河北省張家口市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月階段測試試題含解析

PAGE河北省張家口市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月階段測試試題（含解析）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡集合，再由交集和并集運(yùn)算得出答案.【詳解】則，故選：C2.已知數(shù)列，，均為等差數(shù)列，且，，則（）A.4037 B.4039 C.4041 D.4043【答案】B【解析】【分析】由等差數(shù)列的定義知數(shù)列仍舊是等差數(shù)列，求出它的公差后可得通項公式．【詳解】數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列，是等差數(shù)列，則（是常數(shù)）仍舊是等差數(shù)列．3.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通過中間量比較大小即可.【詳解】故選：A.4.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若的面積為.且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意即可得出：，兩式相除即可得出，依據(jù)三角形內(nèi)角的取值范圍即可得到的值.【詳解】因?yàn)?，，兩式相除得，因?yàn)?，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)解三角形的問題，解題方法如下：（1）依據(jù)三角形的面積公式列出等量關(guān)系；（2）依據(jù)向量數(shù)量積定義式列出等量關(guān)系；（3）聯(lián)立求得，結(jié)合三角形內(nèi)角的取值范圍求得結(jié)果.5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)三視圖作出幾何體的直觀圖，再利用柱體與錐體的體積公式即可求解.【詳解】由幾何體的三視圖，可以得到該幾何體，其中一邊為圓錐的一半，另一邊為圓柱的一半，作出幾何體的直觀圖，如下：圓柱、圓錐的底面半徑均為，高均為，則幾何體的體積.故選：D6.圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教化大會()的會徽圖案，它是由一串直角三角形演化而成的(如圖2)，其中，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知求出圖形中各線段長后，由直角三角形得出和的正弦、余弦值，然后可由兩角和的正弦公式得出結(jié)論．【詳解】∵，且是直角三角形，∴，同理得，，，，，，∴.故選：A．7.在三棱柱，底面為等邊三角形，側(cè)面是菱形，且，側(cè)面底面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則直線與平面所成的角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出圖形，作出線面角，依據(jù)幾何關(guān)系即可獲解.【詳解】如圖，過作，垂足為，連接.因?yàn)閭?cè)面底面，且側(cè)面底面，所以平面所以為直線與平面所成的角，

