4.5.3 函數(shù)的應(yīng)用（二）(3)-函數(shù)模型的應(yīng)用-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步練習(xí)和分類專題教案（人教A版2019必修第一冊）

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)課時4.5.3函數(shù)的應(yīng)用（二）(3)—函數(shù)模型的應(yīng)用1.理解函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具.2.在實(shí)際情境中,會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律.3.閱讀、收集一些現(xiàn)實(shí)生活、實(shí)際生產(chǎn)或者經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型,體會人們是如

何借助函數(shù)刻畫實(shí)際問題的,感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義.4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用基礎(chǔ)過關(guān)練題組一利用已知函數(shù)模型解決問題1.根據(jù)統(tǒng)計(jì),一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位:分鐘)為f(x)=cx,x<a,A.75,25 B.75,16C.60,144 D.60,162.據(jù)統(tǒng)計(jì),每年到鄱陽湖國家濕地公園越冬的白鶴數(shù)量y(只)與時間x(年)近似滿足關(guān)系式:y=alog3(x+2),觀測發(fā)現(xiàn)2019年冬(作為第1年)有越冬白鶴3000只,估計(jì)到2025年冬越冬白鶴有()A.4000只 B.5000只C.6000只 D.7000只3.某商品專營部每天的房租、人員工資等固定成本為300元,已知該商品的進(jìn)價為3元/件,并規(guī)定其銷售價格不低于商品進(jìn)價,且不高于12元/件.該商品日均銷售量y(件)與銷售單價x(元)的關(guān)系如圖所示.(1)試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;(2)當(dāng)銷售單價定為多少元時,該商品每天的利潤最大?4.某企業(yè)生產(chǎn)的新產(chǎn)品必須先靠廣告打開銷路,該產(chǎn)品廣告效益應(yīng)該是產(chǎn)品的銷售額與廣告費(fèi)之間的差,如果銷售額與廣告費(fèi)的算術(shù)平方根成正比,那么根據(jù)對市場的抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn):每投入100萬元的廣告費(fèi),所得的銷售額是1000萬元.問:該企業(yè)投入多少廣告費(fèi)才能獲得最大的廣告效益?題組二建立函數(shù)模型解決問題5.某商家準(zhǔn)備在2020年春節(jié)來臨前連續(xù)兩次對某一商品的銷售價格進(jìn)行提價且每次提價10%,然后在春節(jié)活動期間連續(xù)兩次對該商品進(jìn)行降價且每次降價10%,則該商品的最終售價與原來的價格相比()A.略有降低 B.略有提高C.相等 D.無法確定6.某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加,第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()A.p+q2 C.pq D.(1+p7.某工廠2019年生產(chǎn)某產(chǎn)品2萬件,計(jì)劃從2020年開始每年比上一年增產(chǎn)20%,則這家工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量超過6萬件的起始年份是(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)()A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年8.大氣溫度y(℃)隨著距地面的高度x(km)的增加而降低,到高空11km處為止,在更高的上空氣溫幾乎不變.設(shè)地面溫度為22℃,每上升1km大氣溫度大約降低6℃,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為.

9.某工廠生產(chǎn)過程中產(chǎn)生的廢氣必須經(jīng)過過濾后才能排放,已知在過濾過程中,廢氣中的污染物含量p(單位:毫克/升)與過濾時間t(單位:小時)之間的關(guān)系為p(t)=p0e-kt(式中的e為自然對數(shù)的底數(shù),p0為污染物的初始含量).過濾1小時后檢測,發(fā)現(xiàn)污染物的含量減少了15(1)求函數(shù)關(guān)系式p(t);(2)要使污染物的含量不超過初始值的11000題組三擬合函數(shù)模型解決問題10.在某種新型材料的研制中,實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律,其中最接近的一個是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y=2x-2 B.y=12(x2C.y=log2x D.y=log111.現(xiàn)測得(x,y)的兩組值為(1,2),(2,5),現(xiàn)有兩個擬合模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1,若又測得(x,y)的一組對應(yīng)值為(3,10.2),則應(yīng)選用作為擬合模型較好.

