愛提分中考復(fù)習(xí) 10二輪-全等綜合-第02講 全等綜合（二）(教師版)

高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)教師輔導(dǎo)講義[教師版]學(xué)員姓名王李 年級輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師王涵上課時間01-1806:30:00-08:30:00 知識圖譜全等綜合（二）知識精講一．平行四邊形1．平行四邊形的性質(zhì)（1）邊的性質(zhì)：對邊平行且相等．如下圖：，，，．（2）角的性質(zhì)：平行四邊形的對角相等．如下圖：，．（3）對角線的性質(zhì)：平行四邊形的對角線互相平分．如下圖：，．2．平行四邊形的判定（1）與邊有關(guān)的判定：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（2）與角有關(guān)的判定：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．（3）與對角線有關(guān)的判定：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．二．矩形1．矩形的性質(zhì)矩形是特殊的平行四邊形，平行四邊形具有的性質(zhì)它全都具有．此外，它還具有以下性質(zhì)：（1）矩形的四個角都是直角；（2）對角線相等．（3）是軸對稱圖形，對稱軸是邊的垂直平分線．2．矩形的判定（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形（定義）；（2）對角線相等的平行四邊形是矩形；（3）有三個角是直角的四邊形是矩形．3．直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半．三．菱形1．菱形的性質(zhì)菱形是特殊的平行四邊形，平行四邊形具有的性質(zhì)它全都具有．此外，它還具有以下性質(zhì)：（1）菱形的四條邊都相等；（2）菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；（3）是軸對稱圖形，對稱軸是對角線所在的直線．2．菱形的判定（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形（定義）；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四條邊都相等的四邊形是菱形．3．面積問題：如下圖：．四．正方形1．正方形的性質(zhì)（1）正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；（2）正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性質(zhì)，又有菱形的性質(zhì)；（3）正方形是軸對稱圖形，對稱軸有4條．2．正方形的判定（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形；（2）有一個角是直角的菱形是正方形；（3）對角線互相垂直的矩形是正方形；（4）對角線相等的菱形是正方形；（5）對角線互相垂直、平分且相等的四邊形是正方形；（6）四條邊相等且四個角是直角的四邊形是正方形．3．弦圖模型：如圖1，Rt△DCE≌Rt△CAF；如圖2，Rt△BAE≌Rt△CBF．三點(diǎn)剖析一．考點(diǎn)：1．平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)；2．四邊形與三角形全等的結(jié)合．二．重難點(diǎn)：1．解題過程中輔助線的構(gòu)造．三．易錯點(diǎn)：1．正方形、矩形、菱形性質(zhì)與判定的區(qū)別．全等與四邊形綜合例題例題1、（1）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且．求證：；（2）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（3）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，，E、F分別是BC、CD延長線上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】見解析．【解析】證明：（1）延長EB到G，使BG=DF，連接AG．∵，，．，．．，又∴EG=EF∵EG=BE+BG∴EF=BE+FD．（2）（1）中的結(jié)論依然成立．（3）結(jié)論EF=BE+ED不成立，應(yīng)當(dāng)是EF=BE-FD．證明：在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．∵，∴AG=AF∴．例題2、在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OBCD是正方形，且D（0,2），點(diǎn)E是線段OB延長線上一點(diǎn)，M是線段OB上一動點(diǎn)（不包括點(diǎn)O、B），作，垂足為M，交的平分線于點(diǎn)N．（1）寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求證：MD=MN；（3）連接DN交BC于點(diǎn)F，連接FM，下列兩個結(jié)論：=1\*GB3①FM的長度不變；=2\*GB3②MN平分，其中只有一個結(jié)論是正確的，請你指出正確的結(jié)論，并給出證明．【答案】C（2,2）見解析見解析【解析】解：（1）∵四邊形BCDO是正方形，∴CD=BC=OD=OB，（2）在OD上取OH=OM，連接HM，∵OD=OB，OH=OM，∴HD=MB，∴∵NB平分，∴，在和中，；（3）MN平分成立．證明如下：延長BO到A使OA=CF，在與中，，，，，，在與中，，，過M作于P，則，，，，即MN平分例題3、如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對角線AC上任意一點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC延長線上一點(diǎn)，且CF=AE，連接BE、EF．