湖南省平江縣頤華高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

頤華學(xué)校2023級(jí)高二入學(xué)檢測(cè)——數(shù)學(xué)試卷姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________時(shí)量：120分鐘滿分：150分一、單選題（本大題共8小題，共40分．在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1．已知，則（）A． B． C． D．2．設(shè)向量，則（）A． B． C． D．3．若，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角是（）A． B． C． D．5．已知按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：27，30，37，a，40，50；乙組：24，b，33，44，48，52．若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)對(duì)應(yīng)相等，第50百分位數(shù)也對(duì)應(yīng)相等，則（）A．75 B．70 C．65 D．606．1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫(xiě)出以下公式：（是自然對(duì)數(shù)的底，是虛數(shù)單位），這個(gè)公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被稱為“數(shù)學(xué)中的天橋”，下列說(shuō)法正確的是（）A． B． C． D．7．若一個(gè)圓柱的內(nèi)切球（與圓柱的兩底面以及每條母線均相切）的表面積為，則這個(gè)圓柱的體積為（）A． B．2 C． D．8．已知直角梯形中，是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C．4 D．5二、多選題（本大題共3小題，共18分．在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9．對(duì)于，有如下判斷，其中正確的是（）A．若，則B．若，則為等腰三角形C．若，則是針角三角形D．若，則符合條件的有兩個(gè)10．已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，若函數(shù)的從小到大的四個(gè)不同的零點(diǎn)依次為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)在棱上，且，則下列結(jié)論正確的有（）A．沿正方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離為B．保持與垂直時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為C．若保持，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為D．平面被正方體截得截面為等腰梯形三、填空題（本大題共3小題，共15分）12．已知集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．13．已知二次函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．14．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，為的中點(diǎn)．若，當(dāng)四棱錐的體積取到最大值時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)___________．四、解答題（本大題共5個(gè)小題，，13+15+15+17+17=77分．解答題應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15．已知平面向量，且函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．16．已知中，分別為角的對(duì)邊，，且．（1）求角的大小；（2）求的取值范圍．17．定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．（1）求的值；（2）證明：在上單調(diào)遞減；（3）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱底面，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)．（1）求三棱錐的體積；（2）求證：平面；（3）求平面與平面所成夾角的大小．19．某校象棋社團(tuán)組織了一場(chǎng)象棋對(duì)抗賽，參與比賽的40名同學(xué)分為10組，每組共4名同學(xué)進(jìn)行單循環(huán)比賽．已知甲、乙、丙、丁4名同學(xué)所在小組的賽程如表．規(guī)定：每場(chǎng)比賽獲勝的同學(xué)得3分，輸?shù)耐瑢W(xué)不得分，平局的2名同學(xué)均得1分，三輪比賽結(jié)束后以總分排名，每組總分排名前兩位的同學(xué)可以獲得獎(jiǎng)勵(lì)．若出現(xiàn)總分相同的情況，則以抽簽的方式確定排名（抽簽的勝者排在負(fù)者前面），且抽簽時(shí)每人勝利的概率均為．假設(shè)甲、乙、丙3名同學(xué)水平相當(dāng)，彼此間勝、負(fù)、平的概率均為．丁同學(xué)的水平較弱，面對(duì)任意一名同學(xué)時(shí)自己勝、負(fù)、平的概率都分別為．每場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．第一輪甲—乙丙—丁第二輪甲—丙乙—丁第三輪甲—丁乙—丙（1）求丁同學(xué)的總分為5分的概率；（2）已知三輪比賽中丁同學(xué)獲得兩勝一平，且第一輪比賽中丙、丁2名同學(xué)是平局，求甲同學(xué)能獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率．參考答案一、單選題（本大題共8小題，共40分．在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1．C2．D3．A4．D5．B6．B7．A8．D二、多選題（本大題共3小題，共18分．在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9．