華師一附中2024屆高三 《正余弦定理的綜合應(yīng)用》試題含答案

華師一2024屆高三《正余弦定理的綜合應(yīng)用》試題一、單選題1．在△中，角、、所對(duì)的邊分別為，，，△的面積為，則（

）A．B．C．的最大值為D．的最大值12．在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，的面積為S，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．在中，角所對(duì)的邊分別是是邊上一點(diǎn)，且，則的最小值是（

）A．4 B．6 C．8 D．96．在中，，分別是邊，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．7．在鈍角中，分別是的內(nèi)角所對(duì)的邊，點(diǎn)是的重心，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．在中，的平分線交于點(diǎn)，則的面積的最大值為（）A． B． C． D．9．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，b＝c，且滿足＝，若點(diǎn)O是△ABC外一點(diǎn)，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，則平面四邊形OACB面積的最大值是()A． B． C．3 D．10．如圖，某城市有一條公路從正西方通過(guò)市中心后轉(zhuǎn)向東北方，為了緩解城市交通壓力，現(xiàn)準(zhǔn)備修建一條繞城高速公路，并在上分別設(shè)置兩個(gè)出口，若部分為直線段，且要求市中心與AB的距離為20千米，則AB的最短距離為（

）A．千米B．千米C．千米D．千米二、多選題11．如圖，某人在一條水平公路旁的山頂處測(cè)得小車(chē)在A處的俯角為，該小車(chē)在公路上由東向西勻速行駛分鐘后，到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得俯角為．已知小車(chē)的速度是，且，則（

）A．此山的高B．小車(chē)從A到的行駛過(guò)程中觀測(cè)點(diǎn)的最小仰角為C．D．小車(chē)從A到的行駛過(guò)程中觀測(cè)點(diǎn)的最大仰角的正切值為12．如圖，的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，，.若，且，是外一點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．是等邊三角形B．若，則四點(diǎn)共圓C．四邊形面積最大值為D．四邊形面積最小值為13．在中，若，角的平分線交于，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則的面積是 B．若，則的外接圓半徑是C．若，則 D．的最小值是14．在銳角中，角，，所對(duì)邊分別為，，，外接圓半徑為，若，，則（

）A．B．C．的最大值為3D．的取值范圍為15．設(shè)的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．下列有關(guān)等邊三角形的四個(gè)命題中正確的是（

）．A．若，則是等邊三角形B．若，則是等邊三角形C．若，則是等邊三角形D．若，則是等邊三角形16．已知△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，且，c=2．則下列結(jié)論正確（

）A．△ABC面積的最大值為 B．的最大值為C．D．的取值范圍為17．已知面積為12，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．的最大值為C．的值可以為 D．的值可以為三、填空題18．的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，.已知，且，有下列結(jié)論：①；②；③，時(shí)，的面積為；④當(dāng)時(shí)，為鈍角三角形.其中正確的是．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào)）19．已知在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，是的中點(diǎn)，若，則的最大值為.20．如圖，在中，，，的垂直平分線與分別交于兩點(diǎn)，且，則．四、解答題21．如圖，在平面四邊形中，，，，（1）若，求；（2）若，求．22．如圖，在梯形中，，，，，（1）若，求三角形ABC的面積；