（1）如圖1，當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn)，且AB=2時，求△ABC的面積；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E不是線段AC的中點(diǎn)時，求證：BE=EF；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E是線段AC延長線上的任意一點(diǎn)時，（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1）（2）見解析（3）成立【解析】（1）∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，又E是線段AC的中點(diǎn)，∴BE⊥AC，AE=AB=1，∴BE=，∴△ABC的面積=×AC×BE=；（2）如圖2，作EG∥BC交AB于G，∵△ABC是等邊三角形，∴△AGE是等邊三角形，∴BG=CE，∵EG∥BC，∠ABC=60°，∴∠BGE=120°，∵∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，∴∠BGE=∠ECF，在△BGE和△ECF中，，∴△BGE≌△ECF，∴EB=EF；（3）成立，如圖3，作EH∥BC交AB的延長線于H，∵△ABC是等邊三角形，∴△AHE是等邊三角形，∴BH=CE，在△BHE和△ECF中，，∴△BHE≌△ECF，∴EB=EF．例題4、如圖，四邊形、均為正方形，（1）如圖1，連接、，試判斷和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并證明；（2）將正方形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)角（），如圖2，連接、相交于點(diǎn)，連接，當(dāng)角發(fā)生變化時，的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變化，求出的度數(shù)；若發(fā)生變化，請說明理由．（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，請直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系：【答案】（1）且（2）不變；（3）【解析】（1），，理由為：正方形，正方形，，，，，在和中，，，，延長交于點(diǎn)，，，，；（2）的度數(shù)不發(fā)生變化，的度數(shù)為理由為：過作，，在和中，，，為的平分線，，（3）在上截取，連接，為等腰直角三角形，，，為等腰直角三角形，即，，即，，，，在和中，，，則例題5、在平行四邊形中，的平分線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．（1）在圖1中證明；（2）若，是的中點(diǎn)（如圖2），直接寫出的度數(shù)；（3）若，，，分別連結(jié)、（如圖3），求的度數(shù)．【答案】（1）見解析（2）（3）60°【解析】該題考查四邊形綜合．（1）證明：如圖1：∵AF平分，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，AB//CD，∴,∴∴（2）連結(jié)GC、BG，∵四邊形ABCD為平行四邊形，，∴四邊形ABCD為矩形，∵AF平分，∴，∵，DF∥AB∴，，∴△ECF為等腰直角三角形，∵G為EF中點(diǎn)，∴，CG⊥EF，∵△ABE為等腰直角三角形，∴∵∴在△BEG和△DCG中，∵∴△BEG≌△DCG（SAS）∴∵，∴，又∴△DGB為等腰直角三角形，∴（3）延長AB、FG交于H，連結(jié)HD．∵AD∥GF，AB∥DF∴四邊形AHFD為平行四邊形∵，AF平分∴，，∴△DAF為等腰三角形∴，∴平行四邊形AHFD為菱形∴△ADH，△DHF為全等的等邊三角形∴，∵，，，∴在△BHD與△GFD中，∵∴△BHD≌△GFD（SAS）∴∴隨練隨練1、在中，的平分線交直線BC與點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F．（1）在圖1中證明CE=CF；（2）若，G是EF的中點(diǎn)（如圖2），直接寫出的度數(shù)；（3）若，，，分別連接DB、DG（如圖3），求的度數(shù)．【答案】見解析．【解析】（1）證明：如圖1，∵平分，四邊形ABCD是平行四邊形，，，．．（2）解：連接GC、BG，∵四邊形ABCD為平行四邊形，四邊形ABCD為矩形，∵AF平分，∴，，，為等腰直角三角形，AB=DC，，在與中，又∵，為等腰直角三角形，（3）解：延長AB、FG交于H，連接HD．，，四邊形AHFD為平行四邊形，AF平分，，，為等腰三角形平行四邊形AHFD為菱形，為全等的等邊三角形，，，在與中，，隨練2、圖1和圖2中的正方形ABCD和四邊形AEFG都是正方形．（1）如圖1，連接DE，BG，M為線段BG的中點(diǎn)，連接AM，探究AM與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）在圖1的基礎(chǔ)上，將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連結(jié)DE、BG，M為線段BG的中點(diǎn)，連結(jié)AM，探究AM與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】見解析．【解析】解：（1），，理由是：如圖1，設(shè)AM交DE于點(diǎn)O，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，，，在中，∵M(jìn)為線段BG的中點(diǎn)，，AM=BM，，，，即．（2），，理由是：如圖2，延長AM到N，使MN=AM，連接NG，，，由（1）得：AB=AD，，，，，，．隨練3、如圖所示，請?jiān)趫D中畫出物體AB在平面鏡中所成的像．【答案】【解析】分別作出物體AB端點(diǎn)A、B關(guān)于平面鏡的對稱點(diǎn)A′、B′，用虛線連接A′、B′即為AB在平面鏡中的像．