愛提分中考復(fù)習(xí) 17三輪-新定義壓軸-第02講 新定義壓軸題（二）(教師版)

高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)教師輔導(dǎo)講義[教師版]學(xué)員姓名王李 年級(jí)輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師王涵上課時(shí)間01-1806:30:00-08:30:00 知識(shí)圖譜新定義壓軸題（二）知識(shí)精講一．圓與新定義近幾年中考最后的新定義壓軸題經(jīng)常與圓有關(guān)，并且與動(dòng)點(diǎn)結(jié)合起來考察一次函數(shù)與圓的綜合，要求學(xué)生在理解題意的情況下，定性分析出符合題意的臨界位置，并能夠結(jié)合題目中給的條件進(jìn)行定量計(jì)算，綜合性較強(qiáng)難度較大．三點(diǎn)剖析一．考點(diǎn)：1．圓與新定義．二．重難點(diǎn)：圓與新定義三．易錯(cuò)點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中符合題意的臨界位置分析錯(cuò)誤．圓與新定義問題例題例題1、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的半徑為r（r＞1），P是圓內(nèi)與圓心C不重合的點(diǎn)，⊙C的“完美點(diǎn)”的定義如下：若直線CP與⊙C交于點(diǎn)A，B，滿足|PA﹣PB|=2，則稱點(diǎn)P為⊙C的“完美點(diǎn)”，如圖為⊙C及其“完美點(diǎn)”P的示意圖．（1）當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí)，①在點(diǎn)M（，0），N（0，1），T（﹣，﹣）中，⊙O的“完美點(diǎn)”是______；②若⊙O的“完美點(diǎn)”P在直線y=x上，求PO的長及點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）⊙C的圓心在直線y=x+1上，半徑為2，若y軸上存在⊙C的“完美點(diǎn)”，求圓心C的縱坐標(biāo)t的取值范圍．【答案】（1）①N，T②（，）或（﹣，﹣）（2）1﹣2≤t≤1+2【解析】（1）①∵點(diǎn)M（，0），∴設(shè)⊙O與x軸的交點(diǎn)為A，B，∵⊙O的半徑為2，∴取A（﹣2，0），B（2，0），∴|MA﹣MB|=|（+2）﹣（﹣2）|=4≠2，∴點(diǎn)M不是⊙O的“完美點(diǎn)”，同理：點(diǎn)N，T是⊙O的“完美點(diǎn)”．故答案為N，T；②如圖1，根據(jù)題意，|PA﹣PB|=2，∴|OP+2﹣（2﹣OP）|=2，∴OP=1．若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，∵點(diǎn)P在直線上，OP=1，∴OQ=，PQ=．∴P（，）．若點(diǎn)P在第三象限內(nèi)，根據(jù)對(duì)稱性可知其坐標(biāo)為（﹣，﹣）．綜上所述，PO的長為1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（﹣，﹣）．（2）對(duì)于⊙C的任意一個(gè)“完美點(diǎn)”P都有|PA﹣PB|=2，∴|CP+2﹣（2﹣CP）|=2．∴CP=1．∴對(duì)于任意的點(diǎn)P，滿足CP=1，都有|CP+2﹣（2﹣CP）|=2，∴|PA﹣PB|=2，故此時(shí)點(diǎn)P為⊙C的“完美點(diǎn)”．因此，⊙C的“完美點(diǎn)”是以點(diǎn)C為圓心，1為半徑的圓．設(shè)直線與y軸交于點(diǎn)D，如圖2，當(dāng)⊙C移動(dòng)到與y軸相切且切點(diǎn)在點(diǎn)D的下方時(shí)，t的值最?。O(shè)切點(diǎn)為E，連接CE，∵⊙C的圓心在直線y=x+1上，∴此直線和x軸，y軸的交點(diǎn)C（0，1），F(xiàn)（﹣，0），∴OF=，OD=1，∵CE∥OF，∴△DOF∽△DEC，∴，∴，∴DE=．t的最小值為1﹣．當(dāng)⊙C移動(dòng)到與y軸相切且切點(diǎn)在點(diǎn)D的上方時(shí)，t的值最大．同理可得t的最大值為1+．綜上所述，t的取值范圍為1﹣≤t≤1+．例題2、定義：如圖1所示，給定線段及其垂直平分線上一點(diǎn)，若以點(diǎn)為圓心，為半徑的優(yōu)?。ɑ虬雸A?。┥洗嬖谌齻€(gè)點(diǎn)可以作為一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)，則稱點(diǎn)為線段的“三足點(diǎn)”，特別的，若這樣的等邊三角形只存在一個(gè)，則稱點(diǎn)為線段的“強(qiáng)三足點(diǎn)”。問題：如圖2所示，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在射線上。