湖南省平江縣頤華高級中學2024-2025學年高二上學期入學考試數學試題

頤華學校2023級高二入學檢測——數學試卷姓名：___________班級：___________考號：___________時量：120分鐘滿分：150分一、單選題（本大題共8小題，共40分．在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1．已知，則（）A． B． C． D．2．設向量，則（）A． B． C． D．3．若，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．如圖所示，在長方體中，，點分別是，的中點，則異面直線與所成的角是（）A． B． C． D．5．已知按從小到大順序排列的兩組數據：甲組：27，30，37，a，40，50；乙組：24，b，33，44，48，52．若這兩組數據的第30百分位數對應相等，第50百分位數也對應相等，則（）A．75 B．70 C．65 D．606．1748年，瑞士數學家歐拉發(fā)現(xiàn)了復指數函數和三角函數的關系，并寫出以下公式：（是自然對數的底，是虛數單位），這個公式在復變論中占有非常重要的地位，被稱為“數學中的天橋”，下列說法正確的是（）A． B． C． D．7．若一個圓柱的內切球（與圓柱的兩底面以及每條母線均相切）的表面積為，則這個圓柱的體積為（）A． B．2 C． D．8．已知直角梯形中，是腰上的動點，則的最小值為（）A． B． C．4 D．5二、多選題（本大題共3小題，共18分．在每小題有多項符合題目要求）9．對于，有如下判斷，其中正確的是（）A．若，則B．若，則為等腰三角形C．若，則是針角三角形D．若，則符合條件的有兩個10．已知函數的圖象過點，若函數的從小到大的四個不同的零點依次為，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．11．如圖，正方體的棱長為是側面上的一個動點（含邊界），點在棱上，且，則下列結論正確的有（）A．沿正方體的表面從點到點的最短距離為B．保持與垂直時，點的運動軌跡長度為C．若保持，則點的運動軌跡長度為D．平面被正方體截得截面為等腰梯形三、填空題（本大題共3小題，共15分）12．已知集合，集合，若，則實數的取值范圍是____________．13．已知二次函數在區(qū)間上是單調函數，則實數的取值范圍是____________．14．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，為的中點．若，當四棱錐的體積取到最大值時，點到平面的距離為____________．四、解答題（本大題共5個小題，，13+15+15+17+17=77分．解答題應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）15．已知平面向量，且函數．（1）求函數的最小正周期及單調遞減區(qū)間；（2）求函數在區(qū)間上的最大值和最小值．16．已知中，分別為角的對邊，，且．（1）求角的大小；（2）求的取值范圍．17．定義在上的函數滿足，且當時，．（1）求的值；（2）證明：在上單調遞減；（3）若關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍．18．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側棱底面，是的中點，作交于點．（1）求三棱錐的體積；（2）求證：平面；（3）求平面與平面所成夾角的大小．19．某校象棋社團組織了一場象棋對抗賽，參與比賽的40名同學分為10組，每組共4名同學進行單循環(huán)比賽．已知甲、乙、丙、丁4名同學所在小組的賽程如表．規(guī)定：每場比賽獲勝的同學得3分，輸的同學不得分，平局的2名同學均得1分，三輪比賽結束后以總分排名，每組總分排名前兩位的同學可以獲得獎勵．若出現(xiàn)總分相同的情況，則以抽簽的方式確定排名（抽簽的勝者排在負者前面），且抽簽時每人勝利的概率均為．假設甲、乙、丙3名同學水平相當，彼此間勝、負、平的概率均為．丁同學的水平較弱，面對任意一名同學時自己勝、負、平的概率都分別為．每場比賽結果相互獨立．第一輪甲—乙丙—丁第二輪甲—丙乙—丁第三輪甲—丁乙—丙（1）求丁同學的總分為5分的概率；（2）已知三輪比賽中丁同學獲得兩勝一平，且第一輪比賽中丙、丁2名同學是平局，求甲同學能獲得獎勵的概率．