（2）若，求.參考答案：1．C【分析】A、B由三角形面積公式及余弦定理判斷；C由A、B分析，結(jié)合輔助角公式、正弦函數(shù)性質(zhì)即可確定目標(biāo)式最大值；D根據(jù)C的分析，結(jié)合基本不等式可得，應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系及三角形內(nèi)角性質(zhì)求得，根據(jù)A的結(jié)論即可求目標(biāo)式最大值.【詳解】△的面積為，則，A錯(cuò)誤；由且，則，B錯(cuò)誤；由，則，所以且，故的最大值為，C正確；由C分析知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，故，即，即，解得，又，所以，而，故的最大值為，D錯(cuò)誤.故選：C．2．C【分析】由面積公式與正余弦定理化簡(jiǎn)后得出關(guān)系后求解【詳解】在中，，故題干條件可化為，由余弦定理得，故，又由正弦定理化簡(jiǎn)得：，整理得，故或（舍去），得為銳角三角形，故，解得，故故選：C3．D【分析】由，結(jié)合正余弦定理求得角，繼而由結(jié)合正余弦定理求出，再表示出，，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得的范圍，即可求得答案.【詳解】由，由正弦定理得,即有，而，則，又，由正弦定理?余弦定理得，，化簡(jiǎn)得：，由正弦定理有：，即，，是銳角三角形且，有，，解得，因此，由得：，，所以.故選：D4．D【分析】根據(jù)余弦定理和的面積公式，結(jié)合題意求出、的值，再用表示，求出的取值范圍，即可求出的取值范圍．【詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以，中，由余弦定理得，，則，因?yàn)?，所?又，，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（不合題意，舍去）；因?yàn)?，所以，，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，設(shè)，其中，所以，又，所以時(shí)，取得最大值為，時(shí)，，時(shí)，，且，所以，即的取值范圍是，故選：D．5．C【分析】利用正弦定理及，表達(dá)出，再利用基本不等式求出最值.【詳解】如圖所示，因?yàn)椋?，在Rt△ABD中，，即，因?yàn)?，由正弦定理可得：，即，所以，所以，因?yàn)椋裕?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為8.故選：C6．C【分析】設(shè)，由三角形中的中位線的性質(zhì)和比例的性質(zhì)可得出，再設(shè)，根據(jù)余弦定理得，再得出，由三角形的面積公式表示的面積，根據(jù)二次函數(shù)的最值可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榉謩e是邊，的中點(diǎn)，所以，所以，又，設(shè)，則，又因?yàn)?，所以，設(shè)，所以在中，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積的最值求解，關(guān)鍵在于運(yùn)用三角形的中位線性質(zhì)和比例性質(zhì)得出線段間的關(guān)系，再運(yùn)用余弦定理和三角形的面積公式表示三角形的面積為一個(gè)變量的函數(shù)，屬于較難題.7．A【分析】由條件可得，然后根據(jù)余弦定理可得、，根據(jù)三角形是鈍角三角形求出，，，然后利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍即可．【詳解】如圖所示：，連接，并延長(zhǎng)交于，由是三角形的重心，得是的中點(diǎn)，，，由重心的性質(zhì)得，即，由余弦定理得：，，，，，則，，，，為銳角，是鈍角三角形，或?yàn)殁g角，或，將代入得：，，，．故選：A8．C【分析】設(shè)，，則，結(jié)合正弦定理表示得，由余弦定理可得與的關(guān)系式，聯(lián)立前式由同角三角函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解【詳解】如圖，設(shè)設(shè)，，則由正弦定理可得①，②，又，所以，①②式聯(lián)立可得，則，則，對(duì)，由余弦定理可得，則，當(dāng)時(shí)，有最大值，，所以，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查由三角形的邊角關(guān)系求解面積最值，正弦定理、余弦定理解三角形，屬于難題，本題中的角平分線性質(zhì)可當(dāng)結(jié)論進(jìn)行識(shí)記：為的角平分線，則9．A【分析】根據(jù)正弦和角公式化簡(jiǎn)得是正三角形，再將平面四邊形OACB面積表示成的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)求得最值.【詳解】由已知得：即所以即又因?yàn)樗运杂忠驗(yàn)樗允堑冗吶切?所以在中，由余弦定理得且因?yàn)槠矫嫠倪呅蜲ACB面積為當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)平面四邊形OACB面積有最大值，故選A.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于把所求面積表示成角的三角函數(shù)，屬于難度題.10．D【分析】使用余弦定理及基本不等式，得到，使用正弦定理及三角恒等變換得到，進(jìn)而求得AB的最短距離.【詳解】在中，，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，設(shè)，則，又到的距離為20千米，所以，，故（時(shí)取等號(hào)），所以，得，故選：D11．BCD【分析】分別求出、的值判斷AC；由等面積法可得到的距離，再求最大仰角的正切，可判斷D;由判斷B.【詳解】由題意可得，，設(shè)，，，則,．因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ砜芍?，，解得，從而．因?yàn)椋杂傻让娣e法可得到的距離，則最大仰角的正切值為．又，所以最小仰角為．故選：BCD.12．AC【分析】根據(jù)正弦定理及三角恒等變換化簡(jiǎn)條件式可判定A，由余弦定理可判定B，設(shè)，由正弦定理結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判定C、D.【詳解】由正弦定理，得，，，B是等腰的底角，，是等邊三角形，A正確；對(duì)于B，若四點(diǎn)共圓，則四邊形對(duì)角互補(bǔ)，由A正確知，但由于時(shí)，，∴B不正確.對(duì)于C、D，設(shè)，則，，，，，，，，∴C正確，D不正確；故選：AC.13．ACD【分析】A、B、C選項(xiàng)由已知結(jié)合正弦定理和差角公式及同角的基本關(guān)系進(jìn)行變形即可判斷，D選項(xiàng)用角表示出結(jié)合三角恒等變換以及均值不等式即可判斷.【詳解】因?yàn)椋堑钠椒志€交于，所以，，所以，，由正弦定理得，所以，所以，故A正確；因?yàn)?，所以，設(shè)的外接圓半徑是，由正弦定理，，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，由正弦定理，因?yàn)楹突パa(bǔ)，所以，所以，故C正確；設(shè)，則，因?yàn)?