3.3.1 空間直角坐標(biāo)系 講義-2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)滬教版（2020）選擇性必修第一冊

學(xué)生版第3章空間向量及其應(yīng)用3.3空間向量的坐標(biāo)表示3.3.1空間直角坐標(biāo)系本章將要學(xué)習(xí)的空間向量是從幾何直觀角度講述向量的最高境界；空間向量知識是平面向量知識的延伸與拓展，從概念理解到問題解決，或可直接化歸到平面向量，或可對平面向量的理論進(jìn)行類比與提升；因此，本章的學(xué)習(xí)，特別要幫助學(xué)生在復(fù)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上，理解空間向量的概念、運(yùn)算、基本定理和應(yīng)用，體會平面向量和空間向量理論上的一脈相承，掌握它們的共性和差異；特別注意，向量理論“可把有關(guān)的幾何問題簡便地轉(zhuǎn)化為相應(yīng)代數(shù)問題來處理”；在“平面向量”一章，由于只能處理平面上的問題，學(xué)生對向量這一化幾何問題為代數(shù)問題的神奇功能和強(qiáng)大威力可能體會還不深刻；本章中，向量將為處理立體幾何問題展現(xiàn)新視角，把許多三維空間中的邏輯推理和度量問題歸結(jié)到向量的計(jì)算，使向量方法成為研究幾何問題的有效工具；因此，本章學(xué)習(xí)的另一個(gè)要求是，使學(xué)生能運(yùn)用空間向量方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量問題，體會向量方法和純幾何方法在研究立體幾何問題中的共性與差異，進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力和幾何直觀能力；【學(xué)習(xí)目標(biāo)】學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1、了解空間直角坐標(biāo)系的建立過程．2、掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示；（重點(diǎn)、難點(diǎn)）1、邏輯推理：空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算；2、數(shù)學(xué)運(yùn)算：空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算；3、直觀想象：建立空間直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的坐標(biāo)；4、數(shù)學(xué)建模：通過空間向量的坐標(biāo)表示；【自主學(xué)習(xí)】問題導(dǎo)學(xué)：預(yù)習(xí)教材P101－P102的內(nèi)容，思考以下問題：1、復(fù)習(xí)：（1）數(shù)軸Ox上的點(diǎn)M，用代數(shù)的方法怎樣表示呢？數(shù)軸Ox上的點(diǎn)M，可用與它對應(yīng)的實(shí)數(shù)x表示；（2）直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)M，怎樣表示呢？直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)M，可用一對有序?qū)崝?shù)(x，y)表示．2、如果我們也能建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，又該怎樣表示空間的點(diǎn)呢？【知識梳理】1、空間直角坐標(biāo)系（1）單位正交基底三個(gè)有公共起點(diǎn)O的的單位向量，，，稱為單位正交基底；（2）空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系從空間一點(diǎn)出發(fā)，可以作三條兩兩互相垂直的坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系【說明】空間直角坐標(biāo)系的畫法：在平面內(nèi)畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí)，一般把x軸、y軸畫成水平放置，x軸正方向與y軸正方向夾角為(或)，z軸與y軸(或x軸)；坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)軸三條坐標(biāo)軸分別是橫軸（即狓軸）、縱軸（即軸）與豎軸（即軸）；坐標(biāo)平面Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面右手制我們約定坐標(biāo)系采用右手制，即右手翹起拇指、其他四指握拳做“點(diǎn)贊”狀，當(dāng)四指所指的方向是軸正方向到軸正方向的旋轉(zhuǎn)方向時(shí)，拇指所指為軸正方向右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸正方向，食指指向y軸正方向，如果中指指向z軸正方向，則稱坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系；卦限通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面與平面；三個(gè)坐標(biāo)平面把空間劃分成八個(gè)部分，每個(gè)部分稱為一個(gè)卦限；【說明】三個(gè)坐標(biāo)平面將不在坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)分成了八個(gè)部分，每一部分都稱為一個(gè)卦限，按逆時(shí)針方向，在坐標(biāo)平面xOy的上方，分別是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy的下方，分別是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，第Ⅰ卦限的點(diǎn)集用集合可表示為{(x，y，z)|x＞0，y＞0，z＞0}．