3.1 空間向量及其運(yùn)算 講義-2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)滬教版（2020）選擇性必修第一冊(cè)

學(xué)生版第3章空間向量及其應(yīng)用3.1空間向量及其運(yùn)算本章將要學(xué)習(xí)的空間向量是從幾何直觀角度講述向量的最高境界；空間向量知識(shí)是平面向量知識(shí)的延伸與拓展，從概念理解到問(wèn)題解決，或可直接化歸到平面向量，或可對(duì)平面向量的理論進(jìn)行類(lèi)比與提升；因此，本章的學(xué)習(xí)，特別要幫助學(xué)生在復(fù)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上，理解空間向量的概念、運(yùn)算、基本定理和應(yīng)用，體會(huì)平面向量和空間向量理論上的一脈相承，掌握它們的共性和差異；特別注意，向量理論“可把有關(guān)的幾何問(wèn)題簡(jiǎn)便地轉(zhuǎn)化為相應(yīng)代數(shù)問(wèn)題來(lái)處理”；在“平面向量”一章，由于只能處理平面上的問(wèn)題，學(xué)生對(duì)向量這一化幾何問(wèn)題為代數(shù)問(wèn)題的神奇功能和強(qiáng)大威力可能體會(huì)還不深刻；本章中，向量將為處理立體幾何問(wèn)題展現(xiàn)新視角，把許多三維空間中的邏輯推理和度量問(wèn)題歸結(jié)到向量的計(jì)算，使向量方法成為研究幾何問(wèn)題的有效工具；因此，本章學(xué)習(xí)的另一個(gè)要求是，使學(xué)生能運(yùn)用空間向量方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量問(wèn)題，體會(huì)向量方法和純幾何方法在研究立體幾何問(wèn)題中的共性與差異，進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力和幾何直觀能力；【學(xué)習(xí)目標(biāo)】學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1、了解空間向量與平面向量的聯(lián)系與區(qū)別，掌握空間向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì)，理解共線向量定理的充要條件；（重點(diǎn)）；2、了解向量共面的含義；3、能運(yùn)用共面向量定理證明有關(guān)線面平行和點(diǎn)共面的簡(jiǎn)單問(wèn)題；1、邏輯推理：通過(guò)平面向量與空間向量的對(duì)比；2、數(shù)學(xué)運(yùn)算：共線、共面向量的計(jì)算；3、直觀想象：借助共線、共面向量的應(yīng)用；【自主學(xué)習(xí)】問(wèn)題導(dǎo)學(xué)：預(yù)習(xí)教材P89－P95的內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：1、了解空間向量的概念，向量共面；2、掌握空間向量的加法、減法運(yùn)算；3、掌握空間向量平行的充要條件；【知識(shí)梳理】1、空間向量的概念及其表示（1）定義：在空間，具有和的量叫做空間向量；（2）長(zhǎng)度或模：向量的；（3）表示方法：①幾何表示法：空間向量用表示；②字母表示法：用字母，，，…表示；若向量的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為||或|eq\o(AB,\s\up6(→))|；③坐標(biāo)表示；2、共面向量如果一組向量可以平移到同一個(gè)平面上，那么稱這組向量是共面的；顯然，任意兩個(gè)向量都是共面的；3、幾類(lèi)特殊的空間向量名稱定義及表示零向量的向量叫做零向量，記為：；單位向量的向量稱為單位向量相反向量與向量長(zhǎng)度而方向的向量，稱為的相反向量，記為；共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相或，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對(duì)于任意向量，都有∥相等向量方向且模的向量稱為相等向量4、空間向量的線性運(yùn)算空間向量的運(yùn)算定義（或法則）運(yùn)算律加法設(shè)和是空間兩個(gè)向量，過(guò)一點(diǎn)O作和的相等向量eq\o(OA,\s\up8(→))和eq\o(OB,\s\up8(→))，根據(jù)平面向量加法的，平行四邊形的對(duì)角線OC對(duì)應(yīng)的向量eq\o(OC,\s\up8(→))就是與的和，記作，如圖所示：①結(jié)合律：；②交換律：；減法與平面向量類(lèi)似，與的差定義為，記作，其中是的相反向量空間向量的數(shù)乘空間向量與一個(gè)實(shí)數(shù)的乘積是一個(gè)向量，記作，滿足：①，②當(dāng)時(shí)，與方向；當(dāng)時(shí)，與方向；當(dāng)λ＝0時(shí)，；①λ＝λ(λ∈R)；②λ(＋)＝λ＋λ(λ＋μ)＝λ＋μ(λ∈R，μ∈R)；③(λμ)＝λ(μ)(λ∈R，μ∈R)空間向量的數(shù)量積空間兩個(gè)向量和的數(shù)量積是一個(gè)，等于，記作；①交換律：；②分配律：；③λ()＝(λ)·(λ∈R)與數(shù)量積有關(guān)的結(jié)論①；②；③（，）5、空間中共線向量定理空間兩個(gè)向量與非零向量平行的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得；平面向量平行的充要條件同樣適用于空間向量，即6、想一想1、空間中的兩個(gè)向量是不是共面向量？【解析】2、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算為什么不滿足結(jié)合律？【解析3、怎樣作圖表示三個(gè)向量的和，作出的和向量是否與相加的順序有關(guān)？【解析】4、由數(shù)乘，可否得出?