在點(diǎn)和中，可以成為線段的“三足點(diǎn)”的是__________；若第一象限內(nèi)存在一點(diǎn)既是線段的“三足點(diǎn)”，又是線段的“強(qiáng)三足點(diǎn)”，求點(diǎn)的坐標(biāo)。在（2）的條件下，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，假設(shè)該圓與軸交點(diǎn)中右側(cè)一個(gè)為，，圓上一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后停止，設(shè)點(diǎn)出發(fā)后轉(zhuǎn)過的角度為()，若線段與不存在公共的“三足點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)（3）

或

【解析】(1)（2）由題可知：點(diǎn)既為線段的“三足點(diǎn)”的,又是線段

的“強(qiáng)三足點(diǎn)”，則點(diǎn)須滿足在和

的垂直平分線上，且如圖所示

與軸的夾角為

．

.

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在的垂直平分線上，故，所以(3)

或

例題3、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，P是坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到⊙O的距離SP的定義如下：若點(diǎn)P與圓心O重合，則SP為⊙O的半徑長；若點(diǎn)P與圓心O不重合，作射線OP交⊙O于點(diǎn)A，則SP為線段AP的長度．圖1為點(diǎn)P在⊙O外的情形示意圖．（1）若點(diǎn)B（1，0），C（1，1），，則SB=；SC=；SD=；（2）若直線y=x+b上存在點(diǎn)M，使得SM=2，求b的取值范圍；（3）已知點(diǎn)P，Q在x軸上，R為線段PQ上任意一點(diǎn)．若線段PQ上存在一點(diǎn)T，滿足T在⊙O內(nèi)且ST≥SR，直接寫出滿足條件的線段PQ長度的最大值．【答案】（1）0；﹣1；；（2）﹣3≤b≤3（3）4【解析】（1）∵點(diǎn)B（1，0），∴SB=0，∵C（1，1），∴SC=﹣1，∵，∴SD=，故答案為：0；﹣1；；（2）設(shè)直線y=x+b與分別與x軸、y軸交于F、E，作OG⊥EF于G，∵∠FEO=45°，∴OG=GE，當(dāng)OG=3時(shí)，GE=3，由勾股定理得，OE=3，此時(shí)直線的解析式為：y=x+3，∴直線y=x+b上存在點(diǎn)M，使得SM=2，b的取值范圍是﹣3≤b≤3；（3）∵T在⊙O內(nèi)，∴ST≤1，∵ST≥SR，∴SR≤1，∴線段PQ長度的最大值為1+2+1=4．例題4、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P與點(diǎn)Q不重合，以點(diǎn)P為圓心作經(jīng)過Q的圓，則稱該圓為點(diǎn)P、Q的“相關(guān)圓”．（1）已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）；①若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，1），求點(diǎn)P、Q的“相關(guān)圓”的面積；②若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，n），且點(diǎn)P、Q的“相關(guān)圓”的半徑為，求n的值；（2）已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為（，0）、（，0），點(diǎn)C在y軸正半軸上，若點(diǎn)P、Q的“相關(guān)圓”恰好是△ABC的內(nèi)切圓且點(diǎn)Q在直線y＝2x上，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．（3）已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：A（－3，0）、B（，0），C（0，4），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，），若點(diǎn)P、Q的“相關(guān)圓”與△ABC的三邊中至少一邊存在公共點(diǎn)，直接寫出m的取值范圍．【答案】（1）①5π；②2或－2（2）Q（，）或（0，0）（3），【解析】（1）①∵，∴S＝π?r2＝5π．②過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于H．∵，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）或（3，－2）．∴n＝2或－2．