5.4.1二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

4.1二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)第五章計(jì)數(shù)原理北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則及基本計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2.掌握二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式的通項(xiàng).3.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)

二項(xiàng)式定理

二項(xiàng)式定理問(wèn)題往往利用通項(xiàng)解決

(k+1)名師點(diǎn)睛1.展開(kāi)式的特點(diǎn):(1)展開(kāi)式共有n+1項(xiàng),各項(xiàng)中a,b的指數(shù)和都是n;(2)a按降冪排列,指數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0;b按升冪排列,指數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到n.2.二項(xiàng)式定理表示一個(gè)恒等式,對(duì)于任意的a,b,該等式都成立.通過(guò)對(duì)a,b取不同的特殊值,可使某些問(wèn)題的解決更為方便.二項(xiàng)式定理通常還有如下三種常見(jiàn)變形.4.二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)中b的指數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同,a與b的指數(shù)之和為n.5.二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)體現(xiàn)了二項(xiàng)展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、a與b的指數(shù)的變化規(guī)律,是二項(xiàng)式定理的核心,它在求展開(kāi)式的某些特定項(xiàng)(如含指定冪的項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、中間項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大項(xiàng)等)及系數(shù)等方面有著廣泛的應(yīng)用.思考辨析1.在初中,我們用多項(xiàng)式乘法法則得到了(a+b)2的展開(kāi)式:(a+b)2=(a+b)(a+b)=a×a+a×b+b×a+b×b=a2+2ab+b2.試用分步乘法計(jì)數(shù)原理解釋上述展開(kāi)過(guò)程.提示

從上述過(guò)程可以看到,(a+b)2是2個(gè)(a+b)相乘,根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則,每個(gè)(a+b)在相乘時(shí)有兩種選擇,選a或選b,而且每個(gè)(a+b)中的a或b都選定后,才能得到展開(kāi)式的一項(xiàng).于是,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,在合并同類項(xiàng)之前,(a+b)2的展開(kāi)式共有2×2=22(項(xiàng)),而且每一項(xiàng)都是a2-kbk(k=0,1,2)的形式.而且a2-kbk相當(dāng)于從2個(gè)(a+b)中取k個(gè)b的組合數(shù)

,即a2-kbk的系數(shù)是

.2.你能根據(jù)上述問(wèn)題的分析,寫出(a+b)3的展開(kāi)式嗎?類比上面的寫法,你能寫出(a+b)n的展開(kāi)式嗎?自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)(a+b)n的展開(kāi)式中共有n項(xiàng).(

)(2)an-kbk是(a+b)n展開(kāi)式中的第k項(xiàng).(

)(3)在公式中,交換a,b的順序?qū)Ω黜?xiàng)沒(méi)有影響.(

)(4)(a-b)n與(a+b)n的二項(xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)相同.(

)×××√2.

展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為(

)

A.80 B.-80 C.40 D.-40C3.[蘇教版教材例題]利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)下列各式:(1)(a-b)6;重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一二項(xiàng)式定理的正用、逆用規(guī)律方法

1.形式簡(jiǎn)單的二項(xiàng)式展開(kāi)時(shí)可直接利用二項(xiàng)式定理展開(kāi),對(duì)于形式較復(fù)雜的二項(xiàng)式,在展開(kāi)之前可以根據(jù)二項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行必要的變形,然后再展開(kāi),以使運(yùn)算得到簡(jiǎn)化.記準(zhǔn)、記熟二項(xiàng)式(a+b)n的展開(kāi)式是正確解答與二項(xiàng)式定理有關(guān)的問(wèn)題的前提.2.逆用二項(xiàng)式定理要注意二項(xiàng)展開(kāi)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),a的指數(shù)是從高到低,b的指數(shù)是從低到高,a,b的指數(shù)和都相等,如果項(xiàng)的系數(shù)是正負(fù)相間,那么是(a-b)n的形式.

★(2)化簡(jiǎn):(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1.探究點(diǎn)二二項(xiàng)式通項(xiàng)的應(yīng)用角度1.二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)(1)二項(xiàng)展開(kāi)式第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù);(2)二項(xiàng)展開(kāi)式第4項(xiàng)的系數(shù);(3)二項(xiàng)展開(kāi)式的第4項(xiàng).規(guī)律方法

1.二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù)

(k∈{0,1,2,…,n}),它與二項(xiàng)展開(kāi)式中某一項(xiàng)的系數(shù)不一定相等,要注意區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)”與二項(xiàng)展開(kāi)式中“項(xiàng)的系數(shù)”這兩個(gè)概念.2.第k+1項(xiàng)的系數(shù)是此項(xiàng)字母前的數(shù)連同符號(hào),而此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為

.(1)求n的值;(2)求展開(kāi)式中含x3的項(xiàng),并指出該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).角度2.求二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)求:(1)展開(kāi)式中第四項(xiàng);(2)展開(kāi)式中有理項(xiàng)的系數(shù)和.規(guī)律方法

求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)的常用方法

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①若該二項(xiàng)式的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列,求正整數(shù)n的值;②在①的條件下,求展開(kāi)式中x4項(xiàng)的系數(shù).角度3.多項(xiàng)式展開(kāi)問(wèn)題【例4】

(1)[2024河南鄭州月考]在(x+y+2)5的展開(kāi)式中,xy3的系數(shù)是(

)A.24 B.32 C.36 D.40D(2)(1+x)6展開(kāi)式中x2的系數(shù)為(

)A.15 B.20 C.30 D.35C變式訓(xùn)練4(1)(x2+x+y)5的展開(kāi)式中,x5y2的系數(shù)為(

)A.10 B.20 C.30 D.60CA.5 B.10 C.15 D.20C學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123456789101112131415A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一]二項(xiàng)式(a+b)2n的展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)是(

)A.2n B.2n+1C.2n-1 D.2(n+1)B123456789101112131415A.60 B.-60 C.250

D.-250A1234567891011121314153.[探究點(diǎn)二(角度1)]在(1+2x)5的展開(kāi)式中,x2的系數(shù)等于(

)A.80 B.40 C.20 D.10B1234567891011121314154.[探究點(diǎn)二(角度3)](x2-x+2)(x-1)4的展開(kāi)式中x的系數(shù)為(

)A.-9 B.-5 C.7 D.8A1234567891011121314155.[探究點(diǎn)二(角度2)](多選題)若

的展開(kāi)式中含x2項(xiàng),則n的值可能是(

)A.6 B.9 C.12 D.14BD1234567891011121314151234567891011121314156151234567891011121314151234567891011121314159.已知(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,則a8等于(

)A.180 B.-180 C.45 D.-45AB級(jí)關(guān)鍵能力提升練123456789101112131415A.(-1)n-1 B.(-1)nC.3n

D.3n-1A12345678910111213141511.在

的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng),則正整數(shù)n的最小值為(

)A.4 B.5 C.6 D.7B12345678910111213141512.(多選題)若(2-x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,則(

)A.a0=64B.a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=1C.a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36D.a3是a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6中的最大值A(chǔ)BC解析

∵(2-x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,∴令x=0,有26=a0=64,故選項(xiàng)A正確;令x=1,有(2-1)6=1=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6,故選項(xiàng)B正確;令x=-1,有(2+1)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36,故選項(xiàng)C正確;又a3=·23(-1)3<a0,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選ABC.123456789101112131415123456789101112131415-2012345678910111213141584123