【解析】【自我嘗試】1、判斷下列命題的真假（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）①模為0是一個(gè)向量方向不確定的充要條件；（）②若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))同向，則eq\o(AB,\s\up6(→))＞eq\o(CD,\s\up6(→))；（）③若兩個(gè)非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))滿足eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝，則eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))互為相反向量；（）④eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))的充要條件是A與C重合，B與D重合；（）⑤向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C三點(diǎn)必在一條直線上；（）2、如圖所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1所有的棱中，可作為直線A1B1的方向向量的有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)3、點(diǎn)C在線段AB上，且|AB|＝5，|BC|＝3，eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(BC,\s\up8(→))，則λ＝________.4、化簡(jiǎn)：＝________.【題型探究】題型一、空間向量的有關(guān)概念例1、（1）給出下列命題：①若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②是向量的必要不充分條件；③向量相等的充要條件是；④若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；其中正確的是________．（2）如圖，在長(zhǎng)、寬、高分別為AB＝3，AD＝2，AA1＝1的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：（1）單位向量共有多少個(gè)？（2）試寫(xiě)出eq\o(AA1,\s\up7(→))的相反向量；題型二、空間向量的線性運(yùn)算例2、（1）如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝，eq\o(AB,\s\up6(→))＝，eq\o(AD,\s\up6(→))＝，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用，，表示以下各向量：（1）eq\o(AP,\s\up6(→))；（2）eq\o(A1N,\s\up6(→))；（3）eq\o(MP,\s\up6(→))；（2）已知正四棱錐P-ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中點(diǎn)，求下列各式中x，y，z的值．①eq\o(OQ,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))＋yeq\o(PC,\s\up8(→))＋zeq\o(PA,\s\up8(→))；②eq\o(PA,\s\up8(→))＝xeq\o(PO,\s\up8(→))＋yeq\o(PQ,\s\up8(→))＋eq\o(PD,\s\up8(→)).題型三、空間向量數(shù)量積的運(yùn)算例3、（1）如圖，三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，則eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))等于（）A．－2B．2C．－2eq\r(3)D．2eq\r(3)（2）在四面體OABC中，棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G為△ABC的重心，求eq\o(OG,\s\up8(→))·(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))的值；題型四、空間向量的共線問(wèn)題例4、（1）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為A1C上一點(diǎn)，且eq\o(A1O,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up7(→))，BD與AC交于點(diǎn)M；求證：C1，O，M三點(diǎn)共線；（2）如圖所示，已知四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，判斷eq\o(CE,\s\up7(→))與eq\o(MN,\s\up7(→))是否共線；【素養(yǎng)提升】1、空間向量有關(guān)概念問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)及注意點(diǎn)（1）：緊緊抓住向量的兩個(gè)要素，即大小和方向．（2）：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是沒(méi)有方向，而是它的方向是任意的，且與任何向量都共線，這一點(diǎn)說(shuō)明了共線向量不具備傳遞性；②單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長(zhǎng)度都是1；③兩個(gè)向量模相等，不一定是相等向量；反之，若兩個(gè)向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同.若兩個(gè)向量模相等,方向相反,則它們?yōu)橄喾聪蛄浚?、特殊向量的特性（1）向量不是沒(méi)有方向，而是它的方向是任意的；（2）單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長(zhǎng)度都是1；（3）兩個(gè)向量模相等，不一定是相等向量，反之，若兩個(gè)向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同．若兩個(gè)向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄浚?、證明(或判斷)A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，只需證明存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(BC,\s\up8(→))(或eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(AC,\s\up8(→)))即可，也可用“對(duì)空間任意一點(diǎn)O，有eq\o(OC,\s\up8(→))＝teq\o(OA,\s\up8(→))＋(1－t)eq\o(OB,\s\up8(→))”來(lái)證明A，B，C三點(diǎn)共線．