（2）如圖，在Rt△OAC中，∠ACO＝30°，∴，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），∴△ABC的內(nèi)切圓的圓心的坐標(biāo)為（0，1），半徑為1，∴P（0，1），設(shè)Q（x，2x），則有x2＋（2x－1）2＝1，解得或0，∴Q（，）或（0，0）．（3）如圖3中，①當(dāng)相關(guān)圓與AC、AB相切時(shí)半徑有最小值．②當(dāng)相關(guān)圓經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，半徑有最大值，∴，．例題5、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：對(duì)于⊙C及⊙C外一點(diǎn)P，M，N是⊙C上兩點(diǎn)，當(dāng)∠MPN最大時(shí)，稱∠MPN為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的“視角”．（1）如圖，⊙O的半徑為1，①已知點(diǎn)A（0，2），畫出點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“視角”；若點(diǎn)P在直線x＝2上，則點(diǎn)P關(guān)于⊙O的最大“視角”的度數(shù)________；②在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)B（m，m），點(diǎn)B關(guān)于⊙O的“視角”為60°，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）若點(diǎn)P在直線上，且點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“視角”大于60°，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP的取值范圍．（3）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，－1），若線段EF上所有的點(diǎn)關(guān)于⊙C的“視角”都小于120°，直接寫出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)xC的取值范圍．【答案】（1）①；60°；②B（，）（2）（3）或【解析】（1）①畫如圖1所示，如圖2，當(dāng)∠MPN最大時(shí)，此時(shí)PM與PN與⊙O相切，∵⊙O的半徑為r＝1，∴s，當(dāng)OP最小時(shí)，此時(shí)sin∠MPO最大，即∠MPO最大，∴，∴∠MPO＝30°∴∠MPN＝2∠MPO＝60°；②∵點(diǎn)B關(guān)于⊙O的視角為60°，∴BM與⊙O相切，且∠MBO＝30°，∴點(diǎn)B在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上，即OB＝2，∵B（m，m）（m＞0），∴，∴m，∴B（，）；（2）如圖3，∵點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“視角”大于60°，∴∠MPO＞30°，∴，∴OP＜2，∵點(diǎn)P不在⊙C上，∴1＜OP＜2∴點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，1為半徑與2為半徑的圓環(huán)內(nèi)，∵點(diǎn)P在直線上，由圖4，可得xp＝0或，∴；（3）如圖5，①當(dāng)點(diǎn)C在x軸正半軸時(shí)，在線段EF上取一點(diǎn)P，當(dāng)PM，PN都與⊙C相切時(shí)，∠MPN最大，當(dāng)∠MPN＝120°時(shí)，連接CP，∴∠CPM＝60°，在Rt△PCM中，CM＝1，，∴，∵線段EF上所有的點(diǎn)關(guān)于⊙C的“視角”都小于120°，∴點(diǎn)P和原點(diǎn)O重合時(shí)，視角只要小于120°時(shí)，即可，，此時(shí)，滿足條件的，②當(dāng)點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸時(shí)，同①可得，，即：滿足條件的或．隨練隨練1、定義：P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點(diǎn)，線段PQ的長度的最小值叫做線段a與線段b的距離．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐標(biāo)系中四點(diǎn)．（1）根據(jù)上述定義，當(dāng)m=2，n=2時(shí)，如圖1，線段BC與線段OA的距離是；當(dāng)m=5，n=2時(shí)，如圖2，線段BC與線段OA的距離為；（2）如圖3，若點(diǎn)B落在圓心為A，半徑為2的圓上，線段BC與線段OA的距離記為d，求d關(guān)于m的函數(shù)解析式．