1.1數(shù)列檢測題 B卷（綜合提升）-2021-2022學年高二上學期北師大版（2019）數(shù)學選擇性必修第二冊

1.1數(shù)列檢測題B卷（綜合提升）一、單選題1．數(shù)列的一個通項公式為（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列滿足且，則的值為（）A．1 B．2 C．4 D．－43．已知數(shù)列的前n項和為，，，則（）A． B． C． D．4．下列命題不正確的是（）A．數(shù)列的一個通項公式是B．已知數(shù)列，且，則C．已知數(shù)列的前項和為，那么123是這個數(shù)列的第7項D．已知，則數(shù)列是遞增數(shù)列5．斐波那契(約1170~1250)是意大利數(shù)學家，他研究了一列數(shù)，這列數(shù)非常奇妙，被稱為斐波那契數(shù)列.后來人們在研究它的過程中，發(fā)現(xiàn)了許多意想不到的結(jié)果，在實際生活中，很多花朵(如梅花，飛燕草，萬壽菊等)的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列還有很多有趣的性質(zhì)，在實際生活中也有廣泛的應用.斐波那契數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,…,數(shù)列滿足，，設，則（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20226．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的最小值為（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列滿足，若對任意的正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．對于數(shù)列，若存在正整數(shù)，使得，，則稱是數(shù)列的“谷值”，是數(shù)列的“谷值點”在數(shù)列中，若，則數(shù)列的“谷值點”為（）A． B． C．， D．，，二、多選題9．下列說法正確的是（）A．數(shù)列4，7，3，4的首項是4B．若數(shù)列的首項為3，則從第2項起，各項均不等于3C．數(shù)列2，5，2，5，…，2，5，…是無窮數(shù)列D．a(chǎn)，，，1，b，5，7一定能構(gòu)成數(shù)列10．(多選題)已知數(shù)列滿足，，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．11．設是無窮數(shù)列，若存在正整數(shù)k，使得對任意，均有，則稱是間隔遞增數(shù)列，k是的間隔數(shù).則下列說法正確的是（）A．公比大于1的等比數(shù)列一定是間隔遞增數(shù)列B．已知，則是間隔遞增數(shù)列C．已知，則是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是2D．已知，若是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3，則12．意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)1，1，2，3，5，…，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前n項和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．三、填空題13．在數(shù)列中，，則的值為__________.14．已知數(shù)列滿足，，則等于__________15．已知數(shù)列滿足且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是_________.16．任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘再加上；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以.反復進行上述兩種運算，經(jīng)過有限步驟后，必進入循環(huán)圈.這就是數(shù)學史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”等).如取正整數(shù)，根據(jù)上述運算法則得出，至少需經(jīng)過個步驟變成(簡稱為步“雹程”).一般地，一個正整數(shù)首次變成需經(jīng)過個步驟(簡稱為步“雹程”).現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推，關系如下：已知數(shù)列滿足為正整數(shù))，，若，即步“雹程”對應的的所有可能取值的中位數(shù)為__________.四、解答題17．已知數(shù)列滿足，（1）數(shù)列中有哪些項是負數(shù)？（2）當為何值時，取得最小值？并求出此最小值．18．已知數(shù)列滿足.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.19．在數(shù)列{an}中，，通項公式an是n的一次函數(shù)．（1）求{an}的通項公式；（2）判斷96是不是數(shù)列{an}中的項？20．已知數(shù)列的通項公式為.（1）求這個數(shù)列的第10項；（2）是不是該數(shù)列中的項？為什么？（3）在區(qū)間內(nèi)是否有數(shù)列中的項？若有，求出有幾項；若沒有，請說明理由.21．在數(shù)列中，．（1）求證：數(shù)列先遞增后遞減；（2）求數(shù)列的最大項．22．若有限項數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為數(shù)列．記．（1）寫出兩個滿足，的數(shù)列；（2）若，，求證：數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是；（3）對任意給定的整數(shù)，是否存在的數(shù)列，滿足？如果存在，寫出一個滿足條件的數(shù)列；如果不存在，請說明理由．參考答案1．A【分析】根據(jù)規(guī)律，總結(jié)通項公式，即可得答案.【詳解】根據(jù)規(guī)律可知數(shù)列的前三項為，所以該數(shù)列的一個通項公式為．故選：A2．A【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，可知數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，由此即可求出結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列滿足且，所以，，所以，又，所以，又，所以所以，……所以數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，所以.故選：A.3．D【分析】根據(jù)給定遞推公式求出即可計算作答.【詳解】因數(shù)列的前n項和為，，，則，，，所以.