3.3.2 拋物線的幾何性質(zhì)（七大題型）（解析版）

3．3．2拋物線的幾何性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)能通過拋物線的方程推出它的簡單幾何性質(zhì)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.（1）掌握拋物線的幾何性質(zhì).（2）會(huì)利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡單的拋物線問題.知識(shí)點(diǎn)01拋物線的簡單幾何性質(zhì)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)范圍：，，拋物線（）在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)滿足不等式；當(dāng)x的值增大時(shí)，也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．拋物線是無界曲線．對稱性：關(guān)于x軸對稱拋物線（）關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．拋物線只有一條對稱軸．頂點(diǎn)：坐標(biāo)原點(diǎn)拋物線（）和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．離心率：．拋物線（）上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率．用e表示，．拋物線的通徑通過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的直線被拋物線所截得的線段叫做拋物線的通徑．因?yàn)橥ㄟ^拋物線（）的焦點(diǎn)而垂直于x軸的直線與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，所以拋物線的通徑長為．這就是拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的一種幾何意義．另一方面，由通徑的定義我們還可以看出，刻畫了拋物線開口的大小，值越大，開口越寬；值越小，開口越窄．【即學(xué)即練1】（多選題）（2023·高二課時(shí)練習(xí)）對標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線給出下列條件，其中滿足拋物線的有（）A．焦點(diǎn)在y軸上B．焦點(diǎn)在x軸上C．拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6D．由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)為【答案】BD【解析】由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，位于軸上，所以A不滿足，B滿足；對于C中，設(shè)是拋物線上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，則，所以C不滿足對于D中，由于拋物線的焦點(diǎn)為，若由原點(diǎn)向該直線作垂線，垂足為，設(shè)過該焦點(diǎn)的直線方程為，則，此時(shí)該直線存在，所以D滿足．故選：BD.知識(shí)點(diǎn)02拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的對比圖形標(biāo)準(zhǔn)方程頂點(diǎn)范圍，，，，對稱軸x軸y軸焦點(diǎn)離心率準(zhǔn)線方程焦半徑知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對稱軸，一條準(zhǔn)線；（2）標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)的幾何意義是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；恰恰說明定義中的焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線上這一隱含條件；參數(shù)的幾何意義在解題時(shí)常常用到，特別是具體的標(biāo)準(zhǔn)方程中應(yīng)找到相當(dāng)于的值，才易于確定焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．【即學(xué)即練2】（多選題）（2023·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，過F的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，且A在x軸上方，過A、B分別作的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、，則（

）A．B．若，則A的縱坐標(biāo)為4C．若，則直線AB的斜率為D．以為直徑的圓與直線AB相切于F【答案】BCD【解析】由題意可得：拋物線：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，設(shè)直線AB為，則，聯(lián)立方程，消去y可得：,則，對A：∵，∴，∴不相互垂直，A錯(cuò)誤；對B：∵，則或（舍去），∴A的縱坐標(biāo)為4，B正確；對C：∵，且，∴，則，解得或（舍去），故直線AB的斜率，C正確；對D：∵，∴的中點(diǎn)到直線AB的距離，又∵，故以為直徑的圓與直線AB相切于F，D正確；故選：BCD.知識(shí)點(diǎn)03焦半徑公式設(shè)拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，焦點(diǎn)為．1、拋物線，．2、拋物線，．3、拋物線，．4、拋物線，．【注意】【即學(xué)即練3】（2023·云南昭通·高二?？计谥校┰O(shè)第四象限的點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，若，則（

