2024～2025學年度八年級數(shù)學上冊11.1.2 三角形的高、中線與角平分線 11.1.3 三角形的穩(wěn)定性教學設計

11.1.2三角形的高、中線與角平分線11．1.3三角形的穩(wěn)定性教學目標課題11.1.2三角形的高、中線與角平分線11.1.3三角形的穩(wěn)定性授課人素養(yǎng)目標1.理解三角形的中線、高線、角平分線等概念，了解三角形重心的概念，會畫出任意三角形的中線、高線、角平分線，進一步提升學生的幾何直觀感知能力.2.了解三角形的穩(wěn)定性．教學重點理解三角形的高、中線與角平分線．教學難點1.三角形的高、中線、角平分線的區(qū)別.2.探究三角形三條高所在的直線、三條中線、三條角平分線分別交于一點的過程.教學活動教學步驟師生活動活動一：復習舊知，溫故知新設計意圖復習鞏固舊知，為引入三角形的三條重要線段做準備.【情境引入】我們一起回顧下垂線、線段中點和角平分線的概念：這節(jié)課我們將在三角形中對以上概念做進一步的探討，想知道它們在三角形中是什么樣的嗎？我們看一下下面這張圖.把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的頂點A上，再把橡皮筋的另一端從點B沿著BC邊移動到點C.觀察移動過程中形成的無數(shù)條線段(AD，AE，AF，AG，…)中有沒有特殊位置的線段？你認為有哪些特殊位置？通過上圖想必你心中一定有自己的答案了，那它們各自又發(fā)揮了什么作用呢？快讓我們一起在本課時的學習中找尋答案吧！【教學建議】教師可指定學生代表回答，提出問題，在進入新課之前讓學生看圖聯(lián)想在三角形中結合這幾個概念時的情形，也可以通過操作模擬實驗，得到更為直觀的感觸，學生通過后面的學習印證猜想，加深印象.活動二：動手操作，探究新知設計意圖引導學生動手畫圖，自然引入到已經學過的三角形的高的概念，并探究各種形狀的三角形中高的情況，加深理解.探究點1三角形的高問題1我們在上一活動中已經復習了垂線的概念，你還記得如何“過一點畫已知直線的垂線”嗎？請在下圖中過點A畫線段BC所在直線l的垂線．這條垂線段是什么？教學步驟師生活動幾何符號語言：∵AD是△ABC的高,∴∠BDA=∠CDA=90°.反之，∵∠BDA=90°(或∠CDA=90°），∴AD是△ABC的高.問題2用同樣方法，你能畫出△ABC的另兩條邊上的高嗎？你有什么發(fā)現(xiàn)？如圖所示.△ABC的三條高相交于一點.問題3不難發(fā)現(xiàn)，上面的△ABC是銳角三角形，那么當△ABC是直角三角形時，你能畫出△ABC的三條高嗎？又有怎樣的發(fā)現(xiàn)？如圖所示．△ABC的三條高相交于一點，這一點是直角頂點.直角邊BC邊上的高是AB；直角邊AB邊上的高是BC；斜邊AC邊上的高是BD.問題4當△ABC是鈍角三角形時，你能畫出△ABC的三條高嗎？又有怎樣的發(fā)現(xiàn)？如果將三條高延長呢？如圖所示．△ABC的三條高沒有交點，但三條高所在直線相交于一點，這一點在△ABC外.歸納總結：任意三角形都有三條高，它們所在的直線相交于同一點.【對應訓練】教材P5練習第1題．【教學建議】學生從自主動手畫圖入手，根據設置的問題逐步深入，可以使學生對三角形的高的各種情形有一個更直觀的了解和清晰的印象．尤其在畫鈍角三角形的三條高時，有兩個垂足落在邊的延長線上，學生自行嘗試，能在實踐中更加深刻地理解．在學習三角形的高時，畫鈍角三角形的高也是一個易錯點，作圖時要緊密聯(lián)系概念“從三角形的一個頂點向它所對的邊所在直線作垂線”，找準要作的是哪條邊上的高，并注意和學生強調以免混淆：三角形的高是線段，所以鈍角三角形的三條高是沒有交點的，是它們所在的直線交于一點.設計意圖引入三角形的中線的概念，并探究各種形狀的三角形的中線的情況，引入重心的概念．