工程力學(xué)作業(yè)解答重大版

材料力學(xué)習(xí)題

2、9題圖2、9所示中段開(kāi)槽的桿件，兩端受軸向載荷P的作用，試計(jì)算截面17

與2-2上的應(yīng)力。已知：P=140kN,b=200mm,仇=100mm,t=4mm。

題圖2、9

解：(1)計(jì)算桿的軸力

MM=P=140kN

(2)計(jì)算橫截面的面積

4=bxt-200x4=800mm2

2

A2=(b-hQ)xt=(200-100)x4=400mm

(3)計(jì)算正應(yīng)力

N、140x1000k…

6—!■=---------=175MPa

A800

='=也3=35。MPa

A,400

(注：本題的目的就是說(shuō)明在一段軸力相同的桿件內(nèi)，橫截面面積小的截面為該段

的危險(xiǎn)截面)

2、10橫裁面面積A=2cm2的桿受軸向拉伸，力P=10kN,求其法線與軸向成30°的

及45°斜截面上的應(yīng)力4及分,并問(wèn)Qax發(fā)生在哪一個(gè)截面？

解：(1)計(jì)算桿的軸力

N=P=10kN

(2)計(jì)算橫截面上的正應(yīng)力

N吆理=5。MPa

a-一

A2x100

(3)計(jì)算斜截面上的應(yīng)力

b3(r=bcos23(y=50x37.5MPa

r=￡sin（2x30°）=—x—=21.6MPa

3。222

（萬(wàn)Y

cr4,5u=crcos?45°=50xI——2J=25MPa

r=—sin（2x45°）=—xl=25MPa

45c22

（4）7111ax發(fā)生的截面

dT

——-<TCOS（2?）-0取得極值

da

cos（2<z）=0

因此：2a=—,a=—=45

24

故：Gax發(fā)生在其法線與軸向成45°的截面上。

（注：本題的結(jié)果告訴我們，如果拉壓桿處橫截面的正應(yīng)力，就可以計(jì)算該處任意

方向裁面的正應(yīng)力與剪應(yīng)力。對(duì)于拉壓桿而言，最大剪應(yīng)力發(fā)生在其法線與軸向

成45°的截面上，最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上，橫截面上剪應(yīng)力為零）

2、17題圖2、17所示階梯直桿AC,金10kN,/產(chǎn)/z=400mm,4=24=100mm；￡^200GPao

試計(jì)算桿4c的軸向變形//。

B

題圖2、17

解：（1）計(jì)算直桿各段的軸力及畫軸力圖

乂=尸=10kN（拉）

M=-P=-10kN（壓）

(2)計(jì)算直桿各段的軸向變形

N310x1000x400

△l\==0.2mm(伸長(zhǎng))

EA.200x1000xlOO

,N.I,-10x1000x400」

MA==----------------------=-0.4mm(縮短)

2EA,200x1000x50

(3)直桿47的軸向變形

A/=△/]+M=-。2rrm(縮短)

(注：本題的結(jié)果告訴我們，直桿總的軸向變形等于各段軸向變形的代數(shù)與)

2、20題圖2、20所示結(jié)構(gòu)，各桿抗拉(壓)剛度￡4相同，試求節(jié)點(diǎn)A的水平與垂

直位移。

題圖2、20

(a)解:

(1)計(jì)算各桿的軸力

以A點(diǎn)為研究對(duì)象，如右圖所示，由平衡方程可

得

XX=0,P(拉)

少=0,乂=0

(2)計(jì)算各桿的變形

A/,=0

N,l,P"cos45"42PI

△人=—―=---------=-----

EAEAEA

(3)計(jì)算4點(diǎn)位移

y

以切線代弧線，A點(diǎn)的位移為：

M2Pl

A~cos45°~~EA

與A=0

(b)解：

(1)計(jì)算各桿的軸力

以4點(diǎn)為研究對(duì)象，如右圖所示，由平衡方程’