）A．-4 B． C． D．-32【答案】B【解析】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由拋物線的性質(zhì)可得，所以，將的坐標(biāo)代入拋物線的方程：，所以，又因?yàn)樵诘谒南笙蓿?故選：.知識(shí)點(diǎn)04直線與拋物線的位置關(guān)系1、直線與拋物線的位置關(guān)系有三種情況：相交（有兩個(gè)公共點(diǎn)或一個(gè)公共點(diǎn)）；相切（有一個(gè)公共點(diǎn)）；相離（沒有公共點(diǎn)）．2、以拋物線與直線的位置關(guān)系為例：（1）直線的斜率不存在，設(shè)直線方程為，若，直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；若，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)既是原點(diǎn)又是切點(diǎn)；若，直線與拋物線沒有交點(diǎn)．（2）直線的斜率存在．設(shè)直線，拋物線，直線與拋物線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于方程組，的解的個(gè)數(shù)，即二次方程（或）解的個(gè)數(shù)．①若，則當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相切，有個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相離，無公共點(diǎn)．②若，則直線與拋物線相交，有一個(gè)公共點(diǎn)．【即學(xué)即練4】（2023·全國·高二課堂例題）（1）求過定點(diǎn)，且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的方程.（2）若直線l：與曲線C：（）恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)a的取值集合.【解析】（1）由題意知，直線的斜率存在.設(shè)直線斜率為，則切線方程為，由消去x，得.當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，所以，解得，即過M點(diǎn)的切線有兩條.所求直線l的方程為或.綜上所述，所求直線l的方程為，或，或.（2）因?yàn)橹本€l與曲線C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，所以方程組只有一組實(shí)數(shù)解，消去y，得，即①.當(dāng)，即時(shí)，直線為，直線與曲線恰一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，由，解得（舍去）或.當(dāng)時(shí)，由方程①化為，解得，代入直線方程為，解得，即此時(shí)直線與曲線恰一個(gè)公共點(diǎn).綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合是.知識(shí)點(diǎn)05直線與拋物線相交弦長問題1、弦長設(shè)為拋物線的弦，，，弦AB的中點(diǎn)為．（1）弦長公式：（為直線的斜率，且）．（2），（3）直線的方程為．【即學(xué)即練5】（2023·四川綿陽·高二鹽亭中學(xué)校考期中）已知拋物線的方程為，過其焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，（

）A． B．3 C． D．2【答案】C【解析】如下圖所示：易知，不妨設(shè)；設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立消去得，,由韋達(dá)定理可知；由可得；聯(lián)立解得，即；根據(jù)焦點(diǎn)弦公式可得；代入計(jì)算可得.故選：C【方法技巧與總結(jié)】1、點(diǎn)與拋物線的關(guān)系（1）在拋物線內(nèi)（含焦點(diǎn)）．（2）在拋物線上．（3）在拋物線外．2、焦半徑拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．3、的幾何意義為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開口越大．4、焦點(diǎn)弦若為拋物線的焦點(diǎn)弦，，，則有以下結(jié)論：（1）．（2）．（3）焦點(diǎn)弦長公式1：，，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)弦取最小值，即所有焦點(diǎn)弦中通徑最短，其長度為．焦點(diǎn)弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）．（4）的面積公式：（為直線與對稱軸的夾角）．5、拋物線的弦若AB為拋物線的任意一條弦，，弦的中點(diǎn)為，則（1）弦長公式：（2）（3）直線AB的方程為（4）線段AB的垂直平分線方程為6、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的快速方法（法）（1）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為（2）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為如，即，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為7、參數(shù)方程的參數(shù)方程為（參數(shù)）8、切線方程和切點(diǎn)弦方程拋物線的切線方程為，為切點(diǎn)切點(diǎn)弦方程為，點(diǎn)在拋物線外與中點(diǎn)弦平行的直線為，此直線與拋物線相離，點(diǎn)（含焦點(diǎn)）是弦AB的中點(diǎn)，中點(diǎn)弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點(diǎn)差法也可以得到同樣的結(jié)果．9、拋物線的通徑過焦點(diǎn)且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑．對于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長為．10、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系：11、焦點(diǎn)弦的?？夹再|(zhì)已知、是過拋物線焦點(diǎn)的弦，是的中點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線，，為垂足．（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；（2），（3）；（4）設(shè)，為垂足，則、、三點(diǎn)在一條直線上題型一：拋物線的幾何性質(zhì)例1．（多選題）（2023·山東聊城·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率為2的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．若經(jīng)過點(diǎn)，則線段的長為10.C．線段的中點(diǎn)在直線上D．以線段為直徑的圓一定與軸相交【答案】BC【解析】對A：由拋物線，可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線為，A錯(cuò)誤；對B：若經(jīng)過點(diǎn)，則，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，故，B正確；對C：∵直線的斜率為2，設(shè)，，聯(lián)立方程，消去y得：，則，故，故線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即線段的中點(diǎn)在直線上，C正確；對D：不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，如圖，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，交y軸于點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離，故以線段為直徑的圓一定與軸相切，D錯(cuò)誤.故選：BC.例2．（多選題）（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于拋物線的說法正確的是（