（3）當(dāng)m的值變化時(shí)，動(dòng)線段BC與線段OA的距離始終為2，線段BC的中點(diǎn)為M，①求出點(diǎn)M隨線段BC運(yùn)動(dòng)所圍成的封閉圖形的周長；②點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x軸，垂足為H，是否存在m的值使以A、M、H為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）2；（2）d=．（3）①16+4π，②存在；1、3或．【解析】（1）當(dāng)m=2，n=2時(shí)，如題圖1，線段BC與線段OA的距離（即線段BN的長）=2；當(dāng)m=5，n=2時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2），線段BC與線段OA的距離，即為線段AB的長，如答圖1，過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，則AN=1，BN=2，在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB===．（2）如答圖2所示，當(dāng)點(diǎn)B落在⊙A上時(shí)，m的取值范圍為2≤m≤6：當(dāng)4≤m≤6，顯然線段BC與線段OA的距離等于⊙A半徑，即d=2；當(dāng)2≤m＜4時(shí)，作BN⊥x軸于點(diǎn)N，線段BC與線段OA的距離等于BN長，ON=m，AN=OA﹣ON=4﹣m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：∴d===．（3）①依題意畫出圖形，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡如答圖3中粗體實(shí)線所示：由圖可見，封閉圖形由上下兩段長度為8的線段，以及左右兩側(cè)半徑為2的半圓所組成，其周長為：2×8+2×π×2=16+4π，∴點(diǎn)M隨線段BC運(yùn)動(dòng)所圍成的封閉圖形的周長為：16+4π．②結(jié)論：存在．∵m≥0，n≥0，∴點(diǎn)M位于第一象限．∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD．如答圖4所示，相似三角形有三種情形：（I）△AM1H1，此時(shí)點(diǎn)M縱坐標(biāo)為2，點(diǎn)H在A點(diǎn)左側(cè)．如圖，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA﹣OH1=2﹣m，由相似關(guān)系可知，M1H1=2AH1，即2=2（2﹣m），∴m=1；（II）△AM2H2，此時(shí)點(diǎn)M縱坐標(biāo)為2，點(diǎn)H在A點(diǎn)右側(cè)．如圖，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2﹣OA=m﹣2，由相似關(guān)系可知，M2H2=2AH2，即2=2（m﹣2），∴m=3；（III）△AM3H3，此時(shí)點(diǎn)B落在⊙A上．如圖，OH3=m+2，AH3=OH3﹣OA=m﹣2，過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，則BN=M3H3=n，AN=m﹣4，由相似關(guān)系可知，AH3=2M3H3，即m﹣2=2n（1）在Rt△ABN中，由勾股定理得：22=（m﹣4）2+n2（2）由（1）、（2）式解得：m1=，m2=2，當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)A橫坐標(biāo)相同，點(diǎn)H與點(diǎn)A重合，故舍去，∴m=．綜上所述，存在m的值使以A、M、H為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似，m的取值為：1、3或．隨練2、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，定義點(diǎn)P（x，y）的變換點(diǎn)為P′（x+y，x﹣y）．（1）如圖1，如果⊙O的半徑為2，①請(qǐng)你判斷M（2，0），N（﹣2，﹣1）兩個(gè)點(diǎn)的變換點(diǎn)與⊙O的位置關(guān)系；②若點(diǎn)P在直線y=x+2上，點(diǎn)P的變換點(diǎn)P′在⊙O的內(nèi)，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍．（2）如圖2，如果⊙O的半徑為1，且P的變換點(diǎn)P′在直線y=﹣2x+6上，求點(diǎn)P與⊙O上任意一點(diǎn)距離的最小值．