設(shè)，因?yàn)閭?cè)面是菱形,且所以

則

從而

故故選：C.【點(diǎn)睛】求直線與平面所成的角的一般步驟：①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；②計算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解．8.設(shè)是定義在上的函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，已知，，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知條件得函數(shù)為偶函數(shù)，引入，利用導(dǎo)數(shù)可得上為增函數(shù)，結(jié)合可解不等式，從而得在上的解，再由偶函數(shù)得出結(jié)論．【詳解】由，可知為偶函數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，則，當(dāng)時.所以在上單調(diào)遞增，又，即.所以由可得，此時又為偶函數(shù)，所以在上的解集為.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的奇偶性與單調(diào)性，考查由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，具有奇偶性的函數(shù)的不等式求解時，假如是偶函數(shù)，可利用單調(diào)性求出上的解，然后再利用奇偶性得出上的解集，假如是奇函數(shù)可由奇函數(shù)定義得出函數(shù)在上的單調(diào)性，然后由單調(diào)性解不等式．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合要求，全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的或不選的得0分.9.若命題“，”是假命題，則的值可能為（）A. B.1 C.4 D.7【答案】BC【解析】【分析】首先寫出特稱命題的否定，依據(jù)命題“，”是真命題，依據(jù)恒成立，探討的取值，求參數(shù)的取值.【詳解】由題可知，命題“，”是真命題，當(dāng)時，或.若，則原不等式為，恒成立，符合題意；若，則原不等式為，不恒成立，不符合題意.當(dāng)時，依題意得.即解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:BC.【點(diǎn)睛】本題考查存在量詞命題否定的應(yīng)用，重點(diǎn)考查分類探討的思想，運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題型.10.將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，得到的圖像，則（）A.在上是減函數(shù) B.C.是奇函數(shù) D.在上有4個零點(diǎn)【答案】AD【解析】【分析】依據(jù)余弦函數(shù)在上的單調(diào)性推斷A；取推斷B；依據(jù)定義推斷是偶函數(shù)；由與的圖象的交點(diǎn)個數(shù)確定在上零點(diǎn)個數(shù)，從而推斷D.【詳解】當(dāng)時，，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上是減函數(shù)，故A正確；當(dāng)時，，，故B錯誤；由題意可知，則函數(shù)是偶函數(shù)，故C錯誤；令，則，令函數(shù)與的圖象如下圖所示由圖可知，函數(shù)與的圖象有4個交點(diǎn)，即在上有4個零點(diǎn)，故D正確；故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在求在上的零點(diǎn)個數(shù)時，關(guān)鍵是將零點(diǎn)個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個數(shù).11.在長方體中，，，點(diǎn)在線段上，為的中點(diǎn)，則（）A.平面B.當(dāng)為的中點(diǎn)時，四棱錐外接球半徑為C.三棱錐體積為定值D.過點(diǎn)作長方體的外接球截面，所得截面圓的面積的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】利用線面垂直的判定定理可推斷A選項的正誤；推斷出四棱錐為正四棱錐，求出該四棱錐的外接球半徑，可推斷B選項的正誤；利用等體積法可推斷C選項的正誤；計算出截面圓半徑的最小值，求出截面圓面積的最小值，可推斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，因?yàn)?，所以，矩形為正方形，所以，，在長方體中，底面，平面，，，、平面，所以，平面，A選項正確；對于B選項，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時，，同理可得，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，四棱錐為正四棱錐，取的中點(diǎn)，則平面，且四棱錐的外接球球心在直線上，設(shè)該四棱錐外接球半徑為，由幾何關(guān)系可得，即，解得，B選項錯誤；對于C選項，，三棱錐的高為，因此，，C選項正確；對于D選項，設(shè)長方體的外接球球心為，則為的中點(diǎn)，連接、，則，，、分別為、的中點(diǎn)，則，平面，平面，平面，，.過點(diǎn)作長方體的外接球截面為平面，點(diǎn)到平面的距離為，直線與平面所成的角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，長方體的外接球半徑為，所以，截面圓的半徑，因此，截面圓面積的最小值為，D選項正確.