如圖：隨練4、如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，點(diǎn)E、F分別在線段BC、CD上，將△CEF沿EF翻折，點(diǎn)C的落點(diǎn)為M（1）如圖1，當(dāng)CE=5，M點(diǎn)落在線段AD上時，求MD的長（2）如圖2，若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動，將△CEF沿EF折疊，①連接BM，△BME是否可以是直角三角形？如果可以，求此時CE的長，如果不可以，說明理由②連接MD，如圖3，求四邊形ABMD的周長的最小值和此時CE的長【答案】（1）MD的長為2（2）①可以；CE=2或②四邊形ABMD的周長的最小值為（4+12），此時CE的長為4【解析】（1）如圖1，作EN⊥AD于點(diǎn)N，∴∠ANE=∠ENM=90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=4，AD=BC=8，∴∠A=∠B=∠ANE=90°，∴AB=NE=4，AN=BE．∵EC=5，∴BE=3，∴AN=3．∵△EFC與△EFM關(guān)于直線EF對稱，∴△EFC≌△EFM，∴EC=EM=5．在Rt△EMN中，由勾股定理，得MN=3，∴MD=8﹣3﹣3=2．答：MD的長為2；（2）①如圖2，當(dāng)∠BME=90°時，∵∠EMF=90°，∴∠BMF=180°，∴B、M、F在同一直線上．∵F是BC的中點(diǎn)，∴CF=DF=CD=2．∵△EFC與△EFM關(guān)于直線EF對稱，∴△EFC≌△EFM，∴MF=CF=2，EC=EM．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BF=2．∴BM=2﹣2．設(shè)EC=EM=x，則BE=8﹣x，在Rt△BME中，由勾股定理，得（8﹣x）2﹣x2=（2﹣2）2，解得：x=．∴CE=；如圖3，當(dāng)∠BEM=90°時，∴∠MEC=90°∵△EFC與△EFM關(guān)于直線EF對稱，∴△EFC≌△EFM，∴∠EMF=∠C=90°，CF=FM=2，∴四邊形ECFM是正方形，∴MF=CE=2．∴CE=2或；②如圖4，∵四邊形ABMD的周長最小，∴BM+MD最小，∴B、M、D在同一直線上，∴點(diǎn)M在BD上．連結(jié)MC，∵△EFC與△EFM關(guān)于直線EF對稱，∴△EFC≌△EFM，∴EC=EM，F(xiàn)C=FM．∴EF垂直平分MC，∴MG=CG，∴GF是△CDM的中位線，∴FG∥BD，∴BE=CE．∵BC=8，∴CE=4．在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=4．∴四邊形ABMD的周長的最小值為：4+4+8=4+12．答：四邊形ABMD的周長的最小值為（4+12），此時CE的長為4．隨練5、△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，①BC與CF的位置關(guān)系為：．②BC，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系為：；（將結(jié)論直接寫在橫線上）（2）數(shù)學(xué)思考如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明．（3）拓展延伸如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點(diǎn)G，連接GE．若已知AB=2，CD=BC，請求出GE的長．【答案】（1）①垂直；②BC=CF+CD；（2）CD=CF+BC；（3）．【解析】（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB與△FAC中，，∴△DAB≌△FAC，∴∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；故答案為：垂直；②△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．∵正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB與△FAC中，，∴△DAB≌△FAC，∴∠ABD=∠ACF，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°．∴∠ABD=180°﹣45°=135°，∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°，∴CF⊥BC．∵CD=DB+BC，DB=CF，∴CD=CF+BC．（3）解：過A作AH⊥BC于H，過E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴BC=AB=4，AH=BC=2，∴CD=BC=1，CH=BC=2，∴DH=3，由（2）證得BC⊥CF，CF=BD=5，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=DE，∠ADE=90°，∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四邊形CMEN是矩形，∴NE=CM，EM=CN，∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，∴∠ADH=∠DEM，在△ADH與△DEM中，，∴△ADH≌△DEM，∴EM=DH=3，DM=AH=2，∴CN=EM=3，EN=CM=3，∵∠ABC=45°，∴∠BGC=45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CG=BC=4，∴GN=1，∴EG==．隨練6、如圖1、2，已知四邊形ABCD為正方形，在射線AC上有一動點(diǎn)P，作PE⊥AD（或延長線）于E，作PF⊥DC（或延長線）于F，作射線BP交EF于G．（1）在圖1中，設(shè)正方形ABCD的邊長為2，四邊形ABFE的面積為y，AP=x，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）結(jié)論：GB⊥EF對圖1，圖2都是成立的，請任選一圖形給出證明；（3）請根據(jù)圖2證明：△FGC∽△PFB．