2、空間中向量的坐標(biāo)給定空間一點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)分別作與坐標(biāo)平面,與狕犗狓與狓犗狔平行的平面，與坐標(biāo)平面一起圍出一個(gè)長方體，所作的三個(gè)平面與軸、軸、軸的交點(diǎn)、、犆（它們都是上述長方體的頂點(diǎn)）在軸上的坐標(biāo)，給出了點(diǎn)的坐標(biāo)（，，），其中、與分別稱為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)與豎坐標(biāo);有了空間直角坐標(biāo)系，空間中的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的有序三元組就建立了一一對應(yīng)；【說明】（其它版本的定義）一般地，如果空間向量的基底{，，}中，，，都是單位向量，而且這三個(gè)向量兩兩垂直，就稱這組基底為單位正交基底，在單位正交基底下向量的分解稱為向量的單位正交分解，而且，如果＝x＋y＋z，則稱有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)為向量p的坐標(biāo)，記作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都稱為p的坐標(biāo)分量；【思考】1、在空間幾何圖形中建立空間直角坐標(biāo)系的關(guān)鍵是什么？【解析】2、在不同的基底下，空間任一向量對應(yīng)的坐標(biāo)是否相同？【解析】3、若＝x＋y＋z則的坐標(biāo)一定是(x，y，z)嗎？【解析】【自我嘗試】1、判斷下列命題的真假（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）①以原點(diǎn)為始點(diǎn)的向量eq\o(OP,\s\up7(→))的坐標(biāo)和點(diǎn)P的坐標(biāo)相同；（）②在空間直角坐標(biāo)系中，在Ox軸上的點(diǎn)一定是(0，b，c)；（）③在空間直角坐標(biāo)系中，在xOz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,0，c)；（）④空間直角坐標(biāo)系中xOz平面上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足z＝0；（）⑤關(guān)于坐標(biāo)平面yOz對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)其縱、豎坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)相反；（）【提示】；【答案】；【解析】；2、已知{，，}是單位正交基底，則＝－＋2＋3的坐標(biāo)為3、已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，若以{eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))}為基底，則eq\o(AC1,\s\up8(→))＝________，eq\o(AC1,\s\up8(→))的坐標(biāo)是________．4、在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(3,4,5)與Q(3，－4，－5)兩點(diǎn)的位置關(guān)系是________．【題型探究】題型一、對基底的概念的理解例1、若，，是空間的一個(gè)基底，試判斷{，，}能否作為該空間的一個(gè)基底；【提示】；【解析】；【說明】判斷給出的三個(gè)向量組成的向量組能否作為基底，關(guān)鍵是要判斷這三個(gè)向量是否共面，若三個(gè)向量共面，就不能作為一個(gè)基底，否則就能作為基底；題型二、用基底表示空間向量例2、如圖，四棱錐P－OABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OC,\s\up6(→))＝，eq\o(OP,\s\up6(→))＝，E，F(xiàn)分別為PC和PB的中點(diǎn)，試用，，表示eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→)).【說明】用基底表示空間向量，一般要用向量的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算法則，尤其是向量加法的平行四邊形法則，三角形法則及向量的一些代數(shù)運(yùn)算，將所求向量逐步向基向量過渡，直到全部用基向量表示；題型三、空間中點(diǎn)的坐標(biāo)確定及初步應(yīng)用例3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D、BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H為C1G的中點(diǎn)，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出E，F(xiàn)，G，H的坐標(biāo)；【說明】1、建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)遵循以下原則（1）讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi)；（2）充分利用幾何圖形的對稱性；2、求某點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，一般先找出這一點(diǎn)在某一坐標(biāo)平面上的射影，確定其兩個(gè)坐標(biāo)，再找出它在另一軸上的射影（或者通過它到這個(gè)坐標(biāo)平面的距離加上正負(fù)號），確定第三個(gè)坐標(biāo)；3．利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求線段長度問題的一般步驟：題型四、求對稱點(diǎn)的坐標(biāo)例4、在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(－2，1，4)．