愛提分中考復(fù)習(xí) 2一輪-方程與不等式-第01講 一次方程（組）(教師版)

高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)教師輔導(dǎo)講義[教師版]學(xué)員姓名王曉與 年級初一輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師衛(wèi)雅鑫上課時(shí)間2019-09-2411:30:00-12:30:00 知識圖譜一次方程（組）知識精講一．一元一次方程的概念只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程．一元一次方程的一般形式：，為一次項(xiàng)系數(shù)，為常數(shù)項(xiàng)．1．判斷是一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)：①整式方程②一元方程③一次方程二．一元一次方程的解一元一次方程的解：使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解．三．二元一次方程組含有兩個(gè)未知數(shù)，并且兩個(gè)未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程．判定一個(gè)方程是二元一次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：（1）方程兩邊的代數(shù)式都是整式——分母中不能含有字母；（2）有兩個(gè)未知數(shù)——“二元”；（3）含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為1——“一次”．關(guān)于x、y的二元一次方程的一般形式：（且）．方法點(diǎn)撥列方程組解應(yīng)用題的步驟與列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟類似，具體是：1．審題：透徹理解題意，弄清問題中的已知量和未知量，找出問題給出和涉及的相等關(guān)系．2．設(shè)元（未知數(shù)）：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．3．列代數(shù)式和方程組：用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知數(shù)，根據(jù)題中給出的等量關(guān)系列出方程組，一般情況下，未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)是相同的．4．解方程（組）．5．檢驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的根是否符合題意．6．作答：檢驗(yàn)后作出符合題目要求的答案．列方程（組）解應(yīng)用題的實(shí)質(zhì)是先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（設(shè)元、列方程（組）），再將數(shù)學(xué)問題解決從而解決實(shí)際問題．在這個(gè)過程中，列方程起著承前啟后的作用．三點(diǎn)剖析一．考點(diǎn)：解一次方程（組），含參數(shù)的一次方程（組），一次方程（組）的實(shí)際應(yīng)用．二．重難點(diǎn)：解含參數(shù)的一次方程（組）易錯(cuò)點(diǎn)：1．一般的，二元一次方程都有無數(shù)組解，但如果確定了一個(gè)未知數(shù)的值，那么另一個(gè)未知數(shù)的值也就隨之確定了．2．無論是二元一次方程還是二元一次方程組，已知它們的解，代入之后都滿足對應(yīng)的方程．解一次方程（組）例題例題1、已知關(guān)于的方程組的解滿足，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】該題考查的是二元一次方程組的解．得，∴，∴，∴，∴．故答案是B．隨練隨練1、若是關(guān)于、的二元一次方程，則的值是（）A.1B.0C.0或1D.任意實(shí)數(shù)【答案】B【解析】該題考查的是二元一次方程．是關(guān)于x、y的二元一次方程，則，，解得．故本題選B．含參數(shù)的一次方程（組）例題例題1、解關(guān)于的方程：．【答案】①當(dāng)時(shí)，方程的解為；②當(dāng)時(shí)，由于，所以方程無解【解析】原方程可整理為，①當(dāng)時(shí)，方程的解為②當(dāng)時(shí)，由于，所以方程無解例題2、已知關(guān)于x的方程有正整數(shù)解，求整數(shù)m的值【答案】或【解析】該題考查的是含參的一元一次方程．由題可知，①若即，此時(shí)方程化為，無解；②若即，此是系數(shù)化1可得：，由于x為正整數(shù)，且m為正數(shù)，∴或，即或．例題3、甲、乙二人同解關(guān)于、的二元一次方程組，甲得正確解為；乙將看錯(cuò)，得其解為，求、、的值．