廣西南寧三中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題理普通班含解析

PAGE23-廣西南寧三中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題理（一般班，含解析）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，每題只有一個(gè)正確選項(xiàng)）1.設(shè)集合，若,則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，若，不滿意集合元素的互異性，故，故結(jié)果選A.2.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=，則|z－i|=（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】先對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡，求出的值，再利用復(fù)數(shù)的模長計(jì)算公式計(jì)算可得答案.【詳解】解：z===2(1+i)，所以|z－i|=|2＋i|=.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)模的求解，考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.3.設(shè)，都是不等于的正數(shù)，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】分析：先推斷p?q與q?p的真假，再依據(jù)充要條件的定義給出結(jié)論；也可推斷命題p與命題q所表示的范圍，再依據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，推斷命題p與命題q的關(guān)系．然后推斷“l(fā)ogab＜0”?“（a-1）（b-1）＜0”與“（a-1）（b-1）＜0”?“l(fā)ogab＜0”的真假即可得到答案．詳解：由前提條件有意義，則a>0，a≠1，b>0則若<0，則“(a?1)(b?1)<0若“(a?1)(b?1)<0”，則“<0”故“”是“(a?1)(b?1)<0”的充要條件故選：C點(diǎn)睛：充分、必要條件的三種推斷方法．1．定義法：干脆推斷“若則”、“若則”的真假．并留意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價(jià)法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．4.已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)且是增函數(shù)，若，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由不等式得，利用，轉(zhuǎn)化，然后利用單調(diào)性即可求解.【詳解】由不等式得，是奇函數(shù)，，，在R上是增函數(shù)，，不等式的解集為.故答案為：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.5.已知向量，若向量在向量方向上的投影為，則向量與向量的夾角是（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】【分析】由已知結(jié)合向量數(shù)量積的定義可求，然后依據(jù)向量夾角公式即可求解．【詳解】解：由數(shù)量積的定義知向量在向量方向上的投影為，所以，所以，所以夾角故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的定義及性質(zhì)的簡潔應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6.支配3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的支配方式共有（）A.64種 B.18種 C.24種 D.36種【答案】D【解析】【分析】先將4項(xiàng)工作分成3組，再按排列的方式支配給3個(gè)人做，即可求解.【詳解】4項(xiàng)工作分成3組,可得：，支配3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，可得：種．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查勻稱分組問題，同時(shí)考查學(xué)生分析問題的實(shí)力，屬于簡潔題.7.(+)(2-)5的綻開式中33的系數(shù)為A.-80 B.-40 C.40 D.【答案】C【解析】，由綻開式的通項(xiàng)公式可得：當(dāng)時(shí)，綻開式中的系數(shù)為；當(dāng)時(shí)，綻開式中的系數(shù)為，則的系數(shù)為.故選C.【名師點(diǎn)睛】（1）二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步依據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時(shí)要留意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；其次步是依據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng).（2）求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡或利用分類加法計(jì)數(shù)原理探討求解.8.已知函數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)隨意x都有，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】問題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，令，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，從而求出k的范圍即可．【詳解】，若對(duì)定義域內(nèi)隨意x都有，則對(duì)恒成立，令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，故的最小值是，故，本題選擇A選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．9.已知雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為、，實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、，虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、.以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為直徑的圓與雙曲線交于點(diǎn)（位于其次象限），若過點(diǎn)作圓的切線恰過左焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出圖形，利用勾股定理得出，利用雙曲線的定義得出，計(jì)算出，然后在中，利用余弦定理可得出關(guān)于、的齊次等式，進(jìn)而可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】由題意作出草圖，如下：與圓切于，，且，，故.由雙曲線的定義知.在中，，在中，由余弦定理，得，即，故離心率.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，同時(shí)也考查了利用雙曲線的定義處理焦點(diǎn)三角形的問題，涉及了余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.10.