空間中的距離+高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）選擇性必修第一冊

1.2.5空間中的距離學(xué)習(xí)目標(biāo)

抬頭望星光

1.理解圖形與圖形的距離的概念.(數(shù)學(xué)抽象)

2.理解空間中兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、相互平行的直線與平面之間的距離以及相互平行的平面與平面之間的距離的概念,會求它們之間的距離.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)

3.會用向量方法求兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到平面的距離、線面距和面到面的距離.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)教材認(rèn)知·內(nèi)化必備知識空間中的距離名稱概念求法兩點(diǎn)之間的距離空間中兩個點(diǎn)連線的線段長求向量的模點(diǎn)到直線的距離過直線外一點(diǎn)作直線的一條垂線段的長求向量的模點(diǎn)到平面的距離過平面外一點(diǎn)作平面的一條垂線段的長d=,其中A是平面外一點(diǎn),B是平面內(nèi)一點(diǎn),n是平面的一個法向量名稱概念求法線到面的距離當(dāng)直線與平面平行時,直線上任意一點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離面到面的距離(公垂線段長)當(dāng)平面與平面平行時,一個平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個平面的距離點(diǎn)睛(1)用向量法求直線外一點(diǎn)到直線的距離的實質(zhì)是構(gòu)造直角三角形求解,優(yōu)點(diǎn)是在空間中無法直接作出點(diǎn)到直線距離時,利用向量法避免了作輔助線.(2)過平面外一點(diǎn)向平面作垂線段,則該垂線段所在的直線是唯一的,也是連接平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)任一點(diǎn)的所有線段中最短的.【思考】如圖,已知直線l的單位方向向量為u,A是直線l上的定點(diǎn),P是直線l外一點(diǎn).如何利用這些條件求點(diǎn)P到直線l的距離?【質(zhì)疑辨析】(1)點(diǎn)到直線的距離就是點(diǎn)到直線的最短距離.

(

)(2)直線與它的平行平面的距離可轉(zhuǎn)化為直線上任一點(diǎn)到平面上任一點(diǎn)的距離.(

)提示:直線與它的平行平面的距離可轉(zhuǎn)化為直線上任一點(diǎn)到平面的距離.(3)兩平行平面間的距離可轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)任一點(diǎn)與另一個平面內(nèi)的任一點(diǎn)之間的距離.

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)提示:兩平行平面間的距離可轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)任一點(diǎn)到另一個平面的距離.√××合作探究·形成關(guān)鍵能力

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

如圖,空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1,點(diǎn)M,N分別是邊AB,CD的中點(diǎn),則MN的長為________.

類型二

求點(diǎn)到直線的距離(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)[例2](教材提升·例2)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是C1C,D1A1的中點(diǎn),求點(diǎn)A到直線EF的距離.【思路導(dǎo)引】建系,用坐標(biāo)法求解.【總結(jié)升華】利用向量法求點(diǎn)到直線的距離的常用方法(1)利用空間向量找垂線段,再求模即可.(2)①建立空間直角坐標(biāo)系;②求直線的方向向量;③計算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影的數(shù)量;④利用勾股定理求點(diǎn)到直線的距離.注意:線上的點(diǎn)可以任意取,但一般選擇特殊點(diǎn)(如端點(diǎn)),同時直線的方向向量也可以任意取.

再就是平行直線間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線之間的距離.

【名師點(diǎn)睛】作截面常用的三種方法:直接法,截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上;平行線法,截面與幾何體的兩個平行平面相交,或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行;延長交線得交點(diǎn),截面上的點(diǎn)中至少有兩個點(diǎn)在幾何體的同一平面上.

【總結(jié)升華】用向量法求點(diǎn)面距的方法與步驟

【解析】選D.由正方體的性質(zhì):AB1∥DC1,D1B1∥DB,AB1∩D1B1=B1,DC1∩DB=D,且AB1?平面AB1D1,D1B1?平面AB1D1,DC1?平面BDC1,DB?平面BDC1,所以平面AB1D1∥平面BDC1,則兩平面間距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面AB1D1的距離.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:

【總結(jié)升華】線面距離與面面距離的求解思路(1)求相互平行的直線與平面間的距離可以轉(zhuǎn)化為求直線上任意一點(diǎn)到平面的距離,利用求點(diǎn)到平面的距離的方法求解即可.(2)求兩個平行平面間的距離可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離,利用求點(diǎn)到平面的距離的方法求解即可.注意:求空間的各種距離的關(guān)鍵點(diǎn)是合理化和準(zhǔn)確計算,選擇點(diǎn)的時候一般選取相關(guān)線段的端點(diǎn)或已知的其他的點(diǎn).

2.如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1的棱DA,DC和DD1的長分別為1,2,1.求:(1)頂點(diǎn)B到平面DA1C1的距離;(2)直線B1C到平面DA1C1的距離.3.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4,M,N,E,F分別為A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中點(diǎn),求平面AMN與平面E