九年級(jí)數(shù)學(xué)滬教版上冊(cè)24.1相似形

24.1相似形

1.定義：形狀相同的圖形稱為相似形

【注意】對(duì)相似三角形的定義應(yīng)從以下幾方面理解：

（1）“形狀相同的圖形”是將一個(gè)圖形放大或縮小后得到的

（2）“大小不一定相同的相似形”說(shuō)明了相似圖形有兩種情況：一是大小不同；二是大小相同。對(duì)于大

小不同的兩個(gè)相似形，可以看作大的圖形由小的圖形放大而得到，或小的圖形由大的圖形縮小而得到。

對(duì)于大小相同的兩個(gè)相似形，它們可以重合，這時(shí)它們是全等形。

（3）所謂形狀相同，應(yīng)與位置無(wú)關(guān)，與擺放角度無(wú)關(guān)，與擺放方向也無(wú)關(guān)。

例：下列各組中的圖形，不是相似圖形的是（）

（A）同一座城市的兩張比例尺不同的地圖（B）一個(gè)人現(xiàn)在的照片和他十年前的照片

（C）兩個(gè)正方形（D）國(guó)旗上的五角星

2.相似圖形的識(shí)別方法

（1）感觀法（2）測(cè)量法（3）對(duì)比分析法

3.相似圖形的性質(zhì)

如果兩個(gè)多邊形是相似形，那么這兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度成比例。

【注意】（1）當(dāng)兩個(gè)相似的多邊形是全等形時(shí)，它們的對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度的比值都是1

（2）根據(jù)此性質(zhì)，我們可以判定兩個(gè)多邊形是否相似。

4.方格法畫與已知圖形相似的圖形

（1）利用“方格法”畫與已知圖形相似的圖形的依據(jù)是“兩多邊形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度成比例,

則兩多邊形相似”。

（2）利用“方格法”畫與已知圖形相似的圖形的方法：在格子圖中畫與己知圖形相似的圖形時(shí)，首先應(yīng)

確定對(duì)應(yīng)邊所成的比例數(shù)，然后根據(jù)比例數(shù)在格子點(diǎn)上找出對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)

度，再根據(jù)對(duì)應(yīng)角相等即可畫出圖形。

例；如圖在正方形網(wǎng)格上，若使AABCS^PBD,則點(diǎn)P應(yīng)在（）

24.2比例線段

L兩條線段的比

如果a:b=c:d（或旦=￡）,那么就說(shuō)a、b、c、d成比例。

bd

兩條線段的長(zhǎng)度的比叫做兩條線段的比。

【注意】（1）兩條線段的比，就是在同一單位下它們的長(zhǎng)度比。因此,比與所選線段的長(zhǎng)度單位無(wú)關(guān),

但必須選定同一長(zhǎng)度單位。

（2）由于a、Z?長(zhǎng)度都是正數(shù)，所以兩條線段的比是一個(gè)正數(shù)。

nn

（3）兩條線段的比是有順序的，不可顛倒，除了。=〃時(shí)外，但一與一互為倒數(shù)。

ba

2.成比例線段

在四條線段a、b、c、d中，如果。與方的比等于c與d,即q=￡,我們把這四條線段叫做成比例線段,

bd

簡(jiǎn)稱比例線段。

【注意】（1）比例線段所表示的是四條線段的關(guān)系。

（2）比例線段所表示的是一種相等關(guān)系，因此表示比例線段的式子中必須有等號(hào)存在。

（3）線段a、b、c、d成比例是順序地表示為a:5=c:d

（4）判斷四條線段是否成比例，只要把這四條線段長(zhǎng)度的大小順序排好，判斷前兩條線段之比與后兩條

線段之比是否相等即可。

3.比例的基本性質(zhì)

ac

兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積，即如果一=—,那么4

bd

,ac,bdabcd

如果m一=一,那么一=一,一=一,—=一,-o

bdaccdab

4.合比性質(zhì)

