2024～2025學(xué)年度八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第1課時(shí) 等腰三角形的性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)

13.3等腰三角形13．3.1等腰三角形第1課時(shí)等腰三角形的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)課題13.3.1第1課時(shí)等腰三角形的性質(zhì)授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.探索并證明等腰三角形的性質(zhì)：(1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等(“等邊對(duì)等角”)；(2)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(“三線合一”).2.運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明和計(jì)算.3.經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、論證的過程，體會(huì)等腰三角形性質(zhì)的幾何證明的邏輯嚴(yán)密性與科學(xué)性，提升推理能力.教學(xué)重點(diǎn)1.探索并證明等腰三角形的性質(zhì).2.運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明和計(jì)算.教學(xué)難點(diǎn)等腰三角形性質(zhì)的證明.教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：回顧舊知，引入新知設(shè)計(jì)意圖回顧等腰三角形、軸對(duì)稱等相關(guān)知識(shí)，為后面的探究學(xué)習(xí)做鋪墊.【回顧導(dǎo)入】等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？什么樣的三角形是軸對(duì)稱圖形？【教學(xué)建議】(1)讓學(xué)生說說等腰三角形中相等的量；(2)讓學(xué)生直觀判斷各種三角形是否為軸對(duì)稱圖形.活動(dòng)二：動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)規(guī)律設(shè)計(jì)意圖通過親手操作得出等腰三角形，為后面的探究做準(zhǔn)備.探究點(diǎn)等腰三角形的性質(zhì)問題1如圖，把一張長(zhǎng)方形的紙按圖中虛線對(duì)折，并剪去陰影部分，再把它展開，得到的△ABC有什么特點(diǎn)？上述過程中，剪刀剪過的兩條邊是相等的，即△ABC中AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形.問題2[觀察、實(shí)驗(yàn)]把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對(duì)折，找出其中重合的線段和角.重合的線段有：AB與AC，BD與CD.重合的角有：∠B與∠C，∠BAD與∠CAD，∠ADB與∠ADC.【教學(xué)建議】由折疊、剪紙的過程，很容易得出△ABC是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，折痕就是它的對(duì)稱軸．教學(xué)中可適時(shí)提醒學(xué)生注意這一點(diǎn).教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生得出等腰三角形的性質(zhì)，培養(yǎng)綜合歸納的能力.設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、論證的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的探究方法，感知數(shù)學(xué)理論的嚴(yán)謹(jǐn)性.問題3在等腰三角形ABC中，AD是什么特殊的線段？既是頂角的平分線，又是底邊上的中線，也是底邊上的高．問題4[猜想]等腰三角形有什么性質(zhì)？說說你的猜想．(1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等．(2)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．問題5在一張白紙上任意畫一個(gè)等腰三角形，把它剪下來，請(qǐng)你試著折一折．你的猜想仍然成立嗎？成立．歸納：等腰三角形的性質(zhì)：性質(zhì)1等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”).性質(zhì)2等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡(jiǎn)寫成“三線合一”).問題6[論證]如圖，△ABC中，AB＝AC，作底邊BC的中線AD.求證：∠B＝∠C，AD平分頂角∠BAC，AD垂直于底邊BC.證明：在△BAD和△CAD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,BD＝CD，,AD＝AD，))∴△BAD≌△CAD(SSS)．∴∠B＝∠C.(這樣，我們就證明了性質(zhì)1)由△BAD≌△CAD，還可以得出∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA，從而AD⊥BC.這也就證明了等腰三角形ABC底邊上的中線AD平分頂角∠BAC并垂直于底邊BC.用類似的方法，還可以證明等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，底邊上的高平分頂角并且平分底邊．這也就證明了性質(zhì)2.從以上證明也可以得出，等腰三角形底邊上的中線的左右兩部分經(jīng)翻折可以重合，等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，底邊上的中線(頂角平分線、底邊上的高)所在的直線就是它的對(duì)稱軸．【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P77練習(xí)第1～3題．【教學(xué)建議】(1)性質(zhì)1很容易得出，對(duì)于性質(zhì)2，要引導(dǎo)學(xué)生注意對(duì)稱軸在等腰三角形中的多重含義(頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高)，從而歸納出“三線合一”．