愛(ài)提分中考復(fù)習(xí) 5一輪-圖形的變換-第03講 圖形的旋轉(zhuǎn)(教師版)

高思愛(ài)提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)教師輔導(dǎo)講義[教師版]學(xué)員姓名王曉與 年級(jí)初一輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師衛(wèi)雅鑫上課時(shí)間2019-09-2411:30:00-12:30:00 知識(shí)圖譜圖形的旋轉(zhuǎn)知識(shí)精講旋轉(zhuǎn)的基本知識(shí)旋轉(zhuǎn)的概念：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角，如果圖形上的點(diǎn)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．旋轉(zhuǎn)的相關(guān)計(jì)算與證明旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的角度和線段計(jì)算問(wèn)題主要是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形是全等的，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角都等于旋轉(zhuǎn)角來(lái)求解角度和線段長(zhǎng)度．旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的路徑長(zhǎng)度一般是一段弧的長(zhǎng)度，面積一般是一個(gè)扇形的面積，所以解決問(wèn)題的關(guān)鍵是找到路徑所在圓或面積所在扇形的圓心，半徑和圓心角，然后利用弧長(zhǎng)公式或扇形面積公式來(lái)求解．旋轉(zhuǎn)與全等三角形綜合“半角”旋轉(zhuǎn)模型，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)在等腰直角三角形、正方形中，在一般的等腰三角形中也會(huì)有涉及． 已知,；可將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使與重合．旋轉(zhuǎn)中的最值問(wèn)題解決此類問(wèn)題要從分析旋轉(zhuǎn)過(guò)程中相關(guān)量之間的關(guān)系入手，嘗試在變換中尋求不變的關(guān)系，并借助“三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”尋找線段長(zhǎng)度取得最值時(shí)的特殊位置，最后利用勾股定理等知識(shí)求得線段的長(zhǎng)度．旋轉(zhuǎn)與相似三角形綜合方法點(diǎn)撥1．在幾何綜合題中，經(jīng)常會(huì)遇見(jiàn)求解線段長(zhǎng)度、角的度數(shù)或者是圖形的面積問(wèn)題，求解的過(guò)程除了直接利用幾何圖形的性質(zhì)及勾股定理進(jìn)行求解外，有時(shí)候還需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形，產(chǎn)生新的圖形進(jìn)行邊和角的等量代換，并最終求出結(jié)果．2．構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形求線段長(zhǎng)度主要是讓所求線段在一個(gè)特殊的三角形中或者是直接通過(guò)等量代換找到與所求線段長(zhǎng)相等的線段，最后利用相關(guān)知識(shí)求解．3．構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形求解角的度數(shù)或者是圖形的面積主要是通過(guò)等量代換或者產(chǎn)生特殊角或特殊圖形，然后再計(jì)算相應(yīng)的角的度數(shù)或者圖形的面積．三點(diǎn)剖析一．考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的基本知識(shí)，與旋轉(zhuǎn)相關(guān)的證明與計(jì)算，旋轉(zhuǎn)與全等三角形綜合，旋轉(zhuǎn)中的最值問(wèn)題，旋轉(zhuǎn)與相似三角形結(jié)合．二．重難點(diǎn)：動(dòng)態(tài)問(wèn)題一定要分析清楚運(yùn)動(dòng)的每個(gè)階段點(diǎn)的軌跡或者是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，計(jì)算出每一階段的路徑長(zhǎng)度或掃過(guò)的面積，再按照題目要求求出最終結(jié)果．三．易錯(cuò)點(diǎn)：1．研究旋轉(zhuǎn)問(wèn)題應(yīng)把握兩個(gè)元素：旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角．2．每一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等．旋轉(zhuǎn)的基本知識(shí)例題例題1、不等式組的解集，在數(shù)軸上表示正確的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由①，得，由②，得，由①②得，原不等式組的解集是．例題2、解不等式．【答案】或【解析】當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，結(jié)合，故是原不等式的解；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，結(jié)合，故是原不等式的解；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，結(jié)合，故是原不等式的解.綜上可知或是原不等式的解．例題3、以下圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A.等腰梯形B.平行四邊形C.矩形D.等邊三角形【答案】C【解析】掌握好中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．判斷軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱折疊后可重合，判斷中心對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形；B、是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形；C、是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形；D、不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形．故選C．例題4、如圖，它可以看作“”通過(guò)連續(xù)平移3次得到的，看作“”繞中心旋轉(zhuǎn)次，每次旋轉(zhuǎn)度得到的．【答案】3；3；90【解析】由圖可知，“”通過(guò)連續(xù)平移3次即可得出圖形；∵此圖形是中心對(duì)稱圖形，∴也可以看作是“”繞中心旋轉(zhuǎn)3，每次旋轉(zhuǎn)90到的．