專題02 數(shù)與式的相關(guān)計算（原卷版）

專題02數(shù)與式的相關(guān)計算目錄熱點題型歸納 1題型01實數(shù)的運算 1題型02代數(shù)式求值 3題型03整式的混合運算 4題型04分式的混合運算 5題型05二次根式的混合運算 7題型06化簡求值 9題型07非負數(shù) 10中考練場 10 題型01實數(shù)的運算【解題策略】（1）絕對值化簡：正數(shù)的絕對值是它本身；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)：（2）根式化簡：；（3）指數(shù)化簡：不會改變原數(shù)的正負性；（4）特殊的三角函數(shù)值要記牢。實數(shù)的運算：實數(shù)的運算加法同號兩數(shù)相加，取原來的符號。并把它們的絕對值相加。異號兩數(shù)相加，取絕對儲較大的加數(shù)的符號，并用較大數(shù)的絕對值減失較小數(shù)的絕對值。減法減去一個效等于加上這個數(shù)的相反數(shù)乘法兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把它們的絕對值相乘幾個非零實數(shù)相乘。積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負n個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積為0.除法兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把它們的絕對值相除0除以任何一個不等于0的數(shù)都得0乘方幾個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，記作an（a≠0，n為正整數(shù)）開方與乘方互為逆運算運算順序分級：加減是一級運算。除是二級運算，乘方和開方是三級運算，三級運算的題序是三二一、（如果有括號，先算括號內(nèi)的；如果沒有括號，在同一級運算中，要從左至右進行運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算）【典例分析】（2023·北京）計算：4sin?60例2．（2023·湖南）計算：8?2sin30°?|1?【變式演練】（2024·陜西模擬）計算：|?232.（2024·湖南模擬）計算：3題型02代數(shù)式求值【解題策略】代數(shù)式的概念及求值1．代數(shù)式的概念用基本運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方等)把數(shù)與字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式．2．代數(shù)式的值用具體數(shù)代替代數(shù)式中的字母，按運算順序計算出的結(jié)果叫做代數(shù)式的值。求代數(shù)式的值分兩步；第一步，代數(shù)；第二步，計算。要充分利用“整體”思想求代數(shù)式的值.【典例分析】例1．（2024·內(nèi)蒙古模擬）先化簡，再求值：a(a?2b)?(a+b)(a?b)，其中a=12，b=?1．例2．（2024·安徽模擬）已知：x2=y3=z【變式演練】1.（2024·全國模擬）先化簡，再求值：(2x+y)2+(x?y)(x+y)?5x(x?y)，其中x=22.（2024·江蘇模擬）先化簡，再求值：x(x+2)?(x+1)(x?1)，其中x=12題型03整式的混合運算【解題策略】冪的運算：①同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n；②冪的乘方：(am)n=amn；③積的乘方：(ab)n=anbn；④同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n。整式乘法公式：①平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2；②完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2。運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的，先算括號內(nèi)的，去括號時，先去小括號，再去中大括號。整式運算冪的運算同底數(shù)冪乘法am·an＝am＋n（a≠0）am＋n＝am·an同底數(shù)冪除法eq\f(am,an)＝am－n(m，n是正整數(shù))am－n＝eq\f(am,an)冪的乘方(am)n＝amn（a≠0）amn＝(am)n積的乘方(ab)n＝anbnanbn＝(ab)n乘法公式平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2a2－b2＝(a＋b)(a－b)完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2a2±2ab＋b2＝(a±b)2整式加減①整式的加減其實就是合并同類項；②整式加減的步驟：有括號，先去括號；有同類項，再合并同類項．注意去括號時，如果括號前面是負號，括號里各項的符號要變號．整式乘法①單項式與單項式相乘：把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式，只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．②單項式與多項式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC．③多項式與多項式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb．整式除法①單項式除以單項式：把系數(shù)、同底數(shù)冪相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．②多項式除以單項式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.【典例分析】例1．（2023·福建模擬）先化簡，再求值：[(x+2y)2?(x+y)(3x?y)?5y2【變式演練】1.（2023·湖南模擬）先化簡，再求值：a(a?2b)?(a?1)2?2a，其中a=?1，b=2.（2023·全國模擬）已知3a2?4a?7=0，求代數(shù)式(2a?1題型04分式的混合運算【解題策略】在運算過程中去括號時，括號前面是“﹣”，去掉括號和它前面的“﹣”號，括號里面的每一項都要改變符號分式混合運算應注意的七點1．注意分式混合運算的順序.2．進行分式與整式的加減運算時,可將整式視為分母為1的代數(shù)式,然后與分式進行通分,再依照運算法則進行運算.3．除法運算一定要轉(zhuǎn)化為乘法后再運算,如果分子、分母是多項式,可先將分子、分母因式分解,再進行運算.4．分式的混合運算中,若有“A(B+C)”這種形式,且A·B,A·C均可約分時,可利用乘法分配律簡化運算.5．進行分式的加減運算時,注意與分式方程的解法區(qū)別開來,不要“去分母”.6．化簡結(jié)果要最簡.7．代入求值時,盡可能用“整體代入法”求值,且代入的值不能使原式中的分式和化簡過程中出現(xiàn)的分式的分母為0.分式運算分式加減同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減，即eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c).異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后相加減，即eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad±bc,bd).分式乘除分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母，即eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd).分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(ad,bc)分式的混合運算在分式的加減乘除混合運算中，應先算乘除，進行約分化簡后，再進行加減運算，遇到有括號的，先算括號里面的．運算結(jié)果必須是最簡分式或整式．【典例分析】例1．（2024·安徽模擬）(2023·合肥三模)化簡：a2?2a+1a2+a例2．（2023·江蘇模擬）計算：(x【變式演練】1.（2024·四川模擬）計算：