【答案】（1）①變換點(diǎn)在⊙O上；變換點(diǎn)在⊙O外；P橫坐標(biāo)的取值范圍為﹣2＜x＜0；②﹣2＜x＜0（2）﹣1【解析】（1）①M(fèi)（2，0）的變換點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（2，2），則OM′==2，所以點(diǎn)M（2，0）的變換點(diǎn)在⊙O上；N（﹣2，﹣1）的變換點(diǎn)N′的坐標(biāo)為（﹣3，﹣1），則ON′==＞2，所以點(diǎn)N（﹣2，﹣1）的變換點(diǎn)在⊙O外；②設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+2），則P點(diǎn)的變換點(diǎn)為P′的坐標(biāo)為（2x+2，﹣2），則OP′=，∵點(diǎn)P′在⊙O的內(nèi)，∴＜2，∴（2x+2）2＜4，即（x+1）2＜1，∴﹣1＜x+1＜1，解得﹣2＜x＜0，即點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為﹣2＜x＜0；（2）設(shè)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6），P（m，n），根據(jù)題意得m+n=x，m﹣n=﹣2x+6，∴3m+n=6，即n=﹣3m+6，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣3m+6），∴點(diǎn)P在直線y=﹣3x+6上，設(shè)直線y=﹣3x+6與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，過O點(diǎn)作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如圖2，則A（2，0），B（0，6），∴AB==2，∵OH?AB=OA?OB，∴OH==，∴CH=﹣1，即點(diǎn)P與⊙O上任意一點(diǎn)距離的最小值為﹣1．隨練3、設(shè)平面內(nèi)一點(diǎn)到等邊三角形中心的距離為d，等邊三角形的內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R．對(duì)于一個(gè)點(diǎn)與等邊三角形，給出如下定義：滿足r≤d≤R的點(diǎn)叫做等邊三角形的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，2），B（﹣，﹣1），C（，﹣1）．（1）已知點(diǎn)D（2，2），E（，1），F(xiàn)（﹣，﹣1）．在D，E，F(xiàn)中，是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)的是；（2）如圖1，過點(diǎn)A作直線交x軸正半軸于M，使∠AMO=30°．①若線段AM上存在等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)P（m，n），求m的取值范圍；②將直線AM向下平移得到直線y=kx+b，當(dāng)b滿足什么條件時(shí)，直線y=kx+b上總存在等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)；（直接寫出答案，不需過程）（3）如圖2，點(diǎn)Q為直線y=﹣1上一動(dòng)點(diǎn)，⊙Q的半徑為．當(dāng)Q從點(diǎn)（﹣4，﹣1）出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．是否存在某一時(shí)刻t，使得⊙Q上所有點(diǎn)都是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)？如果存在，請(qǐng)直接寫出所有符合題意的t的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）E，F(xiàn)；（2）①0≤m≤；②﹣≤b≤2；（3）．【解析】（1）由題意R=2，r=1，點(diǎn)O是△ABC的中心，∵OD=2，OE=2，OF=，∴點(diǎn)E、F是△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)故答案為E，F(xiàn)；（2）①解：如圖1中，由題意A（0，2），M（2，0）．可求得直線AM的解析式為y=﹣x+2，經(jīng)驗(yàn)證E在直線AM上．因?yàn)镺E=OA=2，∠MAO=60°，所以△OAE為等邊三角形，所以AE邊上的高長為．當(dāng)點(diǎn)P在AE上時(shí)，≤OP≤2．所以當(dāng)點(diǎn)P在AE上時(shí)，點(diǎn)P都是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)．所以0≤m≤；②如圖1﹣1中，設(shè)平移后的直線交y軸于G，作這條直線的垂線垂足為H．當(dāng)OH=2時(shí)，在Rt△OHG中，∵OH=2，∠HOG=30°，∴cos30°=，∴OG=，∴滿足條件的b的值為﹣≤b≤2；（3）存在．理由：如圖2中，設(shè)Q（m，﹣1）．