例題5、如圖，將△ABC繞點(diǎn)C（0，-1）旋轉(zhuǎn)180°得到△A'B'C，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（）A.（-a，-b）B.（-a．-b-1）C.（-a，-b+1）D.（-a，-b-2）【答案】D【解析】解：把AA′向上平移1個(gè)單位得A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1坐標(biāo)為（a，b+1）．因A1、A2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以A′對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2（-a，-b-1）．∴A′（-a，-b-2）．故選D．隨練隨練1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△A′B′C′由△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)____________．【答案】【解析】連接AA′、CC′，作線段AA′的垂直平分線MN，作線段CC′的垂直平分線EF，直線MN和直線EF的交點(diǎn)為P，點(diǎn)P就是旋轉(zhuǎn)中心．∵直線MN為：x=1，設(shè)直線CC′為y=kx+b，由題意：，∴，∴直線CC′為y=x+，∵直線EF⊥CC′，經(jīng)過(guò)CC′中點(diǎn)（，），∴直線EF為y=﹣3x+2，由得，∴P（1，﹣1）．與旋轉(zhuǎn)相關(guān)的計(jì)算與證明例題例題1、試確定實(shí)數(shù)的取值范圍，使不等式組恰有兩個(gè)整數(shù)解．【答案】0.5＜a≤1【解析】由，兩邊同乘以得，解得，由，兩邊同乘以得，解得，∴原不等式組的解集為．又原不等式組恰有個(gè)整數(shù)解，即；則的值在（不含）到（含）之間，，．例題2、如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．將△ABC繞直角頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△A′B′C，則點(diǎn)B轉(zhuǎn)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）A.B.C.D.π【答案】B【解析】∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，∴cos30°=，∴BC=ABcos30°=2×=，∵將△ABC繞直角頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△A′B′C，∴∠BCB′=60°，∴點(diǎn)B轉(zhuǎn)過(guò)的路徑長(zhǎng)為：=π．故選：B．例題3、如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′BC′，連接A′C，則A′C的長(zhǎng)為_(kāi)_____________．【答案】4+3【解析】連結(jié)CC′，A′C交BC于O點(diǎn)，如圖，∵△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′BC′，∴BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，∴△BCC′為等邊三角形，∴CB=CB′，而A′B=A′C′，∴A′C垂直平分B′C，∴BO=BC′=3，在Rt△A′OB中，A′O==4，在Rt△OBC中，∵tsin∠CBO=sin60°=，∴OC=6×=3，∴A′C=A′O+OC=4+3．故答案為4+3．隨練隨練1、解不等式組：，并將解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．【答案】【解析】解不等式①，得．解不等式②，得．所以不等式組的解集是．在數(shù)軸上可表示為：．旋轉(zhuǎn)與全等三角形綜合例題例題1、通過(guò)類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的．下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說(shuō)明理由．（1）思路梳理∵AB=AD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，點(diǎn)F、D、G共線．根據(jù)____，易證△AFG≌____，得EF=BE+DF．（2）類比引申如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系____時(shí)，仍有EF=BE+DF．（3）聯(lián)想拓展如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫(xiě)出推理過(guò)程．【答案】（1）SAS（2）△AFE（3）∠B+∠D=180°（4）DE2=BD2+EC2【解析】此題主要考查了幾何變換，關(guān)鍵是正確畫(huà)出圖形，證明△AFG≌△AEF．此題是一道綜合題，難度較大，題目所給例題的思路，為解決此題做了較好的鋪墊．（1）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，再證明△AFG≌△AFE進(jìn)而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF；（2）∠B+∠D=180°時(shí)，EF=BE+DF，與（1）的證法類同；（3）根據(jù)△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根據(jù)Rt△ABC中的，AB=AC得到∠E′BD=90°，所以E′B2+BD2=E′D2，證△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2；（1）∵AB=AD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，點(diǎn)F、D、G共線，在△AFE和△AFG中，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF=FG，即：EF=BE+DF．（2）∠B+∠D=180°時(shí)，EF=BE+DF；∵AB=AD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC+∠B=180°，∴∠FDG=180°，點(diǎn)F、D、G共線，在△AFE和△AFG中，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF=FG，即：EF=BE+DF．（3）猜想：DE2=BD2+EC2，證明：根據(jù)△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE′，∴△AEC≌△ABE′，∴BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°，∴E′B2+BD2=E′D2，又∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠E′AB+∠BAD=45°，即∠E′AD=45°，在△AE′D和△AED中，∴△AE′D≌△AED（SAS），∴DE=DE′，∴DE2=BD2+EC2．