2024年九年級數學上學期期末考點練習二次函數圖象和性質含解析

二次函數圖像和性質學問點一二次函數的概念概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a?留意：二次項系數a≠0，而b?，二次函數y=ax等號左邊是函數，右邊是關于自變量x的二次式，x的最高次數是2．a?，??b?，??c是常數，a是二次項系數，典例1下列函數是二次函數的是（）A．y=x（x+1） B．x2y=1C．y=2x2-2（x-1）2 D．y=x—0.5【答案】A【詳解】A、該函數符合二次函數的定義，故本選項正確；B、整理后：y=1xC、整理后，該函數的自變量的最高次數是1，屬于一次函數，故本選項錯誤；D、該函數屬于一次函數，故本選項錯誤.故選A．典例2二次函數y=3x﹣5x2+1的二次項系數、一次項系數、常數項分別為________．【答案】﹣5、3、1【詳解】解：二次函數y=3x-5x2+1的二次項系數、一次項系數、常數項分別為-5、3、1．故答案為：-5、3、1．典例3（2024春門頭溝區(qū)）已知函數為二次函數，求m的值．【答案】m=﹣1【分析】依據二次函數的定義，列出一個式子即可解決問題．【詳解】解：由題意：m-1≠0m2+1=2∴m=-1時，函數為二次函數．學問點2：二次函數的圖象和性質（重點）二次函數的基本表現形式：①y=ax2；②y=ax2+k；③y=ax-h2第一種：二次函數y=axa的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a>0向上0?y軸x>0時，y隨x的增大而增大；x<0時，y隨x的增大而減?。粁=0時，y有最小值0．a<0向下0?y軸x>0時，y隨x的增大而減??；x<0時，y隨x的增大而增大；x=0時，y有最大值0．其次種：二次函數y=axa的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a>0向上0?y軸x>0時，y隨x的增大而增大；x<0時，y隨x的增大而減??；x=0時，y有最小值c．a<0向下0?y軸x>0時，y隨x的增大而減??；x<0時，y隨x的增大而增大；x=0時，y有最大值c．第三種：二次函數y=ax-ha的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a>0向上h?X=hx>h時，y隨x的增大而增大；x<h時，y隨x的增大而減??；x=h時，y有最小值0．a<0向下h?X=hx>h時，y隨x的增大而減??；x<h時，y隨x的增大而增大；x=h時，y有最大值0．第四種：二次函數y=ax-ha的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a>0向上h?X=hx>h時，y隨x的增大而增大；x<h時，y隨x的增大而減??；x=h時，y有最小值k．a<0向下h?X=hx>h時，y隨x的增大而減小；x<h時，y隨x的增大而增大；x=h時，y有最大值k．二次函數y=axy=ax-h2+k典例1二次函數y＝﹣2x2﹣1圖象的頂點坐標為（）A.（0，0） B.（0，﹣1） C.（﹣2，﹣1） D.（﹣2，1）【答案】B【詳解】解：∵y=-2x∴其圖象關于y軸對稱，∴其頂點在y軸上，當x=0時，y=-1，所以頂點坐標為（0，﹣1），故選擇：B.典例2關于二次函數y=x+2A．開口向下 B．最低點是C．對稱軸是直線x=2 D．對稱軸的右側部分是上升的【答案】D【詳解】對于二次函數y=x+2∵a=1＞0，所以開口向上，故A錯誤；最低點是（-2,0），故B錯誤；對稱軸是直線x=-2，故C錯誤；對稱軸的右側部分，y隨x的增大而增大，∴是上升的，D正確；故選D.典例3拋物線y=-2(x-3)A．2,-3 B．3,0C．-2,-3 D．-3,0【答案】B【詳解】∵y=-2(x-3)∴依據頂點式的坐標特點可知，拋物線的頂點坐標為3,0.故選：B．學問點三二次函數圖象的平移平移步驟：將拋物線解析式轉化成頂點式y(tǒng)=ax-h2+k保持拋物線y=ax2的形態(tài)不變，將其頂點平移到h?，平移規(guī)律在原有函數的基礎上“h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”．【概括】左加右減，上加下減典例1（2024春沙雅縣期中）函數y=﹣2x2先向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得函數解析式是（）A．y=﹣2（x﹣1）2+2 B．y=﹣2（x﹣1）2﹣2 C．y=﹣2（x+1）2+2 D．y=﹣2（x+1）2﹣2【答案】B【詳解】解：函數y=﹣2x2先向右平移1個單位可得到：y=﹣2(x-1)2，再向下平移2個單位可得到：y=﹣2(x-1)2-2，故答案選擇B.典例2在平面直角坐標系中，將拋物線y＝﹣2x2+3向左平移1個單位，再向下平移1個單位后所得拋物線的表達式為()A．y=-2(x+1)2C．y=-2(x-1)2【答案】A【詳解】將拋物線y＝﹣2x2+3向左平移1個單位，再向下平移1個單位后所得拋物線的表達式為y=-2(x+1)2故選A.學問點四拋物線y=ax拋物線y=ax求拋物線的頂點、對稱軸的方法（難點）公式法：y=ax∴頂點是（-b2a配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為y=ax-h2+k的形式，得到頂點為(h,k【拋物線的性質】由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.典例1關于拋物線，下列說法錯誤的是（）A．頂點坐標為 B．對稱軸是直線C．若，則隨的增大而增大 D．當時，【答案】D【詳解】解：由拋物線y=-2x-3=（x-1）2-4，可知，