.acFb/a+bc+da-bc-daca_c

如果m一=一,那么----=-----；-----=-----,-----=-----

bdbdbda-bc-da+bc+d

nr

【注意】（1）在對(duì)比例式一=一進(jìn)行變形時(shí)，要注意是分子加減分母經(jīng)原分母，而不要理解反了

bd

a+bc+da+bb

（2）合比性質(zhì)與比例基本性質(zhì)結(jié)合起來(lái)運(yùn)用可得到很多結(jié)論，如:-----=------=>------

bdc+d~d

例：（1）若一二4,求——-----的值。（2）若一二一，求------的值。

yy%+yb5b

5.等比性質(zhì)

,ac7F-Q+Cac,

如果m—————k9那么----——————k

bdb+dbd

【注意】（1）等比性質(zhì)可以推廣到任意有限多個(gè)相等的比的情形。例如：

如果幺=&=%=...=左，那么q+0+幺=幺="左

bxb2b3A+仇+b34b24

（2）在運(yùn)用等比性質(zhì)時(shí)，一定要注意性質(zhì)滿足的條件是所有比的分母的和不為0

例：已知幺=9=9=3,求“―2'+4e的值（b—2d+4/-0）

bdfb-2d+4f

6.黃金分割

如圖，如果點(diǎn)C把線段AB分割成AC和CB（AOCB）兩條線段，且坐坐2=變萼，那么稱這種

A3（全）AC（長(zhǎng)）

分割為黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC（長(zhǎng)）是BC（短）與AB（全）的比例中項(xiàng)，AC

與AB的比值叫做黃金分割數(shù)。AC:A3=叵。：1^0.618:1

2

3=C5AB即3=（AB-AC）ABAC2+AB-AC=AB2

1,1,5,1J5

兩邊同時(shí)加上（QA3）2得（4。+]45）2=彳452,兩邊開平方得AC+5A5=A3

+J5-1J5-1

:.AC=———AB,只取AC=^——AB,

22

,ACV5-1

,AB-2

24.3三角形一邊的平行線

1.三角形一邊的平行線性質(zhì)定理及推論

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例。

2.三角形的重心

三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心。

三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍。

3.三角形一邊的平行線判定定理及推論

如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

如果一條直線截三角形的兩邊的延長(zhǎng)線（這兩邊的延長(zhǎng)線在第三邊的同側(cè)）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那

么這條直線平行于三角形的第三邊。

4.平行線分線段成比例定理

兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例

兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段

也相等。

5.通過(guò)上面的學(xué)習(xí)，含有比例線段的基本圖形:

例:

1.如圖，已知:在口A3CD的對(duì)角線AC上取一點(diǎn)G,過(guò)G作一直線分別交AB的延長(zhǎng)線BC和AD及CD

的延長(zhǎng)線開P、Q、E、S.求證:GP?GQ=GE?GS

分析:求線段的比或證明比例線段關(guān)鍵是通過(guò)找出“中間比”

來(lái)進(jìn)行過(guò)渡，這是一種基本方法.證明中將行者等積式與比

例式進(jìn)行互化是常用的方法.

2.如圖，UABC中,AD是BC上中線,F是AD上一點(diǎn)，且AF:FD=1:3,聯(lián)結(jié)BF,并延長(zhǎng)AC于E.

求證:CE:EA=6:1

A

j\E

分析:作平行線是證明比例線段中常用的輔助線，能起到構(gòu)造比（比例）

和平移比的作用，作不行線是應(yīng)考慮兩點(diǎn):一是過(guò)哪一點(diǎn)作平行線,二是

作哪一直線一平行線.其原則為:通過(guò)作平行線出現(xiàn)存在比和比例的基

本圖形,要得到的比例式中應(yīng)盡可能多的出現(xiàn)已知或求證中的線段.

B

D

3.如圖：在四邊形ABCD中,M、N分別為AB、CD邊的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD、MN相交于點(diǎn)G,BC延長(zhǎng)線交GM于H.

求證:AG:DG=BH:CH

4.如圖，AABC中，點(diǎn)D在BC上,BD:DC=2:1,點(diǎn)E在AD上,AE:ED=2:3,BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F,求BE:EF

的值.