隨練旋轉(zhuǎn)中的最值問(wèn)題例題例題1、如圖①，已知是等腰直角三角形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．作正方形，使點(diǎn)、分別在和上，連接、．（1）試猜想線段和的關(guān)系（位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系），請(qǐng)直接寫(xiě)出你得到的結(jié)論．（2）將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度后（），如圖②，通過(guò)觀察或測(cè)量等方法判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．若，正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度（），當(dāng)為最大值時(shí)，求的值．【答案】（1）垂直且相等（2）成立，證明見(jiàn)解析；【解析】（1）如圖（1），∵△ABC是等腰直角三角形，，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴，∵在△BDG和△ADE中，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴，，延長(zhǎng)EA到BG于一點(diǎn)M，∴，∴，∴線段BG和AE相等且垂直；（2）成立，如圖（2），延長(zhǎng)EA分別交DG、BG于點(diǎn)、兩點(diǎn)，∵△ABC是等腰直角三角形，，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴，且，∵，∵在△BDG和△ADE中，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴，，∵，，∴，即BG⊥AE且；（3）由（2）知，要使AE最大，只要將正方形繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋旋轉(zhuǎn)270°，即A，D，E在一條直線上時(shí)，AE最大；∵正方形DEFG在繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圖形是以點(diǎn)D為圓心，DE為半徑的圓，∴當(dāng)正方形DEFG旋轉(zhuǎn)到G點(diǎn)位于BC的延長(zhǎng)線上（即正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)270°）時(shí)，BG最大，如圖（3），若，則，．在Rt△AEF中，∴，即在正方形DEFG旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AE為最大值時(shí)，隨練旋轉(zhuǎn)與相似三角形綜合例題例題1、如圖，和都是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，連結(jié)BD，BE，CE，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）若是邊長(zhǎng)可變化的等腰直角三角形，并將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使CE的延長(zhǎng)線始終與線段BD（包括端點(diǎn)B、D）相交．當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，求出的值．AABCDEFG【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】該題考查三角形綜合．（1）∵，，∴．∴．…………………1分∵，且，∴△ADB≌△AEC，∴．…………………2分又，……………3分∴△AFC∽△GFB．………………4分（2）∵△AFC∽△GFB，∴．圖①圖①①當(dāng)，時(shí)，如圖①所示，設(shè)，則．∵△BDE為等腰直角三角形，∴．∴．∵，∴．∴．……………5分圖②圖②②當(dāng)，時(shí)，如圖②所示，同理設(shè)，則．∴．∵，∴．∴．………………6分圖③圖③③當(dāng)，時(shí)，如圖③所示，同理設(shè)，則．∴．∴四邊形ADBE是正方形，∴．∴．…………7分隨練隨練1、如圖，在方格紙中，△ABC經(jīng)過(guò)變換得到△DEF，正確的變換是____A.把△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，再向下平移2格B.把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，再向下平移5格C.把△ABC向下平移4格，再繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°D.把△ABC向下平移5格，再繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°【答案】B【解析】本題考查了幾何變換的類型，幾何變換只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小，本題用到了旋轉(zhuǎn)變換與平移變換，對(duì)識(shí)圖能力要求比較高．觀察圖象可知，先把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，再向下平移5格即可得到．根據(jù)圖象，△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，再向下平移5格即可與△DEF重合．故選B．隨練2、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm．把△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AB1C1，如圖所示，則點(diǎn)B所走過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）A.5cmB.πcmC.πcmD.5πcm【答案】C【解析】在Rt△ABC中，AB===5，lAB===πcm，故點(diǎn)B所經(jīng)過(guò)的路程為πcm．故選C．隨練3、如圖，在矩形ABCD中，AB=，AD=1，把該矩形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度得矩形AB′C′D′，點(diǎn)C′落在AB的延長(zhǎng)線上，則圖中陰影部分的面積是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵在矩形ABCD中，AB=，AD=1∴tan∠CAB==，AB=CD=，AD=BC=1，∴∠CAB=30°，∴∠BAB′=30°，∴S△AB′C′=×1×=，S扇形BAB′==，S陰影=S△AB′C′﹣S扇形BAB′=．隨練4、在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，，，將三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P處，三角板的兩直角邊分別能與AB、BC邊相交于點(diǎn)E、F，連接EF．