【教學(xué)建議】性質(zhì)2實(shí)際上包含了三個(gè)命題的證明，讓學(xué)生完成另外兩種情況的證明：(1)把輔助線AD改為底邊BC上的高，證明它是頂角的平分線和底邊BC上的中線；(2)把輔助線AD改為頂角∠BAC的平分線，證明它是底邊BC上的中線和底邊BC上的高．教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)三：知識(shí)綜合，鞏固提升設(shè)計(jì)意圖通過例1和對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1強(qiáng)化學(xué)生對(duì)等腰三角形性質(zhì)1的掌握.通過例2和對(duì)應(yīng)訓(xùn)練2使學(xué)生掌握對(duì)等腰三角形性質(zhì)1和性質(zhì)2的綜合運(yùn)用.例1(教材P76例1)如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD.求△ABC各角的度數(shù).解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD(等邊對(duì)等角).設(shè)∠A＝x，則∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，從而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x.于是在△ABC中，有∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°.解得x＝36°.所以，在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.例2如圖，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC邊上的中線，BF是角平分線，∠C＝70°.求∠BAE和∠1的度數(shù).解：∵AB＝AC，∠C＝70°，∴∠ABC＝∠C＝70°.∵AB＝AC，AE是BC邊上的中線，∴AE⊥BC，即∠AEB＝90°.∴∠BAE＝90°－∠ABE＝20°.∵∠ABC＝70°，BF是∠ABC的平分線，∴∠CBF＝eq\f(1,2)∠ABC＝35°.由三角形外角的性質(zhì)可知，∠1＝∠AEB＋∠CBF＝90°＋35°＝125°.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】1.如圖，點(diǎn)D是△ABC中BC邊上的一點(diǎn)，且AB＝AC＝CD，AD＝BD，求∠BAC的度數(shù).解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵BD＝AD，∴∠B＝∠DAB.∵AC＝CD，∴∠DAC＝∠ADC＝∠B＋∠BAD＝2∠B.∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝∠B＋2∠B＝3∠B.又∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴5∠B＝180°.∴∠B＝36°.∴∠BAC＝3∠B＝108°.2.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC邊上的中線，E是AB上一點(diǎn)且BD＝BE，求∠ADE的度數(shù).解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝eq\f(1,2)(180°－∠BAC)＝30°∵BD＝BE∴∠BDE＝∠BED＝eq\f(1,2)(180°－∠B)＝75°∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴∠ADB＝90°.∴∠ADE＝∠ADB－∠BDE＝90°－75°＝15°.【教學(xué)建議】通過例1和對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1給學(xué)生說明，等腰三角形的性質(zhì)1常與三角形內(nèi)角和定理結(jié)合考查，必要時(shí)需用到方程思想.【教學(xué)建議】通過例2和對(duì)應(yīng)訓(xùn)練2給學(xué)生說明，等腰三角形的兩個(gè)性質(zhì)要熟練掌握，關(guān)于“三線合一”，見到其中一種表述，要迅速將它轉(zhuǎn)化為另外兩條線.教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊(cè)子相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題：1.等腰三角形的性質(zhì)1是什么？2.等腰三角形的性質(zhì)2是什么？【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P81習(xí)題13.3第1，3，4，6，7，9，13題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．板書設(shè)計(jì)13.3等腰三角形13.3.1等腰三角形 第1課時(shí)等腰三角形的性質(zhì) 1.“等邊對(duì)等角”. 2.“三線合一”．教學(xué)反思本節(jié)課通過折疊、裁剪引入等腰三角形，再根據(jù)軸對(duì)稱的特點(diǎn)歸納出等腰三角形的性質(zhì)，并利用三角形的全等對(duì)這些性質(zhì)進(jìn)行了證明，培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力．在如何用幾何語言表述要證明的命題時(shí)，學(xué)生缺乏自主意識(shí)，今后要在教學(xué)中有意識(shí)地對(duì)學(xué)生多進(jìn)行這方面的考查.解題大招一等腰三角形中的分類討論類型1等腰三角形的底角、頂角不明時(shí)，需分情況進(jìn)行討論，此時(shí)注意與三角形內(nèi)角和定理的結(jié)合．例1(1)在等腰三角形ABC中，∠A＝130°，求∠B的度數(shù)；(2)在等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度數(shù)．分析：(1)因?yàn)椤螦＝130°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知，∠A為頂角；(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，因?yàn)椤螦＝40°<90°，所以分∠B＝∠C或∠A＝∠C或∠A＝∠B三種情況求出∠B的度數(shù)．