【答案】（1）（2）見解析（3）見解析【解析】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練應(yīng)用正方形的性質(zhì)得出對應(yīng)角以及對應(yīng)邊的關(guān)系是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得出S四邊形ABFE=4-ED×DF-BC×FC進(jìn)而得出答案；（2）首先利用正方形的性質(zhì)進(jìn)而證明△FPE≌△BHP（SAS），即可得出△FPG∽△BPH，求出即可；（3）首先得出△DPC≌△BPC（SAS），進(jìn)而利用相似三角形的判定得出△FGC∽△PFB．（1）∵PE⊥AD，PF⊥DC，∴四邊形EPFD是矩形，∵AP=x，∴AE=EP=DF=x，DE=PF=FC=2-x，∴S四邊形ABFE=4-ED?DF-BC?FC=4-×x（2-x）-×2×（2-x）=x2+2；（2）證明：如圖1，延長FP交AB于H，∵PF⊥DC，PE⊥AD，∴PF⊥PE，PH⊥HB，即∠BHP=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC平分∠DAB，∴可得PF=FC=HB，EP=PH，在△FPE與△BHP中，∴△FPE≌△BHP（SAS），∴∠PFE=∠PBH，又∵∠FPG=∠BPH，∴△FPG∽△BPH，∴∠FGP=∠BHP=90°，即GB⊥EF；（3）證明：如圖2，連接PD，∵GB⊥EF，∴∠BPF=∠CFG①，在△DPC和△BPC中，∴△DPC≌△BPC（SAS），∴PD=PB，而PD=EF，∴EF=PB，又∵GB⊥EF，∴PF2=FG?EF，∴PF2=FG?PB，而PF=FC，∴PF?FC=FG?PB，∴=②，∴由①②得△FGC∽△PFB．隨練7、（1）如圖1，正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，且滿足，聯(lián)結(jié)AE、BF交于點(diǎn)H．請直接寫出線段AE與BF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）如圖2，正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BF，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)G，試判斷線段BF與GE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)GF、HD．求證：①；②圖3圖2圖1圖3圖2圖1【答案】（1）；（2）見解析（3）見解析【解析】本題考查的是幾何綜合．（1）易證明△ABM和△BCF（SAS），∴，∵∴，即-----------------------------------------------1分（2）判斷：．-------------------------------------------------2分證明：過點(diǎn)A作AM∥GE交BC于M∵∴∴∵正方形ABCD∴，AD∥BC，∴∴∴△ABM≌△BCF∴-------------------------------------------------3分∵AM∥GE且AD∥BC∴∴-------------------------------------------------4分（3）①：過點(diǎn)B作BN∥FG，且使聯(lián)結(jié)NG、NE∴四邊形NBFG是平行四邊形∴，BF∥NG由（2）可知，，且∴且∴△NGE為等腰直角三角形由勾股定理得∴．當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D不重合，點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時，N、B、E三點(diǎn)不共線此時，在△BEN中，，即．-------------------------------5分當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時，N、B、E三點(diǎn)共線此時，，即．-------------------------------------------6分②：∵正方形ABCD∴以GF為直徑作⊙P，則點(diǎn)D在⊙P上∵∴點(diǎn)H也在⊙P上∴．---------------------------------------------7分拓展拓展1、已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作交于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG．（1）求證：EG=CG；（2）將圖=1\*GB3①繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖=2\*GB3②所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG．問（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（3）將圖=1\*GB3①中繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖=3\*GB3③所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論（均不要求證明）．【答案】見解析．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴，在中，∵G為DF的中點(diǎn)，∴，同理，在中，，．（2）解：（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG．證法一：連接AG，過G點(diǎn)作于M，與EF的延長線交于N點(diǎn)．在與中，，，DG=DG，在與中，，，；四邊形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN，在與中，，，．（3）解：（1）中結(jié)論仍然成立，理由如下：過F作CD的平行線并延長CG交于M點(diǎn)，連接EM、EC，過F作FN垂直于AB于N．