初中數(shù)學解答題好題

初中數(shù)學解答題好題精選?教師版

1.如圖1,已知四邊形4BC￡＞是矩形，點E在BA的延長線上，AE=AD.EC與8。相交于

點G,與AO相交于點F,AF=AB.

(1)求證：BDLEC；

(2)若4B=1,求4E的長；

EG-

圖1圖2

【解答】(1)證明：...四邊形ABC。是矩形,點E在BA的延長線上,

.?./EAF=ND4B=90°,

又；4E=A￡>,AF=AH,

：.(SAS),

NAEF=ZADB,

：.ZGEB+ZGBE=NADB+NABD=90°,

即NEG8=90°,

故8Q_LEC,

(2)解：..?四邊形ABC。是矩形，

：.AE//CD,

：.NAEF=NDCF,NEAF=NCDF,

:AAEFS^DCF,

.AEAF

??一,

DCDF

即AE-DF=AF'DC,

設AE=A￡)=a(a>0),則有=1,化簡得a2-a-1=0,

解得上ZG或土返(舍去)，

22

?1%

??Z1L-J，.

2

(3)如圖，在線段EG上取點P,使得EP=QG,

在△AEP與△4DG中，AE=AD,ZAEP=ZADG,EP=DG,

：./\AEP^^ADG(SAS),

：.AP=AG,ZEAP=ZDAG,

：.ZPAG^ZPAD+ZDAG=ZPAD+ZEAP^ZDAE=90°,

...△BAG為等腰直角三角形，_

：.EG-DG=EG-EP=PG=y/2AG.

2.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線)，=0^+加+2(4/0)與y軸交于點C,與x軸交于4,

5兩點(點A在點8的左側)，且A點坐標為(-五，0),直線BC的解析式為y=-返

3

x+2.

(1)求拋物線的解析式；

(2)過點A作AZ)〃BC,交拋物線于點。，點E為直線上方拋物線上一動點，連接

CE,EB,BD,DC.求四邊形BEC。面積的最大值及相應點E的坐標；

(3)將拋物線y=ax2+bx+2(a￥0)向左平移血個單位，已知點M為拋物線y=a?+以+2

(aWO)的對稱軸上一動點，點N為平移后的拋物線上一動點.在(2)中，當四邊形

8ECD的面積最大時，是否存在以A,E,M,N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，

直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

備用圖

【解答】解：(1)直線的解析式為y=-返x+2,令尸0,則x=3&,令x=0,

3

則y=2,

故點8、C的坐標分別為(3加,0)、(0,2)；

則曠=。/+公+2=。(x+&)(%-3^2)=。(/-2&X-6)-6m

即-6。=2,解得：

故拋物線的表達式為：y=-*+2Z0x+2①；

33

(2)如圖，過點8、E分別作)，軸的平行線分別交CD于點H,交3c于點F,

?：AD//BC,則設直線AZ）的表達式為：y=-返（x+&）②,

3

聯(lián)立①②并解得：》=4m，故點D（4如,-岑），

由點C、。的坐標得，直線CC的表達式為：丫=-2返/2,

3

當x=3衣時，），BC=-返x+2=-2,即點H（3近,-2）,故BH=2,

3_

設點E（x,-《―+冬度x+2）,則點尸（x,-返x+2）,

333

則四邊形BECO的面積5=5.￡+5岫8=會所＞＜。8+導CXD-xc）XBH=/X（-

工2+型！x+2+返x-2）X3?+2X4&義2=-亞?+3x+4&,

33322_

VX0VO,故S有最大值，當X=3返時，S的最大值為空巨，此時點E（3返,

2242

5）

2）；

（3）存在，理由：

y=--^X2+-^^-X+2=--7-（x*V5）2+9,拋物線（a#0）向左平移收個

o3SS

單位，

則新拋物線的表達式為：y=-裊+與，

33

點A、E的坐標分別為（-血，0）、（當I搟）；設點M（a,m）,點N（小s）,s

-_----1n2H,—8；

33

①當AE是平行四邊形的邊時，

點A向右平移芻返個單位向上平移號個單位得到E,同樣點M（N）向右平移_§返個單

222

位向上平移趣個單位得到N（M）,

即圾±且2=〃，

2

rn,l_12,8_11T5

貝IJs---n+-~——丁或二~，

3326

故點N的坐標為（逃，-今）或（-3返，3）；

2226

②當AE是平行四邊形的對角線時，

由中點公式得：-血+?叵=”+血，解得：〃=-返,

22

故點N的坐標（-返，孕）；

26__

綜上點N的坐標為：（二返，-斗）或（-巨返，自）或（-返，孕）.