，所以若，則，若，則，令，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，則或，故或（舍去），綜上：當(dāng)為等邊三角形時(shí)，的最小值是，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見(jiàn)類(lèi)型，主要方法有兩類(lèi)，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.14．ACD【分析】由正弦定理求外接圓半徑；由題設(shè)知，結(jié)合即可求范圍；由余弦定理及基本不等式求的最大值，注意取最大的條件；由C分析有，結(jié)合正弦定理邊角關(guān)系及的范圍，應(yīng)用二倍角正余弦等恒等變換，根據(jù)三角函數(shù)的值域求范圍.【詳解】由題設(shè)，外接圓直徑為，故，A正確；銳角中，則，故，B錯(cuò)誤；，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確；由C分析知：，而，又且，則，而，所以，則，所以，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)，應(yīng)用邊角關(guān)系及角的范圍，結(jié)合三角恒等變換將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)性質(zhì)求范圍.15．BCD【分析】根據(jù)正弦定理及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可判斷ABCD的真假.【詳解】A，若，由正弦定理可知：任意都滿足條件，因此不一定是等邊三角形，不正確；B，若，由正弦定理可得：，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，正確．C，若，由正弦定理可得：，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，正確．D，若，∴，時(shí)，是等邊三角形；時(shí)，研究函數(shù)的單調(diào)性，，時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此不成立．綜上可得：是等邊三角形，正確．故選：BCD．16．AB【分析】A選項(xiàng)，利用余弦定理和基本不等式求解面積的最大值；B選項(xiàng)，先利用向量的數(shù)量積計(jì)算公式和余弦定理得，利用正弦定理和三角恒等變換得到，結(jié)合B的取值范圍求出最大值；C選項(xiàng)，利用正弦定理進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，用進(jìn)行變換得到，結(jié)合A的取值范圍得到的取值范圍.【詳解】由余弦定理得：，解得：，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故，A正確；，其中由正弦定理得：，所以，因?yàn)?，所以，故最大值為，的最大值為，B正確；，故C錯(cuò)誤；，因?yàn)?，所以，所以，D錯(cuò)誤.故選：AB【點(diǎn)睛】三角函數(shù)相關(guān)的取值范圍問(wèn)題，常常利用正弦定理，將邊轉(zhuǎn)化為角，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)及三角恒等變換進(jìn)行求解，或者將角轉(zhuǎn)化為邊，利用基本不等式進(jìn)行求解.17．AD【分析】利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合面積、余弦定理可得，計(jì)算出可判斷A的正誤，而利用余弦定理、基本不等式可得關(guān)于的三角函數(shù)不等式，從而可判斷B的正誤，對(duì)于C，求出的范圍后可判斷其正誤，對(duì)于D，由可得的值，結(jié)合已知條件可判斷三角形是否存在.【詳解】設(shè)所對(duì)的邊為，因?yàn)槊娣e為12，故，故.對(duì)于A，若，結(jié)合為三角形內(nèi)角可得，故.因?yàn)?，故，故，?由正弦定理可得，故，故A正確.對(duì)于B，由余弦定理可得，所以即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.而，故，故，整理得到，而，因?yàn)?，故，故的最大值為，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，，故，而，故，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，若，則可得或，若，則，消元后得到：，所以，整理得到，但，故矛盾即不成立.若，則，消元后得到：，所以，整理得到，結(jié)合可得，此時(shí)，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角形一般有7個(gè)幾何量（三邊和三角以及外接圓的半徑），由已知的三個(gè)量一般可求出其余的四個(gè)量，求解過(guò)程中注意選擇合適的定理來(lái)解決，另外在邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化的過(guò)程，注意根據(jù)邊的特征和角的特征合理消元.18．①②④【詳解】，∴，故可設(shè)，，，.，∴，則，當(dāng)時(shí)，，故為鈍角三角形.面，又，∴.，∴，即，∴.當(dāng)，時(shí)，的面積為，故四個(gè)結(jié)論中，只有③不正確.填①②④．【點(diǎn)睛】解三角形中運(yùn)用正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式進(jìn)邊角互換及運(yùn)算是常見(jiàn)題形，要注意三角形內(nèi)角和為來(lái)減少角的個(gè)數(shù)，及兩邊之和大于第三邊，兩邊第差小于第三邊來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系是常用處理技巧．19．【分析】由正弦定理和題設(shè)條件，得到，即，再在和中，由余弦定理化簡(jiǎn)得到，轉(zhuǎn)化為，令，得到，求得，進(jìn)而得到的最大值.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，即，可得，所以，所以，在中，由余弦定理，可得，在中，由余弦定理，可得，因?yàn)?，所以，兩式相加，可得，可得，即，所以，令，可得，即，解得，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最大值為.故答案為：.20．【詳解】分析：連接，因?yàn)槭侵写咕€，所以.在中，由正弦定理得到與角的關(guān)系.在直角三角形中，，兩者結(jié)合可得的大小，從而在中利用正弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得..詳解：由題設(shè)，有，所以，故.又，所以，而，故，因此為等腰直角三角形，所以.在中，，所以，故，在中，.點(diǎn)睛：解三角形時(shí)，如果題設(shè)給出的幾何量分散在不同的三角形中，我們就需要找出溝通這些不同三角形的幾何量，如本題中的和，通過(guò)它們得到分散的幾何量之間的關(guān)系.21．(1)(2)．【分析】