3.4導數(shù)的綜合應用（1）零點問題 -2022屆高考數(shù)學一輪復習講義

3.4導數(shù)與零點問題一、學習目標：1.鞏固利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；2.掌握零點問題的基本處理策略.典例分析例1．已知函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】即有兩個解，即有兩個解，令，則有，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，且當時，，而時，，當時，，所以當有兩個解時，有，所以的取值范圍是.變式：1．已知函數(shù)．若在只有一個零點，求的值.【答案】設，由條件知在只有一個零點．（i）當時，，沒有零點；（ii）當時，．當時，；當時，．所以在遞減，在遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒有零點；②若，即，在只有一個零點；③若，即，由于，所以在有一個零點，由（1）知，當時，，所以．故在有一個零點，因此在有兩個零點．綜上，在只有一個零點時，．例2．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若，，證明：只有一個零點．【答案】(1)，當時，若，則單調遞減，若，則單調遞增；當時，若，則單調遞增，若，則單調遞減，若，則單調遞增；當時，在上單調遞增；當時，若，則單調遞增，若，則單調遞減，若，則單調遞增；(2)由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結合函數(shù)的單調性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結論成立.變式：1．設函數(shù)，．（1）求的單調區(qū)間和極值；（2）證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點．【答案】（1）由，（）得.由解得.與在區(qū)間上的情況如下：所以，的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是；在處取得極小值.（2）由（1）知，在區(qū)間上的最小值為.因為存在零點，所以，從而.當時，在區(qū)間上單調遞減，且，所以是在區(qū)間上的唯一零點.當時，在區(qū)間上單調遞減，且，，所以在區(qū)間上僅有一個零點.綜上可知，若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點.例3．已知，函數(shù)，其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）證明：函數(shù)在上有唯一零點；（2）記x0為函數(shù)在上的零點，證明：；【答案】（1）在上遞增，，所以由零點存在定理得在上有唯一零點．（2），，令一方面，在遞增，，，另一方面：，所以當時，成立，因此只需證明當時，，因為當時，，當時，，所以，在遞減，，，綜上，.三、課外作業(yè)1．已知函數(shù).若有兩個零點，求的取值范圍.【答案】設，則導數(shù)知，在遞減，在遞增.又，取b滿足b＜0且，則，所以有兩個零點.（Ⅱ）設a=0，則，所以只有一個零點.（iii）設a＜0，若，則由導數(shù)知，在遞增.又當時，＜0，故不存在兩個零點；若，則由導數(shù)知，在遞減，在遞增.又當時＜0，故不存在兩個零點.綜上，a的取值范圍為.2．設a，b為實數(shù)，且，函數(shù)，若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；【答案】原條件有2個不同解有2個不同解，令，則，記，記，又，所以時，時，，則在遞減，遞增，，.即實數(shù)的取值范圍是.3．已知函數(shù)，．用表示中的最小值，設函數(shù)，討論零點的個數(shù)．【答案】當時，，從而，∴在（1，+∞）無零點.當=1時，若，則，,故=1是的零點；若，則，,故=1不是的零點.當時，，所以只需考慮在（0,1）的零點個數(shù).（ⅰ）若或，則在（0,1）無零點，故在（0,1）單調，而，，所以當時，在（0，1）有一個零點；當0時，在（0，1）無零點.（ⅱ）若，則在（0，）單調遞減，在（，1）單調遞增，故當=時，取的最小值，最小值為=.①若＞0，即＜＜0，在（0,1）無零點.②若=0，即，則在（0,1）有唯一零點；③若＜0，即，由于，，所以當時，在（0,1）有兩個零點；當時，在（0,1）有一個零點.綜上，當或時，由一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點.4．已知且，函數(shù)．若曲線與直