222626

3.ZiA8C為等邊三角形，AB=8,AO_L8C于點。，E為線段A。上一點，AE=2j§.以AE

為邊在直線4。右側構造等邊三角形AEE連接CE,N為CE的中點.

（1）如圖1,E/與AC交于點G,連接NG,求線段NG的長;

（2）如圖2,將尸繞點A逆時針旋轉，旋轉角為a,例為線段E尸的中點，連接￡W,

MN.當30°<a<120°時，猜想NOVM的大小是否為定值，并證明你的結論;

（3）連接8N,在aAE尸繞點A逆時針旋轉過程中，當線段3N最大時，請直接寫出△

ADN的面積.

【解答】解：（1）如圖1中，連接BE,CF.

「△A5C是等邊三角形，ADA.BC,

，AB=8C=AC=8,BD=CD=4,

:.AD=MBD=4M，

'：AE=2^

:.DE=AE=2g

22=2

???BE=^BD2+DE2=^4+(273)^7'

?.?△ABC,△?!￡尸答等邊三角形，

：.AB=AC,AE=AF,NBAC=NEAF=60°,

：.ZBAE=ZCAF,

.,.△BAE絲△CAF(SAS),

：.CF=BE=2yfi，

\'EN=CN,EG=FG,

，GN=/CF=A

理由：連接BE,CF.同法可證△B4E絲尸（SAS）,

???NABE=ZACFf

VZABC+ZACB=600+60°=120°,

AZEBC+ZBCF=ZABC-ZABE+ZACB^-ZACF=120°,

*：EN=NC,EM=MF,

：.MN//CF,

:?/ENM=/ECM,

?：BD=DC,EN=NC,

：.DN//BE,

：.ZCDN=ZEBC,

*//END=/NDC+/ACB,

：.ZDNM=ZDNE+ZENM=ZNDC+NACN+ZECM=ZEBC+ZACB+ZACF=Z

EBC+ZBCF=\20°.

(3)如圖3-1中，取AC的中點，連接B/,BN.

圖3?1

*：AJ=CJ9EN=NC,

JN=~^"AE=,

?:BJ=AD=AM，

:.BNWBJ+JN,

:?BNW5&,

???當點N在8/的延長線上時，8N的值最大，如圖3-2中，過點N作于〃,

設BJ交AD于K,連接AM

:.KN=1"后一,

3

在RtZ\”KN中，'：ZNHK=90°,NNKH=60°,

，HN=NK?sin60。=Z2sSx返=工，

322

:.S&ADN=卷。AD*NH=卷義4M義三=1M.

4.如圖1,在平面直角坐標系中，直線小y=x+l與直線/2：x=-2相交于點￡>,點A是直

線/2上的動點，過點4作AB_L/i于點8,點C的坐標為(0,3),連接AC,BC.設點A

的縱坐標為f,△ABC的面積為s.

(1)當r=2時、請直接寫出點8的坐標；

(2)s關于f的函數(shù)解析式為5={44，其圖象如圖2所示,

a(t+1)(t~5),-l<t<5

結合圖1、2的信息，求出。與。的值；

(3)在/2上是否存在點A,使得△ABC是直角三角形？若存在，請求出此時點A的坐標

和△ABC的面積；若不存在，請說明理由.