可得

1、

￡x=0,N1=尬P(拉)介4?P——“

壓)X

^y=o,N2=-P(

(2)計(jì)算各桿的變形T7V2

,N.I,回x伍2Pa

A/.=——=-------------=------(伸長(zhǎng))

EAEAEA

_Nl_Pxa_Pa

dl.—22——(縮短)

(3)計(jì)算4點(diǎn)位移

以切線代弧線，A點(diǎn)的位移為:

—z7777A72y/2PdPcirzPci

Ax.AB+CA-------FAZ,-------1----(25/2+1)—

cos45°2EAEAEA

A_z_Pa

△%="2=-麗

［注：①本題計(jì)算就是基于小變形假設(shè)（材料力學(xué)的理論與方法都就是基于這個(gè)假

設(shè)），在此假設(shè)下，所有桿件的力與變形都就是沿未變形的方向。②計(jì)算位移的關(guān)

鍵就是以切線代弧線。）

2、15如題圖2、15所示桁架，a=30°，在A點(diǎn)受載荷戶=350kN,桿AB由兩根

槽鋼構(gòu)成，桿AC由一根工字鋼構(gòu)成，設(shè)鋼的許用拉應(yīng)力［1］=160MPa,許用壓應(yīng)

力匕」=100MPa。試為兩根桿選擇型鋼號(hào)碼。

題圖2、15

解：（1）計(jì)算桿的軸力

以4點(diǎn)為研究對(duì)象，如上圖所示，由平衡方程可得

VX=0,Mcose-N、cosa=0

-0,Msina+N?sina-P=0

M=P=350kN（拉）

M=乂=350kN（壓）

（2）計(jì)算橫截面的面積

,N

根據(jù)強(qiáng)度條件：CT=—<[CT],有

maxA

2A>叢=%。x1000=2187.5mm2,A>1093.75mm2

0]160

,N,350x1000

4>--=-----=3500mm2

■[%]100

(3)選擇型鋼

通過(guò)查表，桿AB為N。、10槽鋼，桿BC為N。、20a工字鋼。

(注：本題說(shuō)明，對(duì)于某些材料，也許它的拉、壓許用應(yīng)力就是不同的，需要根據(jù)桿

的拉、壓狀態(tài)，使用相應(yīng)得許用應(yīng)力)

2、25題圖2、25所示結(jié)構(gòu),AB為剛體，載荷P可在其上任意移動(dòng)。試求使CD桿

重量最輕時(shí)，夾角a應(yīng)取何值？

題圖2、25

解：（1）計(jì)算桿的軸力

載荷P在B點(diǎn)時(shí)為最危險(xiǎn)工況,如下圖所示。

以剛性桿AB為研究對(duì)象

八二0,NCDsina-/-P-2/=0

（2）計(jì)算桿CD橫截面的面積

設(shè)桿CD的許用應(yīng)力為[b],由強(qiáng)度條件，有

A■—--N--=........------2--P----

[cr]fcr][cr]sin（z

（3）計(jì)算夾角a

設(shè)桿CD的密度為夕，則它的重量為

IW”=pVIZ=pA4-7CD^=pA4-----/--=-------2--P-p--i-----=——-p--P--l----

cosafcr]sinacostz[cr]cosla

從上式可知，當(dāng)a=45°時(shí)，桿CD的重量〃最小。

（注：本題需要注意的就是：①載荷P在AB上可以任意移動(dòng)，取最危險(xiǎn)的工作狀況

（工況）；②桿的重量最輕，即體積最小。）

2、34題圖2、34所示結(jié)構(gòu),形為剛性梁，1桿橫截面面積4=1cm2,2桿A=2cm2,a=1m,

兩桿的長(zhǎng)度相同,e200GPa,許用應(yīng)力[a」同60MPa,[ob]=1OOMPa,試確定許可載

荷回。

以剛性桿AB為研究對(duì)象,如下圖所示。

即：Ni+2N2=3P(1)

該問(wèn)題為一次靜不定，需要補(bǔ)充一個(gè)方程。

(2)變形協(xié)調(diào)條件

如上圖所示，變形協(xié)調(diào)關(guān)系為

2//,=//?(2)