）A．焦點(diǎn)在x軸上B．焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于10C．拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于D．由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)可能為【答案】ACD【解析】拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，，正確，錯(cuò)誤；設(shè)是上的一點(diǎn)，則，所以正確；由于拋物線的焦點(diǎn)為，過該焦點(diǎn)的直線方程為，若由原點(diǎn)向該直線作垂線，垂足為時(shí)，則，此時(shí)存在符合題意的垂線，所以正確.故選：.例3．（多選題）（2023·全國·高二專題練習(xí)）（多選）已知平面內(nèi)到定點(diǎn)比它到定直線：的距離小1的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，則下列說法正確的是（

）A．曲線的方程為 B．曲線關(guān)于軸對稱C．當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)， D．當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離【答案】AB【解析】由題意可知：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與它到定直線：的距離相等，由拋物線定義，知曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為，所以A，B正確；由知，點(diǎn)到直線的距離，所以C，D錯(cuò)誤．故選：AB．變式1．（多選題）（2023·甘肅蘭州·高二?？计谀╆P(guān)于拋物線，下列說法正確的是（

）A．開口向左 B．焦點(diǎn)坐標(biāo)為 C．準(zhǔn)線為 D．對稱軸為軸【答案】AD【解析】對選項(xiàng)A，，開口向左，故A正確；對選項(xiàng)B，，焦點(diǎn)為，故B錯(cuò)誤；對選項(xiàng)C，，準(zhǔn)線方程為，故C錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D，，對稱軸為軸，故D正確.故選：AD變式2．（多選題）（2023·全國·高二專題練習(xí)）（多選）平面內(nèi)到定點(diǎn)和到定直線的距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．則（

）A．曲線的方程為B．曲線關(guān)于軸對稱C．當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，D．當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離【答案】AB【解析】由拋物線定義，知曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為，故A正確；若點(diǎn)在曲線上，則點(diǎn)也在曲線上，故曲線關(guān)于軸對稱，故B正確；由知，故C錯(cuò)誤；點(diǎn)到直線的距離，所以D錯(cuò)誤故選：AB變式3．（多選題）（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn))在拋物線上，若，則（