圖2

【解答】解：(1)如圖1,連接AG,

設B(x,x+1),

在y=x+l中，當冗=0時，y=l,

：.G(0,1),

VAB1/1,

AZABG=90°,

222

：.AB+BG=AGf

即(x+2)2+(x+1-2)2+?+(A：+l-1)2=(-2)2+(2-1)2,

解得：XI=0(舍)，X2=-

(2)如圖2可知：當f=7時，5=4,

圖2

把(714)代入s=[t2+bt-卷中得：號"+7匕-惠=4,

解得：b=-\,

如圖3,過8作，軸，交AC于，，

由(1)知：當f=2時，4(-2,2),B(-《，4),

22

VC(0,3),

設AC的解析式為：y—kx+b,

(1

則卜2k+b=2,解得伊，

1b=3b=3

r.AC的解析式為：y--^x+3>

：.H(-J,—

24

?.?riri—111~—_9

424

1inq

，s='BH“xc-xA|=yX-X2=->

把(2,—)代入s=a(z+1)(r-5)得：a(2+1)(2-5)=—,

44

解得：a=--

4

(3)存在，設B(x,x+1),

分兩種情況：

①當NCLB=90°時，如圖4,

VAB1/1,

???AC〃/i,

V/1：y=x+l,C(0,3),

AAC：y=x+3,

：.A(-2,1),

■:D(-2,-1),

在RtZvWC中，AB2+BD2=AD2,

即(x+2)2+(x+1-1)2+(x+2)2+(x+1+1)2=22,

解得：xi=-1,X2—-2(舍)，

：.B(-1,0),即B在x軸上，

=

]2+=AC=yJ2^+2^V2>

%BC=yAB.AC=/-V2，2V2=2；

②當N4CB=90°時，如圖5,

VZABD=90°,ZADB=45°,

???△A8Q是等腰直角三角形，

:?AB=BD,

VA(-2,r),D(-2,-1),

/?(x+2)2+(x+1-/)2=(x+2)2+(x+1+1)2,

(x+1-f)2=(x+2)2,

x+1-f=x+2或x+1-t=-x-2,

解得：t=-1(舍)或f=2x+3,

222

RlzMCB中，AC+BC=ABf

即(-2)2+(r-3)2+x2+(x+1-3)2=(x+2)2+(x+1-f)2

把/=2i+3代入得：/-3x=0,

解得：x=0或3,

當x=3時，如圖5,貝！Jf=2X3+3=9,

?"(-2,9),B(3,4),

?yj22+(9-3)2=2TBC=N1+也―?)2=5/^,

5AABC=-^AC?BC?2VTo=1。；

當f=0時，如圖6,

止匕時，A(-2,3),AC=2,BC=2,

.,.5AABC=yAC-BC=yX2X2=2.

5.已知：在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，直線AB與x軸的正半軸交于點A,與y

軸的負半軸交于點B,OA=OB,過點A作x軸的垂線與過點。的直線相交于點C,直線

0C的解析式為y=gx,過點C作軸，垂足為M,0M=9.

4

(1)如圖1,求直線A8的解析式；

(2)如圖2,點N在線段MC上，連接ON,點尸在線段ON上，過點P作軸，

垂足為￡＞，交。C于點E,若NC=OM,求怨的值；

0D

(3)如圖3,在(2)的條件下，點尸為線段AB上一點，連接。凡過點尸作O尸的垂

線交線段AC于點。，連接B。，過點尸作x軸的平行線交8。于點G,連接P尸交x軸

于點”，連接E4,若NDHE=NDPH,GQ-FG=MAF,求點尸的坐標.

【解答】解：(1)軸，0M=9,

Q

...y=9時，9=當，解得x=12,

4

：.C(12,9),

軸,

AA(12,0),

'：OA=OB,

：.B(0,-12),

b=-12

設直線AH的解析式為y=kx+b,則有

12k+b=0

fk=l

解得

lb=-12

直線48的解析式為y=x-12.

(2)如圖2中,

VZCMO=ZMOA=ZOAC=90°,

???四邊形QACM是矩形，

：.AO=CM=nf

■:NC=0M=9,

:.MN=CM-NC=V2-9=3,

：.N(3,9),

，直線ON的解析式為y=3x,設點E的橫坐標為4m則O(4m0),

???OD=4a,

把x=4m代入丫=烏元中，得到y(tǒng)=3m

4

:.E(4〃，3〃)，

:?DE=3a,

把冗=4。代入，y=3x中，得到y(tǒng)=12m

：.P(4〃,12a),

：?PD=12a,

；.PE=PD-DE=12〃-3。=90

.PE=9_

"OD-T

(3)如圖3中，設直線FG交C4的延長線于R,交y軸于S,過點尸作尸TJ_OA于T.