(3)計(jì)算桿的變形

由胡克定理，有

代入式⑵得：

2N】aN2a

EAtEA2

即:生=生(3)

A〕A2

(4)計(jì)算載荷與內(nèi)力之間關(guān)系

由式⑴與⑶，解得：

P=4+4&N(4)

3A,1

或

P=4+4&恤(5)

6A2

(5)計(jì)算許可載荷

如果由許用壓應(yīng)力決定許可載荷，有：

叩=-。卜A=：(A+4A2)[ab]

3A]3A,3

=1(100+4X200)X100=30000(N)=30(kN)

如果由許用拉應(yīng)力決定許可載荷，有：

陽(yáng)=此]=口].4+4A2)[<T,J

6A,6A26

=-(100+4X200)X160=24000(N)=24(kN)

6

比較兩個(gè)許可載荷，取較小的值，即

[P]=min{g],*]}=24(kN)

(注：本題需要比較由桿1與桿2決定的許可載荷，取較小的一個(gè)值，即整個(gè)結(jié)構(gòu)中,

最薄弱的部位決定整個(gè)結(jié)構(gòu)的許可載荷。)

-6

2,42題圖2、42所示正方形結(jié)構(gòu)，四周邊用鋁桿(E=70GPa,aa=2K6X10V);

對(duì)角線就是鋼絲(E=70GPa,%=21、6X10'℃”,鋁桿與鋼絲的橫截面面積之比

為2:1。若溫度升高/廠45℃時(shí)，試求鋼絲內(nèi)的應(yīng)力。

題圖2、42

解：(1)利用對(duì)稱條件對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化

由于結(jié)構(gòu)具有橫向與縱向?qū)ΨQ性，取原結(jié)構(gòu)的1/4作為研究的結(jié)構(gòu)如下圖所

示，

(2)

以A

可得

*

(3)變形協(xié)調(diào)關(guān)系

Ala

如上圖所示，鋁桿與鋼絲的變形協(xié)調(diào)關(guān)系為：

M=V2A<,②

鋼絲的伸長(zhǎng)量為：(設(shè)鋼絲的截面積為4)

M=\TaJ+-=—(ATa,/+也)

s③

s

sssESAS2ESA

鋁桿的伸長(zhǎng)量為：

NI1NI

=\Taul(,——?=-(2\Taul——④

由①②③④式，可解得：

2亞EE

N、=廠"'(a"一見(jiàn))AT-A

141Ea+Es

(4)計(jì)算鋼絲的應(yīng)力

2后心耳

(aa-as)\T

A20%+Es

=.29二7吧。*0°二)03Q1.6x1O'_]17x1O')x45=44.3(MPa)3、8題圖3、

2V2X70X103+200X103

8所示夾剪，銷釘B的直徑d=5mm,銷釘與被剪鋼絲的材料相同，剪切極限應(yīng)力

t“=200Mpa,銷釘?shù)陌踩禂?shù)n=4,試求在C處能剪斷多大直徑的鋼絲。

解：設(shè)B,C兩點(diǎn)受力分別為E，尸2。

剪切許用應(yīng)力為：[t]="=50Mpa

n

對(duì)B點(diǎn)，有力矩與為零可知：^MB=0,即：F=4P

由力平衡知：F,+P=F2

其中：B=A=12、5兀笛

故：F=]0;rd2

Fx

又由強(qiáng)度要求可知：xu<~T

片「

即：d<|=<5=2、24mm

一肛，

4"