【答案】、、【解析】轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，解得隨練隨練1、已知關(guān)于x、y的方程組和的解相同，求a、b的值．【答案】【解析】可先解方程組，解得．因此可得關(guān)于a、b的二元一次方程組，解得．隨練2、解關(guān)于的方程：．【答案】①當(dāng)時(shí)，方程的解為；②當(dāng)，時(shí)，方程的解為任意實(shí)數(shù)；③當(dāng)，時(shí)，方程無解【解析】原方程可整理為，①當(dāng)時(shí)，方程的解為；②當(dāng)，時(shí)，方程的解為任意實(shí)數(shù)；③當(dāng)，時(shí)，方程無解．隨練3、解方程：（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）；時(shí)，無解【解析】該題考查的是解方程．（1）移項(xiàng)：，合并同類項(xiàng)：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，∴原方程的解是（2）兩邊同乘以6：，去括號：，移項(xiàng)：，合并同類項(xiàng)：，系數(shù)化為1：，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的解，∴原方程的解為．（3）去括號：，移項(xiàng)：，合并同類項(xiàng)：，系數(shù)化為1：；經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，是方程的解，∴當(dāng)時(shí)，原方程的解為；當(dāng)時(shí)，原方程無解．隨練4、m取何整數(shù)值時(shí)，關(guān)于x、y的方程組的解x和y都是整數(shù)？【答案】．【解析】把m作為已知數(shù)，解方程組得．∵x是整數(shù)，∴取8的約數(shù)，，，．∵y是整數(shù)，∴取2的約數(shù)±1，±2．取它們的公共部分，，解得．經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，方程組的解都是整數(shù)．一次方程（組）的實(shí)際應(yīng)用例題例題1、某工程隊(duì)承包了某標(biāo)段全長1755米的過江隧道施工任務(wù)，甲、乙兩個(gè)班組分別從東、西兩端同時(shí)掘進(jìn)．已知甲組比乙組平均每天多掘進(jìn)0.6米，經(jīng)過5天施工，兩組共掘進(jìn)了45米．（1）求甲、乙兩個(gè)班組平均每天各掘進(jìn)多少米？（2）為加快工程進(jìn)度，通過改進(jìn)施工技術(shù)，在剩余的工程中，甲組平均每天能比原來多掘進(jìn)0.2米，乙組平均每天能比原來多掘進(jìn)0.3米．按此施工進(jìn)度，能夠比原來少用多少天完成任務(wù)？【答案】（1）甲班組平均每天掘進(jìn)4.8米，乙班組平均每天掘進(jìn)4.2米（2）少用10天【解析】（1）設(shè)甲、乙班組平均每天掘進(jìn)x米，y米，得，解得．∴甲班組平均每天掘進(jìn)4.8米，乙班組平均每天掘進(jìn)4.2米．（2）設(shè)按原來的施工進(jìn)度和改進(jìn)施工技術(shù)后的進(jìn)度分別還需a天，b天完成任務(wù)，則a=（1755-45）÷（4.8+4.2）=190（天）b=（1755-45）÷（4.8+0.2+4.2+0.3）=180（天）∴a-b=10（天）∴少用10天完成任務(wù)．例題2、為了援助失學(xué)兒童，初三學(xué)生李明從2012年1月份開始，每月一次將相等數(shù)額的零用錢存入已有部分存款的儲蓄盒內(nèi)，準(zhǔn)備每6個(gè)月一次將儲蓄盒內(nèi)存款一并匯出（匯款手續(xù)費(fèi)不計(jì)）．已知2月份存款后清點(diǎn)儲蓄盒內(nèi)有存款80元，5月份存款后清點(diǎn)儲蓄盒內(nèi)有存款125元．（1）在李明2012年1月份存款前，儲蓄盒內(nèi)已有存款多少元？（2）為了實(shí)現(xiàn)到2015年6月份存款后存款總數(shù)超過1000元的目標(biāo)，李明計(jì)劃從2013年1月份開始，每月存款都比2012年每月存款多t元（t為整數(shù)），求t的最小值．【答案】（1）50（2）11【解析】（1）設(shè)李明每月存款x元，儲蓄盒內(nèi)原有存款y元，依題意得，，解得，答：李明2012年1月份存款前，儲蓄盒內(nèi)已有存款50元；（2）由（1）得，李明2012年共有存款12×15+50=230元，2013年1月份后每月存入（15+t）元，2013年1月到2015年6月共有30個(gè)月，依題意得，230+30（15+t）＞1000，解得t＞10，因?yàn)閠為整數(shù)，所以t的最小值為11．答：t的最小值為11．