12.為減少空氣污染,某市鼓勵居民用電(減少粉塵),并采用分段計(jì)費(fèi)的方法計(jì)算電費(fèi).當(dāng)每個家庭月用電量不超過100千瓦時時,按每千瓦時0.57元計(jì)算;當(dāng)月用電量超過100千瓦時時,其中的100千瓦時仍按原標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi),超過的部分按每千瓦時0.5元計(jì)算.(1)設(shè)月用電x千瓦時時,應(yīng)交電費(fèi)y元,寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)若某家庭一月份用電120千瓦時,則應(yīng)交電費(fèi)多少元?(3)若某家庭第一季度繳納電費(fèi)的情況如下表:月份1月2月3月合計(jì)交費(fèi)金額(元)766345.6184.6則這個家庭第一季度共用電多少千瓦時?13.下表是某款車的車速與剎車后的停車距離的一組數(shù)據(jù),試分別就y=a·ekx,y=axn,y=ax2+bx+c三種函數(shù)關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型,并探討最佳模擬,根據(jù)最佳模擬求車速為120km/h時剎車后的停車距離.車速(km/h)1015304050停車距離(m)47121825車速(km/h)60708090100停車距離(m)3443546680

能力提升練題組一利用已知函數(shù)模型解決問題1.某食品的保鮮時間y(單位:小時)與儲存溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關(guān)系y=2kx+m(k,m為常數(shù)).若該食品在0℃的保鮮時間是64小時,在18℃的保鮮時間是16小時,則該食品在36℃的保鮮時間是()A.4小時 B.8小時 C.16小時 D.32小時2.國家規(guī)定某行業(yè)征稅如下:年收入在280萬元及以下的稅率為p%,超過280萬元的部分按(p+2)%征稅.有一公司的實(shí)際繳稅比例為(p+0.25)%,則該公司的年收入是()A.560萬元 B.420萬元 C.350萬元 D.320萬元3.山東新舊動能轉(zhuǎn)換綜合試驗(yàn)區(qū)是黨的十九大后獲批的首個區(qū)域性國家發(fā)展戰(zhàn)略綜合試驗(yàn)區(qū),也是中國第一個以新舊動能轉(zhuǎn)換為主題的區(qū)域發(fā)展戰(zhàn)略綜合試驗(yàn)區(qū).泰安某高新技術(shù)企業(yè)決定抓住發(fā)展機(jī)遇,加快企業(yè)發(fā)展.已知該企業(yè)的年固定成本為500萬元,每生產(chǎn)設(shè)備x(x>0)臺,需另投入成本y1萬元.若年產(chǎn)量不足80臺,則y1=12x2+40x;若年產(chǎn)量不小于80臺,則y1=101x+8100(1)寫出年利潤y(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(臺)的關(guān)系式;

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少臺時,該企業(yè)所獲利潤最大?題組二建立函數(shù)模型解決問題4.某種放射性元素,每年在前一年的基礎(chǔ)上按相同比例衰減,100年后只剩原來的一半,現(xiàn)有這種元素1克,3年后剩下()A.0.015克 B.(1-0.5%)3克C.0.925克 D.1000.1255.為了落實(shí)國務(wù)院“提速降費(fèi)”的要求,某市移動公司欲下調(diào)移動用戶消費(fèi)資費(fèi).已知該公司共有移動用戶10萬人,人均月消費(fèi)50元.經(jīng)測算,若人均月消費(fèi)下降x%,則用戶人數(shù)會增加x8(1)若要保證該公司月總收入不減少,試求x的取值范圍;(2)為了布局“5G網(wǎng)絡(luò)”,該公司擬定投入資金進(jìn)行5G網(wǎng)絡(luò)基站建設(shè),投入資金方式為每位用戶月消費(fèi)中固定劃出2元進(jìn)入基站建設(shè)資金,若使該公司總盈利最大,試求x的值.(總盈利資金=總收入資金-總投入資金)6.國慶期間,某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游,若旅行團(tuán)人數(shù)在30人或30人以下,飛機(jī)票價格為900元/張;若旅行團(tuán)人數(shù)多于30人,則給予優(yōu)惠:每多1人,每張飛機(jī)票價格就減少10元,直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75人為止.旅行團(tuán)乘飛機(jī),旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15000元.(1)寫出飛機(jī)票的價格關(guān)于人數(shù)的函數(shù);(2)旅行團(tuán)人數(shù)為多少時,旅行社可獲得最大利潤?題組三擬合函數(shù)模型解決問題7.如圖是吳老師散步時所走的離家距離(y)與行走時間(x)之間的函數(shù)關(guān)系的圖象,若用黑點(diǎn)表示吳老師家的位置,則吳老師散步行走的路線可能是()8.如圖①是某公共汽車線路收支差額y元與乘客量x的圖象.圖①圖②圖③由于目前本條線路虧損,公司有關(guān)人員提出了兩種扭虧為贏的方案,根據(jù)圖①上點(diǎn)A、點(diǎn)B以及射線AB上的點(diǎn)的實(shí)際意義,用文字說明圖②方案是,圖③方案是.