3、11車床的轉(zhuǎn)動(dòng)光桿裝有安全聯(lián)軸器，當(dāng)超過(guò)一定載荷時(shí)，安全銷即被剪斷。已

知安全銷的平均直徑為5mm,其剪切強(qiáng)度極限%=370Mpa,求安全聯(lián)軸器所能傳遞

的力偶矩m、

解：設(shè)安全銷承受的最大力為，則：F=%x-7id2

4

那么安全聯(lián)軸器所能傳遞的力偶矩為：m=FD

其中T〃=370Mpa,b=5mm,D=20mm,

代入數(shù)據(jù)得：

力偶矩m=145、2N-m

4、7求題圖4、7中各個(gè)圖形對(duì)形心軸z的慣性矩人。

解：⑴對(duì)W”衿

I二人+a2A=800x2()：+國(guó)—竺］x20x80m“=287、57cm4

,112L2J

以SR八,20x12034

對(duì)II部分：/,---------mm4

2212

90x19O3(1?OV

I=1.+a2K=—~~—+-+20-52x20x120mm4=476>11cm4

z"212I2J

4

所以：1z=1.-/+1/〃=763、73cm

120

(2)

"…里口化工，,而120x20()3

對(duì)完整的矩形：/=——=--------=8000cm

z,1212

rn4\

對(duì)兩個(gè)圓：/=2--+a2A

"I64

22

=2x”x40+5OXTTX2O

I64J

=653、12cm4

所以：/'尸人Z]—/z〃=7346.88cm4

4、9題圖4、9所示薄圓環(huán)的平均半徑為r,厚度為t(rNt)、試證薄圓環(huán)對(duì)任意

直徑的慣性矩為/=萬(wàn)廣)，對(duì)圓心的極慣性矩//,=2TrPtO

解：(1)設(shè)設(shè)圓心在原點(diǎn)，由于就是圓環(huán)，故慣性矩對(duì)任意一直徑相等，為:

7TD4其中a=《

64(")D

…/=—x8r2x8rt=7irt

64

3,

(2)由一知：極慣性矩/,=2I=27irt

5、7(1)用截面法分別求題圖5、7所示各桿的截面17,2-2與3-3上的扭矩,

并畫出扭矩圖的轉(zhuǎn)向；

(2)做圖示各桿的扭矩圖

M：(1)=m2=-2kN-tn,=3kN-m

扭矩圖

(2)工=-20kNm,T2=-10kNm,T3=20kN-m

IIIIIIIIIL扭矩圖

-20

5、11一階梯形圓軸如題圖5、11所示。已知輪B輸入的功率Ns=45kW,輪A與

輪C輸出的功率分別為M,=30Kw,Nc=15kW；軸的轉(zhuǎn)速n=240r/min,&=60mm,

4=40mm;許用扭轉(zhuǎn)角［句=2（。）/加，材料的［x|=50Mpa,G=80Gpa、試校核軸的強(qiáng)度

與剛度。

解：（1）設(shè)AB,BC段承受的力矩為小心、計(jì)算外力偶矩：

N

%=95491=1193、6N-m

n

M

收=95491=596、8N-m

n

那么AB,BC段的扭矩分另U為：工=一"7A=-1193、6N-m

T2>=-也.=596、8N-m

（2）檢查強(qiáng)度要求

圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件為：Tmax=-^<[T]可知：（其中叱,4=60mm,

d2=40mm）

代入%近=空與％得：

WtWl

Omax=28、2Mpa,T2max=47.5Mpa

故：i^ax=47、5Mpa

⑶檢查強(qiáng)度要求

圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件式為：

e=\、幽=晨,*幽<網(wǎng)

MGIp兀兀一

32

所以：amax=-^T?幽二°、67<7m

廠乃471

Cr----------

32

%=^^幽=1、77m

「71dlTV

CJ---

32

故:心口、77m

5、13題圖5、13所示，汽車駕駛盤的直徑為520mm,駕駛員作用于盤上的力P=300N,

轉(zhuǎn)向軸的材料的許用剪應(yīng)力[t]=60Mpa。試設(shè)計(jì)實(shí)心轉(zhuǎn)向軸的直徑。若改用

a=4=0、8的空心軸，則空心軸的內(nèi)徑與外徑各位多大？并比較兩者的重量。

D

解：（1）當(dāng)為實(shí)心轉(zhuǎn)向軸時(shí)

夕卜力偶矩m=〃x/=156N-m

則扭矩T=156N?加

圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件為：

Jmax7rd3

%ax<[T1可知：(其中叱=空-)

叱L」'16

八3^^=23、6N-m

(2)當(dāng)改為a=4=0、8的空心軸時(shí)