由題意當(dāng)OQ=時(shí)，⊙Q上所有點(diǎn)都是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)，=，解得m=，∴t=．隨練4、我們規(guī)定：平面內(nèi)點(diǎn)A到圖形G上各個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱為該點(diǎn)到這個(gè)圖形的最小距離d，點(diǎn)A到圖形G上各個(gè)點(diǎn)的距離的最大值稱為該點(diǎn)到這個(gè)圖形的最大距離D，定義點(diǎn)A到圖形G的距離跨度為R＝D－d．（1）回答下列問題：①如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圖形G1為以O(shè)為圓心，2為半徑的圓，直接寫出以下各點(diǎn)到圖形G1的距離跨度：A（－1，0）的距離跨度________；B（，）的距離跨度________；C（－3，2）的距離跨度________．②根據(jù)①中的結(jié)果，猜想到圖形G1的距離跨度為2的所有的點(diǎn)組成的圖形的形狀是________．（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圖形G2為以C（1，0）為圓心，2為半徑的圓，直線y＝k（x＋1）上存在到G2的距離跨度為2的點(diǎn)，求k的取值范圍．（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA：（x≥0），圓C是以3為半徑的圓，且圓心C在x軸上運(yùn)動(dòng)，若射線OA上存在點(diǎn)到圓C的距離跨度為2，直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)xC的取值范圍________．【答案】（1）2；2；4；圓（2）（3）－1≤xC≤2隨練5、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過⊙C上一點(diǎn)P作⊙C的切線l．當(dāng)入射光線照射在點(diǎn)P處時(shí)，產(chǎn)生反射，且滿足：反射光線與切線l的夾角和入射光線與切線l的夾角相等，點(diǎn)P稱為反射點(diǎn)．規(guī)定：光線不能“穿過”⊙C，即當(dāng)入射光線在⊙C外時(shí)，只在圓外進(jìn)行反射；當(dāng)入射光線在⊙C內(nèi)時(shí)，只在圓內(nèi)進(jìn)行反射．特別地，圓的切線不能作為入射光線和反射光線．光線在⊙C外反射的示意圖如圖1所示，其中∠1=∠2．（1）自⊙C內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的入射光線經(jīng)⊙C第一次反射后的示意圖如圖2所示，P1是第1個(gè)反射點(diǎn)．請(qǐng)?jiān)趫D2中作出光線經(jīng)⊙C第二次反射后的反射光線；（2）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，如圖3，①第一象限內(nèi)的一條入射光線平行于x軸，且自⊙O的外部照射在其上點(diǎn)P處，此光線經(jīng)⊙O反射后，反射光線與y軸平行，則反射光線與切線l的夾角為°；②自點(diǎn)A（﹣1，0）出發(fā)的入射光線，在⊙O內(nèi)不斷地反射．若第1個(gè)反射點(diǎn)P1在第二象限，且第12個(gè)反射點(diǎn)P12與點(diǎn)A重合，則第1個(gè)反射點(diǎn)P1的坐標(biāo)為；（3）如圖4，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2），⊙M的半徑為1．第一象限內(nèi)自點(diǎn)O出發(fā)的入射光線經(jīng)⊙M反射后，反射光線與坐標(biāo)軸無公共點(diǎn)，求反射點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1）見解析（2）①45°；②P1（﹣，）（3）1【解析】（1）答案如圖：（2）①由題意：∠1=∠2，∠APB=90°，∴∠1=45°，∴反射光與切線的夾角為45°．②由題意：這些反射點(diǎn)組成的多邊形是正十二邊形，∴入射光線與反射光線夾角為150°，∴∠AOP1=30°，∵OP1=1，∴P1（﹣，）．（3）如圖：當(dāng)反射光PA∥X軸時(shí)，反射光線與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)．作PD⊥OC，PN⊥OM垂足分別為M，N，設(shè)PD=m．∵∠GPO=∠HPA，∠GPC=∠HPC=90°，∴∠OPC=∠APC=∠PCO，∴OP=OC，在RT△PON中，∵ON=PD=m，PN2=1﹣（2﹣m）2，∴PO2=m2+1﹣（2﹣m）2，∵PD∥OM，∵，∴CP=，CD2=（）2﹣m2，∴OC=ON+CD，OC2=（+）2，由：PO2=OC2得到：（）2﹣m2=（+）2，∴m1=2﹣，（m2=2+，m3=4，不合題意舍棄），∴根據(jù)左右對(duì)稱性得到：滿足條件的反射點(diǎn)P的縱坐標(biāo)：1．