人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（精講）（解析版）

6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖典例精講典例精講考點一平面向量的基本定理【例1-1】（2022·河南·平頂山市）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以.故選：C.【例1-2】（2022廣東）已知AD，BE分別為△ABC的邊BC，AC上的中線，設(shè)，則等于（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意所以2，①同理得2即2.②①×2＋②得4+2，即3，所以.故選：B.【例1-3】（2022·安徽宣城·高一期末）中，點為上的點，且，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得,又，故，故，故選:B【例1-4】（2022·遼寧·東北育才學(xué)校高一階段練習(xí)）如圖，中，，，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得：，，，，三點共線，，即.故選：B.【一隅三反】1．（2022·云南）在平行四邊形中，分別是的中點，交于點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖，過點作的平行線交于，則是的中點，且，，又，所以，即，所以，又，故選：B2．（2022·內(nèi)蒙古赤峰）如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點，若，則等于（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，因為，所以，，.故選：B.3．（2022·山東濰坊）在平行四邊形中，分別是的中點，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，設(shè)，且，則，又因為，所以，解得，所以.故選：B.考點二基底的選擇【例2】（2022·全國·高一課時練習(xí)）若向量與是平面上的兩個不平行向量，下列向量不能作為一組基的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【解析】對于A，假設(shè)存在實數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實數(shù)，使，即與不共線，A不選；對于B，假設(shè)存在實數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實數(shù)，使，即與不共線，B不選；對于C，假設(shè)存在實數(shù)，使，則，解得，即與共線，選C；對于D，假設(shè)存在實數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實數(shù)，使，即與不共線，D不選；故選：C【一隅三反】1．（2022·湖南）設(shè)是平面內(nèi)的一個基底，則下面的四組向量不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【解析】∵，是平面內(nèi)的一組基底，∴，不共線，而，則根據(jù)向量共線定理可得，與共線，根據(jù)基底的定義可知，選項D不符合題意.其他三組中的向量均為不共線向量，故可作為基底向量.故選:D.2．（2022·河南）已知，是平面內(nèi)一組不共線的向量，則下列四組向量中，不能做基底的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【解析】A選項：令，因為，不共線，所以，無實數(shù)解，所以與不共線，故可以作為平面向量基底；B選項：令，因為，不共線，所以，無實數(shù)解，所以與不共線，故可以作為平面向量基底；C選項：令，因為，不共線，所以，無實數(shù)解，所以與不共線，故可以作為平面向量基底；D選項：易知，即與共線，不能作為平面向量基底.故選：D3．（2022·江蘇省震澤中學(xué)高一期中）已知、是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的一組是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【解析】對于A選項，因為，則和共線，A選項不滿足條件；對于B選項，設(shè)，則，無解，故和不共線，B選項能作為基底；同理可知和不共線，和也不共線，CD選項均能作為基底.故選：A.考點三平面向量的坐標(biāo)表示【例3-1】（2022·北京·高一期末）已知向量，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，，所以，又，所以，解得.故選：B【例3-2】（2022·江西）向量，，．若三點共線，則的值為（

）A． B．1 C．或11 D．2或【答案】C【解析】由題可得：，.因為三點共線，所以，所以，整理得，解得或.故選：C.【例3-3】（2022·江蘇常州·高一期末）設(shè)平面向量，滿足，，，則在上投影向量的模為（

）.A． B． C．3 D．6【答案】A【解析】由題意可知：在上投影向量為，故在上投影向量的模為，故選：A【例3-4】（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)高一期中）與向量平行的單位向量是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】因為與向量平行的單位向量是，,所以,故選：D【例3-4】（2022·山東）（多選）下列說法中正確的有（

）A．已知在上的投影向量為且，則；B．已知，且與夾角為銳角，則的取值范圍是；C．若非零向量滿足，則與的夾角是.D．在中，若，則為銳角；【答案】AC【解析】設(shè)與的夾角為，又因為在上的投影向量為，所以，即，所以，故A正確；因為，則，又因為與夾角為銳角，所以，且與不共線，即，解得，所以則的取值范圍是，故B錯誤；因為，兩邊同時平方得，即，所以，即，因此，又因為向量夾角的范圍是，所以，故C正確；因為，所以，因為，故，又因為，故，因此為鈍角，故D錯誤，故選：AC.【一隅三反】1．（2022·廣東·饒平縣）已知，是單位向量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，因為，是單位向量，所以，所以，所以，所以，故選：D2．（2022·陜西·蒲城縣蒲城中學(xué)高一期末）已知向量，.若不超過5，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以，因為不超過5，所以，解得：，故選：C.3．（2022·安徽省淮南第五中學(xué)高一階段練習(xí)）已知向量，，，則（