學生根據設置的問題動手畫圖，探究點2三角形的中線問題1如圖，在△ABC中，你能否想一種方法找到邊BC的中點的位置？可以用直尺量取線段BC的長度，以點B(或點C)為圓心，以BC的一半長為半徑作弧交BC于點D，則點D即為邊BC的中點．概念引入：連接△ABC的頂點A和它所對的邊BC的中點D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC教學步驟師生活動探究新知，感悟分類討論的數(shù)學思想.上的中線．幾何符號語言：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD＝eq\f(1,2)BC.反之，∵BD＝CD(或BD＝eq\f(1,2)BC，或CD＝eq\f(1,2)BC)，∴AD是△ABC的中線．問題2用同樣方法，你能畫出△ABC的另兩條邊上的中線嗎？如圖所示．問題3分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條中線．認真觀察，你可得到什么結論？如圖所示．歸納總結：三角形的三條中線相交于一點.三角形三條中線的交點叫做三角形的重心．三角形的重心的實際意義：取一塊質地均勻的三角形木板，頂住三條中線的交點，木板會保持平衡，這個平衡點就是這塊三角形木板的重心．【對應訓練】教材P5練習第2(1)題．【教學建議】學生經過思考、交流后，歸納出三角形三條中線交于一點的性質，教師直接告知這個結論是對的，不需要證明．三角形的中線除了具有平分邊的性質外，還平分三角形的面積，以及分割的兩個三角形的周長間也存在一定關系，后面的備課素材里有相應例題，教師可根據時間安排選講設計意圖引導學生動手折紙操作，引入三角形的角平分線的概念，探究各種形狀的三角形的三條角平分線的情況，并對三角形的三條重要線段做一個總結歸納．探究點3三角形的角平分線做一做：在一張紙上畫出一個三角形并剪下，將它的一個角對折，使其兩邊重合．問題1如圖，AD是折痕，則∠1和∠2之間有什么數(shù)量關系？AD是∠BAC的平分線嗎？∠1＝∠2，AD是∠BAC的平分線．問題2類比三角形的高、三角形的中線，三角形的角平分線是什么？畫∠A的平分線AD，交∠A所對的邊BC于點D，所得線段AD叫做△ABC的角平分線．幾何符號語言：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠1＝∠2＝eq\f(1,2)∠BAC.反之，∵∠1＝∠2(或∠1＝eq\f(1,2)∠BAC，或∠2＝eq\f(1,2)∠BAC)，∴AD是△ABC的角平分線．問題3畫出△ABC的另兩條角平分線，觀察三條角平分線，你有什么發(fā)現(xiàn)？如圖所示．△ABC的三條角平分線交于一點．問題4分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條角平分線.認真觀察，你可得到什么結論？【教學建議】教師引導學生動手操作，初學三角形的角平分線時，從折紙入手是為了讓學生對“平分”有更深刻的理解，后面畫角平分線時既可通過折紙，沿折痕畫角平分線，也可直接通過量角器作圖(在后面第十二章深入學習角平分線的作法后，要改為尺規(guī)作圖)．在學習三角形的角平分線時，概念容易混淆，教師注意跟學生強調；角的平分線是射線，而三角形的角平分線是線段，二者不能混為一談.教學步驟師生活動如圖所示.三角形的三條角平分線交于一點，這一點位于三角形內部.歸納總結：【對應訓練】教材P5練習第2（2）題.設計意圖結合大量實例使學生了解三角形的穩(wěn)定性與四邊形的不穩(wěn)定性.探究點4三角形的穩(wěn)定性【情境引入】工程建筑中經常采用三角形的結構，如屋頂鋼架(圖①)，其中的道理是什么？蓋房子時，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條(圖②).