專題08直接開(kāi)平方法和配方法解一元二次方程之五大考點(diǎn)(原卷版+解析)

專題08直接開(kāi)平方法和配方法解一元二次方程之五大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一解一元二次方程——直接開(kāi)平方法】 1【考點(diǎn)二配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程】 3【考點(diǎn)三配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程】 4【考點(diǎn)四用配方法解一元二次方程錯(cuò)解復(fù)原】 6【考點(diǎn)五利用配方法求多項(xiàng)式的最值問(wèn)題】 9【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 12【典型例題】【考點(diǎn)一解一元二次方程——直接開(kāi)平方法】例題：（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）解關(guān)于的方程：．【變式訓(xùn)練】1.（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）解關(guān)于的方程：．2.（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【考點(diǎn)二配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）用配方法解關(guān)于的方程：．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·北京西城·九年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）解方程：．2.（2023秋·廣東東莞·九年級(jí)校聯(lián)考期末）解方程：．【考點(diǎn)三配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程】例題：（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）用配方法解．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）用配方法解一元二次方程：．2.（2023春·江蘇南通·八年級(jí)校考期中）解方程：(1)；(2)．【考點(diǎn)四用配方法解一元二次方程錯(cuò)解復(fù)原】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）以下是圓圓在用配方法解一元二次方程的過(guò)程：解：移項(xiàng)得配方：開(kāi)平方得：移項(xiàng)：所以：，圓圓的解答過(guò)程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【變式訓(xùn)練】1.（2023秋·河北滄州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料，并回答問(wèn)題：佳佳解一元二次方程的過(guò)程如下：解：①②③④．問(wèn)題：(1)佳佳解方程的方法是______；A．直接開(kāi)平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法(2)上述解答過(guò)程中，從______步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤（填序號(hào)），發(fā)生錯(cuò)誤的原因是______；(3)在下面的空白處，寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．2.（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）用配方法解一元二次方程：．小明同學(xué)的解題過(guò)程如下：解：，小明的解題過(guò)程是否正確？若正確，請(qǐng)回答“對(duì)”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)寫(xiě)出你的解題過(guò)程．【考點(diǎn)五利用配方法求多項(xiàng)式的最值問(wèn)題】例題：（2023秋·甘肅慶陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如的多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫作“配方法”．運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，例如．根據(jù)以上材料，解答下列問(wèn)題：(1)分解因式：．(2)求多項(xiàng)式的最小值．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）代數(shù)式的最小值為（

）．A． B．0 C．3 D．52.（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求M的最小值：解：因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，M有最小值5請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：(1)在橫線上添加一個(gè)常數(shù)，使之成為完全平方式；(2)用配方法因式分解；(3)若，求M的最小值．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2023春·廣東河源·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）一元二次方程的根是（）A． B． C．， D．，2．（安徽省淮北市2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）解關(guān)于x的一元二次方程時(shí)，配方后正確的是（

）A． B． C． D．3．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）下列配方有錯(cuò)誤的是（）A．，化為B．，化為C．，化為D．，化為4．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是1，則的值是（

）A．4 B．2或 C．4或 D．5．（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）某數(shù)學(xué)興趣小組四人以接龍的方式用配方法解一元二次方程，每人負(fù)責(zé)完成一個(gè)步驟，如圖所示，老師看后，發(fā)現(xiàn)有一位同學(xué)所負(fù)責(zé)的步驟是錯(cuò)誤的，則這位同學(xué)是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空題6．（2023春·上海長(zhǎng)寧·八年級(jí)上海市延安初級(jí)中學(xué)?？计谥校┓匠痰慕馐莀________．7．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）______________．8．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？计谥校⒎匠袒傻男问剑瑒t的值為_(kāi)_______．9．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，則代數(shù)式的最小值等于__________．10．（2022秋·湖南湘西·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）若規(guī)定兩數(shù)x、y通過(guò)運(yùn)算得，即；現(xiàn)已知，則_______．三、解答題11．（北京市通州區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）解方程：(1)；(2)12．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）用開(kāi)平方法解下列方程：(1)；(2)．13．（2023春·四川廣安·九年級(jí)四川省武勝烈面中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）根據(jù)要求解下列方程：(1)（直接開(kāi)平方法）．(2)（配方法）．14．（2023春·黑龍江大慶·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）配方法解方程：．15．（2023春·安徽·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）解方程：16．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）用配方法解方程：(1)；(2)．17．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀材料，并回答問(wèn)題：小明在學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)，解方程的過(guò)程如圖：