（1）求點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)P關(guān)于xOy平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2，－1，－4)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；【說明】本題考查了求對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；1、求對稱點(diǎn)的坐標(biāo)可按以下規(guī)律寫出：“關(guān)于誰對稱誰不變，其余的符號均相反．”在空間直角坐標(biāo)系中，任一點(diǎn)P(a，b，c)的幾種特殊的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)如下：對稱軸或?qū)ΨQ中心對稱點(diǎn)坐標(biāo)P(a，b，c)x軸(a，－b，－c)y軸(－a，b，－c)z軸(－a，－b，c)xOy平面(a，b，－c)yOz平面(－a，b，c)xOz平面(a，－b，c)坐標(biāo)原點(diǎn)(－a，－b，－c)2、在空間直角坐標(biāo)系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2))).【素養(yǎng)提升】1、標(biāo)準(zhǔn)正交基在給定的空間直角坐標(biāo)系中，x軸，y軸，z軸正方向的單位向量，，叫作標(biāo)準(zhǔn)正交基；2、標(biāo)準(zhǔn)正交分解設(shè)，，為標(biāo)準(zhǔn)正交基，對空間任意向量，存在唯一一組三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得＝x＋y＋z，則把＝x＋y＋z叫作的標(biāo)準(zhǔn)正交分解．3、空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示．由于0與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，所以若三個(gè)向量不共面，就說明它們都不是，當(dāng)空間向量的一組基底{，，}確定，對于空間中的任意向量，存在唯一的一組x，y，z，使得＝x＋y＋z，當(dāng)空間向量的一組基底為單位正交基底時(shí)，利用空間直角坐標(biāo)系，便可得到向量的坐標(biāo)；注意在寫坐標(biāo)時(shí)，三個(gè)坐標(biāo)之間的順序不可顛倒；4、思考：平行于坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面的向量，如何用坐標(biāo)表示？【解析】（1）當(dāng)向量平行于x軸時(shí)，縱坐標(biāo)，豎坐標(biāo)都為0，即＝(x，0，0)．（2）當(dāng)向量平行于y軸時(shí)，橫坐標(biāo)，豎坐標(biāo)都為0，即＝(0，y，0)．（3）當(dāng)向量a平行于z軸時(shí)，橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都為0，即＝(0，0，z)．（4）當(dāng)向量a平行于xOy平面時(shí)，豎坐標(biāo)為0，即＝(x，y，0)．（5）當(dāng)向量a平行于yOz平面時(shí)，橫坐標(biāo)為0，即＝(0，y，z)．（6）當(dāng)向量a平行于xOz平面時(shí)，縱坐標(biāo)為0，即＝(x，0，z)．【即時(shí)練習(xí)】A級：“四基”鞏固訓(xùn)練1、如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E為PD中點(diǎn)，若eq\o(PA,\s\up8(→))＝，eq\o(PB,\s\up8(→))＝，eq\o(PC,\s\up8(→))＝，則eq\o(BE,\s\up8(→))＝（）A．eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2)－eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)D．eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)2、已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up8(→))，若eq\o(AE,\s\up8(→))＝xeq\o(AA1,\s\up8(→))＋y(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))，則（）A．x＝1，y＝eq\f(1,2)B．x＝eq\f(1,2)，y＝1C．x＝1，y＝eq\f(1,3)D．x＝1，y＝eq\f(1,4)3、已知空間的一個(gè)基底{，，}，＝－＋，＝x＋y＋，若與共線，則x＋y等于4、如圖，在四面體ABCD中，G為△ABC的重心，E是BD上一點(diǎn)，BE＝3ED，以{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}為基底，則eq\o(GE,\s\up6(→))＝________.5、給出下列命題：①空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為一個(gè)基底；②已知向量，則，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底；③A、B、M、N是空間四點(diǎn)，若eq\o(BA,\s\up8(→))、eq\o(BM,\s\up8(→))、eq\o(BN,\s\up8(→))不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A、B、M、N共面；④已知向量組{，，}是空間的一個(gè)基底，若＝＋，則{，，}也是空間的一個(gè)基底．其中正確命題的序號為B級：“四能”提升訓(xùn)練6、三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分別為BB1，AC的中點(diǎn)，設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝，eq\o(AC,\s\up8(→))＝，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝，則eq\o(NM,\s\up8(→))等于（）A．