福建省建甌市芝華中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

PAGEPAGE11福建省建甌市芝華中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題考試范圍：選修2-1全冊(cè)考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知向量，，則（）A. B. C. D.3.的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.2.已知空間向量，，且，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.67.已知方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則m的取值范圍為（）A. B. C. D.R4.若命題，使得”是假命題，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.5.橢圓和橢圓（）有（）A.等長(zhǎng)的長(zhǎng)軸 B.相等的焦距 C.相等的離心率 D.等長(zhǎng)的短軸6.已知橢圓，則與橢圓相交且以點(diǎn)為弦中點(diǎn)的直線所在方程為（）A. B. C. D.8.點(diǎn)P在曲線上，過(guò)P分別作直線及的垂線，垂足分別為G，H，則的最小值為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分）9.在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，則以下結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.10.下列說(shuō)法中，正確的是（）A.存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使 B.存在偶數(shù)是7的倍數(shù)C.全部的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù) D.至少存在一個(gè)正整數(shù)，能被5和7整除11.已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)F重合，則（）A.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2 B.雙曲線的離心率為3C.雙曲線的漸近線方程為 D.F到漸近線的距離為12.已知點(diǎn)F是拋物線（）的焦點(diǎn)，，是經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的弦且，的斜率為k，且，C，A兩點(diǎn)在x軸上方.則下列結(jié)論中肯定成立的是（）A. B.若，則C. D.四邊形面積最小值為三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上）13.命題“，”的否定是________.15．已知雙曲線（，）的一條漸近線平行于直線l：，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為_(kāi)_______________.14.已知直線l與橢圓（）相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且直線l與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，當(dāng)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積最小時(shí)，（、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)），則該橢圓的離心率是________.16.已知F是拋物線（）的焦點(diǎn)，，M為拋物線上隨意一點(diǎn)，的最小值為3，則________；若過(guò)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，有，則________.四、解答題：共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算過(guò)程）17.如圖，已知四棱錐的底面為等腰梯形，，，垂足為H，是四棱錐的高，E為中點(diǎn).（I）證明：（II）若，求直線與平面所成角的正弦值.18.已知的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，，且，所在直線的斜率之積等于m（）.（I）求點(diǎn)C的軌跡方程；（II）探討點(diǎn)C的軌跡的形態(tài).19.已知橢圓的的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求中點(diǎn)的坐標(biāo)和長(zhǎng)度.20.已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距為.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l：與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).21.如圖，過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn).（1）若，求直線l的方程；（2）記拋物線C的準(zhǔn)線為，設(shè)直線，分別交于點(diǎn)N，M，求的值.22.如圖，四棱錐中，，，與都是等邊三角形.（I）證明：；（II）求二面角的余弦值.2024-2025學(xué)年芝華中學(xué)高二上期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、1.A【解答】解：向量，，則.故選：A.2．C【解答】解：∵不等式，∴，∴“”是不等式成立的一個(gè)充分不必要條件.故選：C.3.A【解答】解：∵，∴可設(shè)，∴，解得.故選：A.4.A【解答】解：方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則，即，解得.故選：A.5.B【解答】解：命題，使得”是假命題，則它的否定命題：，都有”是真命題，所以，解得；所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：B.6.B【解答】解：橢圓：的長(zhǎng)軸，焦距，∴離心率，短軸，橢圓：（）的長(zhǎng)軸，∴焦距，離心率，短軸，∴橢圓：和橢圓：（）有等長(zhǎng)的焦距.故選：B.7.D【解答】解：設(shè)，，由題意知，，兩式相減得：，整理得：，所以，直線方程為：，即，故選：D.8．B【解答】解：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，可得，，當(dāng)F，P，H三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，則F到直線的距離為，則的最小值為．故選：B．二、9．CD【解答】解：∵在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，.∴，故C正確，解除選項(xiàng)A，B；∵，，又，故，∴，故D正確，故選：CD．10．BD【解答】解：∵，故方程無(wú)解，故A存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，錯(cuò)誤；，故存在偶數(shù)是7的倍數(shù)，故B正確；2是質(zhì)數(shù)，但不是奇數(shù)，故C全部的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，錯(cuò)誤；35即是5的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)，故D至少存在一個(gè)正整數(shù)，能被5和7整除，正確.故選：BD.11．CD【解答】解：由拋物線，得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的右焦點(diǎn)為，即，又，∴，.∴雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；雙曲線的離心率為，故B錯(cuò)誤；雙曲線的漸近線方程為，故C正確；，到其中一條漸近線的距離為，故D正確．故選：CD．12．AC【解答】解：的斜率為k，傾斜角為θ，則有，，所以A正確；，，，則，，B錯(cuò)；，所以C正確；，四邊形面積最小值為，所以D不正確；故選：AC.三、13．【解答】解：命題“，”的否定是：，.故答案為：，.14．【解答】解：由題意得，解得，，∴雙曲線的方程是，故答案為：.15．【解答】解：直線l的切線方程為：，∴，∴，∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積最小，設(shè)，，由余弦定理可得，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：.16.【解答】解：由題意，，M為拋物線上隨意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，當(dāng)點(diǎn)D，M，N在同始終線上時(shí)，最小，且為3，∴，解得，拋物線的方程為，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程，消x可得，∴，，∵，∴，解得，，∴，∴.故答案為：2，.四、17.【解答】解：以H為原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸，線段的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，（I）設(shè)，則，，可得，.因?yàn)樗?（II）由已知可得，，故，，，設(shè)為平面的法向量則即因此可以取，由，可得所以直線與平面所成角的正弦值為.18.【解答】解：（I）設(shè)，則由題知，即（）為點(diǎn)C的軌跡方程.……（4分）（II）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為圓心為，半徑為5的圓；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.……（12分）19．【解答】解：（1）由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），由橢圓定義知，，∴，則，∴所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，，聯(lián)立方程，得.得，.設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為.由弦長(zhǎng)公式可得：.20.【解答】解：（1）焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的方程設(shè)為（，），由題意可得即，由，可得，則，可得雙曲線的方程為；（2）聯(lián)立直線l：和雙曲線的方程，可得，設(shè)A，B的橫坐標(biāo)分別為，，可得，，則.21.【解答】解：（1）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立拋物線C：，可得，設(shè)，，可得，則，解得，則直線l的方程為或；（2）拋物線C：的準(zhǔn)線為，可設(shè)，，直線l的方程設(shè)為，代入拋物線C：，得，所以，由題意可得，即有，同理，則.22．【解答】解：（I）取的中點(diǎn)E，連接，可得四邊形是正方形過(guò)點(diǎn)P作，垂足為O，連接、、、∵與都是等邊三角形，∴，可得因此，O是正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)，可得∵，得直線是直線在內(nèi)的射影，∴∵中，E、O分別為、的中點(diǎn)，∴，可得；幾何法（II）由（I）知，∵、是平面內(nèi)的相交直線，∴∵，∴取的中點(diǎn)F，的中點(diǎn)G，連接，則為有中位