2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)高橋中學(xué)高三（上）第一次段考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)高橋中學(xué)高三（上）第一次段考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為(

)A.y=lnx B.y=tanx C.y=x3+x2.如圖，直角坐標(biāo)系中有4條圓錐曲線Ci(i=1,2,3,4)，其離心率分別為ei.則4條圓錐曲線的離心率的大小關(guān)系是A.e2<e1<e4<e3.下列命題錯誤的是(

)A.兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1

B.設(shè)ξ～B(n,p)，若E(ξ)=30，D(ξ)=20，則n=90

C.線性回歸直線y?=b?x+a?一定經(jīng)過樣本點的中心(x?,y?)

D.一個袋子中有4.現(xiàn)定義如下：當(dāng)x∈(n,n+1)時(n∈N)，若f(x+1)=f′(x)，則稱f(x)為延展函數(shù).現(xiàn)有，當(dāng)x∈(0,1)時，g(x)=ex與?(x)=x10均為延展函數(shù)，則以下結(jié)論(

)

(1)存在y=kx+b(k,b∈R；k，b≠0)與y=g(x)有無窮個交點

(2)存在y=kx+b(k,b∈R；k，b≠0)與A.(1)(2)都成立 B.(1)(2)都不成立 C.(1)成立(2)不成立 D.(1)不成立(2)成立二、填空題：本題共12小題，共54分。5.若集合A={0,2,4}，B={1,2,3}，則A∪B=______．6.拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程是________。7.已知tanα=3，則tan(α?π4)=8.在某項測量中，其測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(3,σ2)(σ>0)，且P(ξ>4)=15，則9.已知a、b∈R，方程x2?ax+b=0的一個根為3?i(i為虛數(shù)單位)，則a=______．10.△ABC的內(nèi)角A、B、C所對邊長分別為a、b、c，面積為S，且a2+b2?11.已知向量a=(1,1)，b=(2,?1)，則b在a方向上的投影向量為______．12.若直線x+y+a=0與曲線y=x?2lnx相切，則實數(shù)a的值為______．13.在數(shù)列{an}中，a1=2，且a14.盲盒是指消費者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的商品盒子.已知某盲盒產(chǎn)品共有3種玩偶，小明購買4個盲盒，則他能集齊3種玩偶的概率是

．15.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F1，左焦點為16.a1=2，a2=4，a3=8，a4=16，任意b1，b2，b三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知sin2A+sin2C=sin2B+sinAsinC．

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若△ABC18.(本小題14分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AC=BC，PA=PB，且點C在以點O為圓心AB為直徑的半圓AB上．

(1)求證：AB⊥PC；

(2)若AC=2，且PC與平面ABC所成角為π4，求點B到平面PAC的距離．19.(本小題14分)

跑步是人們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷囊环N鍛煉方式，其可以提高人體呼吸系統(tǒng)和心血管系統(tǒng)機能，抑制人體癌細(xì)胞生長和繁殖.為了解人們是否喜歡跑步，某調(diào)查機構(gòu)在一小區(qū)隨機抽取了40人進行調(diào)查，統(tǒng)計結(jié)果如下表．喜歡不喜歡合計男12820女101020合計221840(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷能否有95%的把握認(rèn)為人們對跑步的喜歡情況與性別有關(guān)？

附：χ2=n(ad?bc)P(0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828(2)該小區(qū)居民張先生每天跑步或開車上班，據(jù)以往經(jīng)驗，張先生跑步上班準(zhǔn)時到公司的概率為23，張先生跑步上班遲到的概率為13對于下周(周一～周五)上班方式張先生作出如下安排：周一跑步上班，從周二開始，若前一天準(zhǔn)時到公司，當(dāng)天就繼續(xù)跑步上班，否則，當(dāng)天就開車上班，且因公司安排，周五開車去公司(無論周四是否準(zhǔn)時到達(dá)公司).設(shè)從周一開始到張先生第一次開車去上班前跑步上班的天數(shù)為X，求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望E(X)20.(本小題18分)