拓展拓展1、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的半徑為r，點(diǎn)P是與圓心C不重合的點(diǎn)，給出如下定義：若點(diǎn)P′為射線CP上一點(diǎn)，滿足CP?CP′=r2，則稱點(diǎn)P′為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反演點(diǎn)．右圖為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙C的反演點(diǎn)P′的示意圖．（1）如圖1，當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，分別求出點(diǎn)M（1，0），N（0，2），T（，）關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)M′，N′，T′的坐標(biāo)；（2）如圖2，已知點(diǎn)A（1，4），B（3，0），以AB為直徑的⊙G與y軸交于點(diǎn)C，D（點(diǎn)C位于點(diǎn)D下方），E為CD的中點(diǎn)．①若點(diǎn)O，E關(guān)于⊙G的反演點(diǎn)分別為O′，E′，求∠E′O′G的大小；②若點(diǎn)P在⊙G上，且∠BAP=∠OBC，設(shè)直線AP與x軸的交點(diǎn)為Q，點(diǎn)Q關(guān)于⊙G的反演點(diǎn)為Q′，請(qǐng)直接寫出線段GQ′的長度．【答案】（1）N′坐標(biāo)（0，），M′坐標(biāo)（1，0），T′坐標(biāo)（1，1）（2）①90°；②．【解析】（1）∵ON?ON′=1，ON=2，∴ON′=，∴反演點(diǎn)N′坐標(biāo)（0，），∵OM?OM′=1，OM=1，∴OM′=1反演點(diǎn)M′坐標(biāo)（1，0）∵，∴，∵T′在第一象限的角平分線上，∴反演點(diǎn)T′坐標(biāo)（1，1）（2）①由題意：AB=2，r=，∵E（0，2），G（2，2），EG=2，E′G?EG=5，∴，∵OG?O′G=5，OG=2，∴O′G=，∵E′（﹣，2），O′（），∴O′E′=，∴E′G2=E′O′2+O′G2，∴∠E′O′G=90°②如圖：∵∠BAP1=∠OBC，∠CAP1+∠CBP1=∠CAB+∠BAP1+∠CBP1=180°，∠OBC+∠CBP1+∠P1BQ1=180°，∠CAB=45°，∴∠P1BQ1=45°，∵∠AP1B=∠BP1Q1=90°，∴△PBQ1是等腰直角三角形，由△AP1B∽△BOC得到：，∵，BQ1=2，Q1（5，0），∵Q1′G?GQ1=5，∴Q1′G=，∵∠P2AB=∠BAP1，∴P1，P2關(guān)于直線AB對(duì)稱，∵P1（4，1），易知：P2（），∴直線AP2：Y=﹣7X+11，∴Q2（），由：Q2′G?Q2G=5得到：Q2′G=．拓展2、對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙M，給出如下定義：若⊙M上存在兩個(gè)點(diǎn)A，B，使AB＝2PM，則稱點(diǎn)P為⊙M的“美好點(diǎn)”．（1）當(dāng)⊙M半徑為2，點(diǎn)M和點(diǎn)O重合時(shí)，1點(diǎn)P1（－2，0），P2（1，1），P3（2，2）中，⊙O的“美好點(diǎn)”是________；2點(diǎn)P為直線y＝x＋b上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為⊙O的“美好點(diǎn)”，求b的取值范圍；（2）點(diǎn)M為直線y＝x上一動(dòng)點(diǎn)，以2為半徑作⊙M，點(diǎn)P為直線y＝4上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為⊙M的“美好點(diǎn)”，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)m的取值范圍．【答案】（1）P1和P2；（2）2＜m＜6【解析】（1）如圖1中，∵OP1＝2＋r，，，根據(jù)⊙M的“美好點(diǎn)”的定義可知，P1，P2是⊙M的“美好點(diǎn)”．當(dāng)直線y＝x＋b與⊙O相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)分別為T，該直線交x軸于K，交y軸于E．在Rt△OTK中，OT＝2，∠TKO＝45°，∴∠KEO＝45°，，∴，根據(jù)對(duì)稱性可知：，∴，∴b的取值范圍為：．