eq\f(1,2)(＋＋)B．eq\f(1,2)(＋－)C．eq\f(1,2)(＋)D．＋eq\f(1,2)(－)7、已知點(diǎn)A在基底{，，}下的坐標(biāo)為(2，1，3)，其中＝4＋2，＝2＋3，＝3－，則點(diǎn)A在基底{，，}下的坐標(biāo)為8、在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝eq\f(π,2)，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D為A1B1的中點(diǎn)，則在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，eq\o(DO,\s\up8(→))的坐標(biāo)是，eq\o(A1B,\s\up8(→))的坐標(biāo)是；9、如圖所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，并且PA＝AB＝1；試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求：向量eq\o(MN,\s\up15(→))的坐標(biāo)；10、已知在正四棱錐P-ABCD中，O為底面中心，底面邊長和高都是2，E，F(xiàn)分別是側(cè)棱PA，PB的中點(diǎn)，如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線DA，DC，OP的指向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)A，B，C，D，P，E，F(xiàn)的坐標(biāo)．【教師版】第3章空間向量及其應(yīng)用3.3空間向量的坐標(biāo)表示3.3.1空間直角坐標(biāo)系本章將要學(xué)習(xí)的空間向量是從幾何直觀角度講述向量的最高境界；空間向量知識是平面向量知識的延伸與拓展，從概念理解到問題解決，或可直接化歸到平面向量，或可對平面向量的理論進(jìn)行類比與提升；因此，本章的學(xué)習(xí)，特別要幫助學(xué)生在復(fù)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上，理解空間向量的概念、運(yùn)算、基本定理和應(yīng)用，體會平面向量和空間向量理論上的一脈相承，掌握它們的共性和差異；特別注意，向量理論“可把有關(guān)的幾何問題簡便地轉(zhuǎn)化為相應(yīng)代數(shù)問題來處理”；在“平面向量”一章，由于只能處理平面上的問題，學(xué)生對向量這一化幾何問題為代數(shù)問題的神奇功能和強(qiáng)大威力可能體會還不深刻；本章中，向量將為處理立體幾何問題展現(xiàn)新視角，把許多三維空間中的邏輯推理和度量問題歸結(jié)到向量的計(jì)算，使向量方法成為研究幾何問題的有效工具；因此，本章學(xué)習(xí)的另一個(gè)要求是，使學(xué)生能運(yùn)用空間向量方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量問題，體會向量方法和純幾何方法在研究立體幾何問題中的共性與差異，進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力和幾何直觀能力；【學(xué)習(xí)目標(biāo)】學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1、了解空間直角坐標(biāo)系的建立過程．2、掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示；（重點(diǎn)、難點(diǎn)）1、邏輯推理：空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算；2、數(shù)學(xué)運(yùn)算：空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算；3、直觀想象：建立空間直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的坐標(biāo)；4、數(shù)學(xué)建模：通過空間向量的坐標(biāo)表示；【自主學(xué)習(xí)】問題導(dǎo)學(xué)：預(yù)習(xí)教材P101－P102的內(nèi)容，思考以下問題：1、復(fù)習(xí)：（1）數(shù)軸Ox上的點(diǎn)M，用代數(shù)的方法怎樣表示呢？數(shù)軸Ox上的點(diǎn)M，可用與它對應(yīng)的實(shí)數(shù)x表示；（2）直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)M，怎樣表示呢？直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)M，可用一對有序?qū)崝?shù)(x，y)表示．2、如果我們也能建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，又該怎樣表示空間的點(diǎn)呢？【知識梳理】1、空間直角坐標(biāo)系（1）單位正交基底三個(gè)有公共起點(diǎn)O的兩兩垂直的單位向量，，，稱為單位正交基底；（2）空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系從空間一點(diǎn)出發(fā)，可以作三條兩兩互相垂直的坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系【說明】空間直角坐標(biāo)系的畫法：在平面內(nèi)畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí)，一般把x軸、y軸畫成水平放置，x軸正方向與y軸正方向夾角為135°(或45°)，z軸與y軸(或x軸)垂直；坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)軸三條坐標(biāo)軸分別是橫軸（即狓軸）、縱軸（