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合，求此時(shí)PC的長(zhǎng)；

（2）將三角板從（1）中的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)停止，在這個(gè)過(guò)程中，請(qǐng)你觀察、探究并解答：的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）不變【解析】該題考查的是四邊形綜合．（1）在矩形ABCD中，，，，

∴，．

∵，

∴，

∴△ABP∽△DPC，

∴，即．

∴．（3分）（2）大小不變．

證：過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，

易證四邊形ABFG是矩形．

．

∴，．

∵，

∴，

∴．

∴△APE∽△GFP．（5分）

∴．

在Rt△EPF中，．（6分）

即的值不變，故大小不變．（7分）隨練5、如圖1，Rt△ABC≌Rt△EDF，，．△EDF繞著邊AB的中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交線段AC于點(diǎn)M，K．（1）觀察：①如圖2、圖3，當(dāng)或60°時(shí)，_______MK（填“”，“”或“”）．②如圖4，當(dāng)時(shí)，_______MK（只填“”或“”）．（2）猜想：如圖1，當(dāng)時(shí)，_______MK，證明你所得到的結(jié)論．（3）如果，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠CDF的度數(shù)和的值．DBDBCAFEMK圖1DBCA(F,K)EM圖2DBDBCAFEK圖3(M)DBCAFEMK圖4【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）①，②（2）證明：作點(diǎn)C關(guān)于FD的對(duì)稱點(diǎn)G，連接GK，GM，GD，則，，，∵D是AB的中點(diǎn)，∴．∵，∴，∵，∴，．∴，∵，∴△ADM≌△GDM，∴．∵，∴．（3），．隨練6、如圖1，點(diǎn)為正方形的中心．（1）將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連結(jié)，，，請(qǐng)依題意補(bǔ)全圖1；（2）根據(jù)圖1中補(bǔ)全的圖形，猜想并證明與的關(guān)系；（3）如圖2，點(diǎn)是中點(diǎn)，△是等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，，，，△繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度，請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的最大值．圖圖1圖2【答案】（1）見(jiàn)解析（2）⊥（3）【解析】（1）正確畫(huà)出圖形；………………1分（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)…2分∵為正方形的中心，∴，∠＝90°……3分∵繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°角得到∴∴∠＝∠＝90°∴∠＝∠……4分在△和△中，，，∠＝∠，∴△≌△∴.……5分∴∠＝∠∵∠+∠∴∠+∠=90°∴⊥……6分（3）的最大值為……8分隨練7、在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△A1BC1．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C1在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求∠CC1A1的度數(shù)；（2）如圖2，連接AA1，CC1．若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；（3）如圖3，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，求線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值．【答案】（1）90°；（2）；（3）最小值-2；最大值7．【解析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，∴∠CC1B=∠C1CB=45°，∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．（2）∵△ABC≌△A1BC1，∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，∴=，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，∴∠ABA1=∠CBC1，∴△ABA1∽△CBC1．∴=()2=()2=，∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=；（3）①如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，∵△ABC為銳角三角形，∴點(diǎn)D在線段AC上，在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=，當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)，BP與AC垂直的時(shí)候，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1最小，最小值為：EP1=BP1-BE=BD-BE=-2；②當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP1最大，最大值為：EP1=BC+BE=2+5=7．