參考答案一、單選題（本大題共8小題，共40分．在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1．C2．D3．A4．D5．B6．B7．A8．D二、多選題（本大題共3小題，共18分．在每小題有多項符合題目要求）9．ABC10．AB因為，的圖象過點，所以，解得，所以因為函數從小到大的四個不同的零點依次為，所以關于的方程從小到大的四個不同的實根依次為，即函數的圖象與直線有四個交點，四個交點的橫坐標從小到大依次為．作出函數的圖象，如圖中實線所示，由圖易知．易知，所以，所以，所以，故A正確．易知，即，故B正確．因為，所以，設，則函數在上單調遞減，所以，所以，故C不正確．，設，則函數在上單調遞減，所以，所以，故D不正確．綜上，結論正確的為AB．11．BCD對于A，將正方體的下面和側面展開可得如圖圖形，連接，則，故A錯誤；對于B，如圖：平面平面，，又，平面，平面平面．，同理可得，平面．平面．過點作交交于，過作交交于，由，可得平面，平面，平面，同理可得平面．則平面平面．設平面交平面于，則的運動軌跡為線段，由點在棱上，且，可得，，故B正確；對于C，如圖：若，則在以為球心，為半徑的球面上，過點作平面，則，此時．點在以為圓心，2為半徑的圓弧上，此時圓心角為．點的運動軌跡長度，故C正確；對于D，如圖：延長交于點，連接交于，連接，平面被正方體截得的截面為．，．，，，且，截面為梯形，截面為等腰梯形，故D正確．故選：BCD．三、填空題（本大題共3小題，共15分）12．13．的對稱軸是，時，開口向下，，在遞減，符合題意，時，若在單調，只需或，解得：或，綜上，14．【解析】由題可得，當底面時，四棱錐的體積取到最大值，如圖，取中點，取中點，連接，因為底面為的中點，為的中點，所以，所以底面，則，又由底面底面，所以，因為矩形，則，又平面，所以平面，又為的中點．為的中點，所以，則平面，則，又，所以，又，因為平面，，所以平面，又平面，所以，設點到平面的距離為，所以，則．故點到平面的距離為．四、解答題（本大題共5個小題，13+15+15+17+17=77分．解答題應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）15．（1），的最小正周期．由，得，的單調遞減區(qū)間為．（2），，當，即時，函數取得最小值，為；當，即時，函數取得最大值，為．故函數在區(qū)間上的最大值為最小值為0．16．解：（1）（法一）因為，由余弦定理，為鈍角．因為，又，所以，解之，得．（法二）因為而，由余弦定理，為鈍角，所以，又，所以．（2）（法一）由（1），得．根據正弦定理，又，所以，從而的取值范圍為．（法二）由（1），，根據余弦定理，所以，．又．所以的取值范圍為．17．（1），令，則（1），證明：（2）由可得，設，，即，所以在上單調遞減；（3）因為，所以，由（2）得恒成立，令，則可化為對任意恒成立，且，．18．解：（1）取中點，連接．在中，分別為的中點，為的中位線．，且．又，．底面，底面．；（2）證明：底面，且平面，．底面是正方形，．又平面，平面．又平面．，且，是等腰直角三角形．又是的中點，．又平面，平面．平面，．，又平面，平面；（3）由（2）可知，故是平面與平面所成的二面角的平面角．，．在中，，又平面平面，在中，，．故平面與平面所成的二面角的大小為．解：（Ⅰ）證明：以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系如圖所示，則，，由已知平面，平面，平面；（Ⅱ）設平面的一個法向量為，，則有令，則；設平面的一個法向量為，，則有，令，則，設平面與平面的夾角的大小為，，平面與平面的夾角的大小為；19．【解題思路】（1）丁同學總分為5分，則丁同學三輪比賽結果為一勝兩平，記第輪比賽丁同學勝、平的事件分別為，，丁同學三輪比賽結果為一勝兩平的事件為，則，即丁同學的總分為5分的概率為．（2）由于丁同學獲得兩勝一平，且第一輪比賽中丙、丁2名同學是平局，則在第二、三輪比賽中，丁同學對戰(zhàn)乙、甲同學均獲勝，故丁同學的總分為7分，且同丁同學比賽后，甲、乙、丙三人分別獲得0分、0分、1分，若甲同學獲得獎勵，則甲最終排名為第二名．①若第一、二輪比賽中甲同學均獲勝，則第三輪比賽中無論乙、丙兩位同學比賽結果如何，甲同學的總分為6分，排第二名，可以獲得獎勵，此時的概率．②若第一輪比賽中甲同學獲勝，第二輪比賽中甲、丙2名同學平局，第三輪比賽中乙、丙2名同學平局或乙同學獲勝，甲同學的總分為4分，排第二名，可以獲得