解決問(wèn)題：(1)上述過(guò)程中，從第步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤（填序號(hào)）；(2)發(fā)生錯(cuò)誤的原因是：；(3)用你喜歡的方法寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．18．（2023春·福建寧德·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式最大值，最小值等．如：用配方法分解因式：解：原式請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：(1)用配方法因式分解：．(2)若，求M的最小值．

專題08直接開(kāi)平方法和配方法解一元二次方程之五大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一解一元二次方程——直接開(kāi)平方法】 1【考點(diǎn)二配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程】 3【考點(diǎn)三配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程】 4【考點(diǎn)四用配方法解一元二次方程錯(cuò)解復(fù)原】 6【考點(diǎn)五利用配方法求多項(xiàng)式的最值問(wèn)題】 9【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 12【典型例題】【考點(diǎn)一解一元二次方程——直接開(kāi)平方法】例題：（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）解關(guān)于的方程：．【答案】，【分析】利用直接開(kāi)方法求解即可．【詳解】解：整理方程，即得，直接開(kāi)平方法解方程，得：∴方程兩根為，．【點(diǎn)睛】本題考查直接開(kāi)方法求解一元二次方程，理解并熟練運(yùn)用直接開(kāi)方法是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）解關(guān)于的方程：．【答案】，【分析】整理方程，得，進(jìn)而根據(jù)直接開(kāi)平方法解一元二次方程JK【詳解】整理方程，得，直接開(kāi)平方法解方程，得：，即方程兩根為，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．2.（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)(4)【分析】（1）由，得或者，再解一次方程即可；（2）由，得，可得，再解一次方程即可；（3）由，得，從而可得答案；（4）由，得，即，從而可得答案．【詳解】（1）解：∵，∴或者，∴原方程的解為：，；（2）∵，∴，∴，解得：或，所以原方程的解為：，；（3）∵，∴，解得：．∴原方程的解為：；（4）∵，∴，∴，∴原方程的解為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用因式分解法與直接開(kāi)平方法求解一元二次方程，熟記因式分解法與直接開(kāi)平方法解一元二次方程的步驟是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）用配方法解關(guān)于的方程：．【答案】，【分析】先移項(xiàng)后，再配方得，再直接開(kāi)方即可求解．【詳解】解：，移項(xiàng)得：，配方得：，即，，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了用配方法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·北京西城·九年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）解方程：．【答案】【分析】利用配方法求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．2.（2023秋·廣東東莞·九年級(jí)校聯(lián)考期末）解方程：．【答案】，【分析】根據(jù)配方法先配成：，然后解一元二次方程即可方法不唯一．【詳解】解：，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程】例題：（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）用配方法解．【答案】【分析】利用配方法解一元二次方程即可．【詳解】解：，移項(xiàng)得，二次項(xiàng)系數(shù)化成1得，配方得，即∴，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）用配方法解一元二次方程：．【答案】，【分析】根據(jù)完全平方公式的形式進(jìn)行配方，由此即可求解．【詳解】解：方程兩邊都乘，得，移項(xiàng)，得，配方，得，即，開(kāi)平方，得，∴，，∴原方程的根是，．【點(diǎn)睛】本題主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．2.（2023春·江蘇南通·八年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得；（2）先去括號(hào)，再利用配方法解一元二次方程即可得．【詳解】（1）解：，，，，即，，，所以方程的解為，．（2）解：，，，，，即，，，所以方程的解為，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的常用方法（直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法、換元法等）是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)四用配方法解一元二次方程錯(cuò)解復(fù)原】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）以下是圓圓在用配方法解一元二次方程的過(guò)程：解：移項(xiàng)得配方：開(kāi)平方得：移項(xiàng)：所以：，圓圓的解答過(guò)程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【答案】有錯(cuò)誤，過(guò)程見(jiàn)解析【分析】直接利用配方法解一元二次方程的方法進(jìn)而分析得出答案．【詳解】解：圓圓的解答過(guò)程有錯(cuò)誤，正確的解答過(guò)程如下：移項(xiàng)得：，配方：，，開(kāi)平方得：，移項(xiàng)：，所以：，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解一元二次方程，正確掌握配方法解方程的步驟是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023秋·河北滄州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料，并回答問(wèn)題：佳佳解一元二次方程的過(guò)程如下：解：①②③④．問(wèn)題：(1)佳佳解方程的方法是______；A．直接開(kāi)平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法(2)上述解答過(guò)程中，從______步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤（填序號(hào)），發(fā)生錯(cuò)誤的原因是______；(3)在下面的空白處，寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【答案】(1)B(2)②，等號(hào)右邊沒(méi)有加9(3)，．【分析】（1）利用配方法解方程的方法進(jìn)行判斷；（2）第2步方程兩邊都加上4，則可判斷從②步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤；（3）利用配方法解方程的基本步驟解方程．【詳解】（1）解：佳佳解方程的方法為配方法；故選：B；（2）解：上述解答過(guò)程中，從②步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤，發(fā)生錯(cuò)誤的原因是方程右邊沒(méi)有加上9；故答案為：②；等號(hào)右邊沒(méi)有加9；（3）解：正確解答為：解：，移項(xiàng)得，配方得，即，∴，∴或，所以，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-配方法：熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2.（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）用配方法解一元二次方程：．小明同學(xué)的解題過(guò)程如下：解：，小明的解題過(guò)程是否正確？若正確，請(qǐng)回答“對(duì)”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)寫(xiě)出你的解題過(guò)程．【答案】錯(cuò)誤，見(jiàn)解析【分析】運(yùn)用配方法解答該方程即可判定正誤．【詳解】解：錯(cuò)誤，正確解法如下：解得，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用配方法解一元二次方程，掌握配方法成為解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五利用配方法求多項(xiàng)式的最值問(wèn)題】例題：（2023秋·甘肅慶陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如的多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫作“配方法”．運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，例如．根據(jù)以上材料，解答下列問(wèn)題：(1)分解因式：．(2)求多項(xiàng)式的最小值．【答案】(1)(2)-23【分析】（1）先利用完全平方公式進(jìn)行配方，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可；（2）利用完全平方公式進(jìn)行配方，根據(jù)平方的非負(fù)性即可得出答案．【詳解】（1）解：原式．（2）解：，，，多項(xiàng)式的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查利用完全平方公式進(jìn)行配方以及利用平方差公式進(jìn)行因式分解，熟練掌握兩個(gè)公式及其特點(diǎn)是本題解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）代數(shù)式的最小值為（