【即時(shí)練習(xí)】A級(jí)：“四基”鞏固訓(xùn)練1、下列關(guān)于空間向量的說(shuō)法中正確的是（A．方向相反的兩個(gè)向量是相反向量B．空間中任意兩個(gè)單位向量必相等C．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＞|eq\o(CD,\s\up6(→))|，則eq\o(AB,\s\up6(→))＞eq\o(CD,\s\up6(→))D．相等向量其方向必相同2、已知正方體ABCD-A1B1C1D1，若點(diǎn)F是側(cè)面CD1的中心，且eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋meq\o(AB,\s\up8(→))－neq\o(AA1,\s\up8(→))，則m，n的值分別為（）A．eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)D．eq\f(1,2)，eq\f(1,2)3、化簡(jiǎn)：eq\f(1,2)(＋2－3)＋5－3(－2＋)＝________.4、化簡(jiǎn)eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))所得的結(jié)果是5、設(shè)有四邊形ABCD，O為空間任意一點(diǎn)，且eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD是B級(jí)：“四能”提升訓(xùn)練6、給出下列四個(gè)命題：①方向相反的兩個(gè)向量是相反向量；②若，滿足||＞||且，同向，則＞；③不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等；④對(duì)于任何向量，，必有|＋|≤||＋||.其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)_______．7、已知向量，，互相平行，其中，同向，，反向，||＝3，||＝2，||＝1，則|＋＋|＝________.8、設(shè)，是空間兩個(gè)不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝＋k，eq\o(BC,\s\up8(→))＝5＋4，eq\o(DC,\s\up8(→))＝－－2，且A，B，D三點(diǎn)共線，實(shí)數(shù)k＝________.9、設(shè)兩非零向量，不共線，且k＋與＋k共線，求k的值．10、如圖，點(diǎn)、分別是棱長(zhǎng)為的正四面體的邊和的中點(diǎn)，點(diǎn)、是線段的三等分點(diǎn)；（1）用向量、、表示和；（2）求、；（3）求；【教師版】第3章空間向量及其應(yīng)用3.1空間向量及其運(yùn)算本章將要學(xué)習(xí)的空間向量是從幾何直觀角度講述向量的最高境界；空間向量知識(shí)是平面向量知識(shí)的延伸與拓展，從概念理解到問(wèn)題解決，或可直接化歸到平面向量，或可對(duì)平面向量的理論進(jìn)行類(lèi)比與提升；因此，本章的學(xué)習(xí)，特別要幫助學(xué)生在復(fù)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上，理解空間向量的概念、運(yùn)算、基本定理和應(yīng)用，體會(huì)平面向量和空間向量理論上的一脈相承，掌握它們的共性和差異；特別注意，向量理論“可把有關(guān)的幾何問(wèn)題簡(jiǎn)便地轉(zhuǎn)化為相應(yīng)代數(shù)問(wèn)題來(lái)處理”；在“平面向量”一章，由于只能處理平面上的問(wèn)題，學(xué)生對(duì)向量這一化幾何問(wèn)題為代數(shù)問(wèn)題的神奇功能和強(qiáng)大威力可能體會(huì)還不深刻；本章中，向量將為處理立體幾何問(wèn)題展現(xiàn)新視角，把許多三維空間中的邏輯推理和度量問(wèn)題歸結(jié)到向量的計(jì)算，使向量方法成為研究幾何問(wèn)題的有效工具；因此，本章學(xué)習(xí)的另一個(gè)要求是，使學(xué)生能運(yùn)用空間向量方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量問(wèn)題，體會(huì)向量方法和純幾何方法在研究立體幾何問(wèn)題中的共性與差異，進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力和幾何直觀能力；【學(xué)習(xí)目標(biāo)】學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1、了解空間向量與平面向量的聯(lián)系與區(qū)別，掌握空間向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì)，理解共線向量定理的充要條件；（重點(diǎn)）；2、了解向量共面的含義；3、能運(yùn)用共面向量定理證明有關(guān)線面平行和點(diǎn)共面的簡(jiǎn)單問(wèn)題；1、邏輯推理：通過(guò)平面向量與空間向量的對(duì)比；2、數(shù)學(xué)運(yùn)算：共線、共面向量的計(jì)算；3、直觀想象：借助共線、共面向量的應(yīng)用；【自主學(xué)習(xí)】問(wèn)題導(dǎo)學(xué)：預(yù)習(xí)教材P89－P95的內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：1、了解空間向量的概念，向量共面；2、掌握空間向量的加法、減法運(yùn)算；3、掌握空間向量平行的充要條件；【知識(shí)梳理】1、空間向量的概念及其表示（1）定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量；（2）長(zhǎng)度或模：向量的大小；（3）表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母，，，…表示；若向量的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為||或|eq\o(AB,\s\up6(→))|；③坐標(biāo)表示；2、共面向量如果一組向量可以平移到同一個(gè)平面上，那么稱這組向量是共面的；顯然，任意兩個(gè)向量都是共面的；3、幾類(lèi)特