2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時素養(yǎng)檢測十三第二章一元二次函數(shù)方程和不等式2.2.2基本不等式的應(yīng)用含解析新人教A版必修第一冊

PAGE課時素養(yǎng)檢測十三基本不等式的應(yīng)用(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.已知x≥QUOTE,則y=QUOTE有 ()A.最大值QUOTE B.最小值QUOTEC.最大值1 D.最小值1【解析】選D.y=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因為x≥QUOTE,所以x-2>0,所以QUOTE≥QUOTE·2QUOTE=1,當(dāng)且僅當(dāng)x-2=QUOTE,即x=3時取等號,故y的最小值為1.2.已知正數(shù)x,y滿意x+2y-xy=0,則x+2y的最小值為 ()A.8 B.4 C.2 D.0【解析】選A.由x+2y-xy=0,得QUOTE+QUOTE=1,且x>0,y>0.所以x+2y=(x+2y)×QUOTE=QUOTE+QUOTE+4≥4+4=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時等號成立.3.將一根鐵絲切割成三段做一個面積為2m2、形態(tài)為直角三角形的框架,在下列四種長度的鐵絲中,選用最合理(夠用且奢侈最少)的是 ()A.6.5m B.6.8m C.7m D.7.2【解析】選C.設(shè)兩直角邊分別為a,b,直角三角形的框架的周長為l,則QUOTEab=2,所以ab=4,l=a+b+QUOTE≥2QUOTE+QUOTE=4+2QUOTE≈6.828(m).因為要求夠用且奢侈最少,所以選7m最合理.4.若對隨意x>0,QUOTE≤a恒成立,則a的取值范圍是 ()A.a≥QUOTE B.a>QUOTE C.a<QUOTE D.a≤QUOTE【解析】選A.因為對隨意x>0,QUOTE≤a恒成立,所以對x∈(0,+∞),a≥QUOTE,而對x∈(0,+∞),QUOTE=QUOTE≤QUOTE=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)x=QUOTE時等號成立,所以a≥QUOTE.5.若a>0,b>0,且a+b=4,則下列不等式恒成立的是 ()A.QUOTE≤QUOTE B.QUOTE+QUOTE≤1C.QUOTE≥2 D.a2+b2≥8【解析】選D.4=a+b≥2QUOTE(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立),即QUOTE≤2,ab≤4,QUOTE≥QUOTE,選項A,C不成立;QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE≥1,選項B不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8.6.若正實數(shù)x,y,z滿意x2-3xy+4y2-z=0,則當(dāng)QUOTE取得最大值時,QUOTE+QUOTE-QUOTE的最大值為()A.0 B.1 C.QUOTE D.3【解析】選B.由已知得z=x2-3xy+4y2,(*)則QUOTE=QUOTE=QUOTE≤1,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時取等號,把x=2y代入(*)式,得z=2y2,所以QUOTE+QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE-QUOTE=-QUOTE+1≤1.二、填空題(每小題5分,共10分)7.已知a>b>c且QUOTE+QUOTE≥QUOTE恒成立,則實數(shù)m的最大值為________.

【解析】由題意得,a-b>0,b-c>0,a-c>0,因為QUOTE+QUOTE≥QUOTE,所以QUOTE+QUOTE≥m,即QUOTE+QUOTE≥m,又2+QUOTE+1+QUOTE≥3+2QUOTE(當(dāng)且僅當(dāng)a-b=QUOTE(b-c)時取等號).所以實數(shù)m的最大值為3+2QUOTE.答案:3+2QUOTE8.周長為QUOTE+1的直角三角形面積的最大值為________.