）．A． B．0 C．3 D．5【答案】A【分析】利用配方法對(duì)代數(shù)式做適當(dāng)變形，通過(guò)計(jì)算即可得到答案．【詳解】代數(shù)式∵，∴即代數(shù)式，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式和不等式的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式和不等式的性質(zhì)，從而完成求解．2.（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求M的最小值：解：因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，M有最小值5請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：(1)在橫線上添加一個(gè)常數(shù)，使之成為完全平方式；(2)用配方法因式分解；(3)若，求M的最小值．【答案】(1)16(2)(3)【分析】（1）利用完全平方公式，加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即可；（2）利用配方法分解因式即可；（3）利用配方法得到，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定M的最小值．【詳解】（1）解：，故答案為：16；（2）解：；（3）解：∵，∴當(dāng)時(shí)，M有最小值．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解?配方法等，熟練掌握配方法和平方差公式及完全平方公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2023春·廣東河源·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）一元二次方程的根是（）A． B． C．， D．，【答案】B【分析】利用直接開(kāi)平方法求解即可．【詳解】解：，解得：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄊ墙鉀Q此題的關(guān)鍵．2．（安徽省淮北市2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）解關(guān)于x的一元二次方程時(shí)，配方后正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用完全平方公式進(jìn)行配方即可得．【詳解】解：，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．3．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）下列配方有錯(cuò)誤的是（）A．，化為B．，化為C．，化為D．，化為【答案】D【分析】根據(jù)配方法的一般步驟對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、由可化為，所以A選項(xiàng)的計(jì)算正確，不合題意；B、由可化為，所以B選項(xiàng)的計(jì)算正確，不合題意；C、先化為，則可化為，所以C選項(xiàng)的計(jì)算正確，不合題意；D、先化為，則可化為，所以D選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．4．（2023·上海·八年級(jí)假期作業(yè)）關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是1，則的值是（