即軸）與豎軸（即軸）；坐標(biāo)平面Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面右手制我們約定坐標(biāo)系采用右手制，即右手翹起拇指、其他四指握拳做“點(diǎn)贊”狀，當(dāng)四指所指的方向是軸正方向到軸正方向的旋轉(zhuǎn)方向時(shí)，拇指所指為軸正方向右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸正方向，食指指向y軸正方向，如果中指指向z軸正方向，則稱坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系；卦限通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面與平面；三個(gè)坐標(biāo)平面把空間劃分成八個(gè)部分，每個(gè)部分稱為一個(gè)卦限；【說明】三個(gè)坐標(biāo)平面將不在坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)分成了八個(gè)部分，每一部分都稱為一個(gè)卦限，按逆時(shí)針方向，在坐標(biāo)平面xOy的上方，分別是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy的下方，分別是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，第Ⅰ卦限的點(diǎn)集用集合可表示為{(x，y，z)|x＞0，y＞0，z＞0}．2、空間中向量的坐標(biāo)給定空間一點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)分別作與坐標(biāo)平面,與狕犗狓與狓犗狔平行的平面，與坐標(biāo)平面一起圍出一個(gè)長方體，所作的三個(gè)平面與軸、軸、軸的交點(diǎn)、、犆（它們都是上述長方體的頂點(diǎn)）在軸上的坐標(biāo)，給出了點(diǎn)的坐標(biāo)（，，），其中、與分別稱為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)與豎坐標(biāo);有了空間直角坐標(biāo)系，空間中的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的有序三元組就建立了一一對應(yīng)；【說明】（其它版本的定義）一般地，如果空間向量的基底{，，}中，，，都是單位向量，而且這三個(gè)向量兩兩垂直，就稱這組基底為單位正交基底，在單位正交基底下向量的分解稱為向量的單位正交分解，而且，如果＝x＋y＋z，則稱有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)為向量p的坐標(biāo)，記作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都稱為p的坐標(biāo)分量；【思考】1、在空間幾何圖形中建立空間直角坐標(biāo)系的關(guān)鍵是什么？【解析】關(guān)鍵是利用幾何圖形特征，盡量尋找三條兩兩垂直且交于一點(diǎn)的直線，若找不到則應(yīng)想法構(gòu)建．2、在不同的基底下，空間任一向量對應(yīng)的坐標(biāo)是否相同？【解析】不相同．選取不同的基底所表示的向量對應(yīng)實(shí)數(shù)組不同．3、若＝x＋y＋z則的坐標(biāo)一定是(x，y，z)嗎？【解析】不一定，當(dāng)，，是單位正交基底時(shí)，坐標(biāo)是(x，y，z)，否則不是．【自我嘗試】1、判斷下列命題的真假（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）①以原點(diǎn)為始點(diǎn)的向量eq\o(OP,\s\up7(→))的坐標(biāo)和點(diǎn)P的坐標(biāo)相同；（）②在空間直角坐標(biāo)系中，在Ox軸上的點(diǎn)一定是(0，b，c)；（）③在空間直角坐標(biāo)系中，在xOz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,0，c)；（）④空間直角坐標(biāo)系中xOz平面上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足z＝0；（）⑤關(guān)于坐標(biāo)平面yOz對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)其縱、豎坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)相反；（）【提示】理解空間直角坐標(biāo)系的定義與對稱的幾何意義；【答案】①√；②×；③√；④×；⑤√；【解析】對于①，由空間坐標(biāo)的定義；所以，①是真命題；對于②，應(yīng)該是(a，0，0)，所以，②是假命題；對于③，是真命題；對于④，應(yīng)該為(a，0，c)，所以，④是假命題；對于⑤，依據(jù)空間直角坐標(biāo)系的定義與對稱的幾何性質(zhì)，所以，⑤是真命題；2、已知{，，}是單位正交基底，則＝－＋2＋3的坐標(biāo)為【答案】(－1，2，3)【解析】p＝(－1,2,3)．]3、已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，若以{eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))}為基底，則eq\o(AC1,\s\up8(→))＝________，eq\o(AC1,\s\up8(→))的坐標(biāo)是________．【答案】eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))；(1,1,1)；【解析】若以{eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))}為基底，∵eq\o(AC1,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1B1,\s\up8(→))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))∴eq\o(AC1,\s\up8(→))的坐標(biāo)為(1,1,1)4、在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(3,4,5)與Q(3，－4，－5)兩點(diǎn)的位置關(guān)系是________．