故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必定是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個頂點(diǎn)距離均相等點(diǎn)為外接球的球心，借助有特別性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心肯定在垂線上，再依據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可.12.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸樽匀坏讛?shù)，給出下列結(jié)論：①是奇函數(shù)；②是上的增函數(shù)；③在上的值域是；④在上有實(shí)根，其中正確的結(jié)論是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)奇函數(shù)的定義可知①正確；依據(jù)導(dǎo)數(shù)學(xué)問可知②正確；依據(jù)單調(diào)性求出值域，可知③正確；構(gòu)造函數(shù)依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的符號可知④錯誤.【詳解】因?yàn)?，所以①正確；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以是上的增函數(shù)；所以②正確；為在上是增函數(shù)，所以，所以在上的值域是，所以③正確；令，明顯是上的增函數(shù)，因?yàn)?，，所以在上沒有零點(diǎn)，即在上沒有實(shí)數(shù)根，④錯誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：駕馭函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、值域的求法是解題關(guān)鍵.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】先求出集合A，在依據(jù)包含關(guān)系列出不等式即可求出.【詳解】可得，，，解得.故答案為：.14.在四面體中，，，，則點(diǎn)到平面的距離是__________.【答案】【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，證得平面，進(jìn)而得到平面，過作，證得平面，得到為點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，在中，因?yàn)?，所以，在中，因?yàn)?，所以，因?yàn)榍移矫?，所以平面，又由平面，所以平面，過作，垂足為，可得平面，所以為點(diǎn)到平面的距離，在直角中，，可得，又由，所以為等腰三角形，所以為的中點(diǎn)，在直角中，，可得，在直角中，，所以，所以點(diǎn)到平面的距離.故答案為：.15.已知正數(shù)，滿意，則的最小值為________.【答案】24【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡得，再結(jié)合基本不等式“1”的妙用即可求解【詳解】由可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號.故答案為：24【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)運(yùn)算及基本不等式，屬于基礎(chǔ)題16.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，則外接圓面積的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】化簡，得到，然后，利用基本不等式成立得條件，求出此時的，得到外接圓的半徑為，進(jìn)而推斷的范圍即可求解【詳解】因?yàn)?，，所以?dāng)且僅當(dāng)，時，此時，，外接圓的半徑等于，，又因?yàn)?，所以，則，外接圓的面積為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查邏輯推理實(shí)力.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.在①，②，為的中點(diǎn)，③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的長；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在，在中，，點(diǎn)在線段上，，_______？注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】答案見解析【解析】【分析】選擇條件①：由余弦定理可得，進(jìn)而可得，再由正弦定理即可得解；選擇條件②：由正弦定理可得，進(jìn)而可得，再由余弦定理即可得解；選擇條件③：由余弦定理得，進(jìn)而可得，再由正弦定理即可得解.【詳解】選擇條件①：，，在中，由余弦定理可得，又，∴，在中，由正弦定理得，∴；選擇條件②：在中，由可得，又為的中點(diǎn)，∴，在中，由余弦定理得，∴，∴；選擇條件③：在中，由余弦定理可得，即，則，，，在中，由正弦定理得，可得.18.已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，為，的等差中項.且.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由等差中項的性質(zhì)列出關(guān)系式，解出的值，再代入，解出的值，可求出數(shù)列的通項公式；（2）由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和等差數(shù)列前項和計算，代入可得，裂項相消法求前項和即可.【詳解】（1）∵為、的等差中項，∴，即，且，，又；（2），.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列基本量的計算和裂項相消法求和，屬于基礎(chǔ)題.易錯點(diǎn)睛：裂項相消求和須要留意裂項時常數(shù)的配湊和消項時前后項剩余的項數(shù).19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及的值；（2）若關(guān)于的方程，在上有3個解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）綻開即可化簡；（2）方程解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖像的交點(diǎn)問題即可.【詳解】（1），所以的最小正周期；；（2）因?yàn)椋?，即，?dāng)時，由圖像可知，，解得，即的取值范圍為.20.如圖，四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，點(diǎn)，分別在棱，上，且.（1）證明平面；（2）求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明線面平行；（2）由計算可得；【詳解】（1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過垂直于的直線為軸所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為∴，取，則，，，∴平面；（2），由（1）知，21.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，垂直于和，側(cè)棱底面，為中點(diǎn)，且，.（1）求證：平面；（2）求四棱錐體積；（3）求面與面所成二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）結(jié)合線面垂直的定義和線面垂直的判定定理可證明；（2）利用棱錐的體積公式可求出體積；（3）建立平面直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，又由圖形可知平面的法向量為，利用向量的余弦公式可求出二面角的余弦值.詳解】（1）∵平面，平面，∴，又，，所以平面，又平面，，為中點(diǎn)，∴平面；（2）；（3）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系得，設(shè)平面的法向量為則，得，令平面和平面所成的二面角為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明以及求二面角的平面角的余弦值，屬于基礎(chǔ)題.方法點(diǎn)睛：（1）線面垂直可以用線面垂直的判定定理，證明一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；（2）線面垂直也可以用面面垂直的性質(zhì)定理，若兩個平面垂直，則其中一個平面內(nèi)垂直交線的直線和另一個平面垂直.22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若關(guān)于的方程在上恰有三個不同的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，然后求得，再由點(diǎn)