人教版高中數(shù)學精講精練必修二8.2 立體圖形的直觀圖（精講）（解析版）

8.2立體圖形的直觀圖（精講）思維導圖思維導圖典例精講典例精講考點一斜二測畫法的概念理解【例1-1】（2022·高一課時練習）關于斜二測畫法，下列說法錯誤的是（

）A．平行直線的直觀圖仍然是平行直線B．垂直直線的直觀圖仍然是垂直直線C．直觀圖中分別與兩條坐標軸重合的直線，實際的位置是相互垂直的D．線段的中點在直觀圖中仍然是中點【答案】B【解析】對于A，平行直線在直觀圖中長度可能會變化，但平行關系不變，A正確；對于B，平行于軸和軸的兩條直線，在直觀圖中夾角為，B錯誤；對于C，直觀圖中與兩條坐標軸重合的直線，還原后與平面直角坐標系中的軸重合，實際位置互相垂直，C正確；對于D，線段的中點在直觀圖中依然會是該線段直觀圖畫法中的中點，D正確.故選：B.【例1-2】（2022·全國·高一專題練習）如圖，已知等腰三角形，則在如圖所示的四個圖中，可能是的直觀圖的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】D【解析】根據(jù)坐標軸夾角為或，等腰三角形的直觀圖如圖所示：只有③④符合故選：D【一隅三反】1．（2022春·吉林長春·高一統(tǒng)考期末）（多選）用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結論正確的是（

）A．相等的線段在直觀圖中仍然相等B．平行的線段在直觀圖中仍然平行C．一個角的直觀圖仍是一個角D．相等的角在直觀圖中仍然相等【答案】BC【解析】由斜二測畫法原則：平行依舊垂改斜，橫等縱半豎不變，平行于x軸且相等的線段在直觀圖中仍相等，而不是所有相等線段都能相等，A錯誤；平行線段在直觀圖中仍然平行，B正確；一個角在直觀圖中也是一個角的形式出現(xiàn)，C正確；如直角梯形在直觀圖中與直角對應的兩個角不相等，D錯誤.故選：BC2．（2022·高一課時練習）關于“斜二測畫法”，下列說法不正確的是______．（填序號）①原圖形中平行于軸的線段，其對應線段平行于軸，長度不變；②原圖形中平行于軸的線段，其對應線段平行于軸，長度變?yōu)樵瓉淼?；③畫與直角坐標系對應的時，必須是；④在畫直觀圖時，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同．【答案】③【解析】原圖形中平行于軸的線段，其對應線段平行于軸，長度不變，故①正確；原圖形中平行于軸的線段，其對應線段平行于軸，長度變?yōu)樵瓉淼?，故②正確；畫與直角坐標系對應的坐標系時，也可以是，故③錯誤；在畫直觀圖時，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同，故④正確.故答案為：③.考點二斜二測畫法畫平面圖形【例2-1】（2022·高一課時練習）如圖，用斜二測畫法作水平放置的正三角形的直觀圖，則正確的圖形是（

）A．B．C． D．【答案】A【解析】先作出一個正三角形，然后以所在直線為軸，以邊上的高所在的直線為軸建立平面直角坐標系，畫對應的軸，使夾角為，畫直觀圖時與軸平行的直線的線段長度保持不變，與軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到的圖形如圖，然后去掉輔助線即可得到正三角形的直觀圖如圖，故選：A【例2-2】（2022春·上海閔行·高一?？计谀┰谛倍y畫法的規(guī)則下，下列結論正確的是（

