湖北省武漢市東西湖區(qū)2025屆新高三8月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

武漢市東西湖區(qū)2025屆新高三8月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷本試題卷共4頁(yè)，19題，全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，.若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合元素所表示的意義，以及集合關(guān)系，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以直線與直線平行，所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的概念與運(yùn)算、解方程等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法法則求解．【詳解】由，得.故選：C.3.若是夾角為的兩個(gè)單位向量，與垂直，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意先分別算出的值，然后將“與垂直”等價(jià)轉(zhuǎn)換為，從而即可求解.【詳解】由題意有，又因?yàn)榕c垂直，所以，整理得，解得.故選：B.4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩角差的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到方程組，即可求出、，再求出即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，解得，所以，又，所以，所?故選：A5.已知圓錐的高為6，體積為高的倍，用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓臺(tái)高是3，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C.7 D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意利用等量關(guān)系可求得圓錐底面圓半徑為，代入計(jì)算可得圓臺(tái)體積.【詳解】如下圖所示：易知圓錐的高，圓臺(tái)的高，設(shè)圓錐的底面圓半徑為，則；所以，解得；可得圓臺(tái)下底面圓面積為，上底面圓面積為，所以該圓臺(tái)的體積為.故選：C6.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求解函數(shù)的單調(diào)性，接著根據(jù)已知條件結(jié)合函數(shù)定義域和單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，此時(shí)，所以是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以若即，則，，故選：D.7.已知函數(shù)，其圖象與直線y=3相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，若f(x)>1對(duì)任意恒成立，則φ的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得周期為，根據(jù)周期公式可得.將不等式恒成立化為是sin(3x+φ)>0的解集的子集可求得結(jié)果.【詳解】∵函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0，|φ|<)，其圖象與直線y=3相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，∴，∴ω=3.若f(x)>1對(duì)任意恒成立，則時(shí)，sin(3x+φ)>0恒成立，由sin(3x+φ)>0得，，即，，所以，所以，求得，又，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將不等式恒成立化為是sin(3x+φ)>0的解集的子集求解是解題關(guān)鍵.8.已知定義在R上的函數(shù)滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依次求出猜想,再用等比數(shù)列求和.詳解】,,,,,,,故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題關(guān)鍵是通過(guò)計(jì)算觀察得到,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣，創(chuàng)建了超級(jí)雜交稻技術(shù)體系，為我國(guó)糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給作出了杰出貢獻(xiàn).某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高（單位：）近似服從正態(tài)分布.已知時(shí)，有，，.下列說(shuō)法正確的是（）A.該地水稻的平均株高約為 B.該地水稻株高的方差約為100C.該地株高超過(guò)的水稻約占68.27％ D.該地株高低于的水稻約占99.87％【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性，即可求解.【詳解】由題意可知，，，故A，B正確；由題意得，所以，故C錯(cuò)誤；所以，故D正確；故選：ABD.10.對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減B.若方程有個(gè)不等的實(shí)根，則C.當(dāng)時(shí)，D.設(shè)，若對(duì)，，使得成立，則【答案】BD【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、圖象及性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)A，B，C；求出函數(shù)在R上的值域，在上的值域，借助值域的包含關(guān)系即可判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，上都單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，A不正確；當(dāng)時(shí)，的圖象在x軸上方，且在時(shí)，，在上的圖象在x軸下方，顯然是偶函數(shù)，在方程中，或時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，時(shí)，方程無(wú)實(shí)根，時(shí)，方程有個(gè)不等的實(shí)根，B正確；因，則有，即，于是得，C不正確；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋驅(qū)?，，使得成立，從而得，即得，D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：已知函數(shù)，，若，，有，則的值域是值域的子集,11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為，則（）A.曲線有兩條對(duì)稱(chēng)軸B.曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為C.曲線第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積最大值為D.四葉草面積小于【答案】BCD【解析】【分析】通過(guò)方程中的變換得新曲線的對(duì)稱(chēng)軸判斷A，利用基本不等式及距離公式判斷B，設(shè)出曲線中第一象限的點(diǎn)，利用基本不等式即可求出矩形面積最大值判斷C，由該曲線在以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓內(nèi)，故面積小于圓的面積判斷D.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；綜上可知：有四條對(duì)稱(chēng)軸，錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，所以，所以，取等?hào)時(shí)，所以最大距離為，正確；對(duì)于C：設(shè)任意一點(diǎn)，所以圍成的矩形面積為，因?yàn)?，所以，所以，取等?hào)時(shí)，所以圍成矩形面積的最大值為，正確；對(duì)于D：由B可知，所以四葉草包含在圓的內(nèi)部，因?yàn)閳A的面積為：，所以四葉草的面積小于，正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M在第一象限且與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，，直線NE與雙曲線的右支交于點(diǎn)P，若，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】先設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用求得點(diǎn)坐標(biāo)，推理證明（二階結(jié)論），再利用和整體代入即得的齊次式，計(jì)算即得離心率.