頂點坐標為（1，-4），

對稱軸為x=1，

x＞1時y隨x增大而增大，

拋物線開口向上，

∴A、B、C推斷正確；y=0時，（x-1）2-4=0，解得，∴拋物線與x軸的交點是（-1,0）和（3,0），∵拋物線開口向上，∴當-1<x<3時，y<0，∴D錯誤.

故選：D．學問點五拋物線y=ax2+bx+c中，a,b,c與函數圖像的關系（二次項系數a二次函數y=ax2+bx+c中，a作為二次項系數，⑴當a>0時，拋物線開口向上，a越大，開口越小，反之a的值越小，開口越大；當a<0時，拋物線開口向下，a越小，開口越小，反之a的值越大，開口越大．【總結起來】a確定了拋物線開口的大小和方向，a的正負確定開口方向，a的大小確定開口的大?。淮雾椣禂礲在二次項系數a確定的前提下，b確定了拋物線的對稱軸．在a>0的前提下，當b>0時，-b2a<0，即拋物線的對稱軸在y當b=0時，-b2a=0當b<0時，-b2a>0，即拋物線對稱軸在y在a<0的前提下，結論剛好與上述相反，即當b>0時，-b2a>0，即拋物線的對稱軸在y當b=0時，-b2a=0當b<0時，-b2a<0，即拋物線對稱軸在y【總結起來】在a確定的前提下，b確定了拋物線對稱軸的位置．常數項c⑴當c>0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為正；⑵當c=0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與y軸交點的縱坐標為0；當c<0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為負．【總結起來】c確定了拋物線與y軸交點的位置．總之，只要a?，典例1在同一坐標系內，一次函數y=ax+b與二次函數y=ax2+8x+b的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】C解：x=0時，兩個函數的函數值y=b，所以，兩個函數圖象與y軸相交于同一點，故B、D選項錯誤；由A、C選項可知，拋物線開口方向向上，所以，a＞0，則一次函數y=ax+b經過第一三象限，所以，A選項錯誤，C選項正確，典例2在同一平面直角坐標系中，函數y＝ax2+bx與y＝﹣bx+a的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】解：A、對于直線y=-bx+a來說，由圖象可以推斷，a＜0，b＞0；而對于拋物線y=ax2+bx來說，圖象應開口向下，故不合題意；B、對于直線y=-bx+a來說，由圖象可以推斷，a＞0，b＜0；而對于拋物線y=ax2+bx來說，圖象開口向上，對稱軸x=-b2a＞0，在y軸的右側，符合題意，圖形正確；