為什么要這樣做呢？探究,如圖①，將三根木條用釘子釘成一個三角形木架，然后扭動它，它的形狀會改變嗎？如圖②，將四根木條用釘子釘成一個四邊形木架，然后扭動它，它的形狀會改變嗎？如圖③，在四邊形木架上再釘一根木條，將它的一對不相鄰的頂點連接起來，然后再扭動它，這時木架的形狀還會改變嗎？為什么？可以發(fā)現(xiàn)，三角形木架的形狀不會改變，而四邊形木架的形狀會改變．這就是說，三角形是具有穩(wěn)定性的圖形，而四邊形沒有穩(wěn)定性.【教學建議】三角形的穩(wěn)定性在生產和生活中是很有用的．在探究這一點時，教師宜在多媒體教具上舉出大量應用三角形穩(wěn)定性的例子，也可結合實際，讓學生通過實驗得出這個性質．“不穩(wěn)定”是四邊形的一個重要性質，有時候我們需要利用四邊形的不穩(wěn)定性，如活動掛架、伸縮門；有時又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在未安裝好的窗框上斜釘一根木條使其不變形，這些內容也可以讓生通過實驗和實際例子加以體會.教學步驟師生活動還可以發(fā)現(xiàn)，斜釘一根木條的四邊形木架的形狀不會改變．這是因為斜釘一根木條后，四邊形變成兩個三角形，由于三角形有穩(wěn)定性，斜釘一根木條的窗框在未安裝好之前也不會變形.三角形的穩(wěn)定性有廣泛的應用，下圖表示其中一些例子．你能再舉一些例子嗎？能．如輸電線支架、索道支架等，如下圖.四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛的應用，下圖表示其中一些例子.【對應訓練】教材P7練習.活動三：融會新知，鞏固提升設計意圖通過例題將三角形的三條重要線段綜合進一個幾何模型里考查，加深學生的理解.例如圖，在直角三角形ABC中，BC邊上有E，D，F(xiàn)三點，BD＝CD，∠BAE＝∠DAE，AF⊥BC，垂足為F.(1)以AD為中線的三角形是_________；(2)以AE為角平分線的三角形是_________；(3)以AF為高的三角形有_________個，其中鈍角三角形的個數(shù)是_________.答案：(1)△ABC(2)△ABD(3)103【教學建議】本題考查了三角形的中線、高、角平分線的概念和性質，解題的關鍵是正確理解相關概念，準確地將三者加以區(qū)分．注意圖形中線段較多，分辨時需仔細，不要混淆.活動四：隨堂訓練，課堂總結【隨堂訓練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊子相應課時隨堂訓練.【課堂總結】課堂總結師生一起回顧本節(jié)課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.什么是三角形的高？什么是三角形的中線？什么是三角形的角平分線？它們各自有何特點？2.你能畫出任意三角形的高、中線或角平分線嗎？3.你能舉出三角形具有穩(wěn)定性的相關實例嗎？教學步驟師生活動【知識結構】【作業(yè)布置】1.教材P8～9習題11.1第3，4，5，8，9，10題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應課時訓練．板書設計11.1.2三角形的高、中線與角平分線11.1.3三角形的穩(wěn)定性1.三角形的高：是線段，有3條，它們所在直線交于一點(可能在三角形內，也可能在三角形外，或是直角頂點). 2.三角形的中線：是線段，有3條，它們交于三角形內一點，這一點叫做三角形的重心. 3.三角形的角平分線：是線段，有3條，它們交于三角形內一點. 4.三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性．