隨練8、如圖，點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，設(shè)，（1）將△BOC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC，連結(jié)OD，如圖2所示．求證：．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，將△ABC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△EAC，連結(jié)DE，如圖3所示．求證：（3）在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)、滿足什么關(guān)系時(shí)，點(diǎn)B、O、D、E在同一直線上．并直接寫(xiě)出的最小值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3），【解析】（1）∵△BOC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC，∴，，∴△COD是等邊三角形，∴；（2）∵△BOC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△EDC，△ABC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△EAC，∴△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，∴，，，，∴，即，在△EAD和△ABO中，，∴△EAD≌△ABO，∴；（3）∵△ABC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△EAC，∴，∴四邊形ABCE是菱形．∵B、O、D、E在同一直線上，∴B、O、D、E是菱形ABCE的對(duì)角線，∴．∵△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，∴，，∴．∵△COD是正三角形，∴．∵點(diǎn)B、O、D、E在同一直線上，∴，∴，∴，∴．∴．∴，∴，同理可得：．∴．作OF⊥AB于F，設(shè)，則，∴，在Rt△BOF中，由勾股定理，得，∴，∴，即的最小值為．隨練9、將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ度，并使各邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的n倍，得△AB′C′，即如圖①，我們將這種變換記為[θ，n]．（1）如圖①，對(duì)△ABC作變換[60°，]得△AB′C′，則S△AB′C′：S△ABC=____；直線BC與直線B′C′所夾的銳角為_(kāi)___度；（2）如圖②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，對(duì)△ABC作變換[θ，n]得△AB′C′，使點(diǎn)B、C、C′在同一直線上，且四邊形ABB'C'為矩形，求θ和n的值；（3）如圖③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，對(duì)△ABC作變換[θ，n]得△AB′C′，使點(diǎn)B、C、B′在同一直線上，且四邊形ABB′C′為平行四邊形，求θ和n的值．【答案】（1）3:1（2）60（3）θ=60°（4）n=2（5）θ=72°（6）n=【解析】（1）根據(jù)題意得：△ABC∽△AB′C′，∴S△AB′C′：S△ABC=（）2=（）2=3，∠B=∠B′，∵∠ANB=∠B′NM，∴∠BMB′=∠BAB′=60°；故答案為：3，60；（2）∵四邊形ABB′C′是矩形，∴∠BAC′=90°．∴θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=90°-30°=60°．在Rt△ABB′中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，∴∠AB′B=30°，∴n==2；（3）∵四邊形ABB′C′是平行四邊形，∴AC′∥BB′，又∵∠BAC=36°，∴θ=∠CAC′=∠AC′B′=72°．∴∠BB′A=∠BAC=36°，而∠B=∠B，∴△ABC∽△B′BA，∴AB：BB′=CB：AB，∴AB2=CB?BB′=CB（BC+CB′），而CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，∴AB2=1（1+AB），∴AB=，∵AB＞0，∴n==．拓展拓展1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，作AB⊥x軸于點(diǎn)B，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到．若點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】作CH⊥x軸于H，如圖，∴，∵繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，∴，，∴，在中，，，，∴．拓展2、有一種幾何圖形，它繞某一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，不論旋轉(zhuǎn)多少角度，所得到的圖形都與原來(lái)的圖形完全重合，這種幾何圖形是（）A.正三角形B.正方形C.正六邊形D.圓【答案】D【解析】A、正三角形只有繞旋轉(zhuǎn)中心---內(nèi)心至少旋轉(zhuǎn)120°，才能與原來(lái)的圖形重合，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、正方形只有繞旋轉(zhuǎn)中心---對(duì)角線交點(diǎn)至少旋轉(zhuǎn)90°，才能與原來(lái)的圖形重合，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、正六邊形只有繞旋轉(zhuǎn)中心---對(duì)角線交點(diǎn)至少旋轉(zhuǎn)60°，才能與原來(lái)的圖形重合，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、圓繞圓心旋轉(zhuǎn)，不論旋轉(zhuǎn)多少角度，所得到的圖形都與原來(lái)的圖形完全重合，故本選項(xiàng)正確．