【詳解】如圖，設(shè)，則，,根據(jù)可得:,故，因點(diǎn)均為雙曲線上的點(diǎn)，則由①因?yàn)?，所以②，又③，將②，③兩式代入①式得：．故雙曲線的離心率．故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的方程與幾何性質(zhì)以及關(guān)于雙曲線的二階結(jié)論是否熟悉.關(guān)鍵在于能否建立四條直線的斜率之間的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)代入消去未知量，得出的齊次式.13.已知直線是曲線和的公切線，則實(shí)數(shù)a=______．【答案】3【解析】【分析】先設(shè)在上的切點(diǎn)，然后求出切點(diǎn)和切線，然后再設(shè)在上的切點(diǎn)，即可求出a的值.【詳解】設(shè)直線l與曲線相切于點(diǎn)，由，得，因?yàn)閘與曲線相切，所以消去，得，解得．設(shè)l與曲線相切于點(diǎn)，由，得，即，因?yàn)槭莑與曲線的公共點(diǎn)，所以消去，得，即，解得．故答案為：3.14.著名數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》中曾談到：任何一個(gè)大于1的整數(shù)要么是質(zhì)數(shù)，要么可以寫(xiě)成一系列質(zhì)數(shù)的積，例如.已知，且均為質(zhì)數(shù)，若從中任選2個(gè)構(gòu)成兩位數(shù)，且，則的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字不相等的概率為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】求出根據(jù)，且可得，利用古典概型概率公式計(jì)算可得答案.【詳解】，可得，若從中任選2個(gè)構(gòu)成兩位數(shù)，且數(shù)，且，則有共6個(gè)，則十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字不相等的有共5個(gè)，所以的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字不相等的概率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，的面積為，已知，．（1）求角；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理和面積公式得到，結(jié)合得到答案；（2）根據(jù)半角公式得到，得到，由正弦定理得到，利用面積公式和正弦和角公式求出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，于是．又，所以．【小?wèn)2詳解】，因?yàn)椋?，故，因?yàn)椋裕烧叶ɡ淼?，解得．所?16.已知橢圓，過(guò)左焦點(diǎn)且斜率大于0的直線交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為的垂直平分線交x軸于點(diǎn).（1）若點(diǎn)縱坐標(biāo)為，求直線的方程；（2）若，求的面積.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，求出韋達(dá)定理，又因?yàn)辄c(diǎn)的縱坐標(biāo)為，解得：或，便得出直線的方程；（2）根據(jù)橢圓的弦長(zhǎng)公式，分別求出和，由求出的面積.【詳解】設(shè)，由題意，可設(shè)直線，（1）將直線方程代入橢圓方程，得，所以，由，得，解得：或.當(dāng)時(shí)，，直線方程為，當(dāng)時(shí)，，直線方程為，綜上所述，直線方程為或.（2）由，得，，.代入②式得，解得或（舍去），于是，所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系，涉及直線方程、直線與橢圓聯(lián)立、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，還考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).17.如圖，在直三棱柱中，是上的點(diǎn)，且平面．（1）求證：平面；（2）若是棱上且靠近的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）．【解析】【分析】（1）由平面，可得，再由直棱柱可證得，從而可推得平面，再利用平行關(guān)系，即可證明平面；（2）利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，即，然后通過(guò)已知的數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】平面平面,在直三棱柱中，底面平面,，又平面，平面，即平面,,平面．【小問(wèn)2詳解】由（1）知平面，又在平面內(nèi)，，即，又由直棱柱知平面平面，作于M，于是，與相似，，，即，是棱上且靠近的三等分點(diǎn)，，得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，，得，點(diǎn)到平面的距離為．18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證:；（3）若在定義域上單調(diào)遞增，求的最小值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性求出極值可得答案；（2）（法一）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，要證只要證在上恒正即可，求導(dǎo)可得答案；（法二），可得在有兩個(gè)不等的實(shí)根，即，利用對(duì)數(shù)均值不等式可得答案；（3）（法一）轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)的極大值點(diǎn)為，即，由，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性求即可.（法二）即恒成立，表示以為動(dòng)點(diǎn)的拋物線，兩者有公共點(diǎn)，聯(lián)立方程可得恒成立，即，利用導(dǎo)數(shù)求出可得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，，，當(dāng)時(shí)，，所以在上、上各有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；【小問(wèn)2詳解】（法一），設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，要證，只要證，只要證，只要證，在上恒正即可，而，在上遞增，成立；（法二），則，由題意可得:在有兩個(gè)不等的實(shí)根，即，，下證：對(duì)均不等式，不妨設(shè)，則，令，證即證，即證在成立，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞減，可得，即，可得，由對(duì)均不等式可得：，，故；【小問(wèn)3詳解】（法一）恒成立，恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值（這時(shí)即為極大值），設(shè)的極大值點(diǎn)為，則，，，而，在上減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，這時(shí)；（法二）恒成立，它表示以為動(dòng)點(diǎn)的直線及其上方的點(diǎn)，表示以為動(dòng)點(diǎn)的拋物線，兩者有公共點(diǎn)，，消去得，恒成立，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．（4）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式或研究零點(diǎn)問(wèn)題．19.有窮數(shù)列中，令，（1）已知數(shù)列，寫(xiě)出所有的有序數(shù)對(duì)，且，使得；（2）已知整數(shù)列為偶數(shù)，若，滿足：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.求的最小值；（3）已知數(shù)列滿足，定義集合.若且為非空集合，求證：.【答案】（1）、、、（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）結(jié)合題意，逐個(gè)計(jì)算即可得；（2）由題意可得，，可得當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合，即可得解；（3）將展開(kāi)，從而得到證明與之間的項(xiàng)之和，，都為正數(shù)，即可得證.【小問(wèn)1詳解】為時(shí)，，為時(shí)，，為時(shí)，，為時(shí)，，故，且