2.1.2 一元二次方程的解集及根與系數(shù)的關系“四基”測試題-2021-2022學年高一上學期數(shù)學滬教版(2020)必修第一冊

四基：基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗【建議用時：40分鐘】《第2章等式與不等式》【2.1.2一元二次方程的解集及根與系數(shù)的關系】一、選擇題（每小題6分，共12分）1、若關于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（）2、已知x1，x2是關于x的方程x2＋bx－3＝0的兩根，且滿足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值為（）A．4B．－4C．3D．－3二、填充題（每小題10分，共60分）3、關于x的一元二次方程(m－2)x2＋x＋m2－4＝0有一個根為0，則m的值應為________．4、已知關于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋eq\f(m,4)＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2.若eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝4m，則m的值是5、設x1，x2是一元二次方程x2－mx－6＝0的兩個根(x1<x2)，且x1＋x2＝1，則x1＝______，x2＝________.6、已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的兩個實數(shù)根，且xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝10，則a＝________.7、若實數(shù)a，b滿足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，則a＋b＝8、若△ABC的兩邊長分別為2和3，第三邊的長是方程x2－8x＋15＝0的根，則△ABC的周長是________．三、解答題（第9題12分，第10題16分）9、若x1，x2是方程x2＋2x－2007＝0的兩個根，試求下列各式的值：（1）xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)；（2）eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)；（3）(x1－5)(x2－5)；（4）|x1－x2|.10、閱讀材料，解答問題．為解方程(x2－1)2－3(x2－1)＝0，我們可以將x2－1視為一個整體，然后設x2－1＝y(tǒng)，則(x2－1)2＝y(tǒng)2，原方程化為y2－3y＝0，解得y1＝0，y2＝3.當y＝0時，x2－1＝0，所以x2＝1，x＝±1；當y＝3時，x2－1＝3，所以x2＝4，x＝±2；所以原方程的解為x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2；[問題]解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0；【附錄】相關考點考點一一元二次方程的根考點二韋達定理若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個根，則x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a)；【教師版】《第2章等式與不等式》【2.1.2一元二次方程的解集及根與系數(shù)的關系】一、選擇題（每小題6分，共12分）1、若關于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．m<eq\f(1,4)B．m>－eq\f(1,4)C．m<eq\f(1,4)，且m≠0 D．m>－eq\f(1,4)，且m≠0【提示】注意審題“兩個不相等的實數(shù)根”；【答案】D；【解析】由題意，則需m≠0，且Δ＝(2m＋1)2－4m2＝4m2＋4m＋1－4m2＝4m＋1>0，解得m>－eq\f(1,4)，且m≠0；【考點】一元二次方程的根；注意：本題主要考查，一元二次方程的定義：形如ax2＋bx＋c＝0的方程為一元二次方程，其中a，b，c是常數(shù)，且a≠0。2、已知x1，x2是關于x的方程x2＋bx－3＝0的兩根，且滿足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值為（）A．4B．－4C．3D．－3【答案】A；【解析】由題知，x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，則x1＋x2－3x1x2＝－b－3×(－3)＝5，解得b＝4；【考點】韋達定理；本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關系；二、填充題（每小題10分，共60分）3、關于x的一元二次方程(m－2)x2＋x＋m2－4＝0有一個根為0，則m的值應為________．【答案】－2；【解析】因為關于x的一元二次方程(m－2)x2＋x＋m2－4＝0有一個根為0，所以m2－4＝0且m－2≠0，解得m＝－2；【考點】方程的根與一元二次方程根的解法；本題將方程的根與解方程進行了交匯；4、已知關于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋eq\f(m,4)＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2.若eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝4m，則m的值是【答案】2；【解析】由題知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠0，,Δ＝m＋22－4m·\f(m,4)>0，))解得m>－1且m≠0；因為，x1＋x2＝eq\f(m＋2,m)，x1x2＝eq\f(1,4)，所以，eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(\f(m＋2,m),\f(1,4))＝4m，所以，m＝2或－1，又因為m>－1且m≠0，所以，m＝2；【考點】一元二次方程的解法與韋達定理；本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關系；5、設x1，x2是一元二次方程x2－mx－6＝0的兩個根(x1<x2)，且x1＋x2＝1，則x1＝______，x2＝________.【答案】－2；3；【解析】由題知，x1＋x2＝m＝1，則原方程為x2－x－6＝0，解得x1＝－2，x2＝3.【考點】韋達定理；本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關系；6、已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的兩個實數(shù)根，且xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝10，則a＝________.【提示】注意根據(jù)題設，結合根與系數(shù)關系建立有關參數(shù)的等式；【答案】eq\f(21,4)【解析】由題知，x1＋x2＝5，x1x2＝a；因為，xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)(x1－x2)＝10，所以，x1－x2＝2，所以，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝25－4a＝4，則a＝eq\f(21,4)；【考點】一元二次方程的解法與韋達定理；4．7、若實數(shù)a，b滿足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，則a＋b＝【提示】注意通過仔細審題進行轉化；【答案】－eq\f(1,2)或1；【解析】解得x1＝－eq\f(1,2)，x2＝1；則a＋b＝－eq\f(1,2)或1；【考點】一元二次方程的解法與換元法；8、若△ABC的兩邊長分別為2和3，第三邊的長是方程x2－8x＋15＝0的根，則△ABC的周長是________．【答案】8；【解析】x2－8x＋15＝0，即(x－5)(x－3)＝0，所以，x1＝3，x2＝5.又因為△ABC的兩邊長分別為2，3，所以，x≠5，即x＝3；所以，△ABC的周長為2＋3＋3＝8；【考點】一元二次方程的解法與三角形性質的交匯；三、解答題（第9題12分，第10題16分）9、若x1，x2是方程x2＋2x－2007＝0的兩個根，試求下列各式的值：（1）xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)；（2）eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)；（3）(x1－5)(x2－5)；（4）|x1－x2|.【解析】x1＋x2＝－2，x1x2＝－2007，（1）xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－2007)＝4018.（2）eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(－2,－2007)＝eq\f(2,2007).（3）(x1－5)(x2－5)＝x1x2－5(x1＋x2)＋25＝－2007－5×(－2)＋25＝－1972.（4）|x1－x2|＝eq\r(x1－x22)＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(4＋4×2007)＝eq\r(8032)＝4eq\r(502).【考點】韋達定理；與等式性質、代數(shù)變換的整合；10、閱讀材料，解答問題．為解方程(x2－1)2－3(x2－1)＝0，我們可以將x2－1視為一個整體，然后設x2－1＝y(tǒng)，則(x2－1)2＝y(tǒng)2，原方程化為y2－3y＝0，解得y1＝0，y2＝3.當y＝0時，x2－1＝0，所以x2＝1，x＝±1；當y＝3時，x2－1＝3，所以x2＝4，x＝±2；所以原方程的解為x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2；[問題]解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0；【提示】注意通過閱讀理解，知道解決問題的過程；【答案】{－1，1}；【解析】設x2＋3＝y(tǒng)，原方程可化為y2－4y＝0，即y(y－