D

圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件為:

小、=許4<|可知：(其中嗎=今(1—。4))

??DN28、2mmd>22>6mm

故：空心軸D=28、2mm,d=22、6mm

(3)實(shí)心軸與空心軸的質(zhì)量之比就應(yīng)該就是兩者的橫截面積之比，即:

加實(shí)一4一7。2(1一-a2

--------=0、514

2

m空/￡d

41

5、16題圖5、16所示鉆探機(jī)鉆桿的外徑D=60mm,內(nèi)徑d=50mm,鉆入的深度

l=40m;A端輸入的功率NA=15KW,轉(zhuǎn)速n=180r/min,B端鉆頭所受的扭轉(zhuǎn)力矩

加尸300^^相；材料的卜］=40MPa,G=80GPa,假設(shè)土壤對(duì)鉆桿的阻力沿桿長(zhǎng)度

均勻分布，試求：（1）單位長(zhǎng)度上土壤對(duì)鉆桿的阻力距m。

⑵作鉆桿的扭矩圖，并校核其扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度。

（3）A,B兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。

300

795.7

解：（1）鉆探機(jī)A端的偶矩為:

N

MA=9549—二795、75N?m

n

那么單位長(zhǎng)度的阻力矩為:

M一M

m二人嗅12、4N/m

TTFr）3

⑵圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件為：.X=譚^4［可得：（其中叱=*-（1-優(yōu)））

Tmax=362Mpa<40MPa

所以滿足強(qiáng)度要求

（3）由兩截面之間的相對(duì)轉(zhuǎn)角為：o=■公

J。GIp

其中4=4（加一59x10-7,7/4

495-75

/T40795.75-X

所以：(p=f----〃r=f----------40——dx=0、416rad

J。GIpJ。GIp

A,B兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為0、416rad

6、6求題圖6、6中各梁的剪力方程與彎矩方程，作剪力圖與彎矩圖，并求

|Q|ma*與|兇|皿。

解：

支座反力：XB=0,YB=P=200N,MB=950N,

剪力方程:Q(x)=-200N、

彎矩方程：

AC段：M(x)=-PX=-200X,(0<X<2m);

CB段：M(x)=-PX-M°=-(200X+150)(2m<X2<4m)

因此：

|Q|raax=200N；

|M|max=950N-m

Y

YAB

Aq

4人

解：

支座反力：

39

乂人

=0,%=-^,YB=-qa

剪力方程：

3

ABR：2W=-^-^,(0<x<2a)

BC段：Q(x)=q(3a-x),(2a<x<3a)

彎矩方程：

\319

N&^.M(x)=-qax--qx,(0”42a)

1,

BC段：知(％)=-5鄉(xiāng)(3。一%)一，(2a?x?3a)

9

因此」Omax=1259a；Mmax=瓦期2

6、10不列剪力方程與彎矩方程,作題圖6、10中各梁的剪力圖與彎矩圖，并求出

|Q|max與1Mlmax。

解：

支座反力：

qa

M

Y

AYB

q

AXAC

解：

支座反力:

M

75

因此：l0max=d?；Mmax=da/

6、12作題圖6、12中各構(gòu)件的內(nèi)力圖

(b)

解:

qa

解:

qa-qa1

一

wM

NqaQw

?l

qa

13、設(shè)梁的剪力圖如題圖6、、13所示，試做彎矩圖與載荷圖，已知梁上沒(méi)有作

用集中力偶。

(b)

Q

10KN

2.5KNm

IOKN

2oKN/m

2oKN/m

10KN

6、14已知梁的彎矩圖如題圖6、14所示，就是做梁的載荷圖與剪力圖。

解：

Q

1KN

1KN

IL*^3KNm3Kr-*-

I1KN

7.920a工字鋼梁的支承與受力情況如題圖7、9所示。若

[cr]=160Mpa,試求許可載荷P的值。

p

ACDB?RB

圖7、9

解：

(1)求支座反力

RA=_RB=；P

(2)畫出彎矩圖

(3)求許可載荷

查表，20a工字鋼的叼=237x103mm3

crmax="外<匕]