）A． B． C．5 D．25【答案】C【解析】由，可得由，可得又，則，解之得故選：C4．（2022·黑龍江）（多選）已知向量，，，，，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．的最小值為【答案】ABD【解析】對于A選項，已知，則，解得，故A選擇正確；對于B選項，，由于，則，解得，故B選擇正確；對于C選項，由于，則，得，解得，故，故C選擇不正確；對于D選項，，，當(dāng)時等號成立，即的最小值為，故D選項正確.故選：ABD考點四巧建坐標(biāo)【例4-1】（2022·淄博模擬）如圖在中，，為中點，，，，則（）A．-15 B．-13 C．13 D．14【答案】C【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，又，，，則，即，即，則，則，，則；故答案為：C．【例4-2】（2022·全國·高一課時練習(xí)）（多選）已知是邊長為2的等邊三角形，D，E分別是，上的點，且，，與交于點O，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．在方向上的投影為【答案】BD【解析】因為是邊長為2的等邊三角形，，所以E為的中點，且，以E為原點建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，，,由得，則，取的中點G，連接，易得且，所以，所以，則.對于A，，故A錯誤；對于B，由可得，故B正確；對于C，，，，，所以，所以，故C錯誤；對于D，，，所以在方向上的投影為，故D正確.故選：BD.【一隅三反】1．（2022·四川南充）在中，，，，，，CN與BM交于點P，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】建立如圖直角坐標(biāo)系，則,得,所以，故選：D.2．（2022·貴州貴陽）在邊長為2的正方形中，是的中點，則（

）A．2 B． C． D．4【答案】A【解析】在平面直角坐標(biāo)系中以為原點，所在直線為軸建立坐標(biāo)系，則，，，，所以，故選：A3．（2022·廣東）已知是邊長為a的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】以中點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，，，所以，所以；所以當(dāng)，時，取得最小值是．故選：B．考點五奔馳定理【例5-1】（2011·遼寧沈陽·高三階段練習(xí)）是所在平面內(nèi)一點，，則與的面積比為_____【答案】【解析】如圖，設(shè)中點為,則.因為,所以,即三點共線，且,所以;因為為中線，所以，,所以有.【例5-2】（2022·全國·高一課時練習(xí)）點P是所在平面上一點，若，則與的面積之比是（

）A． B．3 C． D．【答案】D【解析】如圖，延長交于點，設(shè)，則，因為共線，所以，解得，所以，，則，由，得，即，所以，所以，所以.故選：D.【例5-3】（2022·全國·高一）已知是三角形內(nèi)部一點，滿足，，則實數(shù)（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】如圖，令，則：三點共線；與共線反向，；；解得．故選：C．【一隅三反】1．（2021·四川德陽·高一期末）已知P是內(nèi)部一點，且，則面積之比為（

）A．1：3：5 B．5：3：1 C．1：9：25 D．25：9：1【答案】B【解析】設(shè)的面積為，由，得，有，又，令，則三點共線，且，即點在上，且，所以以為底，的高為的，故，同理可得，，所以.故選：B2．（2022·河南商丘·高一期末）已知D為△ABC所在平面內(nèi)一點，AD交BC于點E，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，AD交BC于點E，，設(shè).由B，E，C三點共線可得，解之得∴，則∴.設(shè)，則，又，則∴，∴.故選：C3．（2023·廣東深圳）點為內(nèi)一點，，則的面積之比是___________.【答案】【解析】因為，所以，設(shè)為中點，為中點，為三角形的中位線，則，因為，可得，所以三點共線，且，則，，分別設(shè)，由圖可知，，，則，所以，而，所以，所以，，所以，即的面積之比等于.故答案為：.考點六平面向量與四心【例6-1】（2022·重慶市第二十九中學(xué)校高一期中）（多選）已知為所在平面內(nèi)的點，則下列說法正確的是（

）A．若，則為的中點B．若，則為的重心C．若，則為的垂心D．若，則在的中位線上【答案】ABD【解析】A選項，，，所以為的中點，A正確.B選項，如下圖所示，設(shè)是的中點，由得，即三點共線，且，所以是的重心.C選項，由，得，所以，所以在邊的高上，不一定是垂心，C錯誤.D選項，如下圖所示，設(shè)分別是的中點，，即，，，即三點共線，且，所以在的中位線上.故選：ABD【例6-2】（2022·山東棗莊·高一期中）（多選）點在所在的平面內(nèi)，（

）A．若動點滿足，則動點的軌跡一定經(jīng)過的垂心B．若動點滿足，則動點的軌跡一定經(jīng)過的重心C．若，，分別表示，的面積，則D．已知三個內(nèi)角，，的對邊分別是，，，若，則點為的內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心）【答案】CD【解析】對于A，設(shè)的中點為，連，如圖：因為，所以，所以，即與共線，所以動點的軌跡一定經(jīng)過的重心，故A不正確；對于B，由A可知，只有當(dāng)時，動點的軌跡才經(jīng)過的重心，故B不正確；對于C，因為，所以，設(shè)、的中點分別為、，則，所以，故C正確；對于D，延長交于，因為，所以，所以，設(shè)，，則，因為與不共線，所以，，所以，即，所以，即，所以為的平分線，同理得為的平分線，為的平分線，所以為的內(nèi)心.故D正確.故選：CD【一隅三反】1．（2021·上海市奉賢中學(xué)高一期中）設(shè)為所在平面內(nèi)一點，滿足，則的面積與的面積的比值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】延長到，使，延長到，使，連接，因為，所以，所以為的重心，所以設(shè)，則，,所以,所以，故選：D2．（2022·山西運城·高一期