9.某紀(jì)念章從2019年10月1日起開始上市,通過市場調(diào)查,得到該紀(jì)念章每枚的市場價(單位:y元)與上市時間(單位:x天)的數(shù)據(jù)如下:上市時間x天41036市場價y元905190(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),從下列函數(shù)中選取一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述該紀(jì)念章的市場價y與上市時間x的變化關(guān)系并說明理由:①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=ax+b.(2)利用你選取的函數(shù),求該紀(jì)念章市場價最低時的上市天數(shù)及最低的價格.10.中國的鎢礦資源儲量豐富,在全球已經(jīng)探明的鎢礦產(chǎn)資源儲量中占比近70%,居全球首位.中國又屬贛州鎢礦資源最為豐富,其素有“世界鎢都”之稱.某科研單位在研發(fā)鎢合金產(chǎn)品的過程中發(fā)現(xiàn)了一種新合金材料,由大數(shù)據(jù)測得該產(chǎn)品的性能指標(biāo)值與這種新合金材料的含量x(單位:克)的關(guān)系為:當(dāng)0≤x<6時,y是x的二次函數(shù);當(dāng)x≥6時,y=13x(單位:克)0129…y0731…(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x);(2)求函數(shù)f(x)的最大值.

答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)練1.C顯然a>4,則由題意可得c解得c=60,2.C當(dāng)x=1時,由3000=alog3(1+2)得a=3000,所以到2025年冬,即第7年,y=3000×log3(7+2)=6000.故選C.3.解析(1)由題圖可知該商品日均銷售量y(件)與銷售單價x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系,于是設(shè)y=kx+b(k≠0).∵點(diǎn)(3,600),(5,500)在其圖象上,∴3k+∴y=-50x+750(3≤x≤12).(2)設(shè)該商品每天的利潤為w元.由題意知w=(-50x+750)(x-3)-300,整理得w=-50(x2-18x+51)=-50[(x-9)2-30].∵x∈[3,12],∴當(dāng)x=9時,w取得最大值,最大值為1500.故當(dāng)銷售單價定為9元時,該商品每天的利潤最大.4.解析設(shè)廣告費(fèi)為x萬元時,廣告效益為y萬元,銷售額為t萬元.由題意可設(shè)t=kx(k>0),則y=t-x=kx-x.∵當(dāng)x=100時,t=1000,∴1000=10k,解得k=100,∴t=100x,∴y=100x-x.令x=m,則m≥0,y=100m-m2=-(m-50)2+2500,∴當(dāng)m=50,即x=2500時,y取得最大值,為2500.∴該企業(yè)投入2500萬元廣告費(fèi)時,能獲得最大的廣告效益.5.A設(shè)這種商品的原價為a,則兩次提價后的價格為a(1+10%)2=1.12·a,又進(jìn)行兩次降價后的價格為1.12·a(1-10%)2=(1+0.1)2(1-0.1)2·a=0.992a<a,因此最終售價與原來的價格相比略有降低,故選A.6.D設(shè)年平均增長率為x,則有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=(1+p7.D設(shè)從2019年起,再過n年這家工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量超過6萬件,根據(jù)題意,得2(1+20%)n>6,即1.2n>3,兩邊取對數(shù),得nlg1.2>lg3,∴n>lg3lg1.2=lg38.答案y=22?6解析根據(jù)題意得函數(shù)關(guān)系式為y=22?69.解析(1)根據(jù)題意,得45p0=p0e-k∴e-k=45,∴p(t)=p04(2)由p(t)=p045t≤11000p0,得4因此,至少還需過濾30個小時.10.B由題中表格可知函數(shù)在(0,+∞)上是增函數(shù),且y的變化隨x的增大而增大得越來越快,分析選項(xiàng)可知B符合,故選B.11.答案甲解析對于甲:x=3時,y=32+1=10,對于乙:x=3時,y=8,因此用甲作為擬合模型較好.12.