III41ATJTLJ

w.Z

3

P<-W:\(y]=56.9kN

7、11題圖7、11所示一鑄造用的鋼水包。試按其耳軸的正應(yīng)力強(qiáng)

度確定充滿鋼水時(shí)所允許的總重量。已知材料的許用應(yīng)力

[<7]=1OOMPa,d=200mm

解:

Mmax=P/=；G/

(Tniax=<[cr]

,llldATjrLJ

Wz

…竽=*^=5233

7.14題圖7、14所示軸直徑D=280mm,跨長(zhǎng)

L=1000mm,l=450mm,b=100mm。軸材料的彎曲許用應(yīng)力

M=100NPa,求它能承受的最大軋制力。

(1)求支座反力

RA=RB=&

(2)畫出彎矩圖

qblqb?

--------F------

⑶求最大軋制力4ax

Mmax

max

Wla]洞

qw?y==9069NImm

blb2blh2

-+-

28

因々nax〈qb=906-9Z:N

7、15鑄鐵梁的載荷及橫截面尺寸如題圖7、15所示。許用拉應(yīng)力

［丐］=40MPa，許用壓應(yīng)力［4］=160MPa。試按正應(yīng)力強(qiáng)度條件校核梁的

強(qiáng)度。

解:

(1)支座反力

RH=30KN,RD=10KN

(2)畫彎矩圖

由上面彎矩圖可知，B,D兩個(gè)點(diǎn)可能為危險(xiǎn)截面。

\MB\-20kNm-Mc=10〃恤

(3)強(qiáng)度校核

_""+4%=-1575mm

C

A+4

1彳?

Iz=Izl+IZ2=—*20cm*(3cm)'+20cm*3cm*(20-15.75+1.5)-

13

+丘*3皿*(3。迎+3m*20cM(15.75c*l(W

=6012.5cm4

B棧面下邊緣aBc==52AMPa

1Z

B截面上邊緣=%(2；0y，=24.1MPa

C截面下邊緣b。=告&=26.2MPa

lz

Mr(230-yr)……n

C截面上邊緣=；=12.05MPa

iz

所以々mx=52.4<[々]，%皿=26.24[0]

安全

7、19題圖7、19所示梁由兩根36a工字梁餅接而成。鉀釘?shù)拈g距為

s=150mm,直徑d=20mm,許用剪應(yīng)力[7]=90MPa。梁橫截面上的剪力

Q=40KN,試校核餅釘?shù)募羟袕?qiáng)度。

查表，單個(gè)工字梁的截面參數(shù)為：

41

/2=15760cm；A=16.3cm；h=36cm

兩個(gè)工字梁重疊以后對(duì)中性軸的慣性矩

h

2

=2/Z1+(-)A-8096.2cm

兩個(gè)工字梁重疊后對(duì)中性軸的靜矩

S；=jM4=yA=1373.4加

設(shè)工字梁翼板的寬度為b,則中性層上的剪應(yīng)力為

QS：

每一對(duì)鉀釘分擔(dān)的剪力為

。=麻=0^=10.2小

J

釧釘?shù)募魬?yīng)力為

/'二義=16.2MPa<[T]=9QMPa

所以安全

8、5用積分法求題圖8、5中各梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程以及指定

的轉(zhuǎn)角與撓度。已知抗彎剛度EI為常數(shù)。

圖8、5

解：

(1)求支座反力

(=牛，向上，&=牛，向下。

⑵以A為原點(diǎn)，寫出彎矩方程：

M(X)=^y-X

(3)求撓曲線方程

EIy=^-x3+CX+D

6/

帶入邊界條件以=%=0得

故轉(zhuǎn)角方程與撓曲線方程為

夕=必」竺武三

EI2166EII

A6EIB3EIc16EI

8、7寫出題圖8、7所示各梁的邊界條件。其中（b）圖的k為彈簧剛

度(N/m)o

(a)

