河南省大聯(lián)考2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次模擬考試試題理

河南省大聯(lián)考2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次模擬考試試題理第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)，若與的虛部相等，則（）A. B. C. D.【1題答案】【答案】D2.已知、、均為非零向量，且，，則（）A.與垂直 B.與同向 C.與反向 D.與反向【2題答案】【答案】C3.已知集合，，則（）A. B. C. D.【3題答案】【答案】C4.某學(xué)校組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個社團(tuán)，該校共有2000名同學(xué)，每名同學(xué)依據(jù)自己的愛好愛好最多可參與其中一個，各個社團(tuán)的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中參與朗誦社團(tuán)的同學(xué)有8名，參與太極拳社團(tuán)的有12名，則（）A.這五個社團(tuán)的總?cè)藬?shù)為100B.脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占五個社團(tuán)總?cè)藬?shù)的25%C.這五個社團(tuán)總?cè)藬?shù)占該校學(xué)生人數(shù)的8%D.從這五個社團(tuán)中任選一人，其來自脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為45%【4題答案】【答案】D5.如圖，一個底面邊長為cm的正四棱柱形態(tài)的容器內(nèi)裝有部分水，現(xiàn)將一個底面半徑為1cm的鐵制實(shí)心圓錐放入容器，圓錐放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若該容器的厚度忽視不計(jì)，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【5題答案】【答案】A6.在等比數(shù)列中，，，則()A.80 B.242 C. D.244【6題答案】【答案】B7.若，，，則（）A. B. C. D.【7題答案】【答案】A8.若直線是曲線的一條對稱軸，且函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的最小值為（）A.9 B.15 C.21 D.33【8題答案】【答案】C9.已知為定義在R上的奇函數(shù)，，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【9題答案】【答案】D10.如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且，，則E的離心率為（）

A. B. C. D.【10題答案】【答案】B11.在正方體中，點(diǎn)E為線段上的動點(diǎn)，現(xiàn)有下面四個命題：①直線DE與直線AC所成角為定值；②點(diǎn)E到直線AB的距離為定值；③三棱錐的體積為定值；④三棱錐外接球的體積為定值．其中全部真命題的序號是（）A.①③ B.②③ C.①④ D.①③④【11題答案】【答案】A12.若過點(diǎn)最多可作出條直線與函數(shù)的圖象相切，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，的值不唯一C.可能等于D.當(dāng)時(shí)，的取值范圍是【12題答案】【答案】ACD第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13.若，，則___________.【13題答案】【答案】14.拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)為C上一點(diǎn)，若，則___________.【14題答案】【答案】15.“物不知數(shù)”是中國古代聞名算題，原載于《孫子算經(jīng)》卷下其次十六題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二.問物幾何？”它的系統(tǒng)解法是秦九韶在《數(shù)書九章》大衍求一術(shù)中給出的.大衍求一術(shù)（也稱作“中國剩余定理”）是中國古算中最有獨(dú)創(chuàng)性的成就之一，屬現(xiàn)代數(shù)論中的一次同余式組問題.已知問題中，一個數(shù)被除余，被除余，被除余，則在不超過的正整數(shù)中，全部滿意條件的數(shù)的和為___________.【15題答案】【答案】16.設(shè)，若，則整數(shù)n的值為______．【16題答案】【答案】129三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22，23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分．17.如圖，一架飛機(jī)從地飛往地，兩地相距.飛行員為了避開某一區(qū)域的雷雨云層，從機(jī)場起飛以后，就沿與原來的飛行方向成角的方向飛行，飛行到地，再沿與原來的飛行方向成角的方向接著飛行到達(dá)終點(diǎn).（1）求、兩地之間的距離；（2）求.【17題答案】【答案】（1）（2）19.某高校為了激勵高校生自主創(chuàng)業(yè)，舉辦了“校內(nèi)創(chuàng)業(yè)學(xué)問競賽”，該競賽決賽局有、兩類學(xué)問競答挑戰(zhàn)，規(guī)則為進(jìn)入決賽的選手要先從、兩類學(xué)問中選擇一類進(jìn)行挑戰(zhàn)，挑戰(zhàn)勝利才有對剩下的一類學(xué)問挑戰(zhàn)的機(jī)會，挑戰(zhàn)失敗則競賽結(jié)束，其次類挑戰(zhàn)結(jié)束后，無論結(jié)果如何，競賽都結(jié)束.、兩類學(xué)問挑戰(zhàn)勝利分別可獲得萬元和萬元創(chuàng)業(yè)獎金，第一類挑戰(zhàn)失敗，可得到元激勵獎金.已知甲同學(xué)勝利晉級決賽，面對、兩類學(xué)問的挑戰(zhàn)勝利率分別為、，且挑戰(zhàn)是否勝利與挑戰(zhàn)次序無關(guān).