）A．4 B．2或 C．4或 D．【答案】C【分析】將方程的根代入求解即可得到答案；【詳解】解：∵的一個(gè)根是1，∴，解得：，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)一元二次方程的根求參數(shù)，解題的關(guān)鍵是將根代入列式求解．5．（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）某數(shù)學(xué)興趣小組四人以接龍的方式用配方法解一元二次方程，每人負(fù)責(zé)完成一個(gè)步驟，如圖所示，老師看后，發(fā)現(xiàn)有一位同學(xué)所負(fù)責(zé)的步驟是錯(cuò)誤的，則這位同學(xué)是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】根據(jù)配方法解一元二次方程的步驟即可得出結(jié)果．【詳解】解：∴解得：,丁同學(xué)是錯(cuò)的，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法解一元二次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023春·上海長(zhǎng)寧·八年級(jí)上海市延安初級(jí)中學(xué)?？计谥校┓匠痰慕馐莀________．【答案】【分析】先將原方程變形為，再降次求解即可．【詳解】解：方程即為，∴或（此方程無(wú)解，舍去），∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解高次方程，掌握降次解答的方法是關(guān)鍵．7．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）______________．【答案】【分析】運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行配方即可解答．【詳解】．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法，正確運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行配方是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校校考期中）將方程化成的形式，則的值為_(kāi)_______．【答案】5【分析】利用解一元二次方程配方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：，∴，∴，∴，∴，，∴故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程配方法，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，則代數(shù)式的最小值等于__________．【答案】【分析】將代入代數(shù)式，根據(jù)配方法即可求解．【詳解】解：∵∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·湖南湘西·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）若規(guī)定兩數(shù)x、y通過(guò)運(yùn)算得，即；現(xiàn)已知，則_______．【答案】7【分析】先由解出m的值，代入所求式子計(jì)算可得結(jié)果．【詳解】解：解得，故答案為：7【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，把新定義運(yùn)算轉(zhuǎn)化為常規(guī)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（北京市通州區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）解方程：(1)；(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用直接開(kāi)平方法，即可解方程；（2）利用配方法，即可解方程．【詳解】（1）解：，移項(xiàng)得，系數(shù)化為1得解得，（2）解：，移項(xiàng)得，配方得，即，開(kāi)方得，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練挑選正確地方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．12．（2023·上海·八年級(jí)假期作業(yè)）用開(kāi)平方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）先方程兩邊同時(shí)乘以3，變形為，再開(kāi)平方得，再解一元一次方程即可求解．（2）先把方程變形為，再開(kāi)平方得，再解一元一次方程即可求解．【詳解】（1）解：或，，；（2）解：或，．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程．熟練掌握直接開(kāi)平方法是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·四川廣安·九年級(jí)四川省武勝烈面中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）根據(jù)要求解下列方程：(1)（直接開(kāi)平方法）．(2)（配方法）．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根據(jù)平方根的定義，原方程變形求解；（2）根據(jù)完全平方公式，將原方程變形為形式，開(kāi)方求解．【詳解】（1）解：∴，（2）解：∴或∴，【點(diǎn)睛】本題考查直接開(kāi)平方法，配方法求解一元二次方程，熟練完全平方公式是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·黑龍江大慶·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）配方法解方程：．【答案】，【分析】方程移項(xiàng)變形后，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，開(kāi)方即可求出解．【詳解】解：，∴，∴，∴，∴，解得：，．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程配方法，熟練掌握配方法的依據(jù)：完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．15．（2023春·安徽·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練