EA

q

AJHlIHHIlIIimnHYlIIlHHXIHHinnnnTHlHH

△

4

題圖8、7

解:

W0ql

，

%=°RA~2

△/_RBL_q"i

EA―2EA，

qlk

當(dāng)X=/時(shí)，y

BZEA

qll、

邊界條件：=0，=—

2JEA

8、12用疊加法求題圖8、12所示各梁截面A的撓度與截面B的轉(zhuǎn)角。

已知El為常數(shù)。

先假設(shè),CD段為剛性，則AC段可視為在C段固定的懸臂梁。

ql~_ql20_qal2

在加"工作用下,％=屈；%=后

再將AC視為剛性，則查表可得：

Mlql3

%=

3EI6EI'

CC5qB

因此：%=+%2=—?g

24EI

%=9BI+%+0=_，o(12a+5/)

C224El

由于截面C的轉(zhuǎn)動(dòng)，使截面A有一向上撓度，為：

5qal2

a---------

24E/

qal?〈八

因此：%=Hu+以2=不高（6。+5/）

8J5一直角拐如題圖8J5所示。AB段橫截面為圓形，BC段為矩形；A

端固定，B端為滑動(dòng)軸承,C端的作用力P=60N；已知材料的

E=210GPa,G=80GPa。試求C端的撓度。

題圖8、15

解：用疊加法，首先P在C點(diǎn)引起的直接撓度由表查得:

,,5xlO31250

?/1=1=----------=-------mm4

z7123

60x30()3

二汽1=-------------1250=-6.17mm

3x210000x-^

3

然后P在B點(diǎn)的等效轉(zhuǎn)矩下引起AB桿發(fā)生扭角為:

曳建=-/叫=7.16rad

*G￡

32

所以，C點(diǎn)的總撓度為

=%—1BC=-8.32mm

8、19如題圖8、19所示懸臂梁4?與維的抗彎剛度均為￡/=24*106Nm2,

由鋼桿CD相連接。CD桿的/=5m,東3*20,良200GPa。若P=50kN,

試求懸臂梁AD在D點(diǎn)的撓度。

F

P

八

B/-C-------------E--'-\-----------------

/

J.2n..2曾.

題圖8、19

解：設(shè)CD桿上的軸力為F,則由尸引起C與D點(diǎn)的撓度分別為:

3

=_rPL1AD

yD3EI⑴

Fl/〉>c

y

c3EI⑵

由戶引起D點(diǎn)的撓度為:

一，BC)

Pl\c(3xlBE

yc2⑶

6EI

CD桿的伸長(zhǎng)為:

「FICD

△1?D

EA

幾何相容關(guān)系為:

△1CD=、C2+yci~%⑸

將式⑴一⑷式代入式(5)得:

FlCDPllc(3xl-Lc)Fl"FI[D

EA―6EI3EI3EI

?LBC—bAD—2iBE

__5_P__/"tfC____5__X_2_3_P___

—6EI=_______—6x24xl()6_______=P_

_

lCD_2/短___52x片__11

EA-3E/3X10-4X2X109-3x24xl06

因此:

3

rFllPl\50x103x23

=AD=n=—0.0505m=50.5mm

Jd3EI-33EI―33x24x1()6

8.21題圖8.21所示四分之一圓環(huán)，其平均半徑為R,抗彎剛度為EL

試用用莫爾定理求截面B的垂直位移與水平位移。

題圖8、21

解:

(1)求彎矩方程

B

在四分之一圓環(huán)上取一截面m-m,求截面上的彎矩方程。

在外力作用下：M(a)=-PR(1-Cosa)

水平單位力作用下：(a)=-R(l-Cosa)

水平單位力作用下：加2(。)=~RSina

⑵用莫爾積分求位移

水平位

移.4=⑻dl=雪p(1-Cosa}2da=0.356PR3

(向

JoElEIJ。~ET

右)

垂直位

PR3

移:%=J。一百一田;j^(l-Cosa)Sinada=

TEI

(向下)

