的夾角是π3C.|e1+e2|=1或3D.|e1+e2|=1或3答案BC11.(改編題)已知非零向量e1,e2,a,b滿意a=2e1-e2,b=ke1+e2(k∈R),則以下結(jié)論正確的是()A.若e1與e2不共線,a與b共線,則k=-2B.若e1與e2不共線,a與b共線,則k=2C.存在k,使得a與b不共線,e1與e2共線D.不存在k,使得a與b不共線,e1與e2共線答案AD12.(2025屆百師聯(lián)盟期中聯(lián)考)已知向量a=(sinα,cosα),b=(1,2),則下列命題正確的是()A.若a∥b,則tanα=1B.若a⊥b,則tanα=1C.若f(α)=a·b取得最大值,則tanα=1D.|a-b|的最大值為5+1答案ACD三、填空題(每題5分,共20分)13.(2025屆皖江名校聯(lián)盟八月摸底,13)已知向量a=(2,3),b=(-1,m),且a與(a+b)垂直,則m=.

答案-1114.(2025屆浙江超級(jí)全能生第一次聯(lián)考,13)已知單位向量e1,e2的夾角為60°,則|e1+2e2|=,|e1+λe2|(λ∈R)的最小值為.

答案7;315.(2024新疆烏魯木齊地區(qū)第一次診斷)在△ABC中,CA=2CB=2,CA·CB=-1,O是△ABC的外心,若CO=xCA+yCB,則x+y=.

答案1316.(2025屆北京一零一中