由于G為FD中點(diǎn)，易證，得到又因?yàn)锽E=EF，易證，則，EM=EC，即是等腰直角三角形為中點(diǎn)，，．拓展2、已知，在中，，，點(diǎn)D為直線BC上一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合）．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，求證：=1\*GB3①．=2\*GB3②CF=BC-CD．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線時，其他條件不變，請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上時，且點(diǎn)A、F分別在直線BC的兩側(cè)，其它條件不變：=1\*GB3①請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系．=2\*GB3②若連接正方形對角線AE、DF，交點(diǎn)為O，連接OC，探究的形狀，并說明理由．【答案】見解析．【解析】（1）證明：=1\*GB3①，AB=AC，，四邊形ADEF是正方形，，，在和中，．=2\*GB3②由=1\*GB3①可得，，（2）與（1）同理可得BD=CF，∴CF=BC+CD；（3）=1\*GB3①與（1）同理可得，BD=CF，∴CF=CD-BC；=2\*GB3②∵AB=AC,∴,則∵四邊形ADEF是正方形，，在和中，,,,則為直角三角形∵正方形ADEF中，O是DF的中點(diǎn)，∵正方形ADEF中，，是等腰三角形．拓展3、如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD對角線AC上一動點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BC上， 且PB=PE，連接PD，O為AC的中點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時，試猜想PE與PD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，不用說明理由；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時，（1）中的猜想還成立嗎？請說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長線上時，請你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法），并判斷（1）中的猜想是否成立？若成立，請直接寫出結(jié)論；若不成立，請說明理由．【答案】見解析．【解析】解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時，在和中，過點(diǎn)P作，于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，，，在與中，，故（2）∵四邊形ABCD是正方形，AC為對角線，∴BA=DA，又∵．（=1\*romani）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，此時，．（=2\*romanii）當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時，如圖．．綜合（=1\*romani）（=2\*romanii），．（3）同理即得出：，．拓展4、我們可以通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的，下面是一個案例，請補(bǔ)充完整原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說明理由．（1）思路梳理∵AB=AD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，點(diǎn)F、D、G共線．根據(jù)______，易證△AFG≌______，得EF=BE+DF．（2）類比引申如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系______時，仍有EF=BE+DF．（3）聯(lián)想拓展如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程．【答案】（1）SAS；△AFG（2）∠B+∠D=180°（3）DE2=BD2+EC2【解析】（1）∵AB=AD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，點(diǎn)F、D、G共線，在△AFE和△AFG中，，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF=FG，即：EF=BE+DF，（2）∠B+∠D=180°時，EF=BE+DF；∵AB=AD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC+∠B=180°，∴∠FDG=180°，點(diǎn)F、D、G共線，在△AFE和△AFG中，，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF=FG，即：EF=BE+DF；（3）猜想：DE2=BD2+EC2，證明：連接DE′，根據(jù)△AEC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE′，∴△AEC≌△ABE′，∴BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°，∴E′B2+BD2=E′D2，又∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠E′AB+∠BAD=45°，即∠E′AD=45°，在△AE′D和△AED中，，∴△AE′D≌△AED（SAS），∴DE=DE′，∴DE2=BD2+EC2．拓展5、已知E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC，CD上的點(diǎn)，AF，DE相交于點(diǎn)G，當(dāng)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點(diǎn)時，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．