）A． B．C． D．的坐標(biāo)為【答案】AC【解析】由題可知,由，，所以，.故選：AC．題型二：直線與拋物線的位置關(guān)系例4．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）過點(diǎn)作直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有幾條？【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，得，當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，由，可得，即當(dāng)時(shí)，符合題意．綜上，滿足條件的直線有條．例5．（2023·全國·高二課堂例題）已知點(diǎn)和拋物線，求過點(diǎn)A且與拋物線C相切的直線l的方程．【解析】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由直線l過點(diǎn)可知，直線l就是y軸，其方程為．由消去未知數(shù)x得．這是一個(gè)一元二次方程且只有唯一的實(shí)數(shù)解，所以直線與拋物線C相切．如果直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為．由方程組消去x，整理得．為了使得這個(gè)方程是一元二次方程且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，必須有且，因此可解得．此時(shí)直線l的方程為，即．綜上可知，直線l的方程為或．例6．（2023·河北邯鄲·高二?？茧A段練習(xí)）已知曲線C：y=x2-2x+3，直線l：x-y-4=0，在曲線C上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線l的距離最短，并求出最短距離.【解析】點(diǎn)P到直線l的距離最短，故點(diǎn)P是在曲線C上平行于直線l的切線的切點(diǎn).設(shè)由切線平行于直線l得：且故∴所求最短距離變式4．（2023·甘肅嘉峪關(guān)·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1，記點(diǎn)的軌跡為.(1)求軌跡為的方程(2)設(shè)斜率為的直線過定點(diǎn)，求直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的相應(yīng)取值范圍.【解析】（1）設(shè)是軌跡上的任意一點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到的距離多，可得，即，整理得，所以點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）在點(diǎn)軌跡中，記，因?yàn)樾甭实闹本€過定點(diǎn)，不妨設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，可得直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，可得，不妨設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，令，解得，若直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足，解得或，綜上，當(dāng)時(shí)，直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn).變式5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的方程為，直線l過定點(diǎn)，斜率為k.當(dāng)k為何值時(shí)，直線l與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)，沒有公共點(diǎn)？【解析】由題意，可設(shè)直線的方程為，即，聯(lián)立方程組，整理得，則，當(dāng)時(shí)，即，解得或，此時(shí)方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即，解得或，此時(shí)方程兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，即直線與拋物線兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)方程沒有實(shí)數(shù)解，即直線與拋物線沒有公共點(diǎn)，綜上可得：當(dāng)或，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)或，直線與拋物線兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)，直線與拋物線沒有公共點(diǎn).題型三：中點(diǎn)弦問題例7．（2023·廣西貴港·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，且.(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的斜率.【解析】（1）由題可知，，解得，故拋物線的方程為.（2）設(shè)，則，兩式相減得，即.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，故直線的斜率為2.例8．（2023·陜西商洛·高二?？计谀┲本€：與拋物線：交于，兩點(diǎn)，且(1)求拋物線的方程；(2)若直線與交于，兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的斜率．【解析】（1）因?yàn)镸的焦點(diǎn)為，且直線l：經(jīng)過點(diǎn)，所以經(jīng)過的焦點(diǎn)．聯(lián)立，得．設(shè)，，則，則，解得．所以M的方程為．（2）設(shè)，，則，兩式相減，得．因?yàn)椋詌＇的斜率為.例9．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線與拋物線相交于、兩點(diǎn).(1)若直線過點(diǎn)，且傾斜角為，求的值；(2)若直線過點(diǎn)，且弦恰被平分，求所在直線的方程.【解析】（1）因直線的傾斜角為，所以直線的斜率，又因直線過點(diǎn)，所以直線的方程為：，即，聯(lián)立得，設(shè)，，所以，，所以（2）因、在拋物線上，所以，，兩式相減得：，得，故直線的斜率為4，所以直線的方程為：，即變式6．（2023·高二單元測試）已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的方程．【解析】（1）因?yàn)?，所以，故拋物線的方程為．（2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則兩式相減得，整理得．因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，所以直線的方程為，即.變式7．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB恰好被點(diǎn)平分.(1)求直線l的方程；(2)拋物線上是否存在點(diǎn)C和D，使得C，D關(guān)于直線l對稱?若存在，求出直線CD的方程；若不存在，請說明理由.【解析】（1）依題意，直線l的斜率存在，且不為0，設(shè)直線l的方程為，即，由消去x得：，，設(shè)，則有，由，得，于是直線l的方程，即，所以直線l的方程為.（2）假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)C，D滿足條件，由（1）設(shè)直線的方程為，由消去x得：，有，解得，設(shè)，則，于是線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然點(diǎn)在直線上，即，解得，所以拋物線上不存在點(diǎn)C，D，使得C，D關(guān)于直線l對稱.變式8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，．(1)求拋物線的方程；(2)當(dāng)線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí)，求直線的方程．【解析】（1）由題意得，當(dāng)軸時(shí)，，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，解得，，解得，故拋物線的方程為；（2）由（1）得，且直線的斜率存在，設(shè)，，且，則，，，即，線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，即，，即直線的斜率，直線的方程為，即．變式9．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線C上一點(diǎn)，，且．(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線l的方程．【解析】（1）因?yàn)槭菕佄锞€C上一點(diǎn)，，且，所以根據(jù)對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，解得，故拋物線C的方程為．（2）設(shè)，，則兩式相減得，即．因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，故直線l的方程為．變式10．（2023·四川樂山·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且.(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求直線的方程.【解析】（1）由定義知，解得.所以拋物線的方程為.（2）設(shè)，，顯然點(diǎn)在拋物線C內(nèi)，且是線段的中點(diǎn)，所以,因?yàn)閮牲c(diǎn)在拋物線上，所以，由，得，所以，故所求直線的方程為，即.題型四：焦半徑問題例10．（2023·全國·高二期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為3，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】如下圖所示：根據(jù)題意可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，若到直線的距離為，則到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，利用拋物線定義可知.故選：A例11．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)．若，則（

）A．4 B． C．8 D．【答案】C【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，，，因?yàn)椋?，得，①因?yàn)椋?，即，②由方程①②可得，，所?故選：C例12．（2023·廣東珠?！じ叨楹Ｊ械谝恢袑W(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若，則的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由拋物線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義求解即可．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，過作準(zhǔn)線的垂線使得，，，軸于，設(shè)，又，則，，則，又，則，又，則，即，則，故選：C．變式11．（2023·福建福州·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，若到直線的距離為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)榈街本€的距離為，則，可得，所以，.故選：C.變式12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為Q，若，則△PFQ的面積為（