解：(1)∵∠A＝130°，∴∠A為頂角，∴∠B＝∠C＝eq\f(1,2)(180°－∠A)＝25°.(2)若∠A為頂角，則∠B＝eq\f(1,2)(180°－∠A)＝70°；若∠A為底角，∠B為頂角，則∠B＝180°－2×40°＝100°；若∠A為底角，∠B為底角，則∠B＝40°.故∠B的度數(shù)為70°或100°或40°.類型2等腰三角形的腰和底邊不明時(shí)，需分情況進(jìn)行討論，此時(shí)需注意各邊長(zhǎng)應(yīng)滿足三角形的三邊關(guān)系．例2(1)若等腰三角形的周長(zhǎng)為26，一邊長(zhǎng)為8，則腰長(zhǎng)為多少？解：當(dāng)腰長(zhǎng)為8時(shí)，三邊長(zhǎng)為8，8，10.∵8＋8>10，∴能構(gòu)成三角形．當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為8時(shí)，三邊長(zhǎng)為9，9，8.∵8＋9>9，∴能構(gòu)成三角形．故此等腰三角形的腰長(zhǎng)為8或9.(2)若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和7，則它的周長(zhǎng)是多少？解：分兩種情況：當(dāng)3為底邊長(zhǎng)時(shí)，其他兩邊長(zhǎng)都為7.三邊長(zhǎng)3，7，7可以構(gòu)成三角形，所以周長(zhǎng)為17.當(dāng)3為腰長(zhǎng)時(shí)，其他兩邊長(zhǎng)為3和7.因?yàn)?＋3＝6<7，所以不能構(gòu)成三角形，故舍去．所以等腰三角形的周長(zhǎng)為17.解題大招二“三線合一”的運(yùn)用等腰三角形中的條件轉(zhuǎn)化：例3如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，DE⊥AB于點(diǎn)E.若BC＝4，△BDC的周長(zhǎng)為10，則AE的長(zhǎng)為（B）A．2.5B．3C．3.5D．4解析：∵BC＝4，且△BDC的周長(zhǎng)為10，∴BD＋CD＝10－4＝6.∵AD＝BD，∴AD＋CD＝6.∴AC＝6.∵AB＝AC，∴AB＝6.∵AD＝BD，DE⊥AB，∴AE＝eq\f(1,2)AB＝3.故選B.例4如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，E是AB上一點(diǎn)，且DE＝AE.(1)求證：DE∥AC；(2)若∠ADE＝24°，求∠C的度數(shù)．分析(1)證明：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴∠CAD＝∠BAD.∵DE＝AE，∴∠BAD＝∠ADE.∴∠CAD＝∠ADE.∴DE∥AC.(2)解：∵∠ADE＝24°，∴∠CAD＝∠ADE＝24°.∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.∴∠C＝90°－∠CAD＝66°.例5下面是證明等腰三角形的性質(zhì)2——“三線合一”時(shí)的三個(gè)命題，請(qǐng)完成這三個(gè)命題的證明.分析：命題一：由“SAS”證明△ABD≌△ACD；命題二：由“SSS”證明△ABD≌△ACD；命題三：由“HL”證明Rt△ABD≌Rt△ACD.命題一：證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.在△ABD和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAD，,AD＝AD，))∴△ABD≌△ACD(SAS)．∴BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝eq\f(1,2)×180°＝90°.∴AD⊥BC.命題二：證明：∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD.在△ABD和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,BD＝CD，,AD＝AD，))∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝eq\f(1,2)×180°＝90°.∴AD⊥BC.命題三：證明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD和Rt△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,AD＝AD，))∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)．∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD.培優(yōu)點(diǎn)構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)解題例【問題呈現(xiàn)】小強(qiáng)在一次學(xué)習(xí)過程中遇到了下面的問題：如圖①，在△ABC與△DEF中，AB＝DE，∠1＝∠7，AC＋BC＝DF.求證：∠3＝2∠9.【方法探究】以下是小強(qiáng)的方法：證明：如圖②，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)G，使CG＝BC，連接BG.∵CG＝BC，∴∠4＝∠5.(①)∴∠3＝∠4＋∠5＝2∠5.接下來只需證明∠5＝∠9，小強(qiáng)就能解決該問題了．(1)①中應(yīng)填寫的理論依據(jù)為等邊對(duì)等角．(2)請(qǐng)補(bǔ)全證明過程．【方法總結(jié)】從上面的方法可以看出，通過“化折為直”，不僅可以構(gòu)造等腰三角形，還可以得到角的倍分關(guān)系，可謂一舉兩得．【方法應(yīng)用】(3)如圖③，在△ABC與△ADC中，若∠BAC＝∠DAC＝30°，∠ACB＝110°，AD＋CD＝AB，則∠D＝80°.分析：(1)利用了等腰三角形的性質(zhì)1——等邊對(duì)等角；(2)證明△ABG≌△DEF(SAS)，由全等三角形的性質(zhì)得出∠5＝∠9，即可得出結(jié)論；(3)延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝CD，證明△BAC≌△EAC(SAS)，得出∠B＝∠E.由三角形內(nèi)角和定理得出∠B＝40°，再根據(jù)∠ADC＝∠DCE＋∠E可得出答案．解：(2)補(bǔ)全過程為：∵AC＋BC＝DF，∴AC＋CG＝DF，即AG＝DF.在△ABG和△DEF中