第十二章 全等三角形知識(shí)歸納與題型突破（12類題型清單）（原卷版）

第頁(yè)第十二章全等三角形知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）0101思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記一、全等圖形形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.要點(diǎn)詮釋：一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒(méi)有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.兩個(gè)全等形的周長(zhǎng)相等，面積相等.二、全等三角形能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.三、全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.要點(diǎn)詮釋：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，周長(zhǎng)相等，面積相等.全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.四、全等三角形的判定五、全等三角形的證明思路六、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切?、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問(wèn)題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).運(yùn)用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾何問(wèn)題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1．證明線段相等的方法：(1)證明兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等.(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.(3)等式性質(zhì).2．證明角相等的方法：(1)利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.(2)證明兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等.(3)利用角平分線的判定進(jìn)行證明.(4)同角（等角）的余角（補(bǔ)角）相等.(5)對(duì)頂角相等.3．證明兩條線段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法；可通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，得到對(duì)應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.4．輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長(zhǎng)中線法；(3)作以角平分線為對(duì)稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(zhǎng)(或補(bǔ)短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5.證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個(gè)角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形及它們?nèi)鹊臈l件.（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí)，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條件.（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個(gè)三角形之間不存在全等關(guān)系，此時(shí)應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過(guò)構(gòu)造出全等三角形來(lái)研究平面圖形的性質(zhì).七、角平分線概念：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成完全相同的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線。角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；數(shù)學(xué)語(yǔ)言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OMPB⊥ON∴PA=PB判定定理：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言：∵PA⊥OMPB⊥ONPA=PB

∴∠MOP=∠NOP角平分線常考四種輔助線：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。角平分線加垂線，三線合一試試看。

角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。

也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系出現(xiàn)。0303題型歸納題型一全等圖形識(shí)別例題：（23-24七年級(jí)下·陜西寶雞·期中）下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（

）A．B．C．D．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）下列各選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形屬于全等形的是（）A． B． C． D．

2．（23-24七年級(jí)下·四川成都·期中）下列各組圖形中，是全等圖形的是（

）A． B． C． D．3．（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）下列各組的兩個(gè)圖形屬于全等圖形的是（

）A． B．C． D．題型二全等三角形的概念例題：（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期中）下列判斷正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）形狀相同的兩個(gè)三角形是全等形；（2）全等圖形的周長(zhǎng)都相等；（3）面積相等的兩個(gè)等腰三角形是全等形；（4）全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線及對(duì)應(yīng)角平分線分別相等．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．全等三角形是指形狀相同的兩個(gè)三角形 B．全等三角形的面積相等C．全等三角形是指面積相等的兩個(gè)三角形 D．等邊三角形都全等2．（23-24八年級(jí)上·甘肅定西·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．形狀相同的兩個(gè)三角形全等 B．面積相等的兩個(gè)三角形全等C．全等三角形的周長(zhǎng)相等、面積相等 D．所有的等邊三角形全等3．（23-24八年級(jí)上·陜西安康·期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．全等三角形是指形狀、大小相同的三角形 B．兩個(gè)全等三角形的面積不一定相等C．周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形是全等三角形 D．所有的等邊三角形都是全等三角形題型三全等三角形的性質(zhì)例題：（23-24七年級(jí)下·四川資陽(yáng)·期末）如圖，已知點(diǎn)A在上，，

(1)試說(shuō)明：；(2)若，，求的長(zhǎng)鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·福建泉州·期末）如圖，，其中點(diǎn)A、E、B、D在一條直線上．

(1)若，求的大?。?2)若，求的長(zhǎng)．2．（23-24七年級(jí)下·陜西榆林·期末）如圖，已知，點(diǎn)在邊上，與交于點(diǎn)，，．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求與的周長(zhǎng)之和．3．（23-24七年級(jí)下·四川樂(lè)山·期末）如圖所示，，點(diǎn)在邊上，與交于點(diǎn)．