【答案】關(guān)于x軸對稱；【解析】點(diǎn)P(3，4，5)與Q(3，－4，－5)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，而縱、豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱；【題型探究】題型一、對基底的概念的理解例1、若，，是空間的一個(gè)基底，試判斷{，，}能否作為該空間的一個(gè)基底；【提示】判斷，，是否共面，若不共面，則可作為一個(gè)基底，否則，不能作為一個(gè)基底；【解析】假設(shè)，，共面，則存在實(shí)數(shù)λ，μ使得＝λ()＋μ()，所以，＝λ＋μ＋(λ＋μ)；因?yàn)?，，，為基底，所以，，，不共面；所以，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝μ，,1＝λ，,0＝λ＋μ.))此方程組無解，所以，，，不共面；則，{，，}可以作為空間的一個(gè)基底；【說明】判斷給出的三個(gè)向量組成的向量組能否作為基底，關(guān)鍵是要判斷這三個(gè)向量是否共面，若三個(gè)向量共面，就不能作為一個(gè)基底，否則就能作為基底；題型二、用基底表示空間向量例2、如圖，四棱錐P－OABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OC,\s\up6(→))＝，eq\o(OP,\s\up6(→))＝，E，F(xiàn)分別為PC和PB的中點(diǎn)，試用，，表示eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→)).【說明】欲解此題，需結(jié)合圖形，利用空間向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算．【解析】eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[eq\o(OP,\s\up6(→))－(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)；eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CP,\s\up6(→))＝－＋eq\f(1,2)(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－＋－.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝－＋eq\f(1,2)(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－＋＋；又因?yàn)椋珽，F(xiàn)分別為PB，PC的中點(diǎn)，所以，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)；【說明】用基底表示空間向量，一般要用向量的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算法則，尤其是向量加法的平行四邊形法則，三角形法則及向量的一些代數(shù)運(yùn)算，將所求向量逐步向基向量過渡，直到全部用基向量表示；題型三、空間中點(diǎn)的坐標(biāo)確定及初步應(yīng)用例3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D、BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H為C1G的中點(diǎn)，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出E，F(xiàn)，G，H的坐標(biāo)；【提示】注意題設(shè)中的“適當(dāng)”；【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；點(diǎn)E在z軸上，它的x坐標(biāo)，y坐標(biāo)均為0，而E為DD1的中點(diǎn)，故其坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))．由F作FM⊥AD于M點(diǎn)、FN⊥DC于N點(diǎn)，由平面幾何知FM＝eq\f(1,2)，F(xiàn)N＝eq\f(1,2)，則F點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))；點(diǎn)G在y軸上，其x、z坐標(biāo)均為0，又GD＝eq\f(3,4)，故G點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)，0))；由H作HK⊥CG于K點(diǎn)，由于H為C1G的中點(diǎn)，故HK＝eq\f(1,2)，CK＝eq\f(1,8)；所以，DK＝eq\f(7,8)，故H點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,8)，\f(1,2)))；【說明】1、建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)遵循以下原則（1）讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi)；（2）充分利用幾何圖形的對稱性；2、求某點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，一般先找出這一點(diǎn)在某一坐標(biāo)平面上的射影，確定其兩個(gè)坐標(biāo)，再找出它在另一軸上的射影（或者通過它到這個(gè)坐標(biāo)平面的距離加上正負(fù)號），確定第三個(gè)坐標(biāo)；3、利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求線段長度問題的一般步驟：題型四、求對稱點(diǎn)的坐標(biāo)例4、在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(－2，1，4)．