河南省鶴壁市高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期精英對(duì)抗賽試題六

PAGEPAGE9河南省鶴壁市高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期精英對(duì)抗賽試題六選擇題（共12小題,第1-6題每題5分，第7-12題每題6分）在長方體中，，，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)異面直線CP與所成的角最大時(shí)，則三棱錐的體積為

B. C. D.已知邊長為2的正所在平面外有一點(diǎn)P，，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為A. B. C. D.已知三棱錐的頂點(diǎn)均在球O的球面上，且，，若H是點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的正投影，且，則球O的表面積為A. B. C. D.如圖，在直三棱柱中，，，D是AB上一點(diǎn)，且，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是上一點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，平面CDE，則三棱柱外接球的表面積為

A.B.C.D.如圖，在正方體中，M，N，P分別是，BC，的中點(diǎn)，有下列四個(gè)結(jié)論：

與CM是異面直線；，CM，相交于一點(diǎn)；；平面D.

其中全部正確結(jié)論的編號(hào)是

A. B. C. D.在四面體ABCD中，和均是邊長為1的等邊三角形，已知四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，且AD是該球的直徑，則四面體ABCD的體積為

A. B. C. D.已知球O是正三棱錐底面BCD為正三角形，頂點(diǎn)A在底面BCD的射影為底面中心的外接球，，，點(diǎn)E在線段BD上，且，過點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是

A. B. C. D.如圖，正方體的棱長為a，作平面與底面不平行與棱，，，分別交于E，F(xiàn)，G，H，記EA，F(xiàn)B，GC，HD分別為，，，，若，，則多面體EFGHABCD的體積為 B. C. D.以A，B，C，D，E為頂點(diǎn)的多面體中，，，，，，則該多面體的體積的最大值為A. B.80 C.90 D.如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，P是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，若平面

則線段長度的取值范圍是

A. B. C. D.如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)M是線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：存在點(diǎn)M，使得平面；存在點(diǎn)M，使得的體積為；存在點(diǎn)M，使得平面交正方體的截面為等腰梯形；若，過點(diǎn)M作正方體的外接球的截面，則截面的面積最小值為．則上述結(jié)論正確的是

A. B. C. D.已知長方體，，，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)P在長方體內(nèi)部或表面上，且平面，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所形成的區(qū)域面積是

A.6 B. C. D.9填空題（共2小題，每題5分）如圖所示，正方體的棱長為a，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱AB，BC，的中點(diǎn)，下列結(jié)論中，正確的是________．過E，F(xiàn)，G三點(diǎn)作正方體的截面，所得截面為正六邊形平面EFG異面直線FG與所成角的正切值為1四面體的體積為如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，現(xiàn)有如下四個(gè)結(jié)論：；

平面平面異面直線AE，BF所成的角為定值；三棱錐的體積為定值，其中正確結(jié)論的序號(hào)是______．三．解答題（共2小題，每題12分）定義兩類新函數(shù)：若函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使得成立，則稱該函數(shù)為“LZ函數(shù)”；若函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使得成立，則稱該函數(shù)為“LZplus函數(shù)”．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，已知是某一類新函?shù)，試推斷是“LZ函數(shù)”還是“LZplus函數(shù)”不需說明理由，并求此時(shí)的范圍；已知函數(shù)在定義域上為“LZplus函數(shù)”，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)隨意的，不等式都成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

16.已知為定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，把方程稱為函數(shù)的特征方程，特征方程的兩個(gè)實(shí)根、，稱為的特征根．已知m為給定實(shí)數(shù)，求的表達(dá)式；

把函數(shù)，的最大值記作，最小值記作，探討函數(shù)，的單調(diào)性，令，若恒成立，求的取值范圍．

高一數(shù)學(xué)精英對(duì)抗賽（六）參考答案與試題解析1-5BCCCB6-10BACCB11-12BD13.14.7.解：如圖：設(shè)三角形BDC的中心為，球O的半徑為R，連接，OD，，OE，則，，在中，，解得，因?yàn)?，所以，在中，，所以，過點(diǎn)E作圓O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面的面積最小，此時(shí)截面圓的半徑為，最小面積為，當(dāng)截面過球心時(shí)，截面的面積最大，最大面積為．故截面圓的面積的取值范圍為．故選A．