）A．4 B． C． D．【答案】C【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝－1，焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，，由拋物線的定義知，因?yàn)?，所以△PFQ為等邊三角形，所以，又，所以，n＝3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以，所以．故選：C．變式13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過且斜率為1的直線交于，兩點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】拋物線的方程為，則其焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，由，可得：，，，根據(jù)拋物線定義，，因?yàn)?，所以，所以即，解得?故選：B.變式14．（2023·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┮阎本€與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可知,所以有，帶入得，整理得，判別式恒成立，設(shè)，則易知，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的取值范圍為.故選：B變式15．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限）．若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過點(diǎn)作于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),交軸于點(diǎn)，如圖所示，由，得，解得，所以，.設(shè)，因?yàn)椋?又,故，解得，所以.故選：A.變式16．（2023·四川宜賓·高二宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校校考期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，當(dāng)與圓相切時(shí)，的中點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，設(shè)直線的方程為.因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到的距離，解得，所以直線的方程為，聯(lián)立，得，則，所以的中點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為.故選:D變式17．（2023·河北邢臺(tái)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【解析】由已知得.顯然，直線不與軸垂直.設(shè)直線.聯(lián)立，得，得.設(shè)，則，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，此時(shí)，滿足條件，故的最小值為9．故選：B．變式18．（2023·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，過B作l的垂線交l于點(diǎn)D，若的面積為，則（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【解析】焦點(diǎn),設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與拋物線的方程得，設(shè),則，所以，故，，化簡得，所以，由，所以,故，故選：B變式19．（2023·四川廣安·高二廣安二中?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過的直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與交于點(diǎn)，若，，則（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】B【解析】如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，作，，垂足分別為，，所以，.又，所以，設(shè)，則.因?yàn)?，所以，所以，所以，?所以，拋物線為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，由得，解得，所以，，所以，直線的方程為所以，聯(lián)立方程得，解得，所以，，所以，故選：B題型五：弦長問題例13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)作兩條直線與拋物線相切于點(diǎn)A，B，則弦長等于（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【解析】由題意直線斜率存在，可設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：，所以，解之得，如圖所示，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以.故選：A例14．（2023·河南三門峽·高二統(tǒng)考期末）拋物線的焦點(diǎn)為，過且傾斜角為的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在的右下方，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由知，則直線為，設(shè)，則D到直線的距離為，又點(diǎn)在的右下方，所以，聯(lián)立方程，消元得，設(shè)，則，，所以，所以故當(dāng)時(shí)，有最大值.故選：A例15．（2023·云南昭通·高二?？计谥校┤鐖D，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，交于點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，則（

）

A．2 B． C．5 D．【答案】D【解析】如圖，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，由拋物線定義得.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，焦點(diǎn)，則直線的方程為，聯(lián)立消去得.設(shè)，所以，得，故選：D.變式20．（2023·廣東廣州·高二執(zhí)信中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，過且斜率大于零的直線與及拋物線的所有公共點(diǎn)從左到右分別為點(diǎn)，則（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】由題意可得，設(shè)直線的方程為，由題意可得直線與拋物線必有2個(gè)交點(diǎn)，與拋物線相切，聯(lián)立方程組，可得，所以，解得，故直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，設(shè)，則，所以.故選：C.變式21．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角是的直線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．8 B． C． D．16【答案】D【解析】根據(jù)拋物線方程得：焦點(diǎn)坐標(biāo)，直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，，，，，由得，所以，，所以弦長．故選：D．變式22．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，則（

）A．1 B． C．3 D．4【答案】C【解析】如圖，過作準(zhǔn)線于，過作準(zhǔn)線于，由拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可得，所以，代入拋物線方程得若，直線的斜率為，則直線方程為，即聯(lián)立得，則，所以，則；若，直線的斜率為，則直線方程為，即聯(lián)立得，則，所以，則；綜上，.故選：C.變式23．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)到的距離為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)、，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，點(diǎn)到直線的距離為，則，所以，，因此，，故選：C.變式24．（2023·寧夏銀川·高二銀川唐徠回民中學(xué)?？计谥校┮阎獟佄锞€C：的焦點(diǎn)為F，過F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若，則（