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為：；單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為；共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對(duì)于任意向量，都有∥相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量4、空間向量的線性運(yùn)算空間向量的運(yùn)算定義（或法則）運(yùn)算律加法設(shè)和是空間兩個(gè)向量，過(guò)一點(diǎn)O作和的相等向量eq\o(OA,\s\up8(→))和eq\o(OB,\s\up8(→))，根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則，平行四邊形的對(duì)角線OC對(duì)應(yīng)的向量eq\o(OC,\s\up8(→))就是與的和，記作，如圖所示：①結(jié)合律：；②交換律：；減法與平面向量類(lèi)似，與的差定義為，記作，其中是的相反向量空間向量的數(shù)乘空間向量與一個(gè)實(shí)數(shù)的乘積是一個(gè)向量，記作，滿足：①，②當(dāng)時(shí)，與方向相同；當(dāng)時(shí)，與方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，；①λ＝λ(λ∈R)；②λ(＋)＝λ＋λ(λ＋μ)＝λ＋μ(λ∈R，μ∈R)；③(λμ)＝λ(μ)(λ∈R，μ∈R)空間向量的數(shù)量積空間兩個(gè)向量和的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)，等于，記作；①交換律：；②分配律：；③λ()＝(λ)·(λ∈R)與數(shù)量積有關(guān)的結(jié)論①；②；③（，）5、空間中共線向量定理空間兩個(gè)向量與非零向量平行的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得；平面向量平行的充要條件同樣適用于空間向量，即6、想一想1、空間中的兩個(gè)向量是不是共面向量？【解析】是；空間中的任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量；2、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算為什么不滿足結(jié)合律？【解析】數(shù)量積運(yùn)算只適合交換律、加乘分配律及數(shù)乘結(jié)合律，但不適合乘法結(jié)合律，即不一定等于;這是由于表示一個(gè)與共線的向量，而表示一個(gè)與共線的向量，而與不一定共線；3、怎樣作圖表示三個(gè)向量的和，作出的和向量是否與相加的順序有關(guān)？【解析】可以利用三角形法則和平行四邊形法則作出三個(gè)向量的和．加法運(yùn)算是對(duì)有限個(gè)向量求和，交換相加向量的順序，其和不變．4、由數(shù)乘，可否得出?【解析】不能；或；【自我嘗試】1、判斷下列命題的真假（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）①模為0是一個(gè)向量方向不確定的充要條件；（）②若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))同向，則eq\o(AB,\s\up6(→))＞eq\o(CD,\s\up6(→))；（）③若兩個(gè)非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))滿足eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝，則eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))互為相反向量；（）④eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))的充要條件是A與C重合，B與D重合；（）⑤向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C三點(diǎn)必在一條直線上；（）【提示】用類(lèi)比法理解空間向量的概念與運(yùn)算法則；【答案】①√；②×；③√；④×；⑤√；【解析】對(duì)于①，寫(xiě)出原命題的逆否命題：一個(gè)向量方向確定是模不為0的充要條件；所以，①是真命題；對(duì)于②，向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大??；所以，②是假命題；對(duì)于③，由eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))互為相反向量；所以，③是真命題；對(duì)于④，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))的充要條件是|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))同向．但A與C，B與D不一定重合；所以，④是假命題；對(duì)于⑤，由向量共線與有公共點(diǎn)；所以，⑤是真命題；【說(shuō)明】本題主要考查了空間向量的概念、表示與運(yùn)算法則；2、如圖所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1所有的棱中，可作為直線A1B1的方向向量的有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】D；【解析】共四條AB，A1B1，CD，C1D1；3、點(diǎn)C在線段AB上，且|AB|＝5，|BC|＝3，eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(BC,\s\up8(→))，則λ＝________.【答案】－eq\f(5,3)；【解析】因?yàn)镃在線段AB上，所以eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(BC,\s\up8(→))方向相反，又因|AB|＝5，|BC|＝3，故λ＝－eq\f(5,3)；4、化簡(jiǎn)：＝________.【答案】；【題型探究】題型一、空間向量的有關(guān)概念例1、（1）給出下列命題：①若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②是向量的必要不充分條件；③向量相等的充要條件是；④若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；其中正確的是________．