）（1）三角形的直觀圖一定是三角形

（2）正方形的直觀圖一定是菱形（3）等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形

（4）菱形的直觀圖一定是菱形A．（1）（2） B．（1） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）【答案】B【解析】由斜二測畫法的規(guī)則可知（1）正確，（2）錯誤；（3）中的平行性質(zhì)不變，但梯形兩底平行且長度不相等，故在直觀圖中平行且長度不相等，故可能為平行四邊形，（3）錯誤；（4）中由平行于軸的長度不變，平行于軸的長度減半，故菱形的直觀圖為平行四邊形，（4）錯誤；故選：B.【一隅三反】1（2022春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考階段練習）斜二測畫法是繪制直觀圖的常用方法，下列關于斜二測畫法和直觀圖的說法正確的是（）A．矩形的直觀圖一定是矩形B．等腰三角形的直觀圖一定是等腰三角形C．平行四邊形的直觀圖一定是平行四邊形D．菱形的直觀圖一定是菱形【答案】C【解析】對A，矩形的直觀圖可以是平行四邊形，故A錯誤；對B，等腰三角形的直觀圖的兩腰不相等，不一定為等腰三角形，故B錯誤；對C，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則線段的平行性不變，所以平行四邊形的直觀圖一定是平行四邊形，故C正確；對D，菱形的直觀圖中，一組對邊長度可以改變，所以直觀圖不一定是菱形，故D錯誤.故選：C.2．（2022山西）用斜二測畫法畫出下列水平放置的平面圖形的直觀圖（尺寸自定），并由此探尋直觀圖面積與原圖形面積之間的關系.(1)矩形；(2)平行四邊形；(3)正三角形；(4)正五邊形【答案】答案見解析【解析】(1)解：根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得：設，，則，直觀圖中邊邊上的高為，因此，設直觀圖和原圖形的面積分別為、，則.(2)解：根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得：設，，則，直觀圖中邊邊上的高為，因此，設直觀圖和原圖形的面積分別為、，則.(3)解：根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得：設，，則，直觀圖中邊邊上的高為，因此，設直觀圖和原圖形的面積分別為、，則.(4)解：根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得：設，，則，的邊邊上的高為，所以，，同理可得，，，，設五邊形的面積為，直觀圖五邊形的面積為，則.考點三斜二測畫法畫空間圖形【例3-1】（2022·高一課時練習）用斜二測畫法畫長、寬、高分別是8cm，6cm，3cm的長方體的直觀圖．【答案】作圖見解析【解析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知，底面矩形的直觀圖為平行四邊形．①畫出水平放置的長、寬分別是8cm、6cm的矩形ABCD的直觀圖．②作Az垂直于AB，在Az軸上截?。謩e過點B、C、D作，，，且．③連接、、、，并擦去輔助線，將被遮擋的部分改為虛線，即得長方體的直觀圖，如圖2所示．【例3-2】．（2022·高一課時練習）畫出一個正六棱柱的直觀圖，底面為邊長為3的正六邊形，高為5．【答案】答案見解析【解析】（1）畫軸.如圖，畫x,y,z軸，三軸相交于O，使得.（2）畫底面.在x軸上以O為中點截取線段FC，使FC=6cm,在y軸上以O為中點取線段GH,使,分別過點G,H作x軸的平行線，并在平行線上分別以G,H為中點截取AB=3cm,ED=3cm,連接BC,CD,EF,FA,則六邊形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直觀圖.（3）畫側棱.在z軸正半軸上取線段,使，過A,B,C,D,E,F各點作z軸的平行線，在這些平行線上分別截取5cm長的線段.（4）成圖.順次連接,并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），得到所要求作的正六棱柱的直觀圖【例3-3】（2022·高一課時練習）已知一個正四棱臺的上底面邊長為2，下底面邊長為6，高為4，用斜二測畫法畫出此正四棱臺的直觀圖．【答案】答案見解析【解析】（1）畫軸．如圖①，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.（2）畫下底面．以O為中點，在x軸上取線段EF，使得EF＝6，在y軸上取線段GH，使得GH＝3，再過G，H分別作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中點為G，CD的中點為H，連接AD，BC，這樣就得到了正四棱臺的下底面ABCD的直觀圖．（3）畫上底面．在z軸上截取線段OO1＝4，過O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐標系x′O1y′，在x′O1y′中仿照（2）的步驟畫出上底面A1B1C1D1的直觀圖．（4）連接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去輔助線，得到的圖形就是所求的正四棱臺的直觀圖如圖②）．【一隅三反】1．（2022·全國·高一假期作業(yè)）如圖，繞BC邊所在的直線旋轉一周，由此形成的空間圖形是由哪些簡單的空間圖形構成的？畫出這個空間圖形的直觀圖.若繞AC邊所在的直線旋轉一周呢？【答案】答案見解析【解析】在圖(1)中，過A作AO⊥BC于O，如圖，顯然，是由公共直角邊OA，且另外一條直角邊在旋轉軸上的兩個直角三角形拼接而成，則繞直線BC旋轉一周所得幾何體，是與繞直線BC旋轉一周的兩個同底圓錐構成的組合體，所以這個空間圖形是兩個同底的圓錐構成的組合體，其直觀圖如圖，在圖(2)中，過B作BO1⊥AC于O1，如圖，顯然，是由去掉而成，它們有公共直角邊O1B，且另外一條直角邊在旋轉軸上，則繞直線AC旋轉一周所得幾何體，是繞直線AC旋轉一周所得圓錐挖去繞直線AC旋轉一周所得圓錐構成的幾何體，所以這個空間圖形是一個圓錐挖去一個同底的小圓錐構成，其直觀圖如圖.2．（2021·高一課時練習）已知一棱柱的底面是邊長為的正方形，各側面都是矩形，且側棱長為，試用斜二測畫法畫出此棱柱的直觀圖.【答案】見解析【解析】（1）畫軸.畫出軸、軸軸，三軸相交于點，使，.（2）畫底面.以點為中點，在軸上畫，在軸上畫，分別過點，作軸的平行線，過點，作軸的平行線，設它們的交點分別為，，，，則四邊形就是該棱柱的底面.（3）畫側棱.過點，，，分別作軸的平行線，并在這些平行線上分別截取長的線段，，，，如圖①所示.（4）成圖.連接，，，，并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），就得到該棱柱的直觀圖，如圖②所示.3．（2022·全國·高一專題練習）如圖為一幾何體的平面展開圖，按圖中虛線將它折疊起來，畫出它的直觀圖．【答案】見解析【解析】由題設中所給的展開圖可以得出，此幾何體是一個四棱錐，其底面是一個邊長為2的正方形，垂直于底面的側棱長為2，其直觀圖如圖所示.考點四斜二測畫法的相關計算【例4-1】（2022·高一課前預習）已知正△ABC的邊長為a，建立如圖所示的直角坐標系xOy，則它的直觀圖的面積是（