）A．9 B．7 C．6 D．5【答案】A【解析】由題設(shè)，故直線，則，聯(lián)立拋物線得：，則，得或，由過F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且，故，則，所以.故選：A變式25．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，則（

）A． B．1 C．2 D．【答案】D【解析】由題知直線過拋物線的焦點(diǎn)，所以，聯(lián)立方程得，顯然，設(shè)，則，所以，因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，所以，，解得.故選：D變式26．（2023·云南昆明·高二校考階段練習(xí)）已知拋物線，直線經(jīng)過焦點(diǎn)交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解法一：拋物線過點(diǎn)，，解得：，，，直線，即，由得：，解得：或，，；解法二：拋物線過點(diǎn)，，解得：，，，.故選：D.題型六：定點(diǎn)定值問題例16．（2023·全國·高二課堂例題）過的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，，則與的數(shù)量關(guān)系如何?并證明你的結(jié)論．【解析】，證明如下：設(shè)，，直線AB的方程為．聯(lián)立直線AB與拋物線的方程得，，因?yàn)?，所以，．又，所以，所以直線AN，BN關(guān)于x軸對稱．故．例17．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，且點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為5．(1)求拋物線的方程；(2)若直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)（位于對稱軸異側(cè)），且，求證：直線l必過定點(diǎn)．【解析】（1）由題可知，點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離為5，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，所以，解得，所以拋物線的方程為；（2）證明：設(shè)，且，聯(lián)立消去x可得，則，且，即，所以，由，得，即，解得（舍）或，故直線l的方程為，所以直線l必過定點(diǎn)．例18．（2023·寧夏銀川·高二銀川九中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是5.(1)求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線與該拋物線交于，兩點(diǎn)，求證：為定值.【解析】（1）∵拋物線焦點(diǎn)在軸上，且過點(diǎn)，∴設(shè)拋物線方程為（），由拋物線定義知，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于5，即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于5，則，∴，∴拋物線方程為.（2）顯然直線的斜率不為0，又由于直線過點(diǎn)，所以可設(shè)直線的方程為：，由，化簡并整理得，恒成立，設(shè)，，則，則，∴.所以為定值.變式27．（2023·河南濮陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，、是拋物線上異于的兩點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)若直線、的斜率之積為，求證：直線過軸上一定點(diǎn)．【解析】（1）根據(jù)題意，，則，故拋物線方程為：.（2）顯然直線的斜率不為零，且不過原點(diǎn)，故設(shè)其方程為，聯(lián)立拋物線方程可得：，時(shí)，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，，由題可知，，即，解得，此時(shí)滿足，故直線恒過軸上的定點(diǎn).變式28．（2023·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，以x軸為對稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程；(2)已知直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，在拋物線C上是否存在點(diǎn)Q，使得直線QA，QB分別于y軸交于M，N兩點(diǎn)，且，若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】（1）∵平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，以x軸為對稱軸，設(shè)拋物線，因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，所以故拋物線的方程為．（2）如圖所示：由可得，設(shè)，，∵，∴，且，．設(shè)拋物線C上存在點(diǎn)，使得直線，分別于y軸交于M，N兩點(diǎn)，且，則，．，∴，即，，故存在點(diǎn)，使得成立．變式29．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在拋物線上.(1)求拋物線C的方程；(2)過點(diǎn)的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值.【解析】（1）∵點(diǎn)在拋物線C上，∴，解得，∴拋物線C的方程為.（2）證明：設(shè)直線，，，聯(lián)立，消去y可得，，由韋達(dá)定理有，，∴，即得證.變式30．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，為坐標(biāo)原點(diǎn)）是等邊三角形.(1)求拋物線的方程.(2)延長交拋物線于點(diǎn)，試問直線是否恒過點(diǎn)？若是，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.【解析】（1）由題意可得，則，解得.故拋物線的方程為.（2）由（1）可知，設(shè).因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，即，整理得.因?yàn)?，所?由題意可知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立整理得，則.因?yàn)殛P(guān)于軸對稱，所以，則，解得.