銳角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先將原等式變形為，再結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系和正弦定理，將角化為邊，可得；由余弦定理可推出，；結(jié)合銳角，可解得，，從而有，而，依據(jù)正弦的兩角差公式綻開化簡后即可得解．【詳解】，，，，由正弦定理知，，，即，由余弦定理知，，整理得，，，，．銳角，、，，解得，，，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查解三角形中的正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，還涉及正弦的兩角差公式、同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系等，利用正弦定理將角化邊是解題的突破口，考查學(xué)生的邏輯推理實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．11.已知函數(shù)，，則下列命題中：①的最小正周期是，最大值是；②的單調(diào)增區(qū)問是；③；④將的圖象向右平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖象；其中正確個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.【答案】D【解析】【分析】先將化為，利用周期公式和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可推斷①②④正確與否，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、三角變換公式可證③正確，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】，所以最小正周期為，最大值為，故①正確；令，，則，故單調(diào)增區(qū)間為，所以②正確；.故③正確；將的圖象向右平移個(gè)單位后，所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式為：，即，故④正確.故選：D.【點(diǎn)睛】形如的函數(shù)，可以利用降冪公式和協(xié)助角公式將其化為的形式，再依據(jù)復(fù)合函數(shù)的探討方法求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心等．與三角函數(shù)圖象有關(guān)的平移中，留意利用“左加右減”（留意僅對(duì)作變換）來幫助記憶.12.在三棱錐中，，，二面角是鈍角.若三棱錐的體積為.則三棱錐的外接球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中點(diǎn)，可得為二面角的平面角且平面；利用三棱錐體積可構(gòu)造方程求得，將三棱錐補(bǔ)為長方體，則長方體外接球即為三棱錐的外接球，通過求解長方體外接球表面積即可得到結(jié)果.【詳解】如圖（1），取的中點(diǎn)，連接，，，，為二面角的平面角，平面.取的中點(diǎn)，連接，設(shè)，在中，，，則，，化簡得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去，.如圖（2），把三棱錐補(bǔ)形成長方體，使三棱錐的各棱分別是長方體的面對(duì)角線，則三棱錐的外接球即為長方體的外接球.設(shè)，則，解得：，外接球的直徑為，四面體外接球的表面積為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積的求解問題，涉及到三棱錐體積的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是能夠通過將三棱錐補(bǔ)為長方體，通過求解長方體的外接球來求得結(jié)果.二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若，則___________.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角的余弦公式以及“1”的敏捷變換，求得所給式子的值.【詳解】，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角的余弦公式，屬于中檔題.14.已知實(shí)數(shù)x，y滿意約束條件，則的最大值為___________.【答案】1【解析】【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，再將目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移并視察z的改變，即可得到最大值．【詳解】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的陰影部分，將目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移并視察z的改變，通過視察發(fā)覺，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，取得最大值，.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡潔的線性規(guī)劃等學(xué)問，屬于基礎(chǔ)題．15.某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少須要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為__________．【答案】.【解析】分析：由題意結(jié)合幾何關(guān)系計(jì)算公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意結(jié)合幾何概型計(jì)算公式可知，至少須要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率：.點(diǎn)睛：解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考察對(duì)象和對(duì)象的活動(dòng)范圍．當(dāng)考察對(duì)象為點(diǎn)，點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí)，用線段長度比計(jì)算；當(dāng)考察對(duì)象為線時(shí)，一般用角度比計(jì)算，即當(dāng)半徑肯定時(shí)，由于弧長之比等于其所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)之比，所以角度之比事實(shí)上是所對(duì)的弧長(曲線長)之比．16.已知函數(shù)的值域?yàn)镽，其中，則a的最大值為___________.【答案】﹣e2【解析】【分析】設(shè)g（x）＝，由題意得g（x）能取到一切的正實(shí)數(shù)，即存在x，使得g（x）≤0，原問題轉(zhuǎn)化為g（x）min≤0，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，進(jìn)而得最小值，列出關(guān)于a的不等式即可得解．【詳解】設(shè)g（x）＝，若f（x）的值域?yàn)镽，則g（x）能取到一切的正實(shí)數(shù)，即存在x，使得g（x）≤0，原問題轉(zhuǎn)化為g（x）min≤0．令g'（x）＝ex+a＝0，，解得x＝ln（﹣a），當(dāng)x＜ln（﹣a）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞ln（﹣a）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．∴g（x）min＝g（ln（﹣a））＝＝a[ln（﹣a）﹣2]≤0，∵a＜0，∴l(xiāng)n（﹣a）﹣2≥0，解得a≤﹣e2．∴a的最大值為﹣e2．故答案為：﹣e2．