(1)若，，求線段的長(zhǎng)；(2)若，，求的度數(shù)．題型四添加一個(gè)條件使兩三角形全等例題：（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，D在上，E在上，且，補(bǔ)充一個(gè)條件______后，可用“”判斷．

鞏固訓(xùn)練1．（2023·黑龍江雞西·校考三模）如圖，點(diǎn)在一條直線上，已知，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件_________使得．（要求不添加任何線段）

2．（2023·北京大興·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)，，，在一條直線上，，，只需添加一個(gè)條件即可證明，這個(gè)條件可以是________（寫出一個(gè)即可）．3．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，要使用“”證明，應(yīng)添加條件：_______________；要使用“”證明，應(yīng)添加條件：_______________________．題型五用SAS證明兩三角形全等例題：（2023·廣東廣州·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，，．求證：．

鞏固訓(xùn)練1．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）已知，如圖，點(diǎn)、、、在同一直線上，、相交于點(diǎn)，，垂足為，，垂足為，且，．求證：．2．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)濟(jì)南育英中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，，，．求證：．

題型六用ASA證明兩三角形全等例題：（2023春·廣東惠州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，點(diǎn)，點(diǎn)在上，，求證：．

鞏固訓(xùn)練1．（2023·校聯(lián)考一模）如圖，點(diǎn)A、、、在同一條直線上，若，，求證：．2．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學(xué)?？既＃┤鐖D，在和中，，點(diǎn)B為中點(diǎn)，．(1)求證：．(2)若，求的長(zhǎng)．題型七用AAS證明兩三角形全等例題：（2023·廣東汕頭·廣東省汕頭市聿懷初級(jí)中學(xué)?？既＃┤鐖D，點(diǎn)E在邊上，，，．求證：鞏固訓(xùn)練1．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，，，．

(1)求證：．(2)當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)．2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，．(1)求證：；(2)求證：．題型八用SSS證明兩三角形全等例題:（2023·云南玉溪·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)在一條直線上，，求證：．

鞏固訓(xùn)練1．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的中點(diǎn)，．求證：．

2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)分別在上，，．(1)求證：；(2)求證：．題型九用HL證明兩直角三角形全等例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在和中，于A，于D，，與相交于點(diǎn)O．求證：．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·廣東河源·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A，D，B，E在同一直線上，．(1)求證：；(2)，求的度數(shù)．2．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知相交于點(diǎn)O，，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，．(1)求證：；(2)試猜想與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．題型十三角形全等的判定與性質(zhì)例題：（2024上·浙江麗水·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·甘肅武威·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，是邊上的一點(diǎn)，，平分，交邊于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．2．（2024上·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小明和小亮準(zhǔn)備用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)一池塘的長(zhǎng)度，經(jīng)過(guò)實(shí)地測(cè)量，繪制如下圖，點(diǎn)在直線l上（點(diǎn)F、C之間的距離為池塘的長(zhǎng)度），點(diǎn)A、D在直線l的異側(cè)，且，，測(cè)得．

(1)求證：；(2)若，，求池塘的長(zhǎng)度．3．（2023上·廣西來(lái)賓·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，，．

(1)求證：；(2)若，，求四邊形的面積；(3)猜想，，三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．題型十一角平分線的性質(zhì)定理例題：（23-24七年級(jí)下·寧夏銀川·期末）如圖，點(diǎn)是平分線上一點(diǎn)，，垂足為，若，則點(diǎn)到邊的距離是．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·河南周口·期末）如圖，在中，平分，．若，，則．2．（23-24八年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·期中）如圖，兩兩相交的三條公路中央有一深水湖泊，要在陸地建一個(gè)加油站P到三條公路距離相等，這樣的位置有處．

3．（23-24八年級(jí)下·陜西西安·期末）如圖，中，和的平分線交于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，已知，的面積是5，則周長(zhǎng)是．題型十二角平分線的判定定理例題：（23-24七年級(jí)下·湖南衡陽(yáng)·期末）如圖，是AD中點(diǎn)，平分．

(1)若，求證：平分．(2)若，求證：．鞏固訓(xùn)練