例題3、(2013初一上期末清華大學(xué)附屬中學(xué))列方程解應(yīng)用題油桶制造廠的某車間主要負(fù)責(zé)生產(chǎn)制造油桶用的的圓形鐵片和長方形鐵片，該車間有工人42人，每個(gè)工人平均每小時(shí)可以生產(chǎn)圓形鐵片120片或者長方形鐵片80片．如圖，一個(gè)油桶由兩個(gè)圓形鐵片和一個(gè)長方形鐵片相配套．生產(chǎn)圓形鐵片和長方形鐵片的工人各為多少人時(shí)，才能使生產(chǎn)的鐵片恰好配套？【答案】24；18【解析】該題考查的是解方程的應(yīng)用．設(shè)生產(chǎn)圓形鐵片的工人為x人，則生產(chǎn)長方形鐵片的工人為人，……1分可列方程．…………2分解得：……3分則．…………4分答：生產(chǎn)圓形鐵片的有24人，生產(chǎn)長方形鐵片的有18人……5分例題4、某汽車制造廠開發(fā)了一款新式電動(dòng)汽車，計(jì)劃一年生產(chǎn)安裝240輛．由于抽調(diào)不出足夠的熟練工來完成新式電動(dòng)汽車的安裝，工廠決定招聘一些新工人；他們經(jīng)過培訓(xùn)后上崗，也能獨(dú)立進(jìn)行電動(dòng)汽車的安裝．生產(chǎn)開始后，調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)：1名熟練工和2名新工人每月可安裝8輛電動(dòng)汽車；2名熟練工和3名新工人每月可安裝14輛電動(dòng)汽車．（1）每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛電動(dòng)汽車？（2）如果工廠招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽調(diào)的熟練工剛好能完成一年的安裝任務(wù)，那么工廠有哪幾種新工人的招聘方案？（3）在（2）的條件下，工廠給安裝電動(dòng)汽車的每名熟練工每月發(fā)2000元的工資，給每名新工人每月發(fā)1200元的工資，那么工廠應(yīng)招聘多少名新工人，使新工人的數(shù)量多于熟練工，同時(shí)工廠每月支出的工資總額W（元）盡可能地少？【答案】（1）每名熟練工和新工人每月分別可以安裝4、2輛電動(dòng)汽車（2）有4種新工人的招聘方案．①n=8，a=1，即新工人8人，熟練工1人；②n=6，a=2，即新工人6人，熟練工2人；③n=4，a=3，即新工人4人，熟練工3人；④n=2，a=4，即新工人2人，熟練工4人．（3）新工人4人，熟練工3人【解析】（1）設(shè)每名熟練工和新工人每月分別可以安裝x、y輛電動(dòng)汽車．根據(jù)題意，得，解得．答：每名熟練工和新工人每月分別可以安裝4、2輛電動(dòng)汽車．（2）設(shè)工廠有a名熟練工．根據(jù)題意，得12（4a+2n）=240，2a+n=10，n=10-2a，又a，n都是正整數(shù)，0＜n＜10，所以n=8，6，4，2．即工廠有4種新工人的招聘方案．①n=8，a=1，即新工人8人，熟練工1人；②n=6，a=2，即新工人6人，熟練工2人；③n=4，a=3，即新工人4人，熟練工3人；④n=2，a=4，即新工人2人，熟練工4人．（3）結(jié)合（2）知：要使新工人的數(shù)量多于熟練工，則n=8，a=1；或n=6，a=2；或n=4，a=3．根據(jù)題意，得W=2000a+1200n=2000a+1200（10-2a）=12000-400a．要使工廠每月支出的工資總額W（元）盡可能地少，則a應(yīng)最大．顯然當(dāng)n=4，a=3時(shí)，工廠每月支出的工資總額W（元）盡可能地少．隨練隨練1、我市舉辦的“義博會(huì)”是國內(nèi)第三大展會(huì)，從1995年以來已成功舉辦了15屆．（1）1995年“義博會(huì)”成交金額為1.01億元，1999年“義博會(huì)”成交金額為35.2億元，求1999年的成交金額比1995年的增加了幾倍？（結(jié)果精確到整數(shù)）（2）2000年“義博會(huì)”的成交金額與2009年的成交金額的總和是153.99億元，且2009年的成交金額是2000年的3倍少0.25億元，問2009年“義博會(huì)”的成交金額是否突破了百億元大關(guān)？【答案】（1）34倍（2）是【解析】找到相應(yīng)的關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵；注意增加的倍數(shù)是求到增加的金額占原來的金額的多少．（1）（35.2-1.01）÷1.01≈34答：1999年的成交金額比1995年約增加了34倍；（2）設(shè)2000年成交金額為x億元，則2009年成交金額為（3x-0.25）億元．由題意得：x+3x-0.25=153.99，解得：x=38.56，∴3x-0.25=115.43＞100，∴2009年“義博會(huì)”的成交金額突破了百億元大關(guān)．拓展拓展1、設(shè)a，b，c都是非負(fù)數(shù)，且滿足a+b+c=3，3a+b﹣c=5，則5a+4b+2c的最大值是__________．