（1）求點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)P關(guān)于xOy平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2，－1，－4)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；【提示】求對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，可以過該點(diǎn)向?qū)ΨQ平面或?qū)ΨQ軸作垂線并延長，使得垂足為所作線段的中點(diǎn)，再根據(jù)有關(guān)性質(zhì)即可寫出對稱點(diǎn)坐標(biāo)；【解析】（1）由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點(diǎn)為P1(－2，－1，－4)；（2）由于點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點(diǎn)為P2(－2,1，－4)；（3）設(shè)對稱點(diǎn)為P3(x，y，z)，則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn)．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)；【說明】本題考查了求對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；1、求對稱點(diǎn)的坐標(biāo)可按以下規(guī)律寫出：“關(guān)于誰對稱誰不變，其余的符號均相反．”在空間直角坐標(biāo)系中，任一點(diǎn)P(a，b，c)的幾種特殊的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)如下：對稱軸或?qū)ΨQ中心對稱點(diǎn)坐標(biāo)P(a，b，c)x軸(a，－b，－c)y軸(－a，b，－c)z軸(－a，－b，c)xOy平面(a，b，－c)yOz平面(－a，b，c)xOz平面(a，－b，c)坐標(biāo)原點(diǎn)(－a，－b，－c)2、在空間直角坐標(biāo)系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2))).【素養(yǎng)提升】1、標(biāo)準(zhǔn)正交基在給定的空間直角坐標(biāo)系中，x軸，y軸，z軸正方向的單位向量，，叫作標(biāo)準(zhǔn)正交基；2、標(biāo)準(zhǔn)正交分解設(shè)，，為標(biāo)準(zhǔn)正交基，對空間任意向量，存在唯一一組三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得＝x＋y＋z，則把＝x＋y＋z叫作的標(biāo)準(zhǔn)正交分解．3、空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示．由于0與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，所以若三個(gè)向量不共面，就說明它們都不是，當(dāng)空間向量的一組基底{，，}確定，對于空間中的任意向量，存在唯一的一組x，y，z，使得＝x＋y＋z，當(dāng)空間向量的一組基底為單位正交基底時(shí)，利用空間直角坐標(biāo)系，便可得到向量的坐標(biāo)；注意在寫坐標(biāo)時(shí)，三個(gè)坐標(biāo)之間的順序不可顛倒；4、思考：平行于坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面的向量，如何用坐標(biāo)表示？【解析】（1）當(dāng)向量平行于x軸時(shí)，縱坐標(biāo)，豎坐標(biāo)都為0，即＝(x，0，0)．（2）當(dāng)向量平行于y軸時(shí)，橫坐標(biāo)，豎坐標(biāo)都為0，即＝(0，y，0)．（3）當(dāng)向量a平行于z軸時(shí)，橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都為0，即＝(0，0，z)．（4）當(dāng)向量a平行于xOy平面時(shí)，豎坐標(biāo)為0，即＝(x，y，0)．（5）當(dāng)向量a平行于yOz平面時(shí)，橫坐標(biāo)為0，即＝(0，y，z)．（6）當(dāng)向量a平行于xOz平面時(shí)，縱坐標(biāo)為0，即＝(x，0，z)．【即時(shí)練習(xí)】A級：“四基”鞏固訓(xùn)練1、如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E為PD中點(diǎn)，若eq\o(PA,\s\up8(→))＝，eq\o(PB,\s\up8(→))＝，eq\o(PC,\s\up8(→))＝，則eq\o(BE,\s\up8(→))＝（）A．eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2)－eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)D．eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)【答案】C；【解析】∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E為PD的中點(diǎn)，eq\o(PA,\s\up8(→))＝，eq\o(PB,\s\up8(→))＝，eq\o(PC,\s\up8(→))＝，∴eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BP,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up8(→))－eq\o(PB,\s\up8(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(PC,\s\up8(→))－eq\o(PB,\s\up8(→)))＝－eq\f(3,2)eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)－eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)；故選C.]2、已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up8(→))，若eq\o(AE,\s\up8(→))＝xeq\o(AA1,\s\up8(→))＋y(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))，則（）A．