如圖，已知在△ABC中，AE:EB=CD:CB=1:3,AD與CE相交于點(diǎn)"，求型的值。

5、

HC

6、如圖所示，在菱形A3CD中，點(diǎn)￡、尸分別在BC、CD上，ZBAF=ZDAE,AE與BD

相交于點(diǎn)G.

①求證：BE=DF；

r)pAD

②當(dāng)——=—時(shí)，求證：四邊形BERG是平行四邊形.

FCDF

7、如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD的.對(duì)角線5D上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CP并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)E,交54的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)F.

(1)求證：PC2=PEPF；

(2)若菱形邊長(zhǎng)為8,PE=2EF=6,

在AABC中，點(diǎn)D是3c上一點(diǎn)，且02=40。求證：Z1=Z2

8、如圖,

DCAC

重心題型

1.已知在等腰三角形ABC中，AB=AC=13,BC=10,G是△ABC的重心，則BG=.

2.在ZkABC中，NC=90°,BC=12,點(diǎn)G為重心，且GD_LBC,那么CD=.

3.兩個(gè)等腰直角三角形ACS和DCE的位置如圖所示，點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)5、C、D

分別在,一直線上，ZACB=9Q°,AE=4形,AB=3DE,點(diǎn)G、H分別是AACB、

ADCE的重心，聯(lián)結(jié)G”,那么GH=.

4.我們把兩個(gè)三角形的中心之間的距離叫做重心距，在同一平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的等邊三角形，如果

當(dāng)它們的一邊重合時(shí)重心距為2,那么當(dāng)它們的一對(duì)角成對(duì)頂角時(shí)重心距為.

5.若直角三角形的重心到直角頂點(diǎn)的距離為2厘米，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為________厘米.

6.已知，△ABC的重心G到邊中點(diǎn)。的距離是2,則邊上的中線長(zhǎng)是.

7.如圖，點(diǎn)G是△ABC的重心，AGJ.GC,AC=4,那么BG的長(zhǎng)為.

8汝口圖，點(diǎn)G是ZiABC的重心，GH〃AC交BC于點(diǎn)H,若GH=2,那么AC=.

EF

9.點(diǎn)G是ZkABC的重心，如果EF過(guò)點(diǎn)G且EF〃BC,分別交AB、AC于點(diǎn)E、F,那么——的值

BC

為.

10.在ZkABC中，BC=3,點(diǎn)G是ZkABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作DG〃BC交邊AB于點(diǎn)D,那么DG=

11.已知G是ZXABC的重心，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的點(diǎn)，DE〃BC,且經(jīng)過(guò)重心G,如果ZkABC

的周長(zhǎng)是30cm，那么ZkADE的周長(zhǎng)是cm.

12.已知在ZXABC中，點(diǎn)G是ZkABC的重心，則^-----

SAABC

13.在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,AD1.BC,垂足為D,BE是邊AC上的中線，AD與BE相交于點(diǎn)

G,那么AD=____________.

e

n____7A

.zf\

A，第8題曾

第3題圖第7題圖

黃金分割點(diǎn)題型

1.已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB=2,求較長(zhǎng)線段AC=.

2.實(shí)數(shù)2與0.5的比例中項(xiàng)是.

3.已知線段a=4,c=9,那么a和c的比例中項(xiàng)?=.

4.已知C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC:AB=^^~,那么CB:AC=.

2

5.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊上的黃金分割點(diǎn)，且BE>CE,

AE與BD相交于點(diǎn)F,那么BF:五。的值為.

6.已知ZkABC中，AB=AC=m,ZABC=72°,8及平分NA3C交AC于用，過(guò)耳作用⑦〃BC

交AB于不，作坊用平分/4耳片交AC于四，過(guò)"作用^"BC交AB于昂，則線段田功的長(zhǎng)度

為（用含加的代數(shù)式表示）。

7.在aABC中，AB=AC,NA=36°,BD平分NABC交AC于點(diǎn)D,DE平分N3DC交BC于點(diǎn)E,

8.已知點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)點(diǎn)，且滿足AC2=5C-A5,則下列式子成立的是……（）

ACA/5-1AC75-1BC75-1CB45+1

A.=---------；B.=----------；C.-----------；D.=----------.