【答案】13【解析】由解得，所以5a+4b+2c=5+5c+8﹣8c+2c=13﹣c，∵c是非負(fù)數(shù)，∴c≥0∴5a+4b+2c=5+5c+8﹣8c+2c=13﹣c的最大值為13．拓展2、如果關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是，那么關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是__________．【答案】【解析】由于兩個(gè)二元二次方程組都是的形式，所以解相同．∴，∴．拓展3、已知關(guān)于x的方程有無數(shù)多解，求a、b的值．【答案】，【解析】移項(xiàng)、合并，得，由于原方程有無數(shù)多解，所以，解得．拓展4、已知方程，問a、b分別滿足什么條件時(shí)：（1）方程有唯一解？（2）方程無解？（3）方程有無窮多個(gè)解？【答案】（1）（2），（3），【解析】原方程可整理為，方程有唯一解，則，即；方程無解，則且，即且；方程有無數(shù)解，則且，即且．拓展5、已知方程組與有相同的解，求、的值．【答案】【解析】由題意得，解得將代入，得，解得拓展6、我們規(guī)定：若的一元一次方程的解為，則稱該方程為定解方程，例如：的解為，則該方程就是定解方程．請根據(jù)上邊規(guī)定解答下列問題：（1）若的一元一次方程是定解方程，則；（2）若的一元一次方程是定解方程，它的解為，求，的值；（3）若的一元一次方程和都是定解方程，求代數(shù)式的值．【答案】（1）（2），（3）【解析】（1）由題意可知，由一元一次方程可知，因此，解得．（2）由題意可知，由一元一次方程可知，又因?yàn)榉匠痰慕鉃閍，因此，解得，．（3）由題意可知，，兩式相減，得．代入，求得原式．拓展7、已知關(guān)于x的方程的解是方程的解的11倍，求m的值和兩個(gè)方程的解．【答案】，方程的解分別為，【解析】關(guān)于x的方程的解為，關(guān)于x的方程的解為．由題意可得，解得，代回和后可以得到方程的解為．拓展8、若k為整數(shù)，則使方程的解也是整數(shù)的k的值有（）A.4個(gè)B.8個(gè)C.12個(gè) D.16個(gè)【答案】D【解析】解方程，得，要使x為整數(shù)，可取，，，，，，，即的值有16個(gè)，答案為D．拓展9、要使關(guān)于x、y的方程組的解都是整數(shù)，k應(yīng)取哪些整數(shù)值？【答案】【解析】解關(guān)于x、y的方程組，得．由于，．∵x是整數(shù)，∴．∵y是整數(shù)，∴．∴拓展10、解關(guān)于x的方程（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【答案】（1）（2）（3）（4）；（5）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，為任意數(shù)；當(dāng)且時(shí)，無解．【解析】本題考查的是一元一次方程．（1），兩邊同時(shí)乘以2，得；（2），移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得；（3），方程兩邊同時(shí)乘以3，4的最簡公分母12，得；（4），化簡為，方程兩邊同時(shí)乘以15，得，即；（5），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，為任意數(shù)；當(dāng)且時(shí)，無解．拓展11、現(xiàn)有A，B兩種商品，買2件A商品和1件B商品用了90元，買3件A商品和2件B商品用了160元．（1）求A，B兩種商品每件各是多少元？（2）如果小亮準(zhǔn)備購買A，B兩種商品共10件，總費(fèi)用不超過350元，但不低于300元，問有幾種購買方案，哪種方案費(fèi)用最低？【答案】（1）20，50（2）見解析【解析】（1）設(shè)A商品每件x元，B商品每件y元，依題意，得，解得．答：A商品每件20元，B商品每件50元．（2）設(shè)小亮準(zhǔn)備購買A商品a件，則購買B商品（10-a）件解得5≤a≤6根據(jù)題意，a的值應(yīng)為整數(shù)，所以a=5或a=6．方案一：當(dāng)a=5時(shí)，購買費(fèi)用為20×5+50×（10-5）=350元；方案二：當(dāng)a=6時(shí)，購買費(fèi)用為20×6+50×（10-6）=320元；∵350＞320∴購買A商品6件，B商品4件的費(fèi)用最低．答：有兩種購買方案，方案一：購買A商品5件，B商品5件；方案二：購買A商品6件，B商品4件，其中方案二費(fèi)用最低．拓展12、為了貫徹落實(shí)國務(wù)院關(guān)于促進(jìn)家電下鄉(xiāng)的指示精神，有關(guān)部門自2007年12月底起進(jìn)行了家電下鄉(xiāng)試點(diǎn)，對彩電、冰箱（含冰柜）、手機(jī)三大類產(chǎn)品給予產(chǎn)品銷售價(jià)格13%的財(cái)政資金直補(bǔ)．企業(yè)數(shù)據(jù)顯示，截至2