故選：D4．C【分析】A：根據(jù)被開方數(shù)的特征進行判斷即可；B：運用代入法進行求解判斷即可；C：根據(jù)前項和與第項之間的關系進行求解判斷即可；D：根據(jù)遞增數(shù)列的定義進行判斷即可.【詳解】對于A，數(shù)列變?yōu)椋?，，A正確；對于B，，且，B正確；對于C，，，當時，，，無正整數(shù)解，所以123不是這個數(shù)列的第7項，C錯誤；對于D．由，易知D正確，故選：C．5．D【分析】根據(jù)滿足，偶數(shù)項代換后，與下一項結(jié)合得到下一個偶數(shù)項，依次進行下去，即得結(jié)果．【詳解】因為斐波那契數(shù)列滿足，，則和式中，偶數(shù)項代換后，與下一項結(jié)合得到下一個偶數(shù)項，依次進行下去，則，則．故選：D6．A【分析】結(jié)合對勾函數(shù)單調(diào)性和可知，驗證可求得最小值為.【詳解】在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，，又，，，即的最小值為.故選：A.7．A【分析】依題意，即可得到是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，從而求出，依題意可得恒成立，令，利用作差法說明的單調(diào)性，即可得到的最大值，即可得解；【詳解】解：因為，所以，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，所以，恒成立，的最大值，令，，所以時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，，的最大值，；故選：A．8．C【分析】先求出，，，，，，，，再得到，，，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性以及谷值點的定義即可得求解．【詳解】因為，所以，，，，，，，，當，，，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以時，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，，，，所以數(shù)列的“谷值點”為，．故選：C.9．AC【分析】根據(jù)數(shù)列的基本概念及性質(zhì)判斷各選項的正誤即可.【詳解】根據(jù)數(shù)列的相關概念，易知第1項即首項為4，故A正確．同一個數(shù)在一個數(shù)列中可以重復出現(xiàn)，故B錯誤．由無窮數(shù)列的概念，易知C正確．由數(shù)列是按一定次序排列的一列數(shù)，若a，b都代表數(shù)時構(gòu)成數(shù)列，若a，b中至少有一個不代表數(shù)時不能構(gòu)成數(shù)列，故D錯誤．故選：AC10．BCD【分析】列舉出數(shù)列的項，判斷周期，進而判斷各選項正誤.【詳解】，，，，，，，，是周期數(shù)列，周期為，且，，A不正確；，B正確；，C正確；，D正確.故選：BCD.11．BCD【分析】根據(jù)間隔遞增數(shù)列的定義，結(jié)合數(shù)列的增減性，進而求得答案.【詳解】.對A，設公比為，則，因為，所以，若，則，不是間隔遞增數(shù)列.A錯誤；對B，，易得是遞增數(shù)列，則，所以k>3時，一定是間隔遞增數(shù)列.B正確；對C，，為奇數(shù)時，，顯然時，，為偶數(shù)時，，顯然時，.C正確；對D，對恒成立，則恒成立，因為最小間隔是3，所以即對于恒成立，且時，，于是.D正確.故選：BCD.12．ABCD【分析】對于A：直接由遞推公式寫出數(shù)列的前6項，即可判斷；對于B：直接求出數(shù)列的前7項的和；對于C：由遞推關系直接求解；對于D：由，直接轉(zhuǎn)化，即可判斷【詳解】對于A：寫出數(shù)列的前6項為1，1，2，3，5，8，故A正確.對于B：，故B正確.對于C：由，，，…，，可得，故C正確.對于D：斐波那契數(shù)列總有，則，故D正確.故選：ABCD13．【分析】判斷出數(shù)列的周期性，由此求得.【詳解】依題意，，所以，，，所以數(shù)列是周期為的數(shù)列，所以.故答案為：14．【分析】由遞推公式計算，可得該數(shù)列為周期數(shù)列，且數(shù)列周期為3，進而求出和，從而求得的結(jié)果.【詳解】解：由，，得，，，故該數(shù)列為周期數(shù)列，且數(shù)列周期為3，，所以，，所以，.故答案為：.15．【分析】由題意利用數(shù)列的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求得的范圍．【詳解】解：數(shù)列滿足，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，，求得.故答案為：.16．【分析】由結(jié)合遞推公式逆推，逐步計算可得的可能取值，再將的取值按從小到大的順序排列，由中位數(shù)的定義可得中位數(shù).【詳解】因為，，倒推可得：；；；；；；故的所有可能取值為，中位數(shù)為，故答案為：.17．（1）數(shù)列中第1，2，3，4，5項為負數(shù)，即，，，，；（2）當，3時取得最小值，最小值為．【分析】（1）由，求出的范圍，再由，可求出的值，從而可求出答案；（2）配方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答案【詳解】解：（1），解得，，數(shù)列中第1，2，3，4，5項為負數(shù)，即，，，，，（2），當，3時取得最小值，最小值為．18．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)的關系求的通項公式；（2）應用裂項相消法求的前項和.（1）當時，，故；當時，，故，故，則，又滿足，∴，.（2）由（1）可得：，故.19．（1）an＝4n－2，n∈N*（2）不是【分析】（1）設an＝kn＋b，k≠0．結(jié)合已知條件求出的值，進而可以求出結(jié)果；（2）令an＝96，求出n的值即可判斷是否是數(shù)列中的項．（1）設an＝kn＋b，k≠0．則解得∴an＝4n－2，n∈N*．（2）令an＝96，即4n－2＝96，解得n＝24.5N*．∴96不是數(shù)列{an}中的項．20．（1）；（2）不是，理由見解析；（3）有，只有一項.【分析】先化簡通項，（1）中令，計算即得解；（2）中令，結(jié)合即得解；（3）令，結(jié)合即得解【詳解】.（1）令，得第10項.（2）令，得.此方程無正整數(shù)解，∴不是該數(shù)列中的項.（3）令，則，解得.又，∴.∴區(qū)間內(nèi)有數(shù)列中的項，且只有一項.21．（1）證明見解析（2）最大【分析】（1）令和，分別求解不等式可得證（2）由（1）得出的數(shù)列的單調(diào)性可得答案.（1）證明：令，即，整理得，解得．令，即，整理得，解得．所以數(shù)列從第1項到第9項遞增，從第10項起遞減．（2）解：由（1）知最大．22．（1）答案詳見解析（2）證明詳見解析（3）答案詳見解析【分析】（1）根據(jù)題意，，，，再根據(jù)求出，可以得出符合題設的數(shù)列；（2）可先證明必要性：由遞增數(shù)列的定義，得到是