BC2AB2AB2AC2

9.如果點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，那么下列線段比的值不可能是止二）■的為（）

2

AB

~BC

10.已知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP二行-1,則48的長(zhǎng)是.

24.4相似三角形的判定

知識(shí)點(diǎn)一：相似三角形的概念

1.定義：如果兩個(gè)三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等、三邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形叫做相似三角形。對(duì)應(yīng)

相等的角的頂點(diǎn)是這兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)。

2.表示方法：AABC與ADEF相似，記作AABC-ADEF,讀作“AABC相似于ADEF

【注意】在記兩個(gè)三角形相似時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，這樣可以比較容易地

找出相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。

3.相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫相似比。也叫相似系數(shù)，通常用左表示。

【注意】對(duì)于相似比這個(gè)概念，應(yīng)注意順序問(wèn)題和對(duì)應(yīng)問(wèn)題。

知識(shí)點(diǎn)二：相似三角形的預(yù)備定理和判定定理

1.相似三角形的預(yù)備定理

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似（符合相似三角形的定

義）

2.相似三角形判定定理1

如果一個(gè)三角形的兩角與另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述：兩角對(duì)應(yīng)相等,

兩個(gè)三角形相似。

【注意】（1）該判定只需兩個(gè)角便可說(shuō)明兩個(gè)三角形相似，這是最簡(jiǎn)單而且也是常用的判別條件，一般

地，當(dāng)題目中告訴角之間的關(guān)系，或線段的平行關(guān)系時(shí)，常選擇該判別條件來(lái)求線段長(zhǎng)度或說(shuō)明線段的

比例關(guān)系等。

（2）該判別方法從另一個(gè)方面指出，對(duì)于三角形這種圖形，兩個(gè)角便可確定其形狀，只是大小不確定，

要確定其大小，至少還需添加一條邊的邊長(zhǎng)。

3.相似三角形判定定理2

如果一個(gè)三角形兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述:

兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似。

【注意】和全等一樣，兩邊及其夾角。

4.相似三角形判定定理3

如果一個(gè)三角形三邊與另一個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述：三邊對(duì)應(yīng)成比

例，兩個(gè)三角形相似。

【注意】在找到兩邊對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，一般找?jiàn)A角，或者再找一邊對(duì)應(yīng)成比例。

知識(shí)點(diǎn)三：兩個(gè)直角三角形相似的判定定理

如果一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這

兩個(gè)直角三角形相似。簡(jiǎn)述：斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似。

【注意】（1）當(dāng)題目中出現(xiàn)直角三角形時(shí)，除了想到前面的方法外，還要多聯(lián)系本方法

（2）該定理不具一般性，僅適用于直角三角形，一般三角形是不適用的。

例：1.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,P是CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段BC上，當(dāng)4ADP與4PCQ相似時(shí),

求BQ的值.

2如圖，在AABC中,AB=BC,AD_LBC于BDELAC于E,M是DE的中點(diǎn),BE、AM交于N.

DEAD

(1)求證：---=----;(2)求證：△BCEs^ADM.

CEDC

3.如圖,D是AABC內(nèi)一點(diǎn),E是UABC外一點(diǎn)，ZEBC=ZDBA,ZECB=ZDAB.

求證：ZBDE=ZBAC

4.已知如圖，在AABC中,AB>AC,在邊AB上取點(diǎn)D,在AC上取點(diǎn)E,使AD=AE,直線DE和BC的延長(zhǎng)線交于

點(diǎn)P,求證：生=BD

CPCE

24.5相似三角形的性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)一：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的關(guān)系

相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等。

【注意】相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是證明比例線段的最重要的方法之一，把這一性質(zhì)與比例的基本性

質(zhì)相結(jié)合可以在已知三條線段的情況下，求出第四條線段的長(zhǎng)度，因此這一性質(zhì)也是求線段長(zhǎng)的重要方

法；而相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等則是繼“平行線的性質(zhì)”、“全等三角形對(duì)應(yīng)角相等”以及“等邊對(duì)等角