C、對于直線y=-bx+a來說，由圖象可以推斷，a＜0，b＜0；而對于拋物線y=ax2+bx來說，對稱軸x=-b2a＜0，應位于y軸的左側，故不合題意；

D、對于直線y=-bx+a來說，由圖象可以推斷，a＞0，b＜0；而對于拋物線y=ax2+bx來說，圖象應開口向下，故不合題意．鞏固訓練一、選擇題（共10小題）1．如圖,函數y=ax2-2x+1和y=ax-a(aA．B．C．D．【答案】B【解析】分析：可先依據一次函數的圖象推斷a的符號，再推斷二次函數圖象與實際是否相符，推斷正誤即可．詳解：A．由一次函數y=ax﹣a的圖象可得：a＜0，此時二次函數y=ax2﹣2x+1的圖象應當開口向下．故選項錯誤；B．由一次函數y=ax﹣a的圖象可得：a＞0，此時二次函數y=ax2﹣2x+1的圖象應當開口向上，對稱軸x=﹣-22aC．由一次函數y=ax﹣a的圖象可得：a＞0，此時二次函數y=ax2﹣2x+1的圖象應當開口向上，對稱軸x=﹣-22a＞0，和xD．由一次函數y=ax﹣a的圖象可得：a＞0，此時二次函數y=ax2﹣2x+1的圖象應當開口向上．故選項錯誤．故選B．2．如圖是二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）圖象的一部分，與x軸的交點A在點（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是x=1．對于下列說法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m為實數）；⑤當﹣1＜x＜3時，y＞0，其中正確的是（）A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤【答案】A【詳解】①∵對稱軸在y軸右側，∴a、b異號，∴ab＜0，故正確；②∵對稱軸x=-∴2a+b=0；故正確；③∵2a+b=0，∴b=﹣2a，∵當x=﹣1時，y=a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故錯誤；④依據圖示知，當m=1時，有最大值；當m≠1時，有am2+bm+c≤a+b+c，所以a+b≥m（am+b）（m為實數）．故正確．⑤如圖，當﹣1＜x＜3時，y不只是大于0．故錯誤．故選：A．【名師點睛】本題主要考查了二次函數圖象與系數的關系，關鍵是嫻熟駕馭①二次項系數a確定拋物線的開口方向，當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；②一次項系數b和二次項系數a共同確定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③常數項c確定拋物線與y軸交點，拋物線與y軸交于（0，c）．3．將拋物線y=x2向左平移2個單位，再向下平移5個單位，平移后所得新拋物線的表達式為（）A．y=（x+2）2﹣5B．y=（x+2）2+5C．y=（x﹣2）2﹣5D．y=（x﹣2）2+5【答案】A【詳解】拋物線y=x2的頂點坐標為（0，0），先向左平移2個單位再向下平移5個單位后的拋物線的頂點坐標為（﹣2，﹣5），所以，平移后的拋物線的解析式為y=（x+2）2﹣5．故選：A．【名師點睛】本題考查了二次函數的圖象與幾何變換，熟知函數圖象平移的法則是解答本題的關鍵．4．若二次函數y=ax2+bx+a2-2（A．1B．2C．-2【答案】C【詳解】由圖可知，函數圖象開口向下，∴a＜0，又∵函數圖象經過坐標原點（0，0），∴a2-2=0，解得a1=2（舍去），a2=-2，故選C．【名師點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，視察圖象推斷出a是負數且經過坐標原點是解題的關鍵．5．關于二次函數y=2xA．圖像與y軸的交點坐標為0,1B．圖像的對稱軸在y軸的右側C．當x<0時，y的值隨x值的增大而減小D．y的最小值為-3【答案】D【解析】詳解：∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，∴當x=0時，y=-1，故選項A錯誤，該函數的對稱軸是直線x=-1，故選項B錯誤，當x＜-1時，y隨x的增大而減小，故選項C錯誤，當x=-1時，y取得最小值，此時y=-3，故選項D正確，故選D．6．函數y=ax2+2ax+m（a＜0）的圖象過點（2，0），則使函數值y＜0成立的x的取值范圍是（）A．x＜﹣4或x＞2B．﹣4＜x＜2C．x＜0或x＞2D．0＜x＜2【答案】A【詳解】拋物線y=ax2+2ax+m的對稱軸為直線x=-2a2a而拋物線與x軸的一個交點坐標為（2，0），∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為（-4，0），∵a＜0，∴拋物線開口向下，∴當x＜-4或x＞2時，y＜0．故選A．【名師點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了二次函數的性質．7．如圖，已知二次函數y=ax2+bx+ca≠0的圖象如圖所示，有下列5個結論①abc>0；②b-a>c；A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤【答案】B【詳解】①∵對稱軸在y軸的右側，∴ab由圖象可知：c>0，∴abc<0②當x=-1時，y=a-b+c<0，∴b-a>c，故②正確；③由對稱知，當x=2時，函數值大于0，即y=4a+2b+c>0，故③正確；④∵x=-b∴b=-2a，∵a-b+c<0，∴a+2a+c<0，3a<-c，故④不正確；⑤當x=1時，y的值最大.此時，y=a+b+c，而當x=m時，y=a所以a+b+c>a故a+b>am2+bm故②③⑤正確，故選B．【名師點睛】本題考查了圖象與二次函數系數之間的關系，二次函數y=ax2+8．拋物線y=（x﹣2）2﹣1可以由拋物線y=x2平移而得到，下列平移正確的是（）A．先向左平移2個單位長度，然后向上平移1個單位長度B．先向左平移2個單位長度，然后向下平移1個單位長度C．先向右平移2個單位長度，然后向上平移1個單位長度D．先向右平移2個單位長度，然后向下平移1個單位長度【答案】D【解析】分析：拋物線平移問題可以以平移前后兩個解析式的頂點坐標為基準探討．詳解：拋物線y=x2頂點為（0，0），拋物線y=（x﹣2）2﹣1的頂點為（2，﹣1），則拋物線y=x2向右平移2個單位，向下平移1個單位得到拋物線y=（x﹣2）2﹣1的圖象．故選：D．9．下列對二次函數y=x2﹣x的圖象的描述，正確的是（）A．開口向下B．對稱軸是y軸C．經過原點D．在對稱軸右側部分是下降的【答案】C【詳解】A、∵a=1＞0，∴拋物線開口向上，選項A不正確；B、∵﹣b2a=12，C、當x=0時，y=x2﹣x=0，∴拋物線經過原點，選項C正確；D、∵a＞0，拋物線的對稱軸為直線x=12∴當x＞12故選C．【名師點睛】本題考查了二次函數的性質：二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），對稱軸直線x=-b2a，當a＞0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，當a＜0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，c=0時拋物線經過原點，嫻熟駕馭相關學問10．當ab＞0時，y＝ax2與y＝ax+b的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵ab＞0，∴a、b同號．當a＞0，b＞0時，拋物線開口向上，頂點在原點，一次函數過一、二、三象限，沒有圖象符合要求；當a＜0，b＜0時，拋物線開口向下，頂點在原點，一次函數過二、三、四象限，B圖象符合要求．故選B．二、填空題（共5小題）11．拋物線y=﹣x2+bx+c的部分圖象如圖所示，若y＞0，則x的取值范圍是_____．【答案】－3＜x＜1【解析】試題分析：依據拋物線的對稱軸為x=﹣1，一個交點為（1，0），可推出另一交點為（﹣3，0），結合圖象求出y＞0時，x的范圍．解：依據拋物線的圖象可知：拋物線的對稱軸為x=﹣1，已知一個交點為（1，0），依據對稱性，則另一交點為（﹣3，0），所以y＞0時，x的取值范圍是﹣3＜x＜1．故答案為：﹣3＜x＜1．12．已知關于x的二次函數y=(x-h)2+3，當1≤x≤3時，函數有最小值2h【答案】32【詳解】∵y=x-h2+3∴當x<h時，y隨x的增大而減??；當x>h時，y隨x的增大而增大；①若1≤h≤3，則當x=h時，函數取得最小值3，即2h=3，解得：h=32②若h<1，則在1≤x≤3范圍內，x=1時，函數取得最小值2h，即1-解得：h=2；(舍去)③若h>3，則在1≤x≤3范圍內，x=3時，函數取得最小值2h，即3-解得：h=6,h=2(舍去)；故答案為:

