2024九年級數(shù)學(xué)下冊第1章直角三角形的邊角關(guān)系達(dá)標(biāo)檢測新版北師大版

Page1第一章達(dá)標(biāo)檢測卷一、選擇題(每題3分，共30分)1．2sin30°的值為()A．eq\f(1,2) B．1 C．eq\f(\r(3),2) D．eq\r(3)2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，則cosA等于()A．eq\f(3,5) B．eq\f(4,5) C．eq\f(3,4)D．eq\f(4,3)3．已知α為銳角，且cosα＝eq\f(1,2)，則α等于()A．30°B．45°C．60°D．無法確定4．如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則sin∠ABC的值為()A．eq\f(3,5)B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(10),5)D．15．西周時期，丞相周公旦設(shè)置過一種通過測定日影長度來確定時間的儀器，稱為圭表．如圖是一個依據(jù)北京的地理位置設(shè)計(jì)的圭表，其中，立柱AC高為a.已知，冬至?xí)r北京的正午日光入射角∠ABC約為26.5°，則立柱根部與圭表的冬至線的距離(即BC的長)約為()A．a(chǎn)sin26.5°B．eq\f(a,tan26.5°)C．eq\f(a,cos26.5°)D．a(chǎn)cos26.5°6．【教材P15習(xí)題T4變式】如圖，從熱氣球C處測得地面A，B兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，假如此時熱氣球的高度CD為100m，點(diǎn)A，D，B在同始終線上，則A，B兩點(diǎn)之間的距離是()A．200mB．200eq\r(3)mC．220eq\r(3)mD．100(eq\r(3)＋1)m7．如圖，沿AE折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處．已知AB＝4，BC＝5，則cos∠EFC的值為()A．eq\f(3,4)B．eq\f(4,3)C．eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)8．如圖，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，點(diǎn)D是CB的延長線上的一點(diǎn)，且AB＝BD，則tanD的值為()A．2eq\r(3)B．3eq\r(3)C．2＋eq\r(3)D．2－eq\r(3)9．如圖，過點(diǎn)C(－2，5)的直線AB分別交坐標(biāo)軸于A(0，2)，B兩點(diǎn)，則tan∠OAB等于()A．eq\f(2,5)B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,2)D．eq\f(3,2)10．小明想測量一棵樹的高度，他發(fā)覺樹的影子恰好落在地面和一斜坡上，如圖，此時測得地面上的影長為8米，坡面上的影長為4米．已知斜坡的坡角為30°，同一時刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長為2米，則樹的高度為()A．(6＋eq\r(3))米B．12米C．(4＋2eq\r(3))米D．10米二、填空題(每題3分，共24分)11．計(jì)算：tan245°－1＝________．12．如圖，在山坡上種樹，已知∠C＝90°，∠A＝α，相鄰兩樹的坡面距離AB為m米，則相鄰兩樹的水平距離AC為________米．13．【教材P6做一做改編】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cosA＝eq\f(2,5)，則BC的長是________．14．【教材P7習(xí)題T4變式】如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，已知CD＝5，AC＝6，則tanB的值為________．15．規(guī)定：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，b)，則向量eq\o(OP,\s\up6(→))可以表示為eq\o(OP,\s\up6(→))＝(a，b)，假如eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))相互垂直，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x2，y2)，那么x1x2＋y1y2＝0.若eq\o(OM,\s\up6(→))與eq\o(ON,\s\up6(→))相互垂直，eq\o(OM,\s\up6(→))＝(sinα，1)，eq\o(ON,\s\up6(→))＝(2，－eq\r(3))，則銳角∠α＝________.16．【教材P21習(xí)題T4變式】如圖，一輪船在M處觀測到燈塔P位于南偏西30°方向，該輪船沿正南方向以15海里/時的速度勻速航行2小時后到達(dá)N處，觀測到燈塔P位于南偏西60°方向，若該輪船接著向南航行至離燈塔P最近的位置T處，此時輪船與燈塔之間的距離PT為________海里(結(jié)果保留根號)．17．如圖，一架長為6m的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時測得∠ABO＝70°，若梯子的底端B外移到D處，則梯子頂端A下移到C處，這時又測得∠CDO＝50°，那么AC的長度約為________m(參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64)．18．如圖，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝eq\f(3,5)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)是__________．三、解答題(19，23，24題每題12分，其余每題10分，共66分)19．計(jì)算：(1)eq\r(3)sin60°－eq\r(2)cos45°＋eq\r(3,8)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(0)＋4cos60°·sin45°－eq\r(（tan60°－2）2).20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∠B＝60°，解這個直角三角形．21．【教材P21習(xí)題T3改編】如圖，一座堤壩的橫截面是梯形，依據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，求壩底BC的長．22．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝eq\f(2,3)，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，DE⊥AC，垂足為E，DE＝2，DB＝9.