【解析】設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長分別為a、b,則QUOTE+1=a+b+QUOTE≥2QUOTE+QUOTE,解得ab≤QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=QUOTE時取“=”,所以直角三角形面積S≤QUOTE,即S的最大值為QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知a>b>0,求a2+QUOTE的最小值.【解析】因為a>b>0,所以a-b>0,a2+QUOTE≥a2+QUOTE=a2+QUOTE≥2QUOTE=4,當(dāng)且僅當(dāng)b=a-b,a2=2,a>b>0,即a=QUOTE,b=QUOTE時取等號,所以a2+QUOTE的最小值是4.10.某品牌電腦體驗店預(yù)料全年購入360臺電腦,已知該品牌電腦的進(jìn)價為3000元/臺,為節(jié)約資金確定分批購入,若每批都購入x(x∈N*)臺,且每批需付運費300元,儲存購入的電腦全年所付保管費與每批購入電腦的總價值(不含運費)成正比(比例系數(shù)為k),若每批購入20臺,則全年需付運費和保管費7800元.(1)記全年所付運費和保管費之和為y元,求y關(guān)于x的函數(shù).(2)若要使全年用于支付運費和保管費的資金最少,則每批應(yīng)購入電腦多少臺?【解析】(1)由題意,得y=QUOTE×300+k×3000x.當(dāng)x=20時,y=7800,解得k=0.04.所以y=QUOTE×300+0.04×3000x=QUOTE×300+120x(x∈N*).(2)由(1),得y=QUOTE×300+120x≥2QUOTE=2×3600=7200.當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=120x,即x=30時,等號成立.所以要使全年用于支付運費和保管費的資金最少,每批應(yīng)購入電腦30臺.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)1.已知a<b,則QUOTE+b-a的最小值為 ()A.3 B.2 C.4 D.1【解析】選A.因為a<b,所以b-a>0,由基本不等式可得QUOTE+b-a=1+QUOTE+(b-a)≥1+2QUOTE=3,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=b-a(b>a),即當(dāng)b-a=1時,等號成立,因此,QUOTE+b-a的最小值為3.2.已知a>0,b>0,QUOTE+QUOTE=QUOTE,若不等式2a+b≥9m恒成立,則m的最大值為 ()A.8 B.7 C.6 D.5【解析】選C.由已知,可得6QUOTE=1,所以2a+b=6QUOTE·(2a+b)=6QUOTE≥6×(5+4)=54,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE時等號成立,所以9m≤54,即m≤6.3.(多選題)已知a,b∈(0,+∞),且a+b+QUOTE+QUOTE=5,則a+b的 ()A.最大值是3 B.最大值是4C.最小值是2 D.最小值是1【解析】選BD.因為a+b+QUOTE+QUOTE=(a+b)QUOTE=5,又a,b∈(0,+∞),所以a+b=QUOTE≤QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立,即(a+b)2-5(a+b)+4≤0,解得1≤a+b≤4.4.已知a>0,b>0,若不等式QUOTE+QUOTE≥QUOTE恒成立,則m的最大值等于 ()A.10 B.9 C.8 D.7【解析】選B.因為a>0,b>0,所以QUOTE+QUOTE≥QUOTE?QUOTE+QUOTE=5+QUOTE+QUOTE≥m,由a>0,b>0得,QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=4(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”).所以5+QUOTE+QUOTE≥9,所以m≤9.二、填空題(每小題5分,共20分)5.若實數(shù)x,y滿意xy=1,則x2+2y2的最小值為________.

【解析】因為x2+2y2≥2QUOTE=2QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)x=QUOTEy時取“=”,所以x2+2y2的最小值為2QUOTE.答案:2QUOTE6.若點A(-2,-1)在直線mx+ny+1=0上,其中mn>0,則QUOTE+QUOTE的最小值為________.

【解析】因為點A(-2,-1)在直線mx+ny+1=0上,所以2m+n=1,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=4+QUOTE≥8.答案:87.若a,b∈R,ab>0,則QUOTE的最小值為________.

【解析】因為a,b∈R,ab>0,所以QUOTE≥QUOTE=4ab+QUOTE≥2QUOTE=4,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE即QUOTE時取得等號.答案:48.一批貨物隨17列貨車從A市以v千米/小時勻速直達(dá)B市,已知兩地鐵路途長400千米,為了平安,兩列貨車的間距不得小于QUOTE千米,那么這批貨物全部運到B市,最快須要________小時.

【解析】設(shè)這批貨物從A市全部運到B市的時間為t,則t=QUOTE=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=8(小時),當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即v=100時等號成立,此時t=8小時.答案:8三、解答題(每小題10分,共20分)9.是否存在正實數(shù)a和b,同時滿意下列條件:①a+b=10;②QUOTE+QUOTE=1(x>0,y>0)且x+y的最小值為18,若存在,求出a,b的值;若不存在,說明理由.【解析】因為QUOTE+QUOTE=1,所以x+y=(x+y)QUOTE=a+b+QUOTE+QUOTE≥a+b+2QUOTE=(QUOTE+QUOTE)2,又x+y的最小值為18,所以(QUOTE+QUOTE)2=18.由QUOTE得QUOTE或QUOTE故存在實數(shù)a=2,b=8或a=8,b=2滿意條件.10.志愿者團(tuán)隊要設(shè)計一個如圖所示的矩形隊徽ABCD,已知點E在邊CD上,AE=CE,AB>AD,矩形的周長為8.(1)設(shè)AB=x,試用x表示出圖中DE的長度,并求出x的取值范圍.(2)安排在△ADE區(qū)域涂上藍(lán)色代表星空,假如要使△ADE的面積最大,那么應(yīng)怎樣設(shè)計隊徽的長和寬.【解析】(1)由題意可得AD=4-x,且x>4-x>0,可得2<x<4,