【提示】理解空間向量的相關(guān)概念；【答案】②④；【解析】當(dāng)兩個(gè)空間向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等；但當(dāng)兩個(gè)向量相等時(shí)，不一定起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同，故①錯(cuò)誤；?，推不出，故②正確；由，知與的方向相同或相反，故③錯(cuò)誤；因?yàn)椋琫q\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))，所以，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|且eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(DC,\s\up7(→))；又A，B，C，D不共線，所以，四邊形ABCD是平行四邊形．反之，在平行四邊形ABCD中，有eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))，故④正確；答案：②④；【說(shuō)明】空間向量有關(guān)概念問(wèn)題的解題策略：1、兩個(gè)向量的模相等，則它們的長(zhǎng)度相等，但方向不確定，即兩個(gè)向量(非零向量)的模相等是兩個(gè)向量相等的必要不充分條件；2、熟練掌握空間向量的有關(guān)概念、向量的加減法的運(yùn)算法則及向量加法的運(yùn)算律是解決好這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵；（2）如圖，在長(zhǎng)、寬、高分別為AB＝3，AD＝2，AA1＝1的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：（1）單位向量共有多少個(gè)？（2）試寫(xiě)出eq\o(AA1,\s\up7(→))的相反向量；【提示】注意理解長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征與向量的相關(guān)概念；【解析】（1）由于長(zhǎng)方體的高為1，所以長(zhǎng)方體的4條高所對(duì)應(yīng)的向量eq\o(AA1,\s\up7(→))，eq\o(A1A,\s\up7(→))，eq\o(BB1,\s\up7(→))，eq\o(B1B,\s\up7(→))，eq\o(CC1,\s\up7(→))，eq\o(C1C,\s\up7(→))，eq\o(DD1,\s\up7(→))，eq\o(D1D,\s\up7(→))，共8個(gè)向量都是單位向量，而其他向量的模均不為1，故單位向量共8個(gè)；（2）向量eq\o(AA1,\s\up7(→))的相反向量有eq\o(A1A,\s\up7(→))，eq\o(B1B,\s\up7(→))，eq\o(C1C,\s\up7(→))，eq\o(D1D,\s\up7(→))，共4個(gè)；題型二、空間向量的線性運(yùn)算例2、（1）如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝，eq\o(AB,\s\up6(→))＝，eq\o(AD,\s\up6(→))＝，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用，，表示以下各向量：（1）eq\o(AP,\s\up6(→))；（2）eq\o(A1N,\s\up6(→))；（3）eq\o(MP,\s\up6(→))；【提示】注意數(shù)形結(jié)合地用好向量的表示與運(yùn)算；【解析】（1）∵P是C1D1的中點(diǎn)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝＋＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝＋＋eq\f(1,2)；(2)∵N是BC的中點(diǎn)，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－＋＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－＋＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－＋＋eq\f(1,2)；(3)∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn)，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)＋（++eq\f(1,2)）＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋；（2）已知正四棱錐P-ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中點(diǎn)，求下列各式中x，y，z的值．①eq\o(OQ,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))＋yeq\o(PC,\s\up8(→))＋zeq\o(PA,\s\up8(→))；②eq\o(PA,\s\up8(→))＝xeq\o(PO,\s\up8(→))＋yeq\o(PQ,\s\up8(→))＋eq\o(PD,\s\up8(→)).【提示】（2）根據(jù)數(shù)乘向量及三角形或平行四邊形法則求解；【解析】①如圖，∵eq\o(OQ,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\o(PO,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→)))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up8(→))，∴y＝z＝－eq\f(1,2)；②∵O為AC的中點(diǎn)，Q為CD的中點(diǎn)，∴eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝2eq\o(PO,\s\up8(→))，eq\o(PC,\s\up8(→))＋eq\o(PD,\s\up8(→))＝2eq\o(PQ,\s\up8(→))，∴eq\o(PA,\s\up8(→))＝2eq\o(PO,\s\up8(→))－eq\o