求：(1)BC的長；(2)tan∠CDE的值．23．為了承辦2024年冬奧會，張家口市加強(qiáng)城市綠化建設(shè)．如圖，工作人員正在對該市某河段進(jìn)行區(qū)域性景觀打造．某施工單位為測得某河段的寬度，測量員先在河對岸岸邊取一點(diǎn)A，再在河這邊沿河邊取兩點(diǎn)B和C，在B處測得點(diǎn)A在北偏東30°方向上，在點(diǎn)C處測得點(diǎn)A在西北方向上，量得BC長為200m，求該河段的寬度(結(jié)果保留根號)．24．【教材P27復(fù)習(xí)題T21變式】為了培育學(xué)生的動手操作實(shí)力，某校主動開展數(shù)學(xué)實(shí)踐活動．在一次綜合實(shí)踐活動中，某小組對本地的一座古塔進(jìn)行了測量．如圖，他在山坡坡腳P處測得古塔頂端M的仰角為60°，沿山坡向上走25m到達(dá)D處，測得古塔頂端M的仰角為30°.已知山坡坡度i＝3∶4，即tanθ＝eq\f(3,4)，請你幫助該小組計(jì)算古塔的高度ME(結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.732)．

答案一、1．B2．B3．C4．A5．B6．D7．D8．D9．B10．A點(diǎn)撥：如圖，延長AC交BF的延長線于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E.由題意得BF＝8米，CF＝4米，∠CFD＝30°.在Rt△CFE中，∠CFE＝30°，CF＝4米，∴CE＝2米，EF＝4cos30°＝2eq\r(3)(米)．∵同一時刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長為2米，∴tanD＝eq\f(CE,DE)＝eq\f(AB,BD)＝eq\f(1,2).∴DE＝2CE＝4米．∴BD＝BF＋EF＋ED＝(12＋2eq\r(3))米．∴AB＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)×(12＋2eq\r(3))＝6＋eq\r(3)(米)．二、11．012．mcosα13．2eq\r(21)14．eq\f(3,4)15．60°16．15eq\r(3)17．1.0218．(8，12)點(diǎn)撥：如圖，過點(diǎn)F作FA∥OG，交y軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)G作GH⊥FA交AF的延長線于點(diǎn)H，∴∠FAE＝90°.∴∠FEA＋∠AFE＝90°.∵FA∥OG，∴∠FGO＝∠HFG.∵∠EFG＝90°，∴∠HFG＋∠AFE＝90°.∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO.∵cos∠FGO＝eq\f(3,5)，∴cos∠FEA＝eq\f(3,5).在Rt△AEF中，∵EF＝10，∴AE＝EF·cos∠FEA＝10×eq\f(3,5)＝6.由勾股定理，得AF＝8.∵∠FAE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°，∴四邊形OGHA為矩形．∴AH＝OG.∵OG＝17，∴AH＝17.∴FH＝17－8＝9.在Rt△FGH中，∵eq\f(FH,FG)＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝eq\f(3,5)，∴FG＝9÷eq\f(3,5)＝15.由勾股定理，得HG＝eq\r(152－92)＝12，∴F(8，12)．三、19．解：(1)原式＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)－eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＋2＝eq\f(3,2)－1＋2＝eq\f(5,2)；(2)原式＝1＋4×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)－eq\r(（\r(3)－2）2)＝1＋eq\r(2)－(2－eq\r(3))＝－1＋eq\r(2)＋eq\r(3).20．解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.∴BC＝AC·tanA＝15×eq\f(\r(3),3)＝5eq\r(3)，AB＝2BC＝2×5eq\r(3)＝10eq\r(3).21．解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，∴EF＝AD＝6m，AE＝DF.在Rt△CDF中，∵CD＝14m，∠DCF＝30°，∴DF＝eq\f(1,2)CD＝7m.∴AE＝7m.∵cos∠DCF＝eq\f(FC,CD)，∴FC＝CD·cos∠DCF＝14×eq\f(\r(3),2)＝7eq\r(3)(m)．在Rt△ABE中，∵∠B＝45°，∴BE＝AE＝7m.∴BC＝BE＋EF＋FC＝7＋6＋7eq\r(3)＝13＋7eq\r(3)(m)．22．解：(1)在Rt△DEA中，∵DE＝2，sinA＝eq\f(2,3)，∴AD＝eq\f(DE,sinA)＝eq\f(2,\f(2,3))＝3.∵DB＝9，∴AB＝BD＋AD＝12.在Rt△ABC中，∵AB＝12，sinA＝eq\f(2,3)，∴BC＝AB·sinA＝12×eq\f(2,3)＝8.(2)在Rt△ABC中，∵AB＝12，BC＝8，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(122－82)＝4eq\r(5).在Rt△DEA中，∵DE＝2，AD＝3，∴AE＝eq\r(AD2－DE2)＝eq\r(32－22)＝eq\r(5).∴CE＝AC－AE＝3eq\r(5).∴tan∠CDE＝eq\f(CE,DE)＝eq\f(3\r(5),2).23．解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.依據(jù)題意，知∠ABC＝90°－30°＝60°，∠ACD＝45°，∴∠CAD＝45°.∴∠ACD＝∠CAD.∴AD＝CD.∴在Rt△ABD中，tan∠ABD＝eq\f(AD,BD)＝eq\f(AD,BC－AD)，∴eq\f(AD,200－AD)＝eq\r(3).∴AD＝(300－100eq\r(3))m.答：該河段的寬度為(300－100eq\r(3))m.24．解：如圖，過點(diǎn)D分別作DC⊥EP于點(diǎn)C，作DF⊥ME于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作PH⊥DF于點(diǎn)H，則DC＝FE，DH＝CP，HF＝PE.設(shè)DC＝3xm，∵tanθ＝eq\f(3,4)，∴CP＝4xm.由勾股定理，得PD2＝DC2＋CP2，即252＝(3x)2＋(4x)2，解得x＝5(負(fù)值舍去)．∴DC＝15m，CP＝20m.∴DH＝20m，F(xiàn)E＝15m.設(shè)MF＝y(tǒng)m，則