ABC10．AB因?yàn)椋膱D象過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以因?yàn)楹瘮?shù)從小到大的四個(gè)不同的零點(diǎn)依次為，所以關(guān)于的方程從小到大的四個(gè)不同的實(shí)根依次為，即函數(shù)的圖象與直線有四個(gè)交點(diǎn)，四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為．作出函數(shù)的圖象，如圖中實(shí)線所示，由圖易知．易知，所以，所以，所以，故A正確．易知，即，故B正確．因?yàn)?，所以，設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，故C不正確．，設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，故D不正確．綜上，結(jié)論正確的為AB．11．BCD對(duì)于A，將正方體的下面和側(cè)面展開(kāi)可得如圖圖形，連接，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖：平面平面，，又，平面，平面平面．，同理可得，平面．平面．過(guò)點(diǎn)作交交于，過(guò)作交交于，由，可得平面，平面，平面，同理可得平面．則平面平面．設(shè)平面交平面于，則的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，由點(diǎn)在棱上，且，可得，，故B正確；對(duì)于C，如圖：若，則在以為球心，為半徑的球面上，過(guò)點(diǎn)作平面，則，此時(shí)．點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓弧上，此時(shí)圓心角為．點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度，故C正確；對(duì)于D，如圖：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于，連接，平面被正方體截得的截面為．，．，，，且，截面為梯形，截面為等腰梯形，故D正確．故選：BCD．三、填空題（本大題共3小題，共15分）12．13．的對(duì)稱軸是，時(shí)，開(kāi)口向下，，在遞減，符合題意，時(shí)，若在單調(diào)，只需或，解得：或，綜上，14．【解析】由題可得，當(dāng)?shù)酌鏁r(shí)，四棱錐的體積取到最大值，如圖，取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌鏋榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以底面，則，又由底面底面，所以，因?yàn)榫匦?，則，又平面，所以平面，又為的中點(diǎn)．為的中點(diǎn)，所以，則平面，則，又，所以，又，因?yàn)槠矫?，，所以平面，又平面，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以，則．故點(diǎn)到平面的距離為．四、解答題（本大題共5個(gè)小題，13+15+15+17+17=77分．解答題應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15．（1），的最小正周期．由，得，的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2），，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，為；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，為．故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為最小值為0．16．解：（1）（法一）因?yàn)?，由余弦定理，為鈍角．因?yàn)椋?，所以，解之，得．（法二）因?yàn)槎?，由余弦定理，為鈍角，所以，又，所以．（2）（法一）由（1），得．根據(jù)正弦定理，又，所以，從而的取值范圍為．（法二）由（1），，根據(jù)余弦定理，所以，．又．所以的取值范圍為．17．（1），令，則（1），證明：（2）由可得，設(shè)，，即，所以在上單調(diào)遞減；（3）因?yàn)?，所以，由?）得恒成立，令，則可化為對(duì)任意恒成立，且，．18．解：（1）取中點(diǎn)，連接．在中，分別為的中點(diǎn)，為的中位線．，且．又，．底面，底面．；（2）證明：底面，且平面，．底面是正方形，．又平面，平面．又平面．，且，是等腰直角三角形．又是的中點(diǎn)，．又平面，平面．平面，．，又平面，平面；（3）由（2）可知，故是平面與平面所成的二面角的平面角．，．在中，，又平面平面，在中，，．故平面與平面所成的二面角的大小為．解：（Ⅰ）證明：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，由已知平面，平面，平面；（Ⅱ）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，則有令，則；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，則有，令，則，設(shè)平面與平面的夾角的大小為，，平面與平面的夾角的大小為；19．【解題思路】（1）丁同學(xué)總分為5分，則丁同學(xué)三輪比賽結(jié)果為一勝兩平，記第輪比賽丁同學(xué)勝、平的事件分別為，，丁同學(xué)三輪比賽結(jié)果為一勝兩平的事件為，則，即丁同學(xué)的總分為5分的概率為．（2）由于丁同學(xué)獲得兩勝一平，且第一輪比賽中丙、丁2名同學(xué)是平局，則在第二、三輪比賽中，丁同學(xué)對(duì)戰(zhàn)乙、甲同學(xué)均獲勝，故丁同學(xué)的總分為7分，且同丁同學(xué)比賽后，甲、乙、丙三人分別獲得0分、0分、1分，若甲同學(xué)獲得獎(jiǎng)勵(lì)，則甲最終排名為第二名．①若第一、二輪比賽中甲同學(xué)均獲勝，則第三輪比賽中無(wú)論乙、丙兩位同學(xué)比賽結(jié)果如何，甲同學(xué)的總分為6分，排第二名，可以獲得獎(jiǎng)勵(lì)，此時(shí)的概率．②若第一輪比賽中甲同學(xué)獲勝，第二輪比賽中甲、丙2名同學(xué)平局，第三輪比賽中乙、丙2名同學(xué)平局或乙同學(xué)獲勝，甲同學(xué)的總分為4分，排第二名，可以獲得