（2）如圖2中，當(dāng)直線y＝4與⊙M相切時(shí)，切點(diǎn)分別為E或E′，連接ME，M′E′，∵EM＝E′M′＝2，∴M′（2，2），m（6，6），∴滿足條件的m的取值范圍為拓展3、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意三點(diǎn)A，B，C，給出如下定義：若矩形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行，且A，B，C三點(diǎn)都在矩形的內(nèi)部或邊界上，則稱該矩形為點(diǎn)A，B，C的外延矩形．點(diǎn)A，B，C的所有外延矩形中，面積最小的矩形稱為點(diǎn)A，B，C的最佳外延矩形．例如，右圖中的矩形，，都是點(diǎn)A，B，C的外延矩形，矩形是點(diǎn)A，B，C的最佳外延矩形．（1）如圖1，已知，，．①若，則點(diǎn)A，B，C的最佳外延矩形的面積為_______________；②若點(diǎn)A，B，C的最佳外延矩形的面積為24，則的值為_______________；（2）如圖2，已知點(diǎn)，．是拋物線上一點(diǎn)，求點(diǎn)M，N，P的最佳外延矩形面積的最小值，以及此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）如圖3，已知點(diǎn)，是函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，矩形OFEG是點(diǎn)O，D，E的一個(gè)面積最小的最佳外延矩形，⊙H是矩形OFEG的外接圓，請(qǐng)直接寫出⊙H的半徑r的取值范圍．【答案】（1）①18；②或（2）；或（3）【解析】（1）①18；……1分②或；……3分（2）如圖，過M點(diǎn)作軸的垂線與過N點(diǎn)垂直于軸的直線交于點(diǎn)Q，則當(dāng)點(diǎn)P位于矩形OMQN內(nèi)部或邊界時(shí)，矩形OMQN是點(diǎn)M，N，P的最佳外延矩形，且面積最?。撸帱c(diǎn)M，N，P的最佳外延矩形面積的最小值為48．………………4分拋物線與軸交于點(diǎn)．令，有，解得（舍），或．令，有，解得，或．∴，或．……6分（3）．……8分拓展4、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)，，，，記線段為，線段為，點(diǎn)是坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn).給出如下定義：若存在過點(diǎn)的直線l與，都有公共點(diǎn)，則稱點(diǎn)是聯(lián)絡(luò)點(diǎn)．例如，點(diǎn)是聯(lián)絡(luò)點(diǎn)．（1）以下各點(diǎn)中，__________________是聯(lián)絡(luò)點(diǎn)（填出所有正確的序號(hào)）；=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③.圖圖1備用圖（2）直接在圖1中畫出所有聯(lián)絡(luò)點(diǎn)所組成的區(qū)域，用陰影部分表示；（3）已知點(diǎn)M在y軸上，以M為圓心，r為半徑畫圓，⊙M上只有一個(gè)點(diǎn)為聯(lián)絡(luò)點(diǎn)，①若，求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)；②求r的取值范圍．【答案】（1）②，③（2）見解析（3）或；【解析】（1）=2\*GB3②，=3\*GB3③是聯(lián)絡(luò)點(diǎn)．……………………2分（2）所有聯(lián)絡(luò)點(diǎn)所組成的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分（含邊界）．…………4分（3）① ∵點(diǎn)M在y軸上，⊙M上只有一個(gè)點(diǎn)為聯(lián)絡(luò)點(diǎn)，陰影部分關(guān)于y軸對(duì)稱，∴⊙M與直線AC相切于(0，0)，或與直線BD相切于(0，1)，如圖所示．又∵⊙M的半徑，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，)或(0，2)．………………6分經(jīng)檢驗(yàn)：此時(shí)⊙M與直線AD，BC無交點(diǎn)，⊙M上只有一個(gè)點(diǎn)為聯(lián)絡(luò)點(diǎn)，符合題意．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，)或(0，2)．∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為或2．② 陰影部分關(guān)于直線對(duì)稱，故不妨設(shè)點(diǎn)M位于陰影部分下方．∵點(diǎn)M在y軸上，⊙M上只有一個(gè)點(diǎn)為聯(lián)絡(luò)點(diǎn)，陰影部分關(guān)于y軸對(duì)稱，∴⊙M與直線AC相切于O(0，0)，且⊙M與直線AD相離．作ME⊥AD于E，設(shè)AD與BC的交點(diǎn)為F，