拓展3、下列圖形中，繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°能與自身重合的有（）①正方形；②長(zhǎng)方形；③等邊三角形；④線段；⑤角；⑥平行四邊形．A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【答案】A【解析】①正方形旋轉(zhuǎn)的最小的能與自身重合的度數(shù)是90度，正確；②長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)的最小的能與自身重合的度數(shù)是180度，錯(cuò)誤；③等邊三角形旋轉(zhuǎn)的最小的能與自身重合的度數(shù)是120度，錯(cuò)誤；④線段旋轉(zhuǎn)的最小的能與自身重合的度數(shù)是180度，錯(cuò)誤；⑤角旋轉(zhuǎn)的最小的能與自身重合的度數(shù)是360度，錯(cuò)誤；⑥平行四邊形旋轉(zhuǎn)的最小的能與自身重合的度數(shù)是180度，錯(cuò)誤．拓展4、解不等式．【答案】或【解析】從里往外的去絕對(duì)值符號(hào)，將數(shù)軸分為，，三段來(lái)討論，可以轉(zhuǎn)化為三個(gè)不等式組，最后得到或．拓展5、如圖，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，將矩形ABCD按如圖所示的方式在直線l上進(jìn)行兩次旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)B在兩次旋轉(zhuǎn)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)是（）A.πB.13πC.25πD.25【答案】A【解析】連接BD，B′D，∵AB=5，AD=12，∴BD==13，∴==，∵==6π，∴點(diǎn)B在兩次旋轉(zhuǎn)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)是：+6π=，故選：A．拓展6、如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A（3，2）、B（1，3）．△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1OB1．（直接填寫(xiě)答案）（1）點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)___；（2）點(diǎn)A1的坐標(biāo)為_(kāi)___；（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑為弧BB1，那么弧BB1的長(zhǎng)為_(kāi)___．【答案】（1）（-3，-2）（2）（-2，3）（3）π【解析】（1）∵A（3，2），∴點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，-2）；（2）（-2，3）；（3）根據(jù)勾股定理，OB==，所以，弧BB1的長(zhǎng)==π．故答案為：（1）（-3，-2）；（2）（-2，3）；（3）π．拓展7、(2013初二下期末清華大學(xué)附屬中學(xué))如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．設(shè)AC中點(diǎn)為E，A′B′中點(diǎn)為P，AC＝2，連接EP，當(dāng)θ=_________°時(shí)，EP長(zhǎng)度最大，最大值為_(kāi)__________．【答案】120；3【解析】該題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．如圖，聯(lián)結(jié)CP，當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)到E、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，EP最長(zhǎng)，此時(shí)∵，∴∵AC中點(diǎn)為E，中點(diǎn)為P，∴，∴拓展8、如圖，菱形OABC的一邊OA在x軸上，將菱形OABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°至OA′B′C′的位置，若OB=2，∠C=120°，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為_(kāi)___A.（3，）B.（3，-）C.（，）D.（，-）【答案】D【解析】過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OA于E，過(guò)點(diǎn)B′作B′F⊥OA于F，∴∠BE0=∠B′FO=90°，∵四邊形OABC是菱形，∴OA∥BC，∠AOB=∠AOC，∴∠AOC+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠AOC=60°，∴∠AOB=30°，∵菱形OABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°至OA′B′C′的位置，∴∠BOB′=75°，OB′=OB=2，∴∠B′OF=45°，在Rt△B′OF中，OF=OB′?cos45°=2×=，∴B′F=，∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為：（，-）．故選D．