*：GF//x^f

：.ZOSR=ZMOA=90°,NC4O=NR=90°fZBOA=ZBSG=90°,ZOAB=ZAFRf

：./OFR=/R=/AOS=ZBSG=90°,

???四邊形OSRA是矩形，

???OS=AR,

AR=OA=l2f

t

：OA=OB1

：.ZOBA=ZOAB=45°,

：.ZFAR=90°-45°=45°,

??./FAR=/AFR,

；?FR=AR=OS,

?.*OF1.FQ,

；?NOSR=NR=NOFQ=90°,

：.ZOFS+ZQFR=90°,

9：ZQFR+ZFQR=90°,

：.ZOFS=ZFQR,

:.XOFS@AFQR(AAS),

:?SF=QR,

?:/SFB=/AFR=45°,

:"SBF=/SFB=45°,

:.SF=SB=QR,

?：/SGB=/QGR,/BSG=/R,

:?叢BSG冬叢QRG(A4S),

:.SG=GR=6,

設FR=m,則AR=m,AF=ypim,QR=SF=12-m,

,:GQ-FG=MAF,

GQ=y/2X-〃?=〃?+6,

?:Gd=Gd+Q壯,

:.(772+6)2=62+(12-m)2,

解得"2=4,

AFS=8,4R=4,

*：ZOAB=ZFAR,FT1,OA,FRIAR,

???FT=FR=AR=4,/OTF=90°,

???四邊形OSFT是矩形，

???OT=S/=8,

*：ZDHE=4DPH,

：.tanZDHE=tan/DPH,

.DE=DH

*'DH-PD,

由(2)可知OE=3mPD=12a9

.3a_PH

??瓦一石’

：.DH=6a,

■:/PHD=/FHT,

???tanNF”T=T/F=2,

HT

:?HT=2,

*：OT=OD+DH+HT,

4。+6。+2=8,

._3

??a--,

.?.0。=￥，尸。=12義孩=誓，

555

:.p(―,—

55

6.綜合與實踐

在線上教學中，教師和學生都學習到了新知識，掌握了許多新技能.例如教材八年級下

冊的數(shù)學活動--折紙，就引起了許多同學的興趣.在經(jīng)歷圖形變換的過程中，進一步

發(fā)展了同學們的空間觀念，積累了數(shù)學活動經(jīng)驗.

實踐發(fā)現(xiàn)：

對折矩形紙片A8CQ,使AO與BC重合，得到折痕EF,把紙片展平；再一次折疊紙片，

使點A落在EF上的點N處，并使折痕經(jīng)過點8,得到折痕把紙片展平，連接AM

如圖①.

(1)折痕是(填“是”或“不是")線段AN的垂直平分線；請判斷圖中AABN

是什么特殊三角形？答：等邊三角形；進一步計算出60°：

(2)繼續(xù)折疊紙片，使點A落在8c邊上的點”處，并使折痕經(jīng)過點B,得到折痕BG,

把紙片展平，如圖②，則NGBN=15°；

拓展延伸：

(3)如圖③，折疊矩形紙片A8CD,使點A落在8c邊上的點4處，并且折痕交BC邊

于點T,交AQ邊于點S,把紙片展平，連接44'交ST于點O,連接AT.

求證：四邊形SA7才是菱形.

解決問題：

(4)如圖④，矩形紙片A8CQ中，AB=10,AD=26,折疊紙片，使點A落在BC邊上

的點A'處，并且折痕交A8邊于點T,交AO邊于點S,把紙片展平.同學們小組討論后，

得出線段A7的長度有4,5,7,9.

請寫出以上4個數(shù)值中你認為正確的數(shù)值上工.