阿基米德(公元前287年—公元前212年，古希臘)不僅是著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面積等于2π，且橢圓C的焦距為23.點P(4,0)、Q(0,2)分別為x軸、y軸上的定點．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點R為橢圓C上的動點，求三角形PQR面積的最小值，并求此時R點坐標(biāo)；

(3)直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，已知A關(guān)于y軸的對稱點為M，B點關(guān)于原點的對稱點為N21.(本小題18分)

已知函數(shù)f(x)=eax?x?1

(1)當(dāng)a=1時，求函數(shù)f(x)的極值；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若對任意的實數(shù)k，b，函數(shù)y=f(x)+kx+b與直線y=kx+b總相切，則稱函數(shù)f(x)為“恒切函數(shù)”.當(dāng)a=1時，若函數(shù)g(x)=ex2參考答案1.C

2.C

3.D

4.D

5.{0,1,2,3,4}

6.x=?2

7.128.45

9.6

10.π411.(112.?2

13.4

14.4915.516.48

17.解：(1)由正弦定理得a2+c2=b2+ac，

又由余弦定理得cosB=a2+c2?b22ac=ac2ac=12，

因為B是三角形內(nèi)角，所以B=π3；18.解：(1)證明：連接OP，OC，

∵PA=PB，AC=BC，∴AB⊥OP，AB⊥OC，

∵OP∩OC=O，∴AB⊥平面OPC，

∵PC?平面OPC，∴AB⊥PC．

(2)由(1)得，∵AB⊥OP，且平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，

∴OP⊥平面ABC，∴PC與平面ABC所成角為∠PCO=π4，∴OC=OP，

∵點C在以點O為圓心，AB為直徑的半圓AB上，AC=BC=2，

∴OC=OP=OA=OB=2，PA=AC=PC=2，

設(shè)點B到平面PAC的距離為?，

∵VP?ABC=VB?PAC19.解：(1)假設(shè)H0：人們對跑步的喜歡情況與性別無關(guān)，

根據(jù)題意，由2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，

可得χ2=40×(12×10?8×10)220×20×22×18=4099≈0.4040<3.841，

因為P(χ2≥3.841)=0.050，不能推斷假設(shè)H0不成立，

所以沒有95%認(rèn)為人們對跑步的喜歡情況與性別有關(guān)聯(lián)；

(2)X的所有可能取值分別為1，2，3，4，X1234P1248所以E(X)=1×1320.(1)解：由題意知，橢圓的面積知abπ=2π，

得ab=2，

又2c=23，

所以ab=2c=3a2=b2+c2，

解得a=2b=1，

所以橢圓C的方程為x24+y2=1；

(2)由題意得，直線PQ方程為x4+y2=1，

即x+2y?4=0，

設(shè)R(2cosθ,sinθ)(θ為參數(shù))，

則點R到直線PQ的距離為d=|2cosθ+sinθ?4|5=|22sin(θ+π4)?4|5，

當(dāng)sin(θ+π4)=1，

即θ+π4=π2，

即θ=π4時，d取得最小值，且最小值為4?225，

所以△PQR的面積的最小值為Smin=12d|PQ|=12?4?225?25=4?22，

此時R(2,22)．

(3)設(shè)直線l：x=my+t，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

則M(?x1,y1)，21.解：(1)函數(shù)f(x)=eax?x?1，f′(x)=aeax?1，

當(dāng)a=1時，f′(x)=ex?1，

∴f′(0)=0，當(dāng)x<0時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>0時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

故f(x)有極小值f(0)=0，無極大值．

(2)由f(x)=eax?x?1，得f′(x)=aeax?1，

當(dāng)a>0時，aeax?1=0，eax=1a，x=ln1aa=?lnaa，

∴f′(?lnaa)=0，且f′(x)=aeax?1為增函數(shù)，

∴x>?lnaa時，f′(x)>0，f(x)在(?lnaa,+∞)單調(diào)遞增；

x<?lnaa時，f′(x)<0，f(x)在(?∞,?lnaa)單調(diào)遞減；

當(dāng)a≤0時，f′(x)=aeax?1≤?1，f(x)在