之后又一種證明兩角相等的重要方法，同時(shí)也可求有關(guān)角的度數(shù)。

例：如圖，已知在等邊4ABC的邊BC、AC上分別有點(diǎn)M、N,已知/AMN

=60°,AABC的邊長(zhǎng)為10cm,且BM=4cm,求CN的長(zhǎng)。

知識(shí)點(diǎn)二：相似三角形性質(zhì)定理1

相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似三角形的相似比。

例：如圖，已知在AABC中，AD是高，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC,且

長(zhǎng)邊FG在BC上，矩形相鄰兩邊的比為1：2,若BC=30cm,AD=10Cm,

求矩形EFGH的面積。

例：如圖，在ZkABC中，AB=3,AC=2,D是邊AB上的一點(diǎn)，

Ap

ZACD=ZB,NBA。平分線AQ與CD、BC分別相交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，求而

的值。

知識(shí)點(diǎn)三：相似三角形性質(zhì)定理2

相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。

【注意】利用這一性質(zhì)可在已知兩個(gè)相似三角形相似比和其中一個(gè)三角形的周長(zhǎng)的情況下求另一個(gè)三角

形的周長(zhǎng)。同時(shí)可得到：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比=對(duì)應(yīng)中線的比=對(duì)應(yīng)角平分線的比=周長(zhǎng)的比=相似

比，

知識(shí)點(diǎn)四：相似三角形性質(zhì)定理3

相似三角形面積的比等于相似比的平方。

例：如圖，已知AABC中，DE〃FG〃BC,且AD=DF=FB,那么AABC被分成的三部分面積之比

Sx:S2:S3—()

(A)1：1：1(B)1：2：3(C)1：3：5(D)1：4：9

如圖所示，在AABC中，DE〃AB〃FG,且FG到DE、AB的距離之比為1：2,

若AABC的面積為32,4CDE的面積為2,則4CFG的面積=.

G

'B

AFAE

1.在AABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)F、E在邊AC上，且DF〃BE,——=——

FECE

(1)求證：DE〃BC；

Ap2

(2)如果---=—,S^=2,求3BC的值。

j—,-w—tcLXrD\LJFrLAXAnDL

rn3

2.如圖，在AABC中，點(diǎn)。在邊3c上，ZCAD=ZB,點(diǎn)E在邊AB上，聯(lián)結(jié)CE交AD于點(diǎn)H,

點(diǎn)尸在CE上，且滿足CF-CE=CD-3C.

(1)求證：AACFSA￡C4；

qcn

(2)當(dāng)CE平分NACB時(shí)，求證：^^=—

SACAEBC

3.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。為邊BC上一點(diǎn)，S.AD=AB,AE±BC,垂足為點(diǎn)E.過(guò)點(diǎn)。作。尸〃AB,

交邊AC于點(diǎn)E聯(lián)結(jié)EREF-=-BDEC.

2

(1)求證：AEDFsLEFC；

(2)如果53=上，求證：AB=BD.

SVADC4

（第3題圖）

4、已知：如圖，在△ABC中，DEIIBC,AD2=AEAC

求證：(1)ABCDs^CDE

CD2AD

⑵

BC-AB

B

5.已知：如圖，E是的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，射線BE與交于點(diǎn)F與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G.

(1)求證：3E1是E可口EG的比例中項(xiàng);

(2)若4尸:尸。=3:2,求的值.

SAGBC

6、已知：如圖，在△ABC中，平分NABC,點(diǎn)石為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且一=——

BCBD

(1)求證：AE=AD；

(2)若點(diǎn)尸為線段BD上一點(diǎn)，CF=CD,BF=2,BE=6,△跳C的面積為3,

求△ABD的面積.

C

7、已知：如圖，在中，AB=AC,M是邊3C的中點(diǎn)，ZDME=ZB,ME＞與射線54

相交于點(diǎn)。，ME與邊AC相交于點(diǎn)E.

BDCM

(1)求證:

DM~EM

(2)如果求