8.解：由正方體的對(duì)面平行及面面平行的性質(zhì)定理得：

，，

四邊形EFGH是平行四邊形，

連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)O，連結(jié)EG，F(xiàn)H，交于點(diǎn)，

連結(jié)，則32，

，h1，

，，，

兩個(gè)多面體EFGHABCD可以拼成一個(gè)長方體，

多面體EFGHABCD的體積為：

．故選：C．

9.解：取AB的點(diǎn)O，因?yàn)?，，，所以，故點(diǎn)C，D，E在以AB為直徑的球面O上．設(shè)A，B到平面CDE的距離分別為，，則，所以該多面體的體積，過點(diǎn)C，D，E作球的截面圓，

設(shè)圓的半徑為r，則，且，即，所以，又點(diǎn)E到CD的距離最大值為，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以，從而．故選C．10.解：如圖所示：

分別取棱、的中點(diǎn)M、N，連接MN，連接，

、N、E、F為所在棱的中點(diǎn)，，，

，又平面AEF，平面AEF，

平面AEF；

，，四邊形為平行四邊形，

，又平面AEF，平面AEF，

平面AEF，

又，、平面，

平面平面AEF，

是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，且平面AEF，

則P必在線段MN上，

在中，，

同理，在中，求得，

為等腰三角形，

當(dāng)P在MN中點(diǎn)O時(shí)，此時(shí)最短，P位于M、N處時(shí)最長，

，，

所以線段長度的取值范圍是故選B．

11.解析：對(duì)于，連接，，明顯平面

平面，令平面，則存在點(diǎn)M，使得平面，故正確；

對(duì)于，，方法一、極限法：時(shí)，，時(shí)，，易判定不存在點(diǎn)M，使得的體積為；

方法二、常規(guī)推導(dǎo)：連接，，則平面與平面共面，

，所以不存在點(diǎn)M，使的體積為，故錯(cuò)誤；

對(duì)于，因?yàn)?/p>

平面，平面交平面的交線與平行，明顯存在點(diǎn)M，使截面為等腰梯形，故正確；

對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)M為截面圓得圓心時(shí)，截面圓得面積最小，易求截面的面積最小值小于，故錯(cuò)誤；故選B．

12.解：如圖所示，E，F(xiàn)，G，H，N分別為，，，DA，AB的中點(diǎn)，

則EF

NH，MN

FG，

由于平面，平面，

可得平面，

同理可證：平面，又，

所以平面MEFGHN

平面，

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是六邊形MEFGHN及其內(nèi)部．

因?yàn)?，，所以?/p>

，，

E到GM的距離為，

所以．故選D．

13.

解：延長EF分別與DC，DA的延長線交于N，Q，連接GN交于H，

設(shè)HG與的延長線交于P，連接PQ交于I，交于M，連FH，HG，GI，IM，ME，

則截面六邊形EFHGIM為正六邊形，故正確；

與ME相交，故AB與平面EFG相交，所以不正確；

，所以為異面直線FG與所成角或其補(bǔ)角，

在中，，由余弦定理求得，，故不正確；

四面體的體積等于正方體的體積減去四個(gè)正三棱錐的體積，即為，故正確．故答案為．

14.解：設(shè)與相交與依據(jù)正方體的性質(zhì)可知，

而，BD，平面，所以平面，

平面，所以故正確．依據(jù)正方體的性質(zhì)可知，平面，

面，所以平面．

同理可證平面，而，，平面，

所以平面平面，也即平面平面故正確．由于正方體的邊長為，所以，而，

依據(jù)正方體的性質(zhì)可知，所以四邊形是平行四邊形，

所以，所以是異面直線所成的角，

所以，其中為定值，長度不固定，

所以不是定值，所以錯(cuò)誤．由可知平面，所以為定值，

所以正確．故答案為：

15解：函數(shù)在定義域上是“LZ函數(shù)“．

因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，由定義需滿意，即，

因?yàn)?，，所以?/p>

所以的范圍為

若圖象對(duì)稱軸，

設(shè)，，且，關(guān)于對(duì)稱，

此時(shí)，，

分析知存在，使這與“LZplus函數(shù)”定義沖突．

所以在上單調(diào)，且，

由，得，

解得或．

檢驗(yàn)：在上單調(diào)，所以．

不等式即，整理得，

由題意知，上式對(duì)隨意