拓展9、已知：等邊中，點(diǎn)O是邊AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，M、N分別在直線AC、BC上，且．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)你加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）．（2）．理由如下：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC，OE⊥BC，易得，在邊AC上截得，連結(jié)，∵，，∴△≌△EON，∴，．∵，∴，∴．易證△≌△MON，∴．∴，，，∴，∴．（3）拓展10、如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)B、C分別在邊AD、AF上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立．（1）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)H．①求證：BD⊥CF；②當(dāng)AB=2，AD=3時(shí)，求線段DH的長(zhǎng)．【答案】（1）成立BD=CF（2）①見(jiàn)解析②DH=【解析】（1）BD=CF．理由如下：由題意得，∠CAF=∠BAD=θ，在△CAF和△BAD中，，∴△CAF≌△BAD，∴BD=CF；（2）①由（1）得△CAF≌△BAD，∴∠CFA=∠BDA，∵∠FNH=∠DNA，∠DNA+∠NAD=90°，∴∠CFA+∠FNH=90°，∴∠FHN=90°，即BD⊥CF；②連接DF，延長(zhǎng)AB交DF于M，∵四邊形ADEF是正方形，AD=3，AB=2，∴AM=DM=3，BM=AM﹣AB=1，∵△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，∴∠BAD=45°，∴AM⊥DF，∴DB==，∵∠MAD=∠MDA=45°，∴∠AMD=90°，又∠DHF=90°，∠MDB=∠HDF，∴△DMB∽△DHF，∴，即，解得，DH=．拓展11、已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E、F，連接EF．設(shè)CE=a，CF=b．（1）如圖1，當(dāng)∠EAF被對(duì)角線AC平分時(shí)，求a、b的值；（2）當(dāng)△AEF是直角三角形時(shí)，求a、b的值；（3）如圖3，探索∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中a、b滿足的關(guān)系式，并說(shuō)明理由．【答案】（1）a=b=4；（2）a=8，b=4；（3）ab=32【解析】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACF=∠DCD=90°，∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACF=∠ACE，∵∠EAF被對(duì)角線AC平分，∴∠CAF=∠CAE，在△ACF和△ACE中，，∴△ACF≌△ACE，∴CE=CE，∵CE=a，CF=b，∴a=b，∵△ACF≌△ACE，∴∠AEF=∠AFE，∵∠EAF=45°，∴∠AEF=∠AFE=67.5°，∵CE=CF，∠ECF=90°，∠AEC=∠AFC=22.5°，∵∠CAF=∠CAE=22.5°，∴∠CAE=∠CEA，∴CE=AC=4，即：a=b=4；（2）當(dāng)△AEF是直角三角形時(shí)，①當(dāng)∠AEF=90°時(shí)，∵∠EAF=45°，∴∠AFE=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF2=2FE2=2（CE2+CF2），AF2=2（AD2+BE2），∴2（CE2+CF2）=2（AD2+BE2），∴CE2+CF2=AD2+BE2，∴CE2+CF2=16+（4+CE）2，∴CF2=8（CE+4）①∵∠AEB+∠BEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BEF=∠BAE，∴△ABE∽△ECF，∴，∴，∴4CF=CE（CE+4）②，聯(lián)立①②得，CE=4，CF=8∴a=4，b=8，②當(dāng)∠AFE=90°時(shí)，同①的方法得，CF=4，CE=8，∴a=8，b=4．（3）ab=32，理由：如圖，∵∠BAG+∠AGB=90°，∠AFC+∠CGF=90°，∠AGB=∠CGF，∴∠BAG=∠AFC，∵∠BAC=45°，∴∠BAG+∠CAF=45°，∴∠AFC+∠CAF=45°，∵∠AFC+∠AEC=180°﹣（∠CFE+∠CEF）﹣∠EAF=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∠CAF=∠AEC，∵∠ACF=∠ACE=135°，∴△ACF∽△ECA，∴，∴EC×CF=AC2=2AB2=32∴ab=32．拓展12、如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形紙片DOE的頂點(diǎn)O與邊AB的中點(diǎn)重合，OD交BC于點(diǎn)F，OE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且∠DOE=∠B．（1）證明△COF是等腰三角形，并求出CF的長(zhǎng)；（2）將扇形紙片DOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，OD，OE與邊AC分別交于點(diǎn)M，N（如圖2），當(dāng)CM的長(zhǎng)是多少時(shí)，△OMN與△BCO相似？【答案】（1）（2）或【解析】（1）∵∠ACB=90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴OC=0B=OA=5．∴∠OCB=∠B，∠ACO=∠A．∵∠DOE=∠B，∴∠FOC=∠OCF．∴FC=FO．∴△C