8、23外伸梁受力作用如題圖8、23所示，梁的抗彎剛度為EI,使用

圖形互乘法計(jì)算外伸端D的撓度。

題圖8、23

解：

(1)求支座反力

R+R=qa,

AB59

0a>=>RA=-~qa,=~qa

SA/(B)=2aRA+2qa~+qa—=O

⑵畫彎矩圖

實(shí)際載荷與在D點(diǎn)單位力的彎矩圖如下所示:

3ga’

(3)圖形互乘法

a

=3，①i

248

3a13a3293

氏2=~^2=------qa=—qa

25440

1412a1213

“C3----4,COo=------qa=—qa

1525210

聲_3〃11213

%4=—^4=-a—qa=-qa

326

1,a5qcr3a9鼻3a13、7g/

二.yD=——(——---------qa+qa)=-----

°EI385404624E7

9、7在題圖9、7所示各單元中，使用解析法與圖解法求斜截面ab上

的應(yīng)力，應(yīng)力單位為MPa。

crx=lOOMPa,crv=50MPa

解：如圖所示，nAM

rn.=0,a=60

(1)解析法

crx+avcrx-av

%-----H--------cos2a-rrvsin2a

22孫

100+50100-50

二(cos120"-0)MPa=62.5MPa

22

b—b.100—50

T=—------sin2a+cos2a=(-------sin120"+0)MPa

a

2孫2

=21.7MPa

(2)圖解法

作應(yīng)力圓如下圖所示。從圖中可量的2點(diǎn)的坐標(biāo)，此坐標(biāo)便就是

%與Ta的數(shù)值。

9、8已知如題圖9、8所示各單元的應(yīng)力狀態(tài)(應(yīng)力單位為MPa)。試

求

(1)主應(yīng)力之值及其方向，并畫在單元體上；

(2)最大剪應(yīng)力之值。

(b)

解:

=Z1P；3土白?4+202

=V30

-20

所以0=3()MP〃,%=0,<T3=-20MP。，方向如上圖所示。

2r2*20_4

tan24=-------------

by-10-203

2a=arctan—

3

30+20

=25MPa

2~

9、11鋼制受力構(gòu)件，其危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)如題圖9、11所示，已知

[<r]=160MPa,試用第三強(qiáng)度理論校核其強(qiáng)度。

如題圖9、11

解：

5x=-40MPa,'Txy=-40MPa

a.=AOMPa

由圖可知，巴就是主應(yīng)力(剪應(yīng)力為0)

=24J2MPa,a3=—64.72MP”

-40+0I-40-0所以，

+2+402

按2"V2照第三強(qiáng)度理論

J24.72MPa

―1-64.72MPa

②—cr3=l04.72A/Pa<160A/Pa合格。

9、14設(shè)地層為石灰?guī)r，如題圖9、14所示，泊松比口=0、2,單位體積

3

重丫=25kN/m0試計(jì)算離地面400m深處的主應(yīng)力。

400m

I"/1IZ

訂

解：

=-/(^/m3)x40()(m)=-1.0xl07(^/m2)=-l()(MP?)

2=。2(D

由于單元體在地下某平面的四周受到均勻壓力，所以，

1&=°

因此：

￡]=工。-4(4+%)=°(2)

E

由式(1)與⑵解得，

0.2x(-10)

cr,==---------=-2.5MPa

1-〃1-0.2

9、17已知圓直徑a二10cm,受力如題圖9、17所示，今測(cè)得圓軸表面

的軸向應(yīng)變％=3x104,與軸線成45°方向的應(yīng)變

/5=7375xICT一圓軸材料E=22GPa,〃=0、25,許用應(yīng)

力，[b]=120GRz,試用第三強(qiáng)度理論校核軸的強(qiáng)度。

由于就是拉伸與扭轉(zhuǎn)的組合變形，橫截面上僅有正應(yīng)力與剪應(yīng)

力。如下圖所示

(1)求正應(yīng)力

在軸向方向放置的單元體上(上圖b),只有X方向上有正應(yīng)力，

由廣義胡克定理：

品。=4?-4億+?)]

E

5

解得：crv==2xl0x3xlO^=60M