故直線的方程為，即直線恒過點(diǎn).變式31．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)與點(diǎn)的距離比它到直線的距離小，若記點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，且．求證直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）點(diǎn)與點(diǎn)的距離比它到直線的距離小，點(diǎn)與點(diǎn)的距離和點(diǎn)到直線的距離相等，由拋物線定義知：點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，即曲線的方程為：.（2）設(shè)，，，由得：，則，即；，，，；，，即；當(dāng)時(shí)，，恒過定點(diǎn).題型七：最值問題例19．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，，(1)求的方程；(2)，，是上的三點(diǎn)，若，求點(diǎn)到直線距離的最大值．【解析】（1）如圖所示：由題意可知，因?yàn)?，，由，，可得，由拋物線的定義可知，，解得．則的方程為.（2）如圖所示：在拋物線上，所以，設(shè)直線的方程為，，，將代入，得則，，同理整理得，，直線的方程為，所以直線過定點(diǎn).當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線距離最大，且最大距離為，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.例20．（2023·湖南株洲·高二?？计谀┮阎獟佄锞€C：（）與圓O：交于A，B兩點(diǎn)，且，直線l過C的焦點(diǎn)F，且與C交于M，N兩點(diǎn).(1)拋物線C的方程；(2)求的最小值.【解析】（1）設(shè)，根據(jù)拋物線和圓的對稱性得，由，解得，故點(diǎn)在拋物線：上，所以，解得，故拋物線：；（2）由拋物線：，得，設(shè)直線：，，，聯(lián)立方程，消去得，則，，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，故的最小值為.例21．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，位于拋物線C：上，且到拋物線的準(zhǔn)線的距離為2．(1)求拋物線C的方程；(2)已知點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)的直線l交C于M，N兩點(diǎn)，求的最小值以及此時(shí)直線l的方程．【解析】（1）根據(jù)題意可得，又，解方程組得，，故所求拋物線C方程，（2）設(shè)點(diǎn)，，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)直線l的斜率等于0時(shí)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)直線l的斜率不等于0時(shí)，不妨設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線l的方程為：；聯(lián)立拋物線方程可得，消去x得：，，得，由韋達(dá)定理得，，易知，故．所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為13．此時(shí)直線l的方程為．變式32．（2023·陜西寶雞·?？家荒＃┰O(shè)拋物線，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且.(1)求p；(2)設(shè)C的焦點(diǎn)為F，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值.【解析】（1）設(shè)，由，可得，所以，，所以，即，因?yàn)?，解得；?）由（1）得拋物線，因?yàn)?，顯然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，，由，可得，所以，，，因?yàn)?，所以，即，亦即，將，代入得，，，所以，且，解得或，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，，所以的面積，而或，所以當(dāng)時(shí)，的面積.變式33．（2023·廣東佛山·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線，為E上位于第一象限的一點(diǎn)，點(diǎn)P到E的準(zhǔn)線的距離為5．(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為E的焦點(diǎn)，A，B為E上異于P的兩點(diǎn)，且直線與斜率乘積為．（i）證明：直線過定點(diǎn)；（ii）求的最小值．【解析】（1）由題可知，解得.所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）（i）由（1）知，，且，解得，所以.設(shè)，則，同理可得，，則，即.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，直線的方程為，整理得.所以，即，所以直線過定點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得.綜上，直線過定點(diǎn).（ii）設(shè)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得，消去得，由題意，所以.所以，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，.由拋物線定義知.故的最小值為.變式34．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線，點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為.(1)求；(2)設(shè)圓，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線于兩點(diǎn)，求的面積的最大值.【解析】（1）由題知準(zhǔn)線方程為，則，得.（2）拋物線的方程為，把點(diǎn)代入到拋物線方程，，又，所以，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題知過點(diǎn)的直線斜率必存在，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，設(shè)，，的圓心為，半徑，則圓心到該直線的距離為，