3【名師點睛】本題考查二次函數的圖像和性質，因為對稱軸的位置不確定，所以分類探討.13．如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸相交于點A，B(m＋2，0)，與y軸相交于點C，點D在該拋物線上，坐標為(m，c)，則點A的坐標是________．【答案】(－2，0)【解析】由C(0,c),D(m,c),得函數圖象的對稱軸是x=m設A點坐標為(x,0),由A.

B關于對稱軸x=m2對稱得解得x=?2，即A點坐標為(?2,0)，故答案為：(?2,0).14．點A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在拋物線y=2x2﹣4x+c上，則y1，y2，y3的大小關系是_____．【答案】y2＜y3＜y1【詳解】∵y=2x2-4x+c，∴當x=-3時，y1=2×（-3）2-4×（-3）+c=30+c，當x=2時，y2=2×22-4×2+c=c，當x=3時，y3=2×32-4×3+c=6+c，∵c＜6+c＜30+c，∴y2＜y3＜y1，故答案為：y2＜y3＜y1．【名師點睛】本題主要考查二次函數圖象上點的坐標特征，駕馭函數圖象上點的坐標滿意函數解析式是解題的關鍵．15．已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，有下列6個結論：①abc＜0；②b＜a﹣c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的實數）⑥2a+b+c＞0，其中正確的結論的有_____．【答案】①③④⑥【詳解】解：①∵該拋物線開口方向向下，∴a<0.∵拋物線對稱軸在y軸右側，