（1）若記為甲同學(xué)優(yōu)先挑戰(zhàn)類學(xué)問所獲獎金的累計(jì)總額（單位：元），寫出的分布列；（2）為了使甲同學(xué)可獲得的獎金累計(jì)總額期望更大，請幫甲同學(xué)制定挑戰(zhàn)方案，并給出理由.【19題答案】【答案】（1）分布列答案見解析（2）優(yōu)先選擇挑戰(zhàn)類學(xué)問，理由見解析【解析】【分析】（1）分析可知的可能取值有、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列；（2）記為甲同學(xué)優(yōu)先挑戰(zhàn)類學(xué)問所獲獎金累計(jì)總額，計(jì)算出、的值，比較大小后可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：由題意可知，的可能取值有、、，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：【小問2詳解】解：記為甲同學(xué)優(yōu)先挑戰(zhàn)類學(xué)問所獲獎金累計(jì)總額，甲同學(xué)優(yōu)先挑戰(zhàn)類學(xué)問所獲獎金累計(jì)總額的期望為，優(yōu)先挑戰(zhàn)類學(xué)問所獲獎金累計(jì)總額的期望為，由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有：、、，則，，，所以，（元），（元），所以，，所以，為了使甲同學(xué)可獲得獎金累計(jì)總額期望更大，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇挑戰(zhàn)類學(xué)問.21.如圖，點(diǎn)分別為圓柱下底面圓周上的三個等分點(diǎn)，，，分別為圓柱的三條母線，點(diǎn)分別為母線，上的點(diǎn)，且，點(diǎn)M是的中點(diǎn)．（1）證明：BM⊥平面．（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【21題答案】【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）記AB的中點(diǎn)為N，連接MN，CN．利用平行四邊形證明出．進(jìn)而證明出CN⊥BM，MF⊥BM，利用線面垂直的判定定理即可證明BM⊥平面AEF．（2）記AC，的中點(diǎn)分別為D，，連接，BD，以D為原點(diǎn)，以的方向?yàn)閤軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求平面AEF與平面所成銳二面角的余弦值．【小問1詳解】如圖1，記AB的中點(diǎn)為N，連接MN，CN．因?yàn)辄c(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形CFMN為平行四邊形，則．因?yàn)镸N⊥平面ABC，所以MN⊥CN，又CN⊥AB，且，所以CN⊥平面ABE，CN⊥BM．即MF⊥BM.因?yàn)椋c(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，所以AE⊥BM.因?yàn)?，面AEF，面AEF，所以BM⊥平面AEF．【小問2詳解】如圖2，記AC，的中點(diǎn)分別為D，，連接，BD，則，平面ABC，BD⊥AC，以D為原點(diǎn)，以的方向?yàn)閤軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示。不妨設(shè)，則，，，，．由（1）可知平面AEF的一個法向量為．設(shè)平面法向量為，，，則不妨令，則，所以，故平面AEF與平面所成銳二面角的余弦值為．23.已知函數(shù)．（1）探討極值點(diǎn)的個數(shù)；（2）證明：．【23題答案】【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析﹒【解析】【分析】(1)求f(x)的導(dǎo)數(shù)，通分化簡導(dǎo)數(shù)，依據(jù)a的范圍探討導(dǎo)數(shù)在x＞0時(shí)的正負(fù)，由此推斷f(x)的單調(diào)性，依據(jù)單調(diào)性即可推斷f(x)的極值點(diǎn)個數(shù)；(2)化簡不等式為，令，求h(x)的導(dǎo)數(shù)，探討的單調(diào)性和正負(fù)，推斷h(x)的最小值大于0即可．【小問1詳解】由題意可知，，對于二次函數(shù)，．當(dāng)時(shí)，，恒成立，f(x)在單調(diào)遞減，有0個極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有2個大于零的零點(diǎn)，由數(shù)形結(jié)合可知，有2個極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)只有1個大于零的零點(diǎn)，由數(shù)形結(jié)合可知，有1個極值點(diǎn)．【小問2詳解】要證，即證．設(shè)，則，在上為增函數(shù)，∵，，∴在上，存在唯一的m，使得，即，．∴在上＜0，h(x)單調(diào)遞減；在上，＞0，h(x)單調(diào)遞增；∴，當(dāng)且僅當(dāng)m＝1時(shí)取等號，∵，∴等號不成立，∴，∴，從而原不等式得證．【點(diǎn)睛】本題其次問是關(guān)鍵點(diǎn)是利用零點(diǎn)存在性定理推斷在之間存唯一零點(diǎn)m，利用對該隱零點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而可證明的最小值為正，從而證明題設(shè)不等式．25.已知橢圓的上?下焦點(diǎn)分別為，，左?右頂點(diǎn)分別為，，且四邊形是面積為8的正方形.（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）M，N為C上且在y軸右側(cè)的兩點(diǎn)，，與的交點(diǎn)為P，試問是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是，請說明理由.【25題答案】【答案】（1）；（2）為定值，定值為.（二）選考題：共10分．請考生從第22，23兩題中任選一題作答．假如多做，則按所做的第一個題目計(jì)分．[選修4—4：坐標(biāo)系與參