由直線與圓相切，所以，解得，，

聯(lián)立，消y得，，則，又，不妨設(shè)，同理，

故，，得，所以直線：，即，

（定值），要使的面積最大，則中邊上的高最大即可，又因?yàn)閳A心到直線的距離為，則圓上一點(diǎn)到直線的距離的最大值為，即中邊上的高的最大值為,所以.

變式35．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為且.(1)求拋物線的方程；(2)過直線上的點(diǎn)作拋物線的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為，，求點(diǎn)到直線的距離的最大值.【解析】（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為：，由拋物線定義得：，解得，所以拋物線的方程為：.（2）記，，則可設(shè)直線，由消去并整理得，則由題意得，又得，所以直線的方程為，同理，直線的方程為，若設(shè)，則，所以直線的方程為，即，所以點(diǎn)到直線的距離，即，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閯t即，所以且；綜上，.所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為5.變式36．（2023·甘肅·統(tǒng)考一模）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切．(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)且斜率為的兩條直線分別交曲線于點(diǎn)，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，若，求點(diǎn)到直線的距離的最大值．【解析】（1）由題意知：動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為：.（2）設(shè)直線，，，由得：，則，，，，同理可得：，直線，又，直線，直線恒過定點(diǎn)，點(diǎn)到直線距離的最大值為.一、單選題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線E：，若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線E的漸近線的距離為，過焦點(diǎn)傾斜角為的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C．8 D．【答案】A【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，雙曲線E：其中一條漸近線方程為，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)橹本€過焦點(diǎn)且傾斜角為，所以直線方程為，所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與直線方程聯(lián)立消，得，由韋達(dá)定理得，，所以弦長.故選：A2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則（

）A． B． C．8 D．2【答案】D【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，又圓與該拋物線的準(zhǔn)線相切,圓心到準(zhǔn)線的距離：.故選：D.3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線在第一象限，第四象限分別交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線AB的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】分別過A，B兩點(diǎn)作橫軸的垂線，垂足分別為，設(shè)直線AB的傾斜角為，由題意可設(shè)，因?yàn)?，所以為鈍角，如下圖所示：由，因?yàn)椋杂?，所以，在直角三角形中中，，所以．故選：C4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，由得：，線段的中點(diǎn)為，，，，即直線的斜率為，直線的方程為：，即.故選：A.5．（2023·云南楚雄·高二?？茧A段練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】如圖所示，由題得，拋物線的準(zhǔn)線方程為.過點(diǎn)A作AM垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)N，由拋物線定義可知，，∴.故選：C6．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過拋物線：上一點(diǎn)作兩條直線分別與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若直線的斜率為2，直線，的斜率倒數(shù)之和為3，則（

）A． B．5 C． D．15【答案】C【解析】設(shè)，，故，則因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，所以，所以，解之，得，故選：C.7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)椋?，過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線于點(diǎn)，，由拋物線定義可知，由梯形中位線可知，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故，故，的最小值為.故選：B8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線為軸正半軸上一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于兩點(diǎn)，若，則四邊形的周長為（

）A． B．64 C． D．80【答案】A【解析】因?yàn)榫€段的垂直平分線交于兩點(diǎn)，所以結(jié)合拋物線的對稱性可得與互相平分,則四邊形為菱形.設(shè)點(diǎn)且則線段的垂直平分線方程為，令與軸交于點(diǎn),又，則在直角三角形中繼而可得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線，可得，解得，直角三角形中,所以四邊形的周長為.故選：A.二、多選題9．（2023·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為F，過F且傾斜角為的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，以下結(jié)論中正確的有（

）A．直線l的方程為B．原點(diǎn)到直線l的距離為C．D．以AB為直徑的圓過原點(diǎn)【答案】ABC【解析】如圖所示：對選項(xiàng)A，拋物線的焦點(diǎn)為，所以直線l的方程為，故A正確；對選項(xiàng)B，，故B正確.對選項(xiàng)C，聯(lián)立，設(shè)，，則，，所以，故C正確.對選項(xiàng)D，，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）以軸為對稱軸的拋物線的通徑（過焦點(diǎn)且與軸垂直的弦）長為8，若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其方程為（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】由題意，若，則焦點(diǎn)為，故，所以，即；若，則焦點(diǎn)為，故，所以，即；綜上，，則.故選：AB11．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，其焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，，設(shè)直線，的斜率分別為，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，故A正確；所以拋物線方程為，則焦點(diǎn)，設(shè)直線，則，消去整理得，則，所以，，則，，所以，故B正確；所以，，所以，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：ABD12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為4，過點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，則（

）A．的準(zhǔn)線為 B．的大小可能為C．的最小值為8 D．【答案】ACD【解析】由題意得，，則的準(zhǔn)線為，故A正確；,設(shè)，整理得，，所以，，，所以，故B錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，的最小值為8，故C正確；∵，∴，故D正確.故選：ACD.三、填空題13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線C的方程為，若傾斜角為銳角的直線l過拋物線的焦點(diǎn)F，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，則直線l的傾斜角為．【答案】【解析】如圖，直線為拋物線的準(zhǔn)線，過點(diǎn)分別作垂直于，