【解答】解：（1）如圖①,?,對折矩形紙片ABC。，使AQ與重合,

?,?EF垂直平分A3,

:.AN=BN,AE=BE,NNEA=9U0,

???再一次折疊紙片，使點A落在￡尸上的點N處，

???8M垂直平分AN,NBAM=NBNM=90°,

:?AB=BN,

:?AB=AN=BN,

?二△ABN是等邊三角形，

：.ZEBN=60°,

：.ZENB=30°,

:?/MNE=60°,

故答案為：是，等邊三角形，60；

（2）???折疊紙片，使點A落在8C邊上的點”處，

AZABG=ZHBG=45°,

:?/GBN=/ABN-NABG=150,

故答案為：15°；

（3）???折疊矩形紙片ABC。，使點A落在8c邊上的點W處，

???ST垂直平分A4',

：.AO=A'O,AA'IST,

■:AD〃BC,

：.ZSAO=ZTA'O,ZASO=ZA'TO,

：./\ASO^/\A'TO(AAS)

:.SO=TO,

：.四邊形ASAT是平行四邊形，

又.."UST,

邊形SAm是菱形；

(4)..?折疊紙片，使點A落在BC邊上的點4處，

：.AT=A'T,

在RtZ\A78中，A'T>BT,

：.AT>\O-AT,

：.AT>5,

?.,點T在AB上，

二當點T與點B重合時，AT有最大值為10,

：.5<AT^\O,

正確的數(shù)值為7,9,

故答案為：7,9.

7.在平面直角坐標系中，拋物線)，=--2k的頂點為M

(1)若此拋物線過點A(-3,1),求拋物線的解析式；

(2)在(1)的條件下，若拋物線與y軸交于點B,連接A8,C為拋物線上一點，且位

于線段AB的上方，過C作C。垂直x軸于點D,CD交AB于點、E,若CE=ED,求點C

坐標：_

(3)己知點0),且無論左取何值，拋物線都經(jīng)過定點H,當NMHN=60°

3

備用圖

【解答】解：(1)把A(-3.1)代入y=-/+履-2攵,

得-9-3%-2k=1.

解得k=2,

，拋物線的解析式為y=-/-2x+4；

,2

(2)設C(f,-尸-2/+4),則E(f,-t--z+2),

2

設直線A8的解析式為y="+〃，把A(-3,1),(0,4)代入得到,

/-3k+b=l

Ib=4'

k=l

解得

b=4‘

，直線AB的解析式為y=x+4,

2

'：E(6-Lt—7+2)在直線AB上,

2

2

：.--t-t+2=t+4,

2

解得t=-2,

：.C(-2,4).

(3)由y=--2k=A(x-2)

當x-2=0時、x=2,y=-4,

無論k取何值，拋物線都經(jīng)過定點，(2,-4),

二次函數(shù)的頂點N(昌-2k),

24

①如圖1中，過點”作印，x軸于/,分別過4,N作y軸，x軸的垂線交于點G,若今

>2時，則左>4,

'：M(2-^Zl,0),H(2,-4),

3

HI=4,

3

.".tanZ=返，

43

：.ZMHI=30°,

YNMHN=60°,

：.ZNHI=30°,

即/GNH=30°,

y-2「

由圖可知I,tan/GN"=C^=F------=登_,

GNk23

V-2k+4

_4

解得％=4+2日或4(不合題意舍棄).

②如圖3中，過點”作軸于/,分別過4,N作y軸，x軸的垂線交于點G.

圖3

若￡<2,則AV4,

同理可得，NMHI=30°,

■:NMHN=60",

J.NHLHI,

即二一-2k4,

4

解得A=4（不符合題意舍棄）.

③若￡=2,則M，重合，不符合題意舍棄,

綜上所述，拋物線的解析式為y=-f+（4+2?）x-（8+4泥）.

圖2

8.綜合與探究

在平面直角坐標系中，拋物線y=/+fcr+c經(jīng)過點A（-4,0）,點M為拋物線的頂點,

點B在)，軸上，且。A=08,直線A8與拋物線在第一象限交于點C(2,6),如圖①.