解析(1)由題意得,當(dāng)0≤x≤100時,y=0.57x;當(dāng)x>100時,y=100×0.57+(x-100)×0.5=0.5x+7,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=0.57(2)由x=120>100,得y=67,即應(yīng)交電費(fèi)67元.(3)1月用電:因?yàn)?6>0.57×100=57,所以x>100,由0.5x+7=76得x=138;2月用電:因?yàn)?3>0.57×100=57,所以x>100,由0.5x+7=63得x=112;3月用電:因?yàn)?5.6<0.57×100=57,所以0≤x≤100,由0.57x=45.6得x=80,則138+112+80=330(千瓦時),即第一季度共用電330千瓦時.13.解析若以y=a·ekx為模擬函數(shù),將(10,4),(40,18)代入函數(shù)關(guān)系式,得a解得k∴y=2.4228e0.050136x.以此函數(shù)關(guān)系式計(jì)算車速為90km/h,100km/h時,停車距離分別為220.8m,364.5m,與實(shí)際數(shù)據(jù)相比,誤差較大.若以y=a·xn為模擬函數(shù),將(10,4),(40,18)代入函數(shù)關(guān)系式,得a·10∴y=0.3289x1.085.以此函數(shù)關(guān)系式計(jì)算車速為90km/h,100km/h時,停車距離分別為43.39m,48.65m,與實(shí)際情況誤差也較大.若以y=ax2+bx+c為模擬函數(shù),將(10,4),(40,18),(60,34)代入函數(shù)關(guān)系式,得a·10∴y=1150x2+2以此函數(shù)關(guān)系式計(jì)算車速為90km/h,100km/h時,停車距離分別為68m,82m,與前兩個相比,它比較符合實(shí)際情況.當(dāng)x=120時,y=114,即當(dāng)車速為120km/h時,停車距離為114m.能力提升練1.A依題意得2m=64,∴y=2-當(dāng)x=36時,y=2-192.D設(shè)該公司的年收入為a萬元,則280p%+(a-280)(p+2)%=a(p+0.25)%,解得a=280×22?0.253.解析(1)當(dāng)0<x<80時,y=100x-12x2+40x-500=-當(dāng)x≥80時,y=100x-101x+8100x-2180-500=1680-x+8100所以當(dāng)0<x<80時,y=-12x2+60x-500;當(dāng)x≥80時,y=1680-x(2)當(dāng)0<x<80時,y=-12(x-60)2當(dāng)x≥80時,y=1680-x+8100x≤1680-2x所以當(dāng)年產(chǎn)量為90臺時,該企業(yè)所獲利潤最大,最大利潤為1500萬元.4.D設(shè)每年減少的比例為x,因此1克這種放射性元素,經(jīng)過100年后剩余1×(1-x)100克,依題意得(1-x)100=0.5,所以x=1-1000.53年后剩余為(1-x)3,將x的值代入,得結(jié)果為1000.1255.解析(1)根據(jù)題意,設(shè)該公司的總收入為W萬元,則W=5010+x若該公司月總收入不減少,則有50·10+x解得0<x≤20.(2)設(shè)該公司總盈利為y萬元,則y=5010+x81?x100-210+x結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得,當(dāng)x=8時,該公司的總盈利最大.6.解析(1)設(shè)旅行團(tuán)人數(shù)為x,飛機(jī)票價格為y元/張,則y=900,0即y=900,0(2)設(shè)旅行社獲利S元,則S=900即S=900因?yàn)镾=900x-15000在區(qū)間(0,30]上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=30時,S取最大值12000,又因?yàn)镾=-10(x-60)2+21000在區(qū)間(30,60]上單調(diào)遞增,在(60,75]上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=60時,S取最大值21000.故旅行團(tuán)人數(shù)為60時,旅行社可獲得最大利潤.7.D根據(jù)題中圖象可知在第一段時間吳老師離家的距離隨著時間的增加而增加,第二段時間吳老師離家的距離隨著時間的增