）A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)2 C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)2【答案】D【解析】因為正△ABC的邊長為a，所以其面積S＝a2，又因為直觀圖面積S′與原圖面積之比為，即＝，所以S′＝×a2＝a2．答案：D【例4-2】（2022春·廣東東莞·高一東莞市東華高級中學?？茧A段練習）如圖是四邊形ABCD的水平放置的直觀圖A′B′C′D′，則原四邊形ABCD的面積是（

）A．14 B．10 C．28 D．14【答案】C【解析】∵A′D′∥y′軸，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，∴原圖形是一個直角梯形．又A′D′＝4，∴原直角梯形的上、下底及高分別是2，5，8，故其面積為.故選：C【例4-3】．（2022春·廣東廣州·高一西關外國語學校?？计谥校┤鐖D所示，四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為45°的等腰梯形，用斜二測畫法畫出這個梯形的直觀圖，則在直觀圖中，梯形的高為___________.【答案】【解析】四邊形是上底為2，下底為6，底角為的等腰梯形，故的高為2，面積，故其直觀圖的面積，設直觀圖的高為，則，解得：，即在直觀圖中，梯形的高為.故答案為：.【一隅三反】1．（2022廣東佛山）如圖，水平放置的的斜二測直觀圖為，已知，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由直觀圖可還原如下圖所示，其中，，，，的周長為.故選：C.2．（2022春·河北保定·高一統(tǒng)考期末）如圖，已知通過斜二測畫法得到的直觀圖是面積為2的等腰直角三角形，則為（

）A．面積為的等腰三角形B．面積為的等腰三角形C．面積為的直角三角形D．面積為的直角三角形【答案】D【解析】如圖因為斜二測畫法得到的直觀圖是面積為2的等腰直角三角形，故，,將直觀圖還原，則,,故所得三角形為直角三角形，面積為.故選：D.3．（2022春·山西運城·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，正方形的邊長為1，