m+2+52?m2.（2023·遼寧模擬）計算：1a+1÷a+2題型05二次根式的混合運算【解題策略】一、二次根式的性質(zhì)（1）()2＝a(a≥0)．（2）＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a<0）.))（3）＝·(a≥0，b≥0)．（4）(a≥0，b>0)．（5）雙重非負性：二次根式?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(被開方數(shù)a≥0,\r(a)≥0))二、二次根式的運算1．二次根式的加減：先將各二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式．2．二次根式的乘除（1）二次根式的乘法：·＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)；(2)二次根式的除法：＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)；（3）二次根式的運算結(jié)果一定要化成最簡二次根式或整式．3．二次根式的開方：＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a＜0）.))4．二次根式的混合運算在進行二次根式的混合運算時，應注意以下幾點：（1）二次根式的混合運算順序與實數(shù)的運算順序相同，即先乘方，再乘除，最后算加減，有括號要先去括號；（2）加法的交換律、結(jié)合律，乘法的交換律、結(jié)合律和對加法的分配律在二次根式的混合運算中仍然適用；（3）多項式的乘法公式仍然適合于二次根式的運算；（4）二次根式混合運算的結(jié)果要化為最簡二次根式．【典例分析】例1．（2024·四川模擬）計算下列各題．(1)(2)3×1【變式演練】1.（2023·廣東模擬）計算：482.（2023·云南模擬）計算：(43?3題型06化簡求值【解題策略】1.分式化簡(求值)的步驟及注意事項步驟(1)凡是遇見分子、分母是多項式，先因式分解，然后通分或約分；(2)有括號先計算括號里面的；(3)進行乘除計算；(4)進行加減運算；(5)代入求值注意事項(1)化簡求值題一定要做到“先”化簡，“再”求值；(2)通分時要記得給不含分母的項乘最簡公分母；(3)化簡結(jié)果應為最簡分式或整式；(4)求值時必須保證所“代”數(shù)值使原分式的分母及運算過程中分式的分母都不為0【典例分析】例1．（2024·廣東模擬）先化簡再求值：(1?1x?1)÷x2例2．（2023·江蘇模擬）先化簡、再求值：(1?2x)【變式演練】1.（2023·湖南模擬）先約分，再求值：2x+6x2?4x+4?x?22.（2023·遼寧模擬）先化簡(1?3a+2)÷a2?2a+1a題型07非負數(shù)【解題策略】1.常見的非負數(shù)有(a≥0)，|a|，a2.2.若幾個非負數(shù)的和為0，則這幾個非負數(shù)均為0.如：若|，則a＝b＝c＝__0_．【典例分析】例1．（2024·甘肅模擬）先化簡，后求值：3a2?b2例2．（2024·安徽模擬）若|m+4|與n2?2n+1互為相反數(shù)，把多項式x【變式演練】1.（2023·廣東）已知a?2+|b?2a|=0，則a+2b的值是(

)A.4 B.6 C.8 D.102.（2023·湖南）已知等腰三角形的三邊x、y、z滿足(x?4)2+y?2+|z?a|=0A.2 B.3 C.4 D.2或41.（2023·江蘇）計算：|3?1|+(π?32.（2023·廣東）計算：(1+π)0+2?|?3|+2sin3.（2023·湖南）計算：π?3.140+?14.（2023·湖南）先化簡，再求值．

(x+y)(x?y)?(4x3y?8xy3)÷2xy，其中5.（2023·