(PC,\s\up8(→))，eq\o(PC,\s\up8(→))＝2eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\o(PD,\s\up8(→))，∴eq\o(PA,\s\up8(→))＝2eq\o(PO,\s\up8(→))－2eq\o(PQ,\s\up8(→))＋eq\o(PD,\s\up8(→))，∴x＝2，y＝－2；【說(shuō)明】1、空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧：（1）巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接；（2）巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果；2、利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧：（1）數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量；（2）明確目標(biāo)：在化簡(jiǎn)過(guò)程中要有目標(biāo)意識(shí)，巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì)；題型三、空間向量數(shù)量積的運(yùn)算例3、（1）如圖，三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，則eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))等于（）A．－2B．2C．－2eq\r(3)D．2eq\r(3)（2）在四面體OABC中，棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G為△ABC的重心，求eq\o(OG,\s\up8(→))·(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))的值；【提示】注意理解數(shù)量積的定義與數(shù)形結(jié)合地確定向量的夾角；【答案】（1）A；（2）eq\f(14,3)；【解析】（1）∵eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))·(eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝0－2×2×cos60°＝－2.]（2）eq\o(OG,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AG,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)[(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＋(eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))]＝eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→)).∴eq\o(OG,\s\up8(→))·(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(OB,\s\up8(→))＋\f(1,3)\o(OC,\s\up8(→))＋\f(1,3)\o(OA,\s\up8(→))))·(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))2＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))2＋eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))2＝eq\f(1,3)×22＋eq\f(1,3)×32＋eq\f(1,3)×12＝eq\f(14,3).【說(shuō)明】在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟：1、首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.2、利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi)，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積.3、根據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模.4、代入公式求解；題型四、空間向量的共線問(wèn)題例4、（1）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為A1C上一點(diǎn)，且eq\o(A1O,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up7(→))，BD與AC交于點(diǎn)M；求證：C1，O，M三點(diǎn)共線；【提示】理解向量運(yùn)算與數(shù)乘的幾何意義；【證明】如圖，連接AO，AC1，A1C1.∵eq\o(A1O,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up7(→))，∴eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1O,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→)).∵eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AM,\s\up7(→))，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))＋eq\o(C1A1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))－2eq\o(AM,\s\up7(→))，∴eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC1,\s\up7(→))－2eq\o(AM,\s\up7(→)))＋eq\f(4,3)eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC1,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up7(→)).