x＝1，y＝eq\f(1,2)B．x＝eq\f(1,2)，y＝1C．x＝1，y＝eq\f(1,3)D．x＝1，y＝eq\f(1,4)【答案】D；【解析】eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))．所以x＝1，y＝eq\f(1,4)；3、已知空間的一個(gè)基底{，，}，＝－＋，＝x＋y＋，若與共線，則x＋y等于【答案】0【解析】因?yàn)椋c共線，∴x＋y＋＝z(－＋)．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝z，,y＝－z，,1＝z.))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))∴x＋y＝0.]4、如圖，在四面體ABCD中，G為△ABC的重心，E是BD上一點(diǎn)，BE＝3ED，以{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}為基底，則eq\o(GE,\s\up6(→))＝________.【答案】－eq\f(1,12)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))【解析】連接AG交BC于點(diǎn)M，連接AE，則eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,12)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→)).5、給出下列命題：①空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為一個(gè)基底；②已知向量，則，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底；③A、B、M、N是空間四點(diǎn)，若eq\o(BA,\s\up8(→))、eq\o(BM,\s\up8(→))、eq\o(BN,\s\up8(→))不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A、B、M、N共面；④已知向量組{，，}是空間的一個(gè)基底，若＝＋，則{，，}也是空間的一個(gè)基底．其中正確命題的序號為【答案】①②③④；【解析】空間中只要三個(gè)向量不共面就可以作為一個(gè)基底，故①正確；②中，a∥b，則a，b與其他任一向量共面，不能作為基底；③中，向量eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(BM,\s\up8(→))，eq\o(BN,\s\up8(→))共面，則A、B、M、N共面；④中，a與m，b不共面，可作為空間一個(gè)基底．故①②③④均正確；B級：“四能”提升訓(xùn)練6、三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分別為BB1，AC的中點(diǎn)，設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝，eq\o(AC,\s\up8(→))＝，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝，則eq\o(NM,\s\up8(→))等于（）A．eq\f(1,2)(＋＋)B．eq\f(1,2)(＋－)C．eq\f(1,2)(＋)D．＋eq\f(1,2)(－)【答案】D；【解析】因?yàn)閑q\o(NM,\s\up8(→))＝eq\o(NA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BM,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)＋＋eq\f(1,2)，所以選D；7、已知點(diǎn)A在基底{，，}下的坐標(biāo)為(2，1，3)，其中＝4＋2，＝2＋3，＝3－，則點(diǎn)A在基底{，，}下的坐標(biāo)為【答案】(8，3，12)；【解析】由題意知點(diǎn)A對應(yīng)向量為2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，∴點(diǎn)A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)為(8，3，12)；8、在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝eq\f(π,2)，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D為A1B1的中點(diǎn)，則在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，eq\o(DO,\s\up8(→))的坐標(biāo)是，eq\o(A1B,\s\up8(→))的坐標(biāo)是；【答案】(－2，－1，－4)(－4，2，－4)；【解析】eq\o(DO,\s\up8(→))＝－eq\o(OD,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OO1,\s\up8(→))＝－2i－j－4k，eq\o(A1B,\s\up8(→))＝eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\o(AO,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＝－4k