教學反思在學習三角形的三條線段時，從畫圖入手，分三種情況：即銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，培養(yǎng)學生形成分類討論思想，同時在學生頭腦中對這三種線段留下清晰的形象，然后結合這些具體形象敘述它們的概念以及表示方法．在學習三角形的穩(wěn)定性時，利用多媒體引導學生探尋三角形的穩(wěn)定性，進而用三角形的穩(wěn)定性解釋“為什么不易變形”，再回歸生活，運用三角形的穩(wěn)定性解釋如何解決生活中的問題.解題大招一準確識別鈍角三角形的高的方法解決此類問題的核心是緊扣三角形的高的概念，作哪條邊上的高，就是從它所對的頂點向這條邊所在直線作垂線，所得的垂線段即為高．△ABC有3個頂點A，B，C，若是找邊BC上的高，則這條高應是從排除B，C兩點的A點發(fā)出的．另外如果是識別鈍角三角形中的高，那么三條高中垂足在邊的延長線上的兩條高是從銳角頂點發(fā)出的，而垂足在三角形的邊上的高是從鈍角頂點發(fā)出的，可通過以上性質快速判斷．

例1在下列圖形中，正確畫出鈍角三角形ABC的AC邊上的高的是D解析：識別AC邊上的高，所以這條高是從頂點B發(fā)出的，而△ABC是鈍角三角形，∠B是銳角，從頂點B發(fā)出的高的垂足應落在邊CA的延長線上，結合以上性質可知選項D正確．解題大招二利用三角形的中線解決與周長有關的問題的方法三角形的中線分成的兩個三角形的周長之間的關系：例2在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分為12cm和15cm的兩部分,求△ABC的各邊長．解：設AB＝AC＝xcm，則AD＝CD＝eq\f(1,2)AC＝0.5xcm.(1)如圖①，若AB＋AD＝12cm，則x＋0.5x＝12.解得x＝8，即AB＝AC＝8cm，則CD＝4cm.故BC＝15－4＝11(cm)．此時AB＋AC＞BC，三角形存在，所以三邊長分別為8cm，8cm，11cm.(2)如圖②，若AB＋AD＝15cm，則x＋0.5x＝15.解得x＝10，即AB＝AC＝10cm，則CD＝5cm.故BC＝12－5＝7(cm)．顯然此時三角形存在，所以三邊長分別為10cm，10cm，7cm.綜上所述，△ABC的三邊長分別為8cm，8cm，11cm或10cm，10cm，7cm.解題大招三判斷圖形是否具有穩(wěn)定性的方法(1)判斷一個圖形是否具有穩(wěn)定性，就看它的基本組成部分是不是三角形．若是，則具有穩(wěn)定性；若不是，則不具有穩(wěn)定性．(2)要使除三角形外的其他多邊形具有穩(wěn)定性，需要將其分割為若干個三角形．例3如圖，小明家有一個由六條鋼管連接而成的鋼架ABCDEF，為了使這一鋼架穩(wěn)固，他計劃在鋼架的內部用三根鋼管連接使它不變形，請幫助小明解決這個問題．(用三種不同的方法畫圖說明)解：要使鋼架穩(wěn)固，需要將鋼架分割為幾個三角形，如圖所示．(答案不唯一)培優(yōu)點一利用三角形的中線解決面積問題三角形的中線分成的兩個三角形的面積之間的關系：例1如圖，△ABC的中線AD，CE相交于點F，若四邊形BDFE的面積是2，則△ACF的面積是2.分析：中線的性質：分成的兩個三角形面積相等→S△CBE＝S△ACDeq\o(→,\s\up7(面積的和差))S△ACF＝S四邊形BDFE.解析：∵CE和AD為△ABC的中線，∴AE＝BE，BD＝CD，∴S△CBE＝eq\f(1,2)S△ABC，S△ACD＝eq\f(1,2)S△ABC，∴S△CBE＝S△ACD，∴S△ACD－S△CDF＝S△CBE－S△CDF，即S△ACF＝S四邊形BDFE＝2.故答案為2.培優(yōu)點二利用面積法探究三角形中高的關系同一個三角形的面積相等，所以在三角形的任意兩條邊長和這兩條邊上的高這四個