試探究下列問題：（1）如圖1，若點(diǎn)E不是邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)不是邊CD的中點(diǎn)，且CE=DF，上述結(jié)論①，②是否仍然成立？（請直接回答“成立”或“不成立”），不需要證明）（2）如圖2，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CB的延長線和DC的延長線上，且CE=DF，此時，上述結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由；（3）如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，連接AE和EF，若點(diǎn)M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點(diǎn)，請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）AF⊥DE；（2）成立；（3）四邊形MNPQ是正方形．【解析】（1）上述結(jié)論①，②仍然成立，理由為：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（2）上述結(jié)論①，②仍然成立，理由為：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠CDE=∠DAF，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（3）四邊形MNPQ是正方形．理由為：如圖，設(shè)MQ，DE分別交AF于點(diǎn)G，O，PQ交DE于點(diǎn)H，∵點(diǎn)M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點(diǎn)，∴MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，∴四邊形OHQG是平行四邊形，∵AF=DE，∴MQ=PQ=PN=MN，∴四邊形MNPQ是菱形，∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°，∴∠HQG=∠AOD=90°，∴四邊形MNPQ是正方形．拓展6、某數(shù)學(xué)興趣小組對線段上的動點(diǎn)問題進(jìn)行探究，已知AB=8．問題思考：如圖1，點(diǎn)P為線段AB上的一個動點(diǎn)，分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC、BPEF．（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，這兩個正方形的面積之和是定值嗎？若是，請求出；若不是，請求出這兩個正方形面積之和的最小值．（2）分別連接AD、DF、AF，AF交DP于點(diǎn)K，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在兩個面積始終相等的三角形？請說明理由．問題拓展：（3）如圖2，以AB為邊作正方形ABCD，動點(diǎn)P、Q在正方形ABCD的邊上運(yùn)動，且PQ=8．若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路，向點(diǎn)D運(yùn)動，求點(diǎn)P從A到D的運(yùn)動過程中，PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長．（4）如圖3，在“問題思考”中，若點(diǎn)M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，且AM=BN=1，點(diǎn)G、H分別是邊CD、EF的中點(diǎn)，請直接寫出點(diǎn)P從M到N的運(yùn)動過程中，GH的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長及OM+OB的最小值．【答案】（1）不是，最小值為32（2）存在兩個面積始終相等的三角形，它們是△APK與△DFK（3）6π（4）【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，這兩個正方形的面積之和不是定值．設(shè)AP=x，則PB=8-x，根據(jù)題意得這兩個正方形面積之和=x2+（8-x）2=2x2-16x+64=2（x-4）2+32，所以當(dāng)x=4時，這兩個正方形面積之和有最小值，最小值為32．（2）存在兩個面積始終相等的三角形，它們是△APK與△DFK．依題意畫出圖形，如答圖2所示．設(shè)AP=a，則PB=BF=8-a．∵PE∥BF，∴=，即=，∴PK=，∴DK=PD-PK=a-=，∴S△APK=PK?PA=??a=，S△DFK=DK?EF=??（8-a）=，∴S△APK=S△DFK．（3）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路，向點(diǎn)D運(yùn)動時，不妨設(shè)點(diǎn)Q在DA邊上，若點(diǎn)P在點(diǎn)A，點(diǎn)Q在點(diǎn)D，此時PQ的中點(diǎn)O即為DA邊的中點(diǎn)；若點(diǎn)Q在DA邊上，且不在點(diǎn)D，則點(diǎn)P在AB上，且不在點(diǎn)A．此時在Rt△APQ中，O為PQ的中點(diǎn)，所以AO=PQ=4．所以點(diǎn)O在以A為圓心，半徑為4，圓心角為90°的圓弧上．PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為4，圓心角為90°的圓弧，如答圖3所示：所以PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長為：×2π×4=6π．（4）點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑長為3，OM+OB的最小值為．如