∵eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝1，∴C1，O，M三點(diǎn)共線.（2）如圖所示，已知四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，判斷eq\o(CE,\s\up7(→))與eq\o(MN,\s\up7(→))是否共線；【解析】因?yàn)镸，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD，四邊形ABEF都是平行四邊形，所以eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\o(FN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up7(→)).又因?yàn)閑q\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MC,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))＋eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))－eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up7(→))，以上兩式相加得eq\o(CE,\s\up7(→))＝2eq\o(MN,\s\up7(→))，所以eq\o(CE,\s\up7(→))∥eq\o(MN,\s\up7(→))，即eq\o(CE,\s\up7(→))與eq\o(MN,\s\up7(→))共線；【說(shuō)明】1、要判定空間圖形中的兩向量共線，往往尋找圖形中的三角形或平行四邊形，并利用向量運(yùn)算法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而使其中一個(gè)向量表示為另一個(gè)向量的倍數(shù)關(guān)系，即可證得這兩向量共線．2、證明空間三點(diǎn)P，A，B共線的方法：（1）eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))(λ∈R)；（2）對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))(t∈R)；（3）對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x＋y＝1)；【素養(yǎng)提升】1、空間向量有關(guān)概念問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)及注意點(diǎn)（1）：緊緊抓住向量的兩個(gè)要素，即大小和方向．（2）：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是沒(méi)有方向，而是它的方向是任意的，且與任何向量都共線，這一點(diǎn)說(shuō)明了共線向量不具備傳遞性；②單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長(zhǎng)度都是1；③兩個(gè)向量模相等，不一定是相等向量；反之，若兩個(gè)向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同.若兩個(gè)向量模相等,方向相反,則它們?yōu)橄喾聪蛄浚?、特殊向量的特性（1）向量不是沒(méi)有方向，而是它的方向是任意的；（2）單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長(zhǎng)度都是1；（3）兩個(gè)向量模相等，不一定是相等向量，反之，若兩個(gè)向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同．若兩個(gè)向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄浚?、證明(或判斷)A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，只需證明存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(BC,\s\up8(→))(或eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(AC,\s\up8(→)))即可，也可用“對(duì)空間任意一點(diǎn)O，有eq\o(OC,\s\up8(→))＝teq\o(OA,\s\up8(→))＋(1－t)eq\o(OB,\s\up8(→))”來(lái)證明A，B，C三點(diǎn)共線．【即時(shí)練習(xí)】A級(jí)：“四基”鞏固訓(xùn)練1、下列關(guān)于空間向量的說(shuō)法中正確的是（A．方向相反的兩個(gè)向量是相反向量B．空間中任意兩個(gè)單位向量必相等C．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＞|eq\o(CD,\s\up6(→))|，則eq\o(AB,\s\up6(→))＞eq\o(CD,\s\up6(→))D．相等向量其方向必相同【答案】D；【解析】A中，方向相反，長(zhǎng)度相等的兩個(gè)向量是相反向量；B中，單位向量模都相等而方向不確定；C中，向量作為矢量不能比較大小，故選D.2、已知正方體ABCD-A1B1C1D1，若點(diǎn)F是側(cè)面CD1的中心，且eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋meq\o(AB,\s\up8(→))－neq\o(AA1,\s\up8(→))，則m，n的值分別為（）A．eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)D．eq\f(1,2)，eq\f(1,2)【答案】A；【解析】由于eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DF,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up8(→))＋eq\o(DD1,\s\up8(→)))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up8(→))，所以m＝eq\f(1,2)，n＝－eq\f(1,2)，故答案為A；3、化簡(jiǎn)：eq\f(1,2)(＋2－3)＋5－3(－2＋)＝________.【答案】eq\f(5,6)＋eq\f(9,