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的值域，還涉及利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性與最值問題，構(gòu)造新函數(shù)，將原問題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、邏輯推理實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．三、解答題（本大題6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程）17.設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由條件建立方程組解出和即可；（2），利用等差等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，，∴，解得，∴；（2）由（1）得，∴.【點(diǎn)睛】常見數(shù)列的求和方法：公式法（等差等比數(shù)列）、分組求和法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法.18.2024年寒假是特別的寒假，因?yàn)橐咔槿w學(xué)生只能在家進(jìn)行網(wǎng)上在線學(xué)習(xí)，為探討學(xué)生網(wǎng)上學(xué)習(xí)的狀況，某校社團(tuán)對(duì)男女各10名學(xué)生進(jìn)行了網(wǎng)上在線學(xué)習(xí)的問卷調(diào)查，每名學(xué)生給出評(píng)分（滿分100分），得到如圖所示的莖葉圖.（1）依據(jù)莖葉圖推斷男生組和女生組哪個(gè)組對(duì)網(wǎng)課的評(píng)價(jià)更高？并說明理由；（2）如圖是按該20名學(xué)生的評(píng)分繪制的頻率分布直方圖，求的值并估計(jì)這20名學(xué)生評(píng)分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作為代表）；（3）求該20名學(xué)生評(píng)分的中位數(shù)，并將評(píng)分超過和不超過的學(xué)生數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過不超過男生女生依據(jù)列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為男生和女生的評(píng)分有差異？附：，0.500.400.250.150100.050.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024【答案】（1）男生對(duì)網(wǎng)課的評(píng)價(jià)更高，詳見解析（2）；平均值為（3）中位數(shù)為，填表見解析；沒有【解析】【分析】（1）男生對(duì)網(wǎng)課的評(píng)價(jià)更高，可以依據(jù)中位數(shù)，平均值，不低于70分的人數(shù)得到答案.（2）依據(jù)比例關(guān)系得到，再計(jì)算平均值得到答案.（3）計(jì)算中位數(shù)，完善列聯(lián)表，計(jì)算，對(duì)比臨界值表得到答案.【詳解】（1）男生對(duì)網(wǎng)課的評(píng)價(jià)更高，理由如下：①由莖葉圖可知，評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)不低于分的男生比女生多2人（或），因此男生對(duì)網(wǎng)課的評(píng)價(jià)更高.②由莖葉圖可知，男生評(píng)分的中位數(shù)為77，女生評(píng)分的中位數(shù)為，因此男生對(duì)網(wǎng)課的評(píng)價(jià)更高.③由莖葉圖可知，男生評(píng)分的平均分?jǐn)?shù)為，女生評(píng)分的平均分?jǐn)?shù)為，因此男生對(duì)網(wǎng)課的評(píng)價(jià)更高.以上給出了3種理由，考生答出其中隨意一種或其他合理理由均可得分.（2）由莖葉圖知這20名學(xué)生評(píng)分在內(nèi)的有9人，則，這20名學(xué)生評(píng)分的平均值為：.（3）由莖葉圖知該20名學(xué)生評(píng)分的中位數(shù)為，超過不超過男生64女生46.所以沒有的把握認(rèn)為男生和女生的評(píng)分有差異.【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖，依據(jù)莖葉圖計(jì)算平均值，獨(dú)立性檢驗(yàn)，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和綜合應(yīng)用實(shí)力.19.如圖，在三棱柱中，，（1）求證：；（2）若四邊形為正方形，為正三角形，M是的中點(diǎn)，求二面角的余弦值【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)為N，通過線線垂直證明平面，即可推出，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得證；（2）首先證明為正三棱錐，過點(diǎn)作平面，則O為正的中心，取上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)為E，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)為N，在中，，所以,又，且，所以，，平面，，所以平面，又平面，所以，所以在中，由及的中點(diǎn)為N，得.（2）由四邊形為正方形，得，由為正三角形，得，所以又由（1）知，所以為正三棱錐，過點(diǎn)作平面，則O為正的中心，取上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)為E，則，，兩兩垂直，分別以射線，，為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，所以，取，得，設(shè)二面角為，因?yàn)闉殁g角，所以，即所求的二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、線面垂直的判定、空間向量法求二面角夾角的余弦值，屬于較難題.20.已知函數(shù)（1）若，求的最值；（2）對(duì)于隨意，都有成立，求整數(shù)k的最大值.【答案】（1）最小值為，沒有最大值；（2）.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最值.（2）利用分別常數(shù)法化簡不等式，通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的范圍，由此求得整數(shù)的最大值.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，令解得，所以在區(qū)間上，遞減；在區(qū)間上，遞增，所以在處取得微小值也即是最小值為，無最大值.（2）依題意對(duì)于隨意，都有成立，即對(duì)于隨意，都有，即對(duì)于隨意，都有成立.令，則.令，，所以當(dāng)時(shí)，遞增.，，所以存在，使得，即，即①，，，所以.所以在區(qū)間上，，，遞減，在區(qū)間上，，，遞增，所以，將①代入上式得，所以，所以整數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查利用導(dǎo)數(shù)探討不等式恒成立問題，屬于難題.21.如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)P（1.），離心率e=，直線l的方程為x=4.（1）求橢圓C的方程；（2）AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)P），設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為.問：是否存在常數(shù)λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在【解析】①②②代入①得考點(diǎn)：