(1)求拋物線的解析式；

(2)直線48的函數(shù)解析式為y=x+4,點M的坐標為(-2,-2),cosZABO

=返;

一2一

連接0C,若過點0的直線交線段AC于點P,將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則

點P的坐標為(-2,2)或(0,4)；

(3)在y軸上找一點Q,使得△AMQ的周長最小.具體作法如圖②，作點A關于y軸

的對稱點4,連接M4咬y軸于點Q,連接AM、AQ,此時aAM。的周長最小.請求出

點。的坐標；

(4)在坐標平面內是否存在點M使以點A、0、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？

若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

故直線AB的表達式為：y=#+2x；

(2)點A(-4,0),OB=OA=4,故點B(0,4),

由點4、B的坐標得，直線AB的表達式為：y=x+4；

則NA8O=45°,故8$/480=返；

2

對于y=*/+2x，函數(shù)的對稱軸為尤=-2,故點M(-2,-2)；

19

OP將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則AP=-^AC或5AC,

33

則21=JL或2,即也=《或解得：yp=2或4,

yc33633

故點P(-2,2)或(0,4)；

故答案為：y=x+4；(-2,-2)；返；(-2,2)或(0,4)；

2

(3)ZVIMQ的周長=AA/+AQ+MQ=A"+A'M最小，

點A'(4,0),

設直線A'M的表達式為：y=^+6,則(4k+b°=0口，解得〈3，,

I-2k+b=-2,_4

b-zr

3

故直線A'M的表達式為：y=5x-《，

33

AA

令x=0,則y=-5，故點0(0,-￡?)；

oo

(4)存在，理由：

設點N(小，n),而點A、C、0的坐標分別為(-4,0)、(2,6)、(0,0),

①當AC是邊時，

點A向右平移6個單位向上平移6個單位得到點C,同樣點O(N)右平移6個單位向上

平移6個單位得到點N(O),

即0±6=n?,0±6=n,解得：加="=±6,

故點N(6,6)或(-6,-6)；

②當AC是對角線時，

由中點公式得：-4+2=m+0,6+0="+0,

解得：m—-2,〃=6,

故點N(-2,6)；

綜上，點N的坐標為(6,6)或(-6,-6)或(-2,6).

9.實踐操作：

第一步：如圖1,將矩形紙片ABCD沿過點D的直線折疊，使點A落在CD上的點4處，

得到折痕。E,然后把紙片展平.

第二步：如圖2,將圖1中的矩形紙片ABCD沿過點E的直線折疊，點C恰好落在AD

上的點C'處，點8落在點8,處，得到折痕EF,B'C'交AB于點M,C尸交OE于點

N,再把紙片展平.

問題解決：

(1)如圖1,填空：四邊形AEA。的形狀是正方形；

(2)如圖2,線段MC'與ME是否相等？若相等，請給出證明；若不等，請說明理由；

(3)如圖2,若AC'=2cm,DC=4cm,求QN：EN的值.

【解答】解：(1)是矩形，

.?.N4=ZADC=90°,

；將矩形紙片ABCD沿過點D的直線折疊，使點A落在CD上的點4處，得到折痕DE,

：.AD=AD',AE=A'E,ZADE=ZA'￡>￡=45°,

:.,:AB//CD,

：.ZAED^ZA1DE=NADE,

：.AD=AD',

：.AD=AE=A'E=A'D,

四邊形AEA'。是菱形，

VZA=90°,

四邊形4E4'。是正方形.

故答案為：正方形；

(2)MC=ME.

證明：如圖1,連接C'E,由(1)知，AD=AE,

圖1

:四邊形ABC。是矩形，

：.AD=BC,ZEAC'=ZB=90°,

由折疊知，B'C=BC,NB=NB',

：.AE=B'C',ZEAC=ZB',

又EC'=C'E,

：.RtAECZAgRtZXCEB'(HL),

：.ZC'EA=ZECB',

：.MC'=ME；

(3)VRtAEC,A絲RtZ\CEB',

：.AC=B'E,

由折疊知，B'E=BD,

：.AC'=BE,

'JAC=2cm,DC=4。/，

.'.AB—CD=2+4+2=8(an),

設貝IJFC'=FC=(8-x)cm,

\"DC2+DF2=FC2,

'.42+^—(8-x)2,

解得，X—~it

即DF=3cm,

如圖2,延長84、FC'交于點G,則NAC'G=ZDC'F,

??.tanNAC'G=tanNOC'尸=總=總號